-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: April 06 2020. -------
Ссылка на этот материал: preobrazovaniya-galileevyh-tenzorov.htm)
 Преобразования тензоров галилеева пространства

Galilean transformations of tenzors

Галилеевы преобразования векторов

Переход от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой, делали задолго до появления теории относительности. Естественным пространством для "переходов от одной системы координат к другой" является галилеево пространство. Именно оно является пространством классической механики. В данной работе сделан упор на 4-мерной интерпретации таких преобразований.

1.   Преобразования контравариантных векторных параметров

В тензорном 4–х мерном виде координаты и время ведут себя как контравариантные векторы и в общем случае (но при отсутствии смещений координат) преобразуются следующим образом:

q'i = gijqj,

(1)

где gij – тензор произвольного линейного преобразования. Галилеевы преобразования представляют только часть преобразований (1):

t' = t,

r'i = wijrj - vi0t,

(2)

где vi0векторный параметр галилеева преобразования, физически соответствующая скорости новой с.о. в старой,

wij – тензор ортонормированного поворота пространственного слоя новой с.о. в старой.

При смешанном матрично-тензорном (далее – матричном) способе представления тензоров вектор будет соответствовать матрице–столбцу, тензор 2–го ранга – квадратной матрице, где строки будут соответствовать 1–му индексу, столбцы – 2–му индексу. Матрица преобразования координат gij (2) будет определяться следующим выражением:

(3)

где vi0 ~ vi – скорость новой системы отсчета относительно старой. Здесь vi0, vi (а также далее еще vi(0)) численно соответствуют друг другу, поэтому в дальнейшем изложении мы в записях подобного вида будем иметь в виду, что при параметре vi (vj) по контексту может иметься еще ковариантный индекс со значением 0.

Таким образом, преобразование (1) координат с помощью тензора (2) можно записать в матричном виде:

=.

(3)

Из этих преобразований видно, что в координатах при наличий только галилеевых преобразований изменяется только ее пространственная часть, а временная часть не изменяется.

2.   Преобразования контравариантных векторных параметров

Векторными параметрами галилеева пространства являются кроме координат (с ограничением, описанным выше) также скорость и ускорение. Рассмотрим галилеевы преобразования скорости и ускорения в дифференциальной и тензорной формах.

Для скорости в дифференциальной форме имеем:

(4)

Отдельно заметим, что v0 = dt/dt º 1.

Уравнение (4) фактически описывает закон сложения (или вычитания?) скоростей. Применив 4–х мерные преобразования в тензорной форме к вектору скорости непосредственно, получим то же самое:

=

(5)

Кроме преобразования равномерного прямолинейного движения новой с.о. возможен также поворот системы координат. При отсутствии галилеевой составляющей преобразования координат и наличии только поворота пространственная часть вектора координаты, скорости и ускорения преобразуются как тензоры, а временная составляющая остается прежней. Например, для скорости:

=.

(6)

При наличии обеих видов преобразований результат будет следующий:

=

(7)

Для вектора ускорения аналогично. Для ускорения в дифференциальной форме имеем:

(8)

Заметим: w0 = d2t/dt2 = dv/dt º 0. Применим 4–х мерные преобразования в тензорной форме к вектору ускорения:

=

(9)

Из вида этих преобразований видно, что координата, скорость и ускорение при 4–х мерных галилеевых преобразованиях координат ведут себя одинаково – как контравариантные тензорные величины (векторы), и нет необходимости делить их на векторы разной природы при преобразованиях координат в четырехмерном виде, но при этом v0 º 1, w0 º 0.

Запишем в общем виде преобразования для произвольного контравариантного вектора галилеева пространства Ai:

=

(10)

В контравариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только пространственная часть вектора, временная часть не изменяется.

=

(11 )

Если временная часть равна 0, то вектор только поворачивается (10):

=.

(12 )

Если временная часть вектора нулевая и нет поворота с.о., то при любой скорости новой с.о. вектор вообще не изменяется:

(13)

3.   Преобразования ковариантных векторных параметров

Для получения этой формулы в качестве примера рассмотрим, как ведет себя градиентное поле A = ∂φ(x,t)/∂q = {∂φ/∂t, ∂φ/∂x} при галилеевых преобразованиях системы координат. Пусть новая система координат движется в направлении оси x со скоростью vx. Тогда:

(14)

т.е. пространственная часть градиентного поля не меняется. Для временной составляющей:

(15)

т.е. временная часть градиентного поля изменяется. В векторной форме формула преобразования градиента скалярной функции будет следующей:

(16)

В тензорно-матричном виде это запишем в виде:

(17)

При наличии еще и поворота с.о.:

(18)

Матрица преобразования gi j (17) и (18) отличается от случая преобразования контравариантных векторов тем, что она подверглась диагональному переворачиванию с изменением знаков элементов g0j: с -vj0 поменялась на + v0j. Это соответствует поднятию ковариантных и опусканию контравариантных индексов соответствующего тензора: при этой операции временные элементы с индексом 0 не изменяют своего знака, а с пространственными индексами изменяют свой знак.

