-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: dvizhyeniye_sploshnoj_sryedy.htm)
Сплошная среда и ее состояния. Поля

1.      Сплошная среда и ее состояния. Поля

Из Википедии:

 

Встает вопрос: что такое материя? сплошная среда? поле? что такое движение и покой? что такое скорость? что такое относительная скорость? с какой относительной скоростью могут двигаться две м.т. или две области пространства (материи) друг относительно друга? что такое волна? диффузия? что такое, в конце концов, скорость света?

Ответить на первый вопрос почти невозможно. Можно сказать, что материя – это физическая реальность, все то, что может изменяться, двигаться, главное - взаимодействовать. Кроме идеализированных м.т. и м.о., материя может существовать в непрерывной форме – это сплошная среда и физические поля. Только во взаимодействии может проявиться материя. В физической реальности мы можем наблюдать три вида материи. Это, во первых, сплошные среды. Обычные сплошные среды – газ, жидкость, твердые тела. Во вторых, физические поля – электромагнитное (по Максвеллу), гравитационное (по Ньютону). Эйнштейн ввел еще один вид материи – гравитационное поле, проявляющее себя как геометрия пространства-времени. Физики, изучающие микромир, оперируют с еще одним специфическим видом материи – квантовыми полями элементарных частиц и  физическим вакуумом, в котором «кипят» все элементарные частицы в виртуальном состоянии и которые имеют очень сложную, возможно, многомерную, структуру. Непосредственному наблюдению доступны только сплошные среды и электромагнитные поля в виде света.

На второй вопрос ответить проще. Сплошная среда – это физический объект, свойства которого в соседних точках мало отличаются. С.с. – это материя, которую можно ощутить, взвесить. Она обладает массой, весом (на Земле). Она может находиться в состоянии движения или покоя. Ее можно увидеть. Хотя и не всегда: воздух практически невидим, но ее можно хотя бы ощутить. Она оказывает сопротивление. Сплошная среда обладает свойством непрерывности и делимости. Почти бесконечной – до неделимого «атома», настолько малого, что о ней практически никто не знал. Кроме Платона. Дискретное строение вещества было обнаружено лишь в конце XIX века, а опыты, доказывающие существование молекул, проведены в 1908 году французским физиком Жаном Батистом Перреном. Физические поля тоже, оказалось, проявляют дискретные свойства.

Ответа на третий вопрос никто не знает. Ответом может быть только соглашение: любую непрерывную в пространстве и времени (и в вакууме тоже) материю описывать с помощью понятия «поле», под которым математики понимают любую непрерывную (хотя бы в статистике, как для вещества), с точностью до первой или второй производной, возможно, многомерную, функцию параметров материи от координат. Поля обладают тем свойством, что через них можно определить любую непрерывную структуру и с определенным приближением – бесконечные дискретные структуры (вещества) со среднестатистическими параметрами, находящимися в состоянии термодинамического равновесия, а их свойства описываются небольшим числом макроскопических параметров.

Понятие "среднестатистическое" связано с определенной процедурой усреднения параметров с.с. Оно, в частности, означает, что законы движения с.с. определены не для любых объемов, а только для тех, в которых находится достаточно большое количество атомов, молекул вещества, но и, с другой стороны, достаточно малый объем этого вещества. На практике законы движения с.с. соблюдаются не для любой формы и не для любого малого объема. На величину объема обычно накладывается ограничение DVmin < DV < DVmax. Для изучения вещества в обычных условиях ограничение снизу обусловлено молекулярной структурой вещества. Минимальный объем должен содержать достаточно большое число молекул, чтобы можно было пренебречь флуктуациями. Максимальный размер элементарного объема не критичен, но выбирается из условий достижения приемлемой точности описания.

С этой точки зрения с.с. является материальным континуумом. Тогда движение с.с. будет определяться уравнениями поля через ее потенциал и напряженность, где значения одних параметров поля влияют на изменение других. Поле напряженности есть функция градиента от потенциала поля.

Через понятие «поле» можно рассмотреть все виды с.с., но понятие «поле» – гораздо шире. Среди этих расширении – свободные и связанные поля взаимодействии и геометрические свойства пространства. Это именно обобщающее понятие.

В свете этого поля обладают материальными свойствами – энергией, импульсом и моментом импульса, которые подчиняются законам сохранения, точно так же, как и движение с.с. – количеством вещества, энергией, импульсом и моментом импульса. Поэтому они сами должны описываться уравнениями движения с.с. Движения полей есть разновидность движения с.с. скорее всего, идеальной или близкой к ней. Но поля в общем виде должны обладать и другими параметрами в некотором фазовом пространстве. Например, ЭМП обладает электрической и магнитной составляющими поля, и плотность и импульс являются лишь ее функциями.

Попробуем ответить на остальные вопросы. Все они касаются описания движения материи, в частности, с.с.

