-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: April 06 2020. -------
Ссылка на этот материал: Уравнение-волны-в-пространстве-АИСО.htm)
 Уравнение волны в пространстве АИСО

1.  Уравнение волны в пространстве АСО

Данная работа посвящена уравнениям распространения гармонических волн в одном из ИСО пространства–времени, которое можно принять как АСО для волн. Выведены уравнения распространения волн в случае бесконечных, неограниченных размерами пространств, циклических (одно  направление) и смешанных пространств.

Практической физической моделью для применения (использования) уравнений является неподвижная сплошная (воздушная, жидкая, трердая) среда, в которой распространяется волна, а то, где находится эта "сплошная" среда, можно принять как пустое абсолютное галилеево пространство. Само по себе эта среда не является абсолютной инерциальной системой отсчета, но для распространяющихся волн как самостоятельных сущностей при вложении в галилеево пространство это настоящее галилеево АИСО. Волна в среде в галилеевом пространстве может распространяться только с одной определенной скоростью – скоростью звука. После того, как определены волны как сущности, их можно рассматривать отдельно от ее основы, забыть о существовании материальной основы для ее существования, оставив только существенные моменты этого факта. В этом случае волна как самостоятельный объект само определяет АИСО. Галилеево пространство с вложенной в нее АИСО допускает определение параметров АИСО с использованием волновых эталонов.

1.   Волновая метрика

В ГП возможны 4 (четыре) вида метрики, описывающие ее геометрические свойства в различных случаях. Это

1)      1–мерный промежуток времени dt = dt,

2)      3–мерное расстояние dl2 = dr2 и

3)      4–мерная линейная метрика – волновая разность фаз dj (инвариант распространения гармонического монохромного волнового процесса в с.с.) и линейный инвариант dsj:

dj = w0dt + widri =w(c0dt - cidri),

(1.1)

где w – круговая частота волны. Далее в основном будет применяться обычная частота в единицу времени;

ci – ковариантная скорость волны: cici = 1,

wi – ковариантная координатная скорость волны.

4)      4–мерный билинейный инвариант (волновое расстояние) dj2 и интервал ds2 в системе 4–х ортогональных волновых полей

(1.2)

где c – скалярная скорость распространения фронта волны в этом пространственном направлении,

dt – разность времен между двумя точками,

dr – пространственное расстояние между ними,

n – номер волнового поля.

Несмотря на различные формы записи, все четыре формы "генетически" тесно связаны между собой.

2.   Уравнение волны и ее параметры. Волновое расстояние

Расстояние между любыми двумя точками ГП можно измерить, приложив галилеевы линейки между этими двумя точками в одно и то же галилеево время, а время – с помощью галилеевых часов (устройство этих эталонов не является задачей этой работы). Основное свойство галилеевых эталонов – независимость их параметров от скорости с.о., в которой они используются: независимо от состояния взаимного движения результат измерения будет одним и тем же. Основное свойство ГП – инвариантность "плоскости" одновременности, что выражается в неизменности координаты "время" при галилеевых преобразованиях координат.

А если их нет, но есть волны?

Волна формально является периодической функцией своего параметра.

где A(q) – значение волнового поля в точке с координатами qi,

j(q)  – значение фазы волнового поля в этой же точке.

Процесс существования волн в ПВ сам по себе обладает инвариантными параметрами. Ими являются фаза j волны в произвольной точке ПВ и разность фаз Dj (количество волн n) между любыми двумя точками ПВ. Разность фаз Dj непосредственно связана с количеством волн n:

Dj = 2pwDt = 2pDn,

(1.3)

Функционально волна в одномерном однородном ПВ t "распространяется" в соответствии с гармоническим уравнением

A = sinj = sin2pn = sin(2pwt + js),

j = 2pwt + js.

(1.4)

Здесь js – начальная фаза волны в начале с.о., а w – частота (не круговая!) волнового процесса. Физически параметр фазы волны n тесно связан с временем t и частотой w: это количество волн, разделяющих два значения времени – начала и конца отсчета времени. А параметр j тесно связан с определенным выше интервалом st (1.1) для одной координаты t:

cdj =2pwdst = 2pwdt.

(1.5)

Параметр j выступает в роли универсального параметра состояния. Смысл ее – закономерное упорядочение на множестве состояний "фаза" пространства. Физический смысл ее – последовательное прохождение множества состояний, связываемое с собственным временем, которое связывается с фазой: каждый изменение фазы на 2p есть один цикл собственного времени волнового поля.

