-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: April 06 2020. -------
Ссылка на этот материал: Уравнение-волны-в-галилеевом-пространстве.htm)
 Уравнение волны в галилеевом пространстве

1.  Уравнение волны в галилеевом пространстве

Главной задачей этой работы является описание процесса распространения волны в галилеевом пространстве (ГП). Рассмотрены случаи распространения изотропной волны в абсолютной системе отсчета (АСО), уравнение распространения волны в инерциальной системе отсчета (ИСО), распространения волны от движущегося источника в собственном ИСО, АСО и ИСО наблюдателя. Рассмотрены вопросы эффекта Доплера и аберрации.  При рассмотрении данных вопросов предполагается, что источник волны не является точечным объектом, а является источником монохроматической, заполняющей все пространство, волны. Также предполагается, что время источника волны и расстояния синхронизированы с временем и расстоянием ГП.

В работе очень часто используется слово "галилеево". Именно это слово – пожалуй, глав-ное в этой работе. Галилеево пространство, галилеев эталон, галилева метрика. Практической физической моделью для применения (использования) этих слов и словосочетаний является неподвижная сплошная (воздушная, жидкая, твердая) среда – АСО, в которой распространяет-ся волна, а то, где находится эта "воздушная" среда, есть пустое абсолютное галилеево про-странство. Само по себе эта среда не является абсолютной инерциальной системой отсчета, она может находится в состоянии произвольного движения в ГП. Но для распространяющих-ся волн как самостоятельных сущностей при вложении в галилеево пространство это настоя-щее галилеево АСО.

Волна в сплошной среде (АСО) ГП может распространяться только с одной определенной скоростью – скоростью звука. После того, как определены волны как сущности, их можно рассматривать отдельно от ее основы, забыть о существовании материальной основы для ее существования, оставив только существенные моменты этого факта. Ими являются частота и скорость распространения волны. В этом случае волна как самостоятельный объект само определяет АСО. Кроме волн, в ней могут существовать и не волновые объекты, скорость движения которых не ограничена скоростью звука. Но в данной работе они не рассматриваются.

Практически не используется слово "релятивистское". Это – следующий уровень абстракции самостоятельного существования волны.

 

1.   Метрики галилеева пространства

В ГП возможны 4 (четыре) вида метрики, описывающие ее геометрические свойства в различных случаях. Это

1)      1–мерный промежуток времени dt = dt,

2)      3–мерное расстояние dl2 = dr2 и

3)      4–мерная линейная метрика – волновая разность фаз dj (инвариант распространения гармонического монохромного волнового процесса в с.с.) и не зависящий от частоты линейный инвариант (метрика) dst :

dj = w0dt + widri =w(c0dt - cidri),

(1.1)

где w – частота волны,

ci – ковариантная скорость волны,

wi – ковариантная координатная скорость волны.

4)      4–мерный билинейный инвариант (волновое расстояние) dj2 и интервал ds2 в системе 4–х ортогональных волновых полей

(1.2)

где c – скалярная скорость распространения фронта волны в этом пространственном направлении,

dt – разность времен между двумя точками,

dr – пространственное расстояние между ними,

n – номер волнового поля.

Несмотря на различные формы записи, все четыре формы "генетически" тесно связаны между собой.

2.   Уравнение волны и ее параметры

Расстояние между любыми двумя точками ГП можно измерить, приложив галилеевы линейки между этими двумя точками в одно и то же галилеево время, а время – с помощью галилеевых часов (устройство этих эталонов не является задачей этой работы). Основное свойство эталонов – при любом движении из произвольной точки A в произвольную точку B эталон не изменяет своих свойств, совмещаясь с другими (такими же) эталонами, прошедшими другими путями. Основное свойство галилеевых эталонов – независимость их параметров от скорости с.о., в которой они используются. Основное свойство ГП – абсолютность времени инвариантность "плоскости" одновременности, что выражается в неизменности координаты "время" при галилеевых преобразованиях координат.