Обобщая формулу преобразования градиента скалярной функции на любые вектора, имеем:

(19)

В ковариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только временная часть вектора, пространственная часть не изменяется. Если пространственная часть равна 0, то вектор не изменяется:

(20)

Элементы gij и gij тензора также численно совпадают между собой. Это связано с тем, что вектора Ai и Ai должны поворачиваться в одну и ту же сторону, с тем, чтобы их скалярное произведение было равно единице.

4.   Некоторые следствия и выводы по галилеевым преобразованиям векторов

Преобразование контравариантного вектора Ai осуществляется по формуле:

(21)

Преобразование ковариантного вектора Bi осуществляется по формуле:

.

(22)

1. Из анализа выражения преобразований векторов видно, что в ковариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только временная часть вектора At, пространственная часть Ar не изменяется. Если пространственная часть равна 0, то вектор не изменяется. В контравариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только пространственная часть вектора, временная часть не изменяется. Если временная часть равна 0, то вектор не изменяется.

2. Из этих выражений также видно, что значения ковариантного и контравариантного векторов классической механики должны отличаться друг от друга своими значениями, потому что преобразуются по разным выражениям с разными знаками приращения при разных частях выражения. В результате таких преобразований даже можно обнулить временную часть ковариантного вектора и пространственную часть контравариантного вектора, но нельзя обнулить весь вектор.

Сопряженные векторы галилеева пространства

3. Рассмотрим скалярные произведения каждой из частей преобразованных векторов A'i и B'j:

A'i = (A0 + v0iAi, Ai),

B'j = (B0, Bi - vi0B0).

Произведение временных частей:

A'0B'0 = (A0 + v0iAi)B0 = A0B0 + v0iAiB0.

(23)

Для пространственной части:

A'iB'i = Ai(Bi - vi0B0) = AiBi - Aivi0B0.

(24)

Найдем сумму этих частей и сравним ее с произведением AB:

A'B' =

= ((A0 + Ajv0j)B0 + Aj(Bj – B0v0j)) =

= (A0B0 + Ajv0jB0 + Aj Bj – Ajv0 jB0) =

= (A0B0 + Aj Bj)=

= A'0B'0 + A'iB'i.

(25)

т.е. для любых двух векторов Ai и Bi их прямое "скалярное" произведение является инвариантом при галилеевых преобразованиях. Это следовало ожидать из тензорных свойств векторов и тензорного характера галилеевых преобразований координат (см. далее). Это верно также при любых значениях метрического тензора классической механики, потому что оно относится непосредственно к любым контравариантным и ковариантным векторам.

Из него невозможно сделать какие либо выводы относительно 4–метрики пространства: формулы (22) не используют какую либо определенную метрику 4-мерного галилеева пространства.

Соответствующие друг другу контравариантный и ковариантный векторы называются сопряженными. Именно через сопряженные векторы определяется скалярное произведение векторов:

A×B = AiBi.

(26)

В галилеевом пространстве такое скалярное произведение двух векторов можно определить в соответствии с формулами (26).

В тензорной алгебре сопряженный вектор может быть получен операцией опускания индексов для контравариантных и операцией поднятия индексов для ковариантных векторов. Операция поднятия-опускания индексов осуществляется с помощью невырожденного, а в ортонормированном метрическом пространстве еще и диагонального метрического тензора gij и gij:

gijAj = Aj – опускание индекса,

gijAj = Aj – поднятие индекса.

(27)

Но в галилеевом пространстве такого общепринятого тензора не имеется. Поэтому операция скалярного произведения возможна только между уже определенными каким либо образом парами контра- и ковариантных векторов. Следовательно, невозможно стандартно определить сопряженный к уже известному вектор. Но все же

Метрики галилеева пространства

В метрическом пространстве возможны четыре "метрики".

1.      Инвариантная не изотропная  абсолютная метрика "промежуток времени":

(28)

2.      Инвариантная изотропная  абсолютная метрика "промежуток времени":

(29)

3.      Инвариантная пространственная метрика "расстояние" на "плоскости" t = const:

(30)

Сопряженные векторы АИСО галилеева пространства

4.      Инвариантная метрика "интервал" в выделенной АИСО:

(31)

(более правильна вторая форма в соответствии с (64), (65)).  