В многомерном пространстве процесс распространения волн дополнительно связан с наличием дополнительных измерений и определенным пространственным направлением распространения фронта волны и соответствующими параметрами. При наличии пространственных координат произвольная свободная не изотропная волна в неограниченном бесконечном ГП распространяется и вдоль пространственных направлений в соответствии с гармоническим уравнением

(1.6)

в котором w0 – частота волнового процесса, или ковариантная скорость распространения волнового процесса во временном направлении,

wi – пространственная частота или направляющий ковариантный вектор волнового процесса,

ci – пространственная ковариантная скорость распространения волнового процесса.

Уравнение (1.6) в предполагает наличие трех особенностей в отношении значений параметров скорости в ПВ: 1) c ® ∞, 2) c = 0 и 3) c ¹ 0 Ù c = const < ∞.

1) Условие c ® ∞ определяет абсолютность координаты времени и выделяет временную составляющую направления поля, а именно – составляющая w0, которая может существовать независимо от пространственных составляющих ci. Это соответствует уравнению (1.5). Физически это означает, что во всех точках пространства фаза волны имеет одно и то же значение. С другой стороны это означает бесконечную скорость синхронизации генератора волны в ПВ в этой, и как следствие – во всех других с.о.

(1.7)

Здесь ci – контравариантная пространственная скорость фронта волны.

2) В уравнениях (1.7) в ГП условие равенства нулю скорости волны c = 0 не входит в область ее допустимых значений. Но уравнение (1.7) можно немножко видоизменить:

(1.8)

Это соответствует базовому волновому уравнению (1.6). Уравнение (1.8) предполагает независимость и абсолютность волновой функции от координаты времени. Но эта независимость теряется при переходе в любое ИСО, т.к. скорость c получает добавку vi скорости ИСО в соответствии с уравнениями преобразования координат. Для ГП c'i = ci + vi.

3) соответствует общему случаю волнового уравнения. При этом не предполагается ее постоянство, т.е может быть множество волн с одним и тем же направлением, но разными скоростями распространения. Условие c = const выделяет из всех возможных полей только некоторое ее подмножество. А именно – АИСО – абсолютную с.о.:

(1.9)

Условие (1.9):2 позволяет рассматривать АИСО как ИСО в ПВ.

Уравнения (1.6) учитывает одновременно движение и наблюдателя, и источника волны. Даже начальная фаза js может быть линейной функцией от координат (t, ri). Но даже это не изменяет форму уравнения: она остается ковариантной исходному уравнению (1.6).

Уравнения (1.9) также одновременно выражают закон Гюйгенса для распространяющейся волны: однофазная поверхность или фронт волны перпендикулярен к направлению своего распространения ci движения. Это определяется тем, что фаза волны есть проекция координаты ri точки на вектор направления ci. Эта проекция предполагает, что существует перпендикулярная к направлению движения волны однофазная плоскость, называемая фронтом этой самой волны.

Из (1.6) также можно усмотреть, что одна и та же фазовая картина может быть обеспечена при различных значениях параметров (w0, wi) и параметризации (t, ri). Например, любая добавка к параметру (t, ri) вектора (Dt', Dr'i) такого, что w0Dt'wi Dr'i = 0, не изменяет фазовой картины. Это – движение ИСО перпендикулярно направлению волнового вектора wj с произвольной скоростью. И второе – фазовая картина также не изменяется при преобразовании смещения, изменяющего фазу волны на 2pn. Этому условию удовлетворяет галилеево преобразование смещения

(t', r'i) = (t, r + Dri) : wi Dri = 2pn.

Инвариантами формы (1.6) при преобразованиях координат являются (по определению) скаляры – сама функция A(t, r) и – по нашему выбору – амплитуда As, фаза 2p(w0t + wiri) + js а также скалярное произведение w0w0 wiwi. Скалярная фаза

(1.10)

может выполнять роль линейного метрического "материального" "расстояния" = "время жизни", равного количеству периодов эталонной фазы периодической эталонной волновой функции с материальным вектором (w0, wi), существующего параллельно с билинейным метрическим тензором для определения самого скалярного произведения и связанного с преобразованиями координат.