Волна формально является периодической функцией своего параметра. Процесс существования волн сам по себе обладает инвариантными параметрами. Ими являются фаза j волны в произвольной точке ПВ, начальная фаза j0 в начале координат и  количество волн n между любыми двумя точками ПВ. Разность фаз Dj непосредственно связана с количеством волн n:

(1.3)

Функционально волна в однородно параметризованном пространстве–времени t "распространяется" в соответствии с гармоническим уравнением

(1.4)

Физически параметр фазы волны n тесно связан с временем t и частотой w: это количество волн, разделяющих два значения времени – начала и конца отсчета времени. А параметр j тесно связан с определенным выше инвариантом s (1.3) для одной координаты t:

(1.5)

где w – частота (не круговая!) волнового процесса. Параметр j выступает в роли универсального параметра состояния. Физический смысл ее – закономерное упорядочение на множестве состояний "фаза" пространства.

В многомерном пространстве процесс распространения волн также связан с определенным направлением распространения фронта волны и соответствующими параметрами. При наличии пространственных координат произвольная свободная не изотропная волна в неограниченном бесконечном ГП распространяется и вдоль пространственных направлений в соответствии с гармоническим уравнением

(1.6)

в котором w - скалярная частота волнового процесса,

w0 – временная ковариантная частота волнового процесса,

wi – пространственная частота или направляющий ковариантный вектор волнового процесса,

ci – пространственная ковариантная скорость распространения волнового процесса.

Уравнение (1.6) учитывает одновременно движение и наблюдателя, и источника волны. Даже начальная фаза js может быть линейной функцией от координат (t, ri). Но даже это не изменяет форму уравнения: она остается ковариантной исходному уравнению (1.6) .

Уравнение (1.6) также одновременно выражает закон Гюйгенса для распространяющейся волны: однофазная поверхность или фронт волны перпендикулярен к направлению своего движения.

3.   Выбор модельного пространства

Физическое модельное пространство ПВ – сплошная среда со свойствами абсолютности АИСО, в котором распространяются гармонические волны. Физически уравнение (1.6) выражает закон распространения волны в пространстве–времени с АИСО.

Модельное математическое пространство, в котором все это определяется – галилеево пространство с выделенным АИСО. Вопрос о возможных значениях параметров (c0, ci) решается просто: должны устанавливаться предельные ограничения на c0 и ci – они не могут быть ни нулем, ни бесконечностью – иначе теряется смысл введения гармонического уравнения (1.6) : уравнение (1.6) вырождается. Параметры c0, ci фактически определяют метрику пространства–времени в волновых единицах – количество эталонных волн частотой 1 Гц на единицу координатной оси t и пространственного направления, соответствующего направлению распространения.

Дополнительным условием могло бы быть снятие ограничения единственности скорости c в произвольном направлении. Это означает, что в этом направлении могли бы быть организованы множество волн с разными скоростями распространения. Но снятие такого ограничения либо вообще приводит к снятию вопроса построения ПВ – к чему мы стремимся, либо к выбору приоритетного из всех c. К тому же есть способы логически безупречного обхода этого выбора. Оно заключается в дополнении пространственных направлений дополнительными "виртуальными", "невидимыми" для макроразмерной физики координатными направлениями. В современной физике эти направления могут быть циклическими с очень малыми радиусами. Возможны и другие интерпретации, маскирующие эти дополнительные направления, например, "бранные" или потенциальные.

В ортонормированной изотропной синхронизированной со скоростью распространения фронта волны с.к. c0 = |ci| = c = 1. Такой с.о. является галилеево АИСО, синхронизированное по эталонам с волновым АИСО. В случае произвольной параметризации ГПВ оно может быть не изотропным и не нормированным, т.е. галилеева скорость c будет зависеть от направления распространения волны. И не только в этом случае – но и при переходе просто в другое ортонормированное галилеево ИСО. При переходе в другое ИСО, как известно, наблюдается эффект Доплера.

С т.з. математики уравнение (1.6) есть скалярная функция от координат ПВ, а в качестве параметра скалярной функции имеем скалярное произведение некоторого вектора – вектора направления распространения 2pw(c0, ci) на координаты точки ПВ плюс произвольная начальная фаза, что представляет скалярную фазу гармонической функции в начале координат. Раз это скалярное произведение, то у него есть метрический тензор, и операции поднятия – опускания индекса. Раз мы имеем в виду ГП, то разрешены только галилеевы преобразования координат. Раз мы в ней ввели метрику – то это галилеево метрическое пространство (ГМП). В дополнение к своим "законным" метрикам – "промежуток времени" и 3–мерное "расстояние". В метрическом ГП метрический тензор и другие тензоры преобразуются по правилам преобразования тензоров галилеева пространства – благо, что она вполне определена. И в ней определена операция поднятия–опускания индексов тензоров и скалярного произведения с использованием этого метрического тензора.