Все параметры с.с. можно описать с помощью обобщающего понятия «поле». С точностью до усреднения параметров с.с. Движение с.с. в модели определяется непрерывным конвективным перемещением каждой точки континуума во времени по некоторой траектории.

1.1.              Конвективное движение

Состояние сплошной среды описывается в 3-мерном (для пленок – 2-мерном, для струн – в одномерном) пространстве с помощью 3–мерного (в релятивистском случае больших скоростей – 4–мерного) скалярного, векторного и других тензорных полей разного ранга в галилеевой, ньютоновой и релятивистской формулировках. Основными 3–мерными параметрами сплошной среды являются следующие энергетические, кинематические и динамические параметры.

Энергетические:

·           плотность вещества ρ,

·           давление (плотность внутренней энергии) p,

·           температура T.

Кинематические:

·           скорость движения с.с. vi,

·           плотность импульса pi,

·           плотность момента импульса pij.

Динамические:

·           плотность силы fi,

·           плотность момента силы pij.

Замечание. При рассмотрении параметров 1) с точки зрения классической 3-мерной механики верхние и нижние индексы не отличаются, 2) с точки зрения 4-мерной СТО они отличаются знаками и при этом кроме параметра t имеется скалярный интервал s, по которой тоже производится дифференцирование, 3) с точки зрения галилеевой механики индексы невозможно ни опускать, ни поднимать.

Это минимальный набор параметров среды. С помощью этих параметров описывается текущее состояние и движение с.с. в пространстве и времени. С помощью этих параметров мы можем определить два понятия – состояния покоя и движения. Состоянию покоя соответствует плотность импульса pi = 0, состоянию движения -  плотность импульса pi ≠ 0. С точки зрения этих определений электромагнитные волны, в общем – любые волны, не могут находиться в состоянии покоя. Состояние покоя для них соответствует отсутствию явления.

Основным свойством полей типа с.с. является положительность квадрата полного 4-мерного импульса элемента с.с. Но это возможно только в с.о. с 4-метрикой. В галилеевой механике имеется только более слабое условие – наличие у с.с. конвективного движения с произвольной, зависящей от с.о., скоростью.

Некоторые параметры с.с. являются аддитивными. Аддитивный параметр – это параметр, линейно складывающийся по составляющим тело объемам. По другому, аддитивный параметр является интегрируемым параметром. Это – сам объем, масса, заряд, энергия, импульс, сила, момент силы, момент импульса. Например, масса M объема V с.с. определяется интегралом

.

Момент силы и импульса тоже являются аддитивными параметрами, если они определены относительно одной и той же точки.

Механика с.с. основывается на тех же законах, что и механика м.т.  – три закона механики Ньютона. Также, как и для м.т., действуют законы сохранения массы, энергии, импульса, момента импульса. Но, в отличие от механики м.т., в законе сохранения энергии учитывается помимо потенциальной и кинетической еще и внутренняя энергия (например, тепловая, гравитационная, электромагнитная), а в законе изменения импульса кроме обычных объемных сил – гравитационных, электромагнитных и инерционных – на вещество действуют дополнительно и поверхностные силы, например, давление, сила Гука, силы трения. Законы сохранения могут быть описаны с помощью дифференциальных, интегральных уравнений в векторной и дифференциальной формах.

1.2.              Волновое движение

Кроме конвективного, движение с.с. может быть описано волновыми движениями. Волновое движение может быть как самостоятельным, так и зависимым от конвективного типом движения. Волновое движение объединяет подходы Эйлера и Лагранжа к описанию движения с.с. 

1.3.              Диффузионное движение

Диффузионное движение является независимым от конвективного движением с.с., хотя и происходит на фоне конвективного. Диффузионное движение проявляется в конвективном через вязкость вещества и тепловое движение.

Сущность теплового движения заключается в том, что каждый индивидуальный элемент с.с. беспорядочно двигается примерно около своей точки равновесия. Средняя скорость этого движения зависит от температуры с.с. Имеется вполне определенный равновесный спектр средней температурной скорости таких элементов. Именно это движение является причиной диффузионного движения с.с. Именно им определяются термодинамические законы физики. Именно это движение является одной из причин однонаправленности течения времени.

1.4.              Агрегатные состояния материи

С.с. может находиться в различных агрегатных состояниях. Различают следующие агрегатные состояния (или виды) сплошных сред: газ, плазма, жидкость, аморфное тело, твердое тело. Отдельным видом с.с. можно считать сыпучие среды. Из них основными являются три агрегатных состояния - газ, жидкость и твердое тело. Но они дают лишь очень слабое представление о всём многообразии реализующихся в природе структур вещества. Одно и то же вещество в твердом состоянии в зависимости от давления и температуры может существовать в совершенно разных агрегатных состояниях и термодинамических фазах. Например, у самой обычной воды известно уже 12 разных кристаллических фаз (то есть 12 типов льда) и подозревается наличие как минимум двух разных жидких фаз.