(32)

Галилеевы преобразования тензоров

Переход от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой, делали задолго до появления теории относительности. Естественным пространством для "переходов от одной системы координат к другой" является галилеево пространство. Именно оно является пространством классической механики. В данной работе сделан упор на 4-мерной интерпретации таких преобразований.

5.   Преобразования галилеевых тензоров ранга 2

Рассмотрим галилеевы преобразования тензоров ранга 2 как произведения преобразованных соответствующих типов (ковариантного или контравариантного)  векторов Ai, Ai, Bj или Bj:

(33)

(34)

6.   Преобразования контравариантных тензоров ранга 2

В тензорных обозначениях контравариантный тензор ранга 2 Cij =AiAj при смене системы отсчета преобразуется следующим образом:

C'i j Û (ginAn) (gjmAm) = A'iB'j ® C'i j.

(35)

Проведем это преобразование как произведение двух преобразованных контравариантных векторов:

(36)

Умножим эти два вектора друг на друга:

(37)

Переведем этот результат по аналогии на преобразование контравариантного тензора:

(38)

Из (38) видно, что "временная" часть тензора A00 при ГПТК не изменяется. При ограничении преобразований очень малыми скоростями, преобразование (6) запишется в более упрощенном виде:

(39)

Если нет поворота с.о., то преобразование еще упростится:

(40)

При антисимметричной смешанной части формула еще более упрощается:

(41)

В общем случае насчет галилеева преобразования контравариантного тензора можно сказать, что она не теряет свойство симметричности и/или антисимметричности.

При наличии только вращения пространственных координат (vi0 = 0) пространственно-временные (смешанные) элементы получают одинарное вращение, а пространственная часть тензора получает двойное вращение:

(42)

Следствия.

1). Пространственный тензор (в т.ч. метрический) сохраняет свою структуру:

(43)

2). Временной тензор (в т.ч. метрический) существенно изменяется:

(44)

При ограничении преобразований очень малыми скоростями, преобразование (7.1) запишется в несколько упрощенном виде:

(45)

3). Единичный диагональный ковариантный тензор также не сохраняет свою структуру:

(46)

А это означает, что в движущейся с.о. в галиеевом пространстве евклидова и псевдометрики, определенные в одной из ИСО – эквиваленте АСО – изменяют значения своих элементов. Но это не означает переход в не ортонормированную с.о. из изначально ортонормированной с.о. Это всего лишь преобразование определенного "единичного диагонального" тензора:

(47 )

4). Псевдоединичный диагональный ковариантный тензор также не сохраняет свою структуру, кроме своей симметрии:

(48)

А это означает, что в движущейся с.о. в галиеевом пространстве псевдометрика, определенная в одной из ИСО – эквиваленте АСО – изменяет значения своих элементов. Замечание то же.

Тензор (48) выполняет роль специального контравариантного псевдометрического тензора. На основе этого тензора в ИСО галилеева АИСО возможно получить операцию поднятия (опускания) индекса у вектора.

(49)

(см. также (64) - (67)).

7.   Преобразования ковариантных тензоров ранга 2

В тензорных обозначениях контравариантный тензор ранга 2 Aij при смене системы отсчета преобразуется следующим образом:

C'i j Û (gi nAn) (gi mBm)  = A'iB'j ® C'i j.

(50)

Проведем это преобразование как произведение двух ковариантных векторов:

(51)

Умножим эти два вектора друг на друга:

(52)

Переведем этот результат по аналогии на преобразование ковариантного тензора:

(53)

При ограничении преобразований очень малыми скоростями, преобразование (53) запишется в несколько упрощенном виде:

(54)

Если нет поворота с.о., то преобразование еще упростится:

(55)

Из (55) видно, что пространственная часть Aij тензора при ГПТК без поворота не изменяется, а остальные изменяются.

При наличии только вращения пространственных координат (vi0 = 0) пространственно-временные (смешанные) элементы получают одинарное вращение, а пространственная часть тензора получает двойное вращение:

(56)

При антисимметричной смешанной части формула упрощается:

(57)

В общем случае насчет галилеева преобразования ковариантного тензора можно сказать, что она не теряет свойство симметричности и/или антисимметричности.