При преобразованиях координат фаза j0 может изменяться, точнее, к ней прибавляется некоторый "калибровочный" член. Этот "калибровочный" член может явно просуммирован с начальной фазой js при преобразованиях смещения и/или неявно включен в состав элементов w0 и wi. Для примера рассмотрим изменение уравнения (1.6) при преобразованиях смещения

(1.11)

Уравнение (1.6) в штрихованной с.к. преобразуется следующим образом:

(1.12)

Из (1.12) видно, что при преобразованиях смещения начальная фаза изменяется на постоянную величину Dj = w0ts + wirsi рад. Возьмем более общие линейные преобразования, но уже без смещения и поворота. С учетом положения индекса, преобразования будут следующими:




(1.13)

(красным обозначены равные нулю элементы при галилеевых преобразованиях). Здесь через тензор vij определяется разница значений преобразованной и исходной координат. Воспользовавшись формулами (1.12) по отношению к преобразованиям (1.13), имеем:  

(1.14)

При галилеевых преобразованиях без поворота формула значительно упрощается:

 (1.15)

Результат ожидаемый, только сложным путем от общих ПТК.

Уравнение (1.6) можно записать и во многих других эквивалентных математических формах, выделяющих какие–либо особенности этого уравнения. Ниже представлены несколько форм уравнения волны.

1). Произвольное абстрактное координатное представление:

(1.6)

(1.16)

w0 и wi ковариантные координатные частот скорость (на единицу длины оси) волны,

js – начальная фаза волны в начале координат,

ci = w i/w0 – ковариантная скорость распространения волны в единицу времени,

ci – скорость (контравариантная) распространения волны в единицу времени,

gij – метрический тензор ПВ. Любое ПВ по умолчанию предполагает наличие метрического тензора для определения операции поднятия–опускания индекса. За исключением ПВ с абсолютным временем (АПВ), каким является ГП.

Уравнение (1.16) явно определяет ковариантные координатные частоту w0 и скорость ci в текущей координатной системе.

2). Ортонормированное представление с синхронизированными часами в произвольной с.о. (приемника):

(1.17)

(1.18)

(t, ri) – ортонормированная система координат,

wэталонная частота источника волны в с.о. источника.

Первая форма(1.17):

wc0 – ковариантная координатная частота волны (на единицу длины координаты время),

wci – ковариантная координатная пространственная частота волны на единицу длины пространственной координаты,

c0 – коэффициент ускорения волнового времени, а также коэффициент укорочения длины волны в ортонормированной с.к.,

Вторая форма(1.18):

ci /c0 – ковариантная скорость распространения волны,

c =  |ci|/c0 – модуль координатной скорости распространения волны в данном направлении (не скаляр! – более того, может быть не симметричной от направления!). В некоторых пространствах – фундаментальная константа,

ci = c2ci – контравариантная скорость распространения волны,

ci = ci/c2 – ковариантная скорость распространения волны,

li = ci/w = c2ci /w – координатная длина волны.

В частности, в ортонормированном АИСО изотропная волна распространяется в соответствии с уравнением

(1.19)

в котором параметр c0 равен единице, w = w0 = wc0, wi = wci, волновой вектор |ki| = 1, c – изотропная скорость волны, модуль которой равен единице, js = const. Вектор ci здесь есть ковариантный вектор от скорости ci распространения волны в определенном направлении.

Сразу замечу: никаких других свойств ни ИСО, ни АИСО, ни тип пространства, и даже то, что это – АИСО или ИСО, из уравнения  (1.6) вывести невозможно. Это просто обобщенная форма уравнения волны в произвольном пространстве. Нельзя даже сказать, это АИСО ГП или другого. Законы преобразования параметров волны зависят от законов преобразования тензоров соответствующего пространства. Даже уравнение Ошибка! Источник ссылки не найден. ничего не говорит о его принадлежности пространству Минковского или Лоренца–Пуанкаре–Эйнштейна и др. Выбор соответствующего нашему разбору типа пространства мы произведем чуть позже.

Расшифровки значений параметров уравнения волны следующие:

t, ri – координаты точки ПВ,

As – амплитуда волнового процесса,

A – текущее значение напряженности волнового процесса,

w – частота (не круговая!) волнового процесса,

ci = ki×c – контравариантная векторная скорость распространения фронта волны,

c =1/|ci| = |ci| – скалярная скорость (координатная) распространения волны в этом пространственном направлении,

ki = ci/c: |ki| = 1– волновой вектор (направление) процесса распространения волны (в дальнейшем использовать ее практически не будем или очень редко в связи с трудновыполнимым условием ее "единичности" при преобразованиях координат и тензоров),

Рис. 1

Плоская одномерная бесконечная гармоническая волна в с.о. источника Aи. Для каждого момента условно показаны графики значения функции волны по оси x.

c0 – ковариантная координатная "скорость" распространения во "временном" направлении, фактически определяет количество эталонных волн частотой w = 1 Гц на единицу координатной оси "время", а в форме wc0 – количество волн частотой w на единицу этой же координатной оси.

ci = –ki/c – ковариантная векторная скорость распространения волны в соответствующем направлении (обратите внимание на знак "–" в формуле – намек на инвариант Ошибка! Источник ссылки не найден. распространения волнового процесса в сплошной среде в ПВ!):

ci = ki/c = –сi/c2 ® ki ­¯ ci.