При изменении температуры или давления вещества может произойти изменение агрегатного состояния и фазовый переход из одного состояния в другое. Он сопровождается перестройкой кристаллической решетки, изменениями термодинамических параметров, а иногда при этом меняется даже внешний вид и цвет вещества (как это имеет место, например, в твердом кислороде).

2.      Что такое скорость?

2.1.              Скорость м.т. и с.с.

С тензорной точки зрения скорость м.т. является вектором относительного движения м.т. относительно текущей локальной параметризации с.к. пространства. В принципе она может быть произвольной (для классических механик. Для релятивистской механики это не так – скорость в ней ограничена и не может быть произвольной). А относительная скорость двух м.т. предполагает, что вычитаются скорости двух м.т. в разных точках пространства. Такая операция законна, только если пространство является евклидовым без кривизны. Тогда эти две скорости можно вычесть, переместив параллельно самому себе в другую точку. В общем случае это невозможно или неоднозначно. Следовательно, операции сравнения скорости и определения относительной скорости объектов в разных точках пространства не законны, и так называемая относительная скорость м.о. может быть произвольной и ничем не ограничена. Такая операция законна только в одной и той же точке пространства-времени.

Точно также определяется скорость движения с.с. относительно текущих координат как скорость локализованной точки с.с. Такое движение с.с. называется конвективным. И точно также скорость конвективного движения может быть произвольной (для классических механик).

2.2.              Скорость света

Но что такое тогда скорость света? Это не скорость м.о., ведь она может быть произвольной. Скорость света – это и не скорость конвективного движения. Это даже не скаляр и не константа. Точнее ответ может быть следующий: это скорость распространения (волны) возмущений полевых параметров среды (пространства)  в пространстве–времени, или коэффициент в волновом уравнении:

j,00c-2j,ii = 0.

Это может быть 1) свернутый метрический коэффициент ранга 2 при скалярном произведении векторов или 2) коэффициент метрического соответствия ранга 1 между пространственной и временной составляющей векторов. В силу этих свойств он обладает некоторыми инвариантными свойствами тензорного характера и может быть принят в качестве элемента эталона. Эти же свойства скорости света позволили Эйнштейну открыть СТО и ОТО. И это уже пахнет релятивизмом. При соответствующем подходе.

К непосредственному механическому (конвективному) движению элементарного объема с.с. он не имеет никакого отношения. Но он может иметь (и имеет) отношение к механической средней скорости колебаний составляющих элементов (объемов) с.с. около среднего положения и, следовательно, диффузионным параметрам с.с.

3.      Параметры сплошной среды

Если рассматривать взаимодействие большого количества м.т., находящихся на малом расстоянии друг от друга, то взаимодействие непосредственно путем соударений между соседними м.т. в статистике переходит в движение элементарных объемов с.с. под действием полей, задаваемых усредненными параметрами этой среды (поле давления в газе, объединенное потенциальное поле атомов кристаллической решетки в жидком или твердом теле). Законы такого взаимодействия изучаются физикой сплошных сред.

Для описания движения с.с. можно использовать две формы представления вектора – задание его с помощью проекций в выбранной декартовой системе, например xi, vi, где индекс i пробегает значения от 1 до 3, либо как абстрактный геометрический объект, отмечая векторы стрелкой  и т. д. Для краткости представление векторов в первом виде называется тензорным, а второе - векторным. В дальнейшем при описании движения с.с. не будем различать верхние и нижние индексы, потому что в ортонормированном евклидовом пространстве они не будут отличаться своими значениями.

Во многих случаях использование векторных обозначений вместо тензорных (там где это возможно) оказывается предпочтительным, поскольку вид уравнений, записанных в векторной форме, не связан с конкретным выбором координат. В частности, векторная форма может быть использована для записи уравнений в произвольных ортогональных координатах, например, цилиндрических или сферических.

Состояние сплошной среды описывается с помощью 3–мерного (в релятивистском случае больших скоростей – 4–мерного) скалярного, векторного и других тензорных полей разного ранга. Основными 3–мерными параметрами сплошной среды являются следующие энергетические, кинематические и динамические параметры:

·      плотность вещества ρ,

·      плотность кинетической энергии движения EK,

·      давление p ~ p0,

·      плотность тепловой энергии ET,

·      плотность потенциальной энергии ET,

·      плотность других связанных энергии Ee, …,

·      плотность полной энергии E,

·      скорость движения vi,

·      плотность импульса pi,

·      расходимость энергии в пространстве p0i,

·      расходимость импульса во времени pi0 и

·      циркуляция импульса pij,

·      сила fi или fi,

·      мощность fi0 и сила f0i,

·      циркуляция силы fij,

а также

·      напряжения σij,

·      деформация εij и

·      поворот ωij элемента объема с.с.,

·      тензоры упругости cijkl,

·      коэффициент диффузии dij и  

·      вязкость (внутреннее вязкое трение) υij,

·      температура T,

·      поток тепла Ti,

·      и т.д.

Каков физический смысл этих параметров?

Плотность с.с. ρ определяет количество материи в единице ее объема. Определяется в единицах массы – грамм [г], килограмм [кг] и т.д.

Понятие «скорость» vi интуитивно понятна и определяет направление и величину перемещения «покоящегося» элементарного объема с.с. за единицу времени в текущей с.к. Соответствует скорости перемещения м.т. в пространстве-времени. Измеряется в метрах в секунду – [м/с].

Поле скоростей сплошной среды описывает произвольные ее движения, включая и деформации. Зная тензор деформации переместившегося участка с.с., можно найти все параметры ее в любой момент времени.

Импульс pi определяется по формуле

pi = ρvi.

Давление p характеризует меру внутренней энергии с.с. и определяется внутренним движением атомов вещества. Для газа давление пропорционально ее плотности и температуре. Для жидкости оно пропорционально изменению ее объема от равновесного. Измеряется в Паскалях: 1 Па = 98100 [Н\м2].

Для однородного изотропного твердого вещества при равномерном изотропном сжатии давление тоже пропорционально изменению ее объема от равновесного. Но здесь имеются и существенные отклонения. Для твердого тела понятию «давление» соответствует параметр напряжения σij:

σij = εkl cijkl.

Сила fi определяет динамическую составляющую движения с.с., а именно ускорение элементарного объема во времени:  

Измеряется в Ньютонах: 1 Н = 9,81 [кг·м/с2].

Сила fi включает в себя как внешние, так и внутренние силы, присутствующие в с.с. Внутренние силы появляются за счет градиента давления в газах и жидкостях и внутреннего напряжения в твердом теле, вязкости. Внутренние силы могут появиться и при проявлении электрических, магнитных и других электромагнитных явлений в веществе.

Параметры с.с. почти всегда можно представить в 4–мерном виде. В 4–мерном представлении плотность и импульс объединяются в 4-векторный ток плотность–импульс Pi = (ρ, pi), энергия-импульс  Pi = (E, pi) или ток заряда Ji = (ρ, ρvi) сплошной среды, циркуляция силы и импульса переходят в 4–тензор Fij и Pij и т.д. С.с. может обладать и другими параметрами, даже такими, что все выше перечисленные ее параметры состояния будут ее функционалами. Например, в электродинамике, квантовой механике.

4.      Движение сплошной среды

Движение есть изменение параметра материи во времени. Частным случаем движения является неизменность этого параметра во времени. В механике основными объектами движения являются м.т., сплошная среда и поле. Пространство может выступать в роли объекта движения через свои геометрические поля.

Движение м.т. происходит по некоторой линии, параметризованной с помощью скалярного параметра u:

q = q(u).

Движение нескольких м.т. и движение м.о. можно описать через движение в обобщенном пространстве, размерность которой равна количеству независимых параметров, полностью описывающих эту систему. Движение м.т. описывается с помощью 3 пространственных координат во времени. Для твердого тела эта размерность равна 6: 3 – пространственные координаты, 3 – ориентация этого тела, из них 2 размерности – ориентация главной оси твердого тела, и еще 1 размерность – угол поворота т.т. вокруг этой оси. Система из N м.т. описывается с помощью 3N параметров – координат каждой м.т.

Движение сплошной среды определяется через движение каждого составляющего его элемента в пространстве и времени. Но таких элементов в с.с. такое множество, что говорить о практическом применении данного метода невозможно, в пределе – это континуум. Поэтому приходится применять различные другие методы. Эти методы заключаются в следующих принципах:

1) движение с.с. связывается не с реальным элементом с.с., а с некоторым объемом с.с., связанным с определенным объемом пространства, объединяющий множество элементов (атомов) с.с. Элемент с.с. теоретически представляется как бесконечно малый объем с.с. с бесконечно малой массой, или в пределе как бесконечно маленькая точка материального континуума. Этот объем с.с. имеет плотность . Такая точка с противоречивыми свойствами называется условно точкой с.с.

2) соседние точки с.с. движутся синхронно с небольшим различием в параметрах движения, в малых объемах линейно зависящих от разности их координат, т.е. параметры движения дифференцируемы. Параметрами движения являются скорость vi(r, t) и импульс pi(r, t)  точки с.с.;

3) силы, действующие в с.с., действуют на эти точки с.с. или на бесконечно маленькие элементарные объемы, ими представляемые. Существуют массовые и поверхностные силы. Массовые силы пропорциональны плотности с.с.:

Fm = ʃrdV.

Поверхностные силы действуют на поверхности ds и имеют поверхностную плотность fn, зависящую от направления внешней нормали n к этой поверхности:

Fs = ʃfnds.