Следствия:

1). Метрический временной тензор не изменяется:

(58)

2). Пространственный тензор не сохраняет свою структуру:

(59)

При ограничении преобразований очень малыми скоростями, преобразование (59) запишется в несколько упрощенном виде:

(60)

3). Метрический пространственный тензор также не сохраняет свою структуру:

(61)

Соответственно, при ограничении преобразований очень малыми скоростями, преобразование (61) также запишется в более упрощенном виде:

(62)

4). Единичный диагональный ковариантный тензор также не сохраняет свою структуру:

(63)

А это означает, что в движущейся с.о. в галиеевом пространстве псевдометрика, определенная в одной из ИСО – эквиваленте АСО – изменяет значения своих элементов, что означает переход в не ортонормированную с.о. из изначально ортонормированной с.о.

8.   Псевдометрический тензор в галилеевом пространстве

5). Псевдоединичный диагональный ковариантный тензор также не сохраняет свою структуру, кроме своей симметрии:

(64)

А это означает, что в движущейся с.о. в галиеевом пространстве псевдометрика, определенная в одной из ИСО – эквиваленте АСО – изменяет значения своих элементов, что означает переход в не ортонормированную с.о. из изначально ортонормированной с.о.

6) На основе этого тензора в АИСО галилеева пространства с "релятивистской" метрикой возможно получить операцию опускания индекса у контравариантного вектора:

(65)

Сопряженным к ней тензором является тензор (48), на основе которого возможно получить операцию поднятия индекса у вектора:

(48)

Учитывая, что vi = -vi0, эти уравнения можно записать через скорость штрихованного ИСО:

(66)

 (см. также (48), (49)).

9.   Преобразования смешанных  тензоров Ci j

C'i j Û (gjnAn) (gi mBm)  = A'iB'j ® C'i j.

(67 )

где gjn и gi m – взаимно обратные галилеевы преобразования соответственно для контравариантного и ковариантного векторов.

(68)

Умножим эти два вектора друг на друга:

(69)

Переведем этот результат по аналогии на преобразование смешанного тензора:

(70)

При ограничении преобразований очень малыми скоростями, преобразование (15) запишется в несколько упрощенном виде:

(71)

При наличии только вращения для смешанного тензора формула преобразования значительно упрощается:

(72)

При наличии только галилеевых преобразований смешанного тензора элемент A0j не изменяется:

(73)

Если оба тензора являются тензорами преобразования координат (A00 = 1, A0j = 0),то имеем:

(74)

По сути это закон сложения скоростей. Если тензор является единичным тензором преобразования координат (Aij = Eij),то имеем:

(75)

Следствия:

1). Метрический временной смешанный тензор изменяется:

(76)

2). Пространственный смешанный тензор не сохраняет свою структуру:

(77)

3). Метрический пространственный смешанный тензор не сохраняет свою структуру:

(78)

4). Единичный диагональный смешанный тензор сохраняет свою структуру:

(79)

10.            Преобразования смешанных  тензоров Ci j

C'i j Û (gi mAm ) (gjnBn) = A'iB'j.

(80)

где gjn и gi m – взаимно обратные галилеевы преобразования соответственно для контравариантного и ковариантного векторов.

(81)

Умножим эти два вектора друг на друга:

(82)

Переведем этот результат по аналогии на преобразование смешанного тензора:

(83)

При ограничении преобразований очень малыми скоростями, преобразование (19) запишется в несколько упрощенном виде:

(84)

При наличии только вращения для смешанного тензора формула преобразования значительно упрощается:

(85)

При наличии только галилеевых преобразований смешанного тензора элемент Ai0 не изменяется:

(86)

Если оба тензора являются тензорами преобразования координат (A00 = 1, Ai 0 = 0),то имеем:

(87)

По сути это закон сложения скоростей.

Следствия:

1). Метрический временной смешанный тензор изменяется:

(88)

(89)

2). Пространственный смешанный тензор не сохраняет свою структуру:

(90)

3). Метрический пространственный смешанный тензор не сохраняет свою структуру:

(91)

4). Единичный диагональный смешанный тензор сохраняет свою структуру:

(92)

Литература

1.        Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. – М. : Наука, 1972. – 351 с.

2.        Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М. : Высш. шк., 2001. – 575 с. 74

Адрес данной работы:

3.        Тимин В. А. Преобразования галилеевых тензоров. //Galilean Transformations of  Tenzors, URLhttp://vixra.org/abs/1907.0546

Мои работы

4.        http://vixra.org/author/valery_timin

Ссылка на этот материал: preobrazovaniya-galileevyh-tenzorov.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 20 умножить на 2 равно:

---Load files---
Сегодня - 29_11_2020
Время переоткрытия сайта 13 ч 59 м по Гр.
Календарь
на НОЯБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 1 2 3 4 5 6
(11 030)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:10 V:13 N:48
Уникальных посетителей за текущие сутки: 10 Просмотров: 13 Этой страницы (всего): 48