Параметры ci фактически определяет количество эталонных волн частотой w = 1 Гц на единицу длины в направлении распространения фронта волны, а в форме wci – количество волн частотой w на единицу длины этого же направления.

js – начальная фаза волны в этом же направлении (скаляр). Она может зависеть от координаты, например, линейно:

js = 2pw(v0t + viri),

И тогда обобщенное уравнение волны может быть записано в виде

(1.20)

При этом собственная частота источника w не меняется. Но частота, скорость и длина волны, измеряемые наблюдателем, изменяются по сравнению с этими же параметрами с т.з. самого источника и предыдущей с.о. Из (1.20) можно сделать вывод, что форма уравнения волны осталась ковариантной к (1.6). Следовательно, форма (1.6) является наиболее общей, ковариантной формой уравнения распространения волны.

Параметр j здесь также тесно связан с определенным выше 1–мерным интервалом s как в (5), но уже для всех координат в многомерном пространстве–времени:

(1.21)

3.   Другие формы уравнений движения волны

Волны (1.6) не являются единственными формами ее существования. Они – простейшие  (понятие "простейшие" – само по себе понятие тоже относительное), или элементарные. Кроме этих, простейших, форм с определенными параметрами, возможно существование бесконечного множества других форм, получаемых сложением произвольного числа простейших форм с различными значениями амплитуды, частоты, скорости и начальной фазы. Эта возможность называется свойством линейности множества волновых состояний:

(1.22)

Здесь n – элемент из (дискретного или непрерывного) множества возможных значений  соответствующего параметра. Возможность такого "интегрального",  "суммируемого" или "смешанного" определения для возможных волновых процессов называется "интерференцией" состояний.

В ограниченном пространстве с произвольной топологией в решении (1.22) может присутствовать не любое, а только некоторое ограниченное, перенумерованное через параметр n, множество ортогональных решений {An(t, ri)}. В общем случае решения An(t, ri) не являются чисто гармоническими периодическими функциями с постоянными амплитудами в ПВ, но они обладают свойствами элементарности и, возможно, ортонормированости. Тогда обобщенное решение для всех возможных уравнений движения волн задается линейным уравнением

(1.23)

Интеграл (1.22)  и сумма (1.23) в общем случае могут задавать и не дифференцируемые состояния. Поэтому в некоторых случаях можно принять, что законом изменения общего волнового состояния (1.22)  в ПВ является ее ограниченность и непрерывность до всех своих важных производных.

Наиболее просто такие непрерывные ортогональные решения на основе гармонических уравнений для (1.22) существуют только в однородных изотропных неограниченных линейных (см. выше) пространствах, а дискретные для (1.23)в цилиндрических  и тороидальных пространствах.

4.   Уравнения движения волны в циклических пространствах. Одна циклическая координата

В ПВ по единственному циклическому (цилиндрическому) направлению rц с радиусом Rц и круговой длиной "циклической окружности" lц =2pRц при постоянном t возможны "застывшие" состояния волны только с целыми значения параметра n (индекс  "ц" – индекс принадлежности параметра циклической координате, свертки по ней здесь нет):

(1.24)

где n – гармоника действующей волны по циклической координате,

N – множество целых чисел.

При наличии дополнительной координаты "время" уравнение волны будет следующим (источник волны покоится):

(1.25)

где wn – частота n–ой гармоники.

Здесь появляется дополнительно параметр cц = c – скорость волны в циклическом направлении. Перепишем (1.25) в более привычном виде с использованием ковариантного вектора скорости cц = –cц/c2 волны в циклическом направлении:

(1.26)

Учитывая, что в 2–мерном пространстве (t, rk) должно выполняться равенство

 

имеем результат:

(1.27)

Как видно из (1.25)  и (1.27), частота волны может иметь только определенные дискретные значения. При n = 1 она имеет минимальное значение wц_min = 1/cцlц, все остальные значения кратны ему.

Ограничением применения данного уравнения является n ≠ 0: n = 0 является отдельным случаем. При этом значении частота может быть любой, но этот случай не интересен в силу своей тривиальности.