Волновые эталоны являются однородными и изотропными. И это свойство в любом пространстве выполняется автоматически: длина волны эталона, измеренная в любом направлении, равна самой себе, при любых физических движениях, перемещениях и математических преобразованиях координат. Т.е. она обладает свойствами эталона. То же самое относительно скорости распространения волны c. Даже если они на самом деле не изотропны и не однородны с т.з. других видов эталонов. Для появления не изотропности и не однородности необходимо "измерять" волновые параметры какими то другими, не волновыми, эталонами. Примером не изотропного ПВ для волны является ГП: галилеева скорость волны в ней подчиняется галилееву правилу закона сложения скоростей и скорость волны в разных ИСО в разных направлениях (в т.ч. противоположных) может быть различной. Но если не знать о существовании ГП – то мы об этом можем и не догадаться.

 Это свойство может генетически переходить и к ПВ и проявляться в ее свойствах. Например, волновой эталон длины в ИСО является направленным эталоном, зависимым от направления распространения волны. Но есть способ проверки не изотропности для противоположных направлении вектора распространения собственными волновыми эталонами: сравнить эталоны длины в двух противоположных направлениях подсчетом количества противоположно направленных волн между одними и теми же выделенными точками. Это свойство позволяет выявить волновое АИСО. Но не всегда это свойство может сработать, и это свойство зависит от типа пространства. В ортонормированном АИСО волна распространяется изотропно, в котором c = 1 в любом направлении.

Уравнение (1.6) означает, что частота w является универсальным параметром волны, определяющим взаимную скорость изменения волнового процесса во времени, c – универсальная фундаментальная скорость, параметр c0 – ковариантная скорость ее распространения во временном направлении, ci – ковариантная скорость ее распространения во всех возможных направлениях. В связи с тем, что все эти параметры включаются в обобщающий их ковариантный векторный параметр (c0, ci) или (w0, wi), все они изменяются при переходе в другое ИСО по правилам преобразования векторов и тензоров. Преобразования координат ri и векторов ci и сi (и тензоров) в ГП производятся в соответствии с формулами

(1.7)

 

где vпi – скорость новой ИСО относительно исходной.

Частота w остается инвариантным параметром в силу ее глобальной скалярности, а фаза j0, несмотря на свою скалярность, преобразуется по особым правилам, т.к. она зависит от точки начала координат. При отсутствии преобразования с.к. со смещением этот параметр не изменяется.

Есть еще один интересный параметр – 1 (единица), которая появляется в уравнениях. Иногда она связывается с параметром c0 = 1 как невидимый мультипликативный множитель при параметре t ~ c0t или как элемент c0v0 и в таком случае она должна преобразовываться соответствующим способом.

4.   Уравнение волны АИСО в ИСО ГП

Рис. 1

Плоская одномерная бесконечная гармоническая волна от покоящегося источника Aи в присутствии движущегося со скоростью  vпi приемника (ИСО). Для каждого момента условно показаны графики значения функции волны по оси x.

Уравнением изотропной волны в АИСО является уравнение (6). Движущийся приемник можно заменить на движущийся с той же скоростью ИСО. Для записи уравнения волны в с.о. ИСО мы должны учесть правила преобразования векторных параметров (7) к уравнениям (6). Также мы должны учесть "динамическое" изменение начальной фазы волны в ИСО. При наличии движущегося со скоростью vпi наблюдателя (приемника) появляется дополнительный переменный источник к начальной фазе j0, связанный с движением начала координат ИСО (приемника). При равномерном движении ИСО (см. Рис. 1) начальная фаза (на линии x = vпit) будет линейно зависеть от скорости и времени:

 (1.8)

В результате получим следующие формулы преобразований уравнения распространения волны при переходе в ИСО (со штрихованными координатами), движущуюся со скоростью vпi:

(1.9)

Для частного случая изотропной волны в АИСО (1.9) уравнение волны в ИСО будет следующей:

Уравнения (1.9)  говорят о том, что в ИСО (с т.з. приемника–наблюдателя) частота, скорость и длина волны изменяются следующим образом.