4) При движении с.с. соблюдаются законы сохранения массы (заряда), импульса, энергии, момента импульса для любого произвольного объема с учетом движения материи (стока и истока) через ее границу. Для произвольного движущегося объема V, т.е. для объема, состоящего из одних и тех же точек с.с., справедливы следующие законы:

·         сохранение массы:

·         сохранение импульса:

·         сохранение энергии:

·         сохранение момента импульса:

С атомарным составом с.с. тесно связываются термодинамические законы.

5) если с.с. имеет атомарный состав с конечной массой и ее элементы находятся в состоянии взаимного движения и взаимодействуют в элементе объема с.с., то существует в среднем хаотическое движение атомов с.с. С хаотическим движением атомов с.с. связывается такой термодинамический параметр, как абсолютная температура T(r, t) с.с. и энтропия S как меры беспорядка:

S = ʃρs(r, t)dV.

6) также в этом случае в объеме с.с. существует диффузионное (броуновское или тепловое) движение, которое определяется температурой, и, соответственно, внутреннее давление и трение. За счет температуры с.с. обладает внутренней энергией Q, которая участвует в общей энергии с.с.:

E = Q + K + U,

dE = dQ + dA + dU,

dQ = TdS,

и которая может распространяться в соседние области с.с. без видимого механического движения. За счет диффузионного движения происходит перенос тепловой энергии и градиентный фракционный перенос материи:

Qs = ʃqnds.

В противном случае такая с.с. есть идеальная с.с. без внутреннего сопротивления и статического давления (объект галилеевой механики?).

Замечание. Если некоторое движение можно определить с помощью вектора (векторного поля) Ai, то в релятивистской механике возможны три существенно различных вида движения:

1) норма векторного поля нулевая: A2 = (A0)2 – (ai)2 = 0. Этот случай соответствует волновому движению материи, не имеющей массы покоя. Такую материю назовем полевым. Волновое движение не может существовать в состоянии покоя: если A0 = 0 то и ai = 0, а это соответствует отсутствию материи и движения, и наоборот. Такая материя не может существовать без движения;

2) норма векторного поля положительная: A2 ≥ 0. Этот случай соответствуют конвективному движению материального объекта типа м.т., с.м.о. или сплошной среды, имеющей массу покоя. Ее положительная норма соответствует досветовой скорости движения. В отношении к с.с такое движение с положительной нормой называется конвективным. Движение (поле) этого типа соответствующим преобразованием координат локально можно остановить, при этом a'i = 0, но (A'0)2 > 0;

3) норма векторного поля отрицательная: A2 ≤ 0. Отрицательная норма соответствует сверхсветовой скорости движения. Поле с отрицательной нормой соответствует тахионному полю. Остановить такое движение невозможно.

Имеется два метода описания движения с.с. Это метод Эйлера и метод Лагранжа. Метод Эйлера описывает изменение параметров с.с. в каждой точке исходного пространства во времени. При этом невозможно будет определить, куда переместилась определенная индивидуализированная точка с.с. через некоторое время. Например, поле параметров плотности ρ области с.с. Ω определяется как функция ρ(r, t): r ÎÍ R3. Другими словами, харак­теристики сплошной среды рассматриваются в фиксированных точках пространства.

При использовании метода Лагранжа определяется именно место, куда переместилась определенная индивидуализированная точка с.с. через некоторое время: ci = ci(r, t): r ÎÍ R3. При этом параметр r определяется как координата частицы среды в исходной (соответствующей нулевому моменту времени) области с.с. Ω: r ÎÍ R3.

Методы Эйлера и Лагранжа  - это два взаимообратных метода. Координаты (c, t) принято называть лагранжевыми, a (r, t) — эйлеровыми.

Вычислим производную поля F по времени в частице. Для этого продиф­ференцируем по t:

Дифференциальный оператор, определяемый выше, называется полной производной по времени параметра с.с. F или производной вдоль траектории.

Применение описания Лагранжа представляет определенные удобства, поскольку непосредственно связано с возможностью использования моделей материальной точки и твердого тела. Однако, на практике такой подход используется только для изучения движения в течение небольших интервалов времени. Если сплошная среда движется в ограниченном объеме в течение достаточно большого времени, то траектории частиц сильно перепутываются. Частицы, первоначально находившиеся в соседних точках пространства, оказываются разделенными. Элементарные объемы, занимаемые соседними частицами, при таком движении сильно деформируются и могут иметь значительное протяжение при малом объеме. Это приводит к тому, что малость первоначального объема не гарантирует близости физических свойств вещества в нем спустя некоторое время, что в свою очередь исключает применения аппарата дифференциального исчисления к такой среде.

Более удобным является подход Эйлера. В этом подходе рассматриваются мысленно выделенные координатные объемы переменного состава, положение которых задается координатами «точки наблюдения» – любой точки, принадлежащей выделенному объему. Предполагается, что можно выбрать объем настолько малым, что физические величины среды внутри такого объема не зависят от выбора «точки наблюдения». Таким образом, в каждой точке пространства в каждый момент времени можно определить величины, задающие состояние сплошной среды – физические поля.

Одной из наиболее удобных характеристик векторного поля является линия поля. Линией векторного поля  называется непрерывная линия, касательная к которой в любой ее точке совпадает с вектором поля в этой точке. С точки зрения Эйлера движение в с.с. определяет линии тока. Линия тока – это линия, вдоль которой движутся материальные точки с.с. в фиксированный момент времени, касательная к которым в каждой точке параллельна вектору скорости. Точка зрения Лагранжа определяет линию движения. Линия движения – это траектория движения конкретной точки с.с. во времени, касательная к которой в каждой точке параллельна вектору скорости для этой точки.

Пусть линия поля задана в параметрическом виде уравнением , где  - параметр, например, длина дуги. Касательный вектор пропорционален вектору поля, т.е.

Это условие можно записать и так:

Для поля скорости уравнение линии, называемой линией тока, имеет вид:

Если линии тока проходят через замкнутый контур L, то образуемая ими трубка называется трубкой тока. Поскольку вектор скорости на границе трубки тока касателен к ней, то в случае стационарного течения все частицы жидкости будут оставаться внутри этой трубки. Трубка тока называется элементарной, если вектор поля  в любой точке поверхности S, натянутой на конур L, одинаков.

Потоком вектора поля  через элементарную поверхность  называется величина. Для поля скорости  потоком вектора скорости является . Если рассматривать движение жидкости в течение элементарного интервала времени , то частицы сплошной среды, находящиеся в момент времени на контуре L, за это время перемещаются на.  Тогда величина  - это объем жидкости, прошедшей через контрольную поверхность.

Для несжимаемой жидкости  и поток через любую замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, равен нулю:

.

Подобно линиям тока можно ввести линии вихря . Уравнение линий вихря

Поскольку , поток вихря через любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Если в качестве замкнутой поверхности рассматривать объем трубки вектора вихря, ограниченный двумя сечениями  и , то поток вектора не зависит от выбора контрольного сечения:

.

Используя теорему Стокса, можно преобразовать поверхностный интеграл к криволинейному:

.

Постоянство потока вихря вдоль трубки вихря тогда можно рассматривать, как сохранение циркуляции вектора вихря Г по любому контуру, охватывающему эту трубку.

Представление о потоке массы или скорости можно расширить и на другие физические величины скалярной, векторной или тензорной природы. Особенно наглядно представление о потоке для экстенсивных (пропорциональных числу частиц) физических величин. Отметим некоторые величины и их потоки.

Скалярные: поток числа частиц, поток массы, поток электрического заряда, поток кинетической и внутренней энергии, поток энтропии.

Векторные: поток скорости, поток вихря, поток напряженности поля, поток импульса, поток кинетического момента.

5.      Тензор деформации. Кинематика

Поле скоростей сплошной среды описывает произвольные ее движения, включая и деформации. Рассмотрим условия, которым удовлетворяет поле скоростей, описывающих деформации сплошной среды. Описание движения частиц будем вести в переменных Эйлера.

Для определения деформаций рассмотрим скорость частиц в двух близких точках - xi, и xi + dxi. Полагая поле скоростей дифференцируемым, в линейном приближении по dxi получим

Очевидно, что в том случае, когда скорости всех точек среды одинаковы, т.е. , деформации среды отсутствуют. Однако и в случае  существуют движения, не приводящие к деформациям. Напомним, что движение тела называется деформацией, если изменяются расстояния между его точками. Это происходит только в том случае, когда проекции скоростей любой пары точек на прямую, их соединяющую, не равны. В рассматриваемом случае этой прямой является вектор dxj, а проекция вектора скорости пропорциональна скалярному произведению vi(xj, t)dxi. Применяя этот критерий к частицам сплошной среды, получим условие на поле скоростей, при которых деформации отсутствуют для любых dxi ≠ 0:

.

Полученное соотношение приводит к дифференциальному условию для поля скоростей, описывающего движение без деформаций:

для любых dxi ≠ 0.

Свертка тензора  и симметричного тензора  (), не равного нулю, обращается в нуль только в том случае, когда тензор  является антисимметричным, т.е. . Представляя тензор  в виде суммы антисимметричного тензора  и симметричного тензора

,

где, а

получим следующий критерий для определения деформации сплошной среды. Движение сплошной среды является деформацией, если симметричный тензор

не равен тождественно нулю. Этот тензор называется тензором скоростей деформаций и определяет скорость изменения расстояния между соседними точками сплошной среды.

Если выбрать ориентацию осей системы координат так, чтобы в рассматриваемой точке тензор скоростей деформаций стал диагональным

,

то за время  расстояние между точками, находящимися на осях, изменится:

,

,

.

Это приведет к изменению рассматриваемого элементарного объема :

Скорость изменения относительного объема определяется суммой диагональных компонент тензора скоростей деформаций:

или в векторной форме

Таким образом, скорость изменения элементарного объема пропорциональна дивергенции вектора скорости в рассматриваемой точке.

Запишем соотношения между скоростями частиц среды в соседних точках пространства, используя векторные обозначения. Для этого сопоставим антисимметричному тензору  псевдовектор вихря , записав свертку этого тензора с единичным антисимметричным тензором Леви-Чивита

Такое сопоставление взаимно-однозначно:

.

Последнее соотношение легко доказывается, если учесть тождество :

Введение псевдовектора вихря позволяет записать вектор скорости среды в точке  

в виде:

где .

В векторных обозначениях полученное равенство имеет вид:

где .

Это соотношение называется формулой Коши-Гельмгольца.

6.      Силы в сплошной среде. Динамика

Для построения динамической теории необходимо ввести физические величины, описывающие действие на выделенный элементарный объем других тел. В механике материальной точки для этого использовался вектор силы. Рассмотрим силовое описание воздействия и в механике сплошной среды. Напомним, что в механике точки мы разделяли силы на два основных типа – силы дальнодействующие, для которых можно указать зависимость от расстояния между телами, и силы близкодействующие (или контактные), возникающие при взаимодействии м.т. с полем в точке нахождения (или соприкосновении точки и другого тела). Контактные силы выделялись в особый класс сил, называемых силами реакции.

Аналогичное разделение можно провести и в механике сплошной среды. Рассмотрим вначале электромагнитные и гравитационные силы. Пусть элементарный объем DV заполнен сплошной средой плотности , так что его масса . Сила тяжести, действующая на этот объем:

,

оказывается пропорциональной величине объема независимо от его размеров и формы: . Векторный коэффициент пропорциональности называется (объемной) плотностью силы:

.

В рассматриваемом случае объемная плотность силы имеет вид: . Плотность силы задается в каждой точке пространства в каждый момент времени и определяет физическое поле плотности силы: . Для них можно ввести поле плотности силы, если сила, действующая на элементарный объем  пропорциональна величине этого объема и не зависит от его формы и размеров. Такие силы называются объемными. К силам такого типа как раз и относятся электромагнитные силы, действующие на заряженную сплошную среду, если распределение заряда пропорционально величине элементарного объема, и гравитационные силы.

Иногда удобнее вместо объемной плотности силы пользоваться напряженностью  силового поля:

.

Кроме объемных сил, в объеме с.с. существуют поверхностные силы, величина которых пропорциональна площади соприкосновения рассматриваемого элементарного объема с другими телами: . Величину и ориентацию элементарной поверхности соприкосновения зададим вектором . Направление векторов  и  не обязательно совпадает и может зависеть от ориентации площадки, поэтому коэффициенты пропорциональности образуют тензор второго ранга. Поэтому соотношение между элементарной силой и элементарной площадкой удобнее записать в тензорных обозначениях. Пусть  - проекции элементарного вектора силы, а  - проекции вектора элементарной площадки. Тогда условие пропорциональности имеет вид:

,

где тензор второго ранга  определяет поле, характеризующее контактное воздействие на данную элементарную поверхность других частей сплошной среды. Положение элементарной площадки в выбранной систем отсчета определяется ее координатами  в данный момент времени  и ориентацией, задаваемой вектором . Этот тензор называется тензором локальных напряжений.

Диагональные компоненты тензора определяют нормальные (перпендикулярные) составляющие вектора силы, действующего на площадку, а недиагональные – касательные составляющие этой силы.

В общем случае тензор второго ранга задается девятью компонентами, однако во многих средах в силу закона сохранения кинетического момента этот тензор оказывается симметричным:

,

что снижает число независимых компонент тензора до 6. Соответствующим выбором ориентации осей координатной системы можно привести симметричный тензор к диагональному виду.

В простых моделях сплошной среды ее воздействие на элементарную площадку можно считать не зависящим от ориентации. Такая среда называется изотропной. Если касательные составляющие сил, действующих на площадку пренебрежимо малы, то тензор напряжений в этом случае оказывается диагональным, причем все его компоненты одинаковы. Такая ситуация реализуется в модели взаимодействия жидкости или газа, находящегося в относительном равновесии, описываемом законом Паскаля. Жидкость или газ, подчиняющиеся этому закону, называются идеальными. Тензор напряжений идеальной сплошной среды имеет вид:

.

Знак «минус» в этом выражении выбран так, чтобы элементарная сила, действующая на поверхность, ограничивающую некоторый выделенный объем, была направлена внутрь этого объема при стандартном выборе внешней к поверхности нормали. При этом удобно считать коэффициент пропорциональности  положительной величиной.

В более сложных случаях применяются модели, в которых сила, действующая на элементарную поверхность, имеет касательные составляющие, обычно пропорциональные скорости.

Причин возникновения поверхностных сил может быть множество. Правдоподобной кажется следующая. Если поле или эквивалентная ей материальная субстанция типа сплошной среды обладает некоторыми тензорными параметрами любой природы T, то обязательно должна существовать пропорциональная ее градиенту сила F, ответственная за конвективное движение материи:

или (концентрационный) ток D, ответственный за диффузионное движение материи:

стремящиеся ее компенсировать. Здесь k, d – числовые при изотропном или тензорные kij, dij при неизотропном характере силы коэффициенты пропорциональности. Механизмом действия диффузии является прямой аддитивный перенос этого параметра (массы, импульса, энергии, тепла, …) между соседними областями пространства. Побочным эффектом диффузии может быть появление реальной физической силы за счет переноса импульса и конвективное движение в неоднородной среде.

Замечание: сила может быть ответственна не только за кинематическое движение, но и за изменение концентрационных параметров – заряда, массы.

Переноситься могут как временной, так и пространственные элементы тензорного параметра, действие ее может быть смешанным по индексам переноса. Примерами ее могут быть реальная физическая сила давления за счет градиента давления, сила сопротивления (вязкости) за счет диффузии, перенос тепловой энергии между разнотемпературными участками с.с. Первые два примера связаны с переносом импульса и энергии, третье – только энергии, и их действие принципиально различное. В связи с этим имеется два типа движения материи: 1) прямое конвективное инерционное и/или ускоренное перемещение массы, энергии и/или импульса с.с. 2) обменное или диффузионное перемещение массы, энергии и/или импульса с.с.

В связи с существованием инерционных свойств (энергия-импульс) состояния материи возникает возможность описания материального мира с точки зрения волновой механики: материя есть решение волнового уравнения. Тем более из математики известно, что любую функцию от координат и времени с помощью Фурье–преобразования можно описать как суперпозицию элементарных гармонических волн. Следовательно, волновое уравнение можно отождествить с материальным полем. Эталоны тоже можно связать с некими волновыми решениями поля материи. Особенностью волновых решений является то, что скорость движения объектов, описанных с его помощью, не может превосходить скорости распространения волны.

7.      Уравнения движения для поля. Законы сохранения

Уравнение движения сплошной среды подчиняется первому и второму законам движения сплошной среды – это уравнение неразрывности и уравнение Эйлера. Движение объема материи описывается через плотность ρ, плотность импульса pi (или скорость vi движения) этого элементарного объема и силу Fi, действующую на элемент объема относительно текущей с.к.:

P0 = ρ,

Pi = pi(q) = ρvi,

Fi = dpi(q)/dt.

(6)

Это движение подчиняется уравнению неразрывности векторного поля (P0, Pi):

p00 + pii = 0.

Уравнение Эйлера выражает закон сохранения импульса с.с. (P0, Pi):

pi,0 + pi,jvj = f(в)i + σijj = fi.

Особенностью движения объема с.с. является то, что со временем изменяется плотность и импульс  ее, но то, что изменяется ее форма и положение. Но также то, что этот элементарный объем деформируется и поворачивается в пространстве. Кроме кинематических параметров движения состояние материи описывается и другими параметрами, которые могут входить в уравнение движения с.с.

7.1.              Уравнение неразрывности для с.с.

Рассмотрим элементарный кубический объем с осями в направлениях осей координат. Поле P (см. рис.3) пронизывает этот объем через боковые поверхности. Мы будем считать, что в одну из поверхностей поле входит и полностью  поглощается, а через другую параллельную поверхность выходит, но уже с измененными параметрами. Этот процесс происходит на всех трех парах параллельных граней куба. Кроме этих трех плоскостей, необходимо иметь в виду и 4-ую пару плоскостей – временную. Через эту плоскость может происходить изменение параметров поля даже без пространственного движения поля при наличии источников поля. Но при отсутствии источников эти изменения должны быть одинаковы:

(7)

Рассчитаем изменение параметров поля внутри куба – массы и импульса за время Dt. Это соответствует взаимодействию куба с полем в соответствии с уравнением (7). Изменение массы этого куба будет равно разности количества вошедшего в объем и вышедшего из объема массы поля:

(8)

Определим поток массы поля ΔmS через площадку ΔSj любой из граней за время Δt:

(9)

где ΔSj – ориентированная площадь грани, перпендикулярная направлению оси j. Имеет положительное значение, если поток поля через эту площадку идет внутрь объема, и отрицательное – в противном случае.

 

Рис.3. Поток силового поля через элементарный пространственный объем.

Найдем баланс поглощенной и излученной всеми гранями массы поля. Баланс складывается из трех составляющих: Δmt – изменение массы за счет стоков/истоков плотности поля