5.   Много неограниченных и одна циклическая координата

При наличии неограниченных ничем координатных осей ri и одной ограниченной оси rц уравнение волны будет следующим:

(1.28)

Здесь параметр cц не обязан быть равным c, потому что ее параметры должны удовлетворять условию:

(1.29)

По сравнению со случаем единственной циклической координаты минимальная частота стала больше за счет члена с радикалом. Преобразуем (1.28) в стандартный вид, используя (1.29):

(1.30)

Как видно из (1.30), скорость распространения фронта волны в не циклических направлениях более не ограничивается величиной c: она может иметь любое меньшее значение, за счет перераспределения части скорости распространения ci в циклическом направлении.

Здесь, как и в предыдущем разделе, ограничением применения уравнения является n ≠ 0: n = 0 является отдельным случаем. При n = 0 имеем обычное уравнение волны без цикличности по неограниченным координатам:

(1.31)

Соответственно, при ci = 0 имеем случай предыдущего раздела (1.25) распространения волны исключительно в циклическом направлении.

2.  Сокращения и другие соглашения

(*)

А – абсолютное,

В – время,

Г – галилеево,

И – инерциальное,

К – координаты, квантовая,

М – механика, метрическое, магнитное,

Н – ньютоново, неинерциальная,

О – отсчета, относительности, общая,

П – пространство,

Р – релятивистская,

С – система, специальная,

Т – теория, тензоры,

Ф – физика,

Ч – частная,

Э – электро–, электрическая,

 

АПВ – ПВ с абсолютным временем и пространством.

АСО (АИСО) – абсолютная (инерциальная) система отсчета,

ВП – волновое пространство,

ГП – галилеево пространство,

ИСО – инерциальная система отсчета – координатная с.о., полученная из исходного ортонормированным линейным преобразованием координат и тензоров (ЛПТК),

ЛПТК – линейные преобразования тензоров и координат,

МГП – метрическое галилеево пространство,

ПВ – пространство–время,

ПТК – преобразования тензоров и координат.

СО, с.о. – система отсчета,

СК, с.к. – система координат,

ЭМВ – электромагнитная волна,

(и)т.д. – (и) так далее,

(и)т.п. – (и) тому прочие,

в т.ч. – в том числе,

т.з. – точка зрения.

1)    *При использовании более чем одной буквы.

2)    Выделение красным цветом в формуле может обозначать равный нулю элемент формулы или выражения.

3)    По одинаковым верхнему и нижнему индексам производится свертка (суммирование) соответствующих элементов (по правилу Эйнштейну).

4)    По индексу в скобке типа "(k)" или "(k)" свертка не выполняется, но она привязана к соответствующему тензорному или другому индексу "функционально".

5)    Формат ссылок на формулы: (nn) , где nn – номер формулы При необходимости указания на конкретную строку формулы применяется формат (nn):n, где n – номер строки формулы, начиная с 1 (единицы), причем эта нумерация продолжается и на дальнейшие не нумерованные формулы и их строки.

3.  Литература

1.        Гармоническая волна https://ru.wikipedia.org/wiki/Гармоническая_волна (дата обращения: 14.11.2019)

2.        Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. – М. : Наука, 1972. – 351 с.

3.        Детлаф, А. А. Курс общей физики / А. А. Детлаф,  Б. М. Яворский. – М. Высшая школа, 2017. – 245 с.

4.        Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М. : Высш. шк., 2001. – 575 с.

5.        Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: В 10 т. : т. 2. – М.: Физматлит, 2002. – 224 с.

6.        Тимин В. А. Эксперимент Майкельсона–Морли. URL:  http://vixra.org/abs/1908.0574.

7.        Тимин В. А. Уравнения распространения волн в различных пространствах. URLhttp://vixra.org/abs/1908.0091.

8.        Тимин В. А. Преобразования галилеевых тензоров. //Galilean Transformations of  Tenzors, URLhttp://vixra.org/abs/1907.0546.

6.   Мои работы

9.        Тимин В. А. URL:  http://vixra.org/author/valery_timin

Адрес данной работы:

10.    Тимин В. А. The Equation of a Wave in Space of the Absolute Frame of Reference. //Уравнение волны в пространстве АСО. URL: viXra:1912.0007

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ссылка на этот материал: Уравнение-волны-в-пространстве-АИСО.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 51 возвести в степень "один" равно:

---Load files---
Сегодня - 29_11_2020
Время переоткрытия сайта 13 ч 53 м по Гр.
Календарь
на НОЯБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 1 2 3 4 5 6
(11 030)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:9 V:12 N:48
Уникальных посетителей за текущие сутки: 9 Просмотров: 12 Этой страницы (всего): 48