,

(1.10)

Эти уравнения выражают эффект Доплера по отношению к движущемуся со скоростью vпi ИСО. Из (1.10) видно, что длина волны при этом не изменяется.

5.   Движение ИСО перпендикулярно к направлению распространения волны

Рис. 2

Графическое изображение аберрации волн в движущемся ИСО.

При движении ИСО перпендикулярно к направлению распространения волны из (1.10) видно, что каких либо изменений с волной не происходит, т.к. civпi = 0:

1) эффекта Доплера не будет наблюдаться: w' = w,

2) скорость волны (ковариантная) остается неизменной: c'i = ci,

3) длина волны остается неизменной: l' = l.

Но будет наблюдаться аберрация (я бы назвал – механическая)(Рис. 2), т.к. контравариантная скорость распространения волны c'i подчиняется закону сложения скоростей (1.7) галилеева пространства:

c'i = ci vпi.

(1.11)

Так отклоняются вертикально падающие капельки дождя по отношению к движущемуся автомобилю. Причем это верно при любой скорости vпi ^ ci. При этом аберрации ковариантной скорости не происходит. Но такое возможно только в абсолютных пространствах типа галилеевых!

На Рис. 2 показан механизм образования эффекта аберрации. Здесь ABCD – бесконечная пластина с отверстием BC, движущаяся слева направо со скоростью vИСО. Черные тонкие горизонтальные линии условно соответствуют фронтам волн. Красная волнистая линия соответствует направлению движения фронта волны в соответствии с законом Гюйгенса со скоростью ci. Синие волнистые линии моделируют направление движения волн c'i в соответствии с (1.11) . Через отверстие BC часть волн проходит из верхней полуплоскости в нижнюю. В результате визуально  создается эффект "косого" движения "луча" после отверстия. 

На Рис. 2 также можно увидеть еще один эффект движения перпендикулярного к направлению движения ИСО волны. Он заключается в том, что в ИСО получается видимость нарушения закона Гюйгенса при распространении луча волны – она как бы движется не перпендикулярно к фронту луча. Разрешение этого противоречия в том, что закон Гюйгенса в галилеевом пространстве работает только в с.о. АИСО: скорость фронта волны соответствует ковариантной скорости волны c'i. В ИСО кусок фронта волны распространяется так, как будто он находится в АИСО. Т.е. он не наследует скорость источника в ИСО, как ее наследуют галилеевы объекты – например, брошенные кем–то в ИСО перпендикулярно к направлению движения камни. Т.е. скорость куска фронта волны соответствует контравариантной скорости волны c'i.

6.   Уравнение волны в с.о. движущегося в ГП источника волны и ее параметры

Рис. 3

Плоская одномерная бесконечная гармоническая волна от движущегося источника Aи. Для каждого момента условно показаны графики значения функции волны по оси x.

При равномерном движении источника  в галилеевом пространстве изменяются скорость и плотность волны  и уравнение волны (1.4)  в с.к. источника должно быть записано в следующем виде (см. Рис. 3):

(1.12)

В этом уравнении констатируются следующие факты (по сравнению с этими же параметрами в АИСО):

1)   частота источника осталась без изменений: w' = wи = w,

2)   но соответствующая ей пространственная частота (плотность волн на единицу пространственной длины) c'i

3)   и соответствующая ей ковариантная скорость волны c'i за счет эффекта Доплера изменились;

4)   фаза волны не изменилась: js' = j s,

но в с.о. АИСО появляется источник дополнительной переменной начальной фазы к js = –wc'ivиit за счет смещения оси времени, влияющий на координатную частоту c0. В силу приведенных соображений в с.к. АИСО уравнение (1.12) в запишется так:

(1.13)

7.   Уравнение волны при движущихся источнике и приемнике относительно АИСО

А в с.к. ИСО наблюдателя, движущегося со скоростью vпi, кроме преобразований координат (1.7) , добавится элемент смещения фазы js = -wc'ivпit во времени:

(1.14)

Для частного случая изотропной волны в АИСО уравнение волны в AИСО будет следующей:

(1.15)

Для частного случая изотропной волны в АИСО уравнение волны в ИСО будет следующей:

(1.16)

Для частного случая волны от движущегося источника уравнение волны в АИСО будет следующей:

(1.17)

Для частного случая волны от движущегося источника волны в ИСО источника уравнение волны будет следующей:

(1.18)

Эти уравнения выражают эффект Доплера для движущихся со скоростью vпi и vиi в АИСО наблюдателя и источника волны.

8.   Движение источника перпендикулярно к направлению распространения волны

При движении ИСО источника перпендикулярно к направлению распространяемой им волны каких либо изменений с волной не происходит, т.к. civпi = 0 и эффекта Доплера не будет наблюдаться.

(1.19)

Из этого уравнения видно, что при движении источника перпендикулярно к направлению распространения волны от параметров источника остается только ее частота.

2.  Сокращения и другие соглашения

(*)

А – абсолютное,

В – время,

Г – галилеево,

И – инерциальное,

К – координаты, квантовая,

М – механика, метрическое

Н – ньютоново, неинерциальная,

О – отсчета, относительности, общая,

П – пространство,

Р – релятивистская,

С – система, специальная,

Т – теория, тензоры,

Ф – физика,

Ч – частная,

 

АПВ – ПВ с абсолютным временем и пространством.

АСО (АИСО) – абсолютная (инерциальная) система отсчета,

ВП – волновое пространство,

ГП – галилеево пространство,

ГВП – галилеево волновое пространство,

ИСО – инерциальная система отсчета – координатная с.о., полученная из исходного ортонормированным линейным преобразованием координат и тензоров (ЛПТК),

ЛПТК – линейные преобразования тензоров и координат,

МГП – метрическое галилеево пространство,

ПВ – пространство–время,

ГПВ – галилеево пространство–время,

ПТК – преобразования тензоров и координат.

СО, с.о. – система отсчета,

СК, с.к. – система координат,

(и)т.д. – (и) так далее,

(и)т.п. – (и) тому прочие,

в т.ч. – в том числе,

т.з. – точка зрения,

с.с. – сплошная среда.

1)    *При использовании более чем одной буквы.

2)    Выделение красным цветом в формуле может обозначать равный нулю элемент формулы или выражения.

3)    По одинаковым верхнему и нижнему индексам производится свертка (суммирование) соответствующих элементов (по правилу Эйнштейну).

4)    По индексу в скобке типа "(k)" или "(k)" свертка не выполняется, но она привязана к соответствующему тензорному или другому индексу "функционально".

5)    Формат ссылок на формулы: (N). При необходимости указания на конкретную строку формулы применяется формат (N):n, где n – номер строки формулы, начиная с 1 (единицы), причем эта нумерация продолжается и на дальнейшие не нумерованные формулы.

3.     Литература

1.        Гармоническая волна, https://ru.wikipedia.org/wiki/Гармоническая_волна (дата обращения: 14.11.2019).

2.        Опыт Майкельсона [Электронный ресурс]: https://ru.wikipedia.org/wiki/Опыт_Майкельсона (дата обращения: 01.07.2019).

3.        Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. – М. : Наука, 1972. – 351 с.

4.        Детлаф, А. А. Курс общей физики / А. А. Детлаф,  Б. М. Яворский. – М. Высшая школа, 2017. – 245 с.

5.        Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М. : Высш. шк., 2001. – 575 с. 74.

6.        Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: В 10 т. : т. 2. – М.: Физматлит, 2002. – 224 с.

7.        Тимин В. А. Эксперимент Майкельсона–Морли. URL:  http://vixra.org/abs/1908.0574.

8.        Тимин В. А. Уравнения распространения волн в различных пространствах. URLhttp://vixra.org/abs/1908.0091.

9.        Тимин В. А. Преобразования галилеевых тензоров. //Galilean Transformations of  Tenzors, URLhttp://vixra.org/abs/1907.0546.

10.    Тимин В. А. Уравнение волны в пространстве АСО //The Equation of a Wave in Space of the Absolute Frame of Reference. URL: viXra:1912.0007.

Мои работы

11.    Тимин В. А. URL: http://vixra.org/author/valery_timin

 

 

 

 

Ссылка на этот материал: Уравнение-волны-в-галилеевом-пространстве.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 40 делить на "двадцать" равно:

---Load files---
Сегодня - 28_09_2020
Время переоткрытия сайта 11 ч 01 м по Гр.
Календарь
на СЕНТЯБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 1 2 3 4
(9 230)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:7 V:12 N:46
Уникальных посетителей за текущие сутки: 7 Просмотров: 12 Этой страницы (всего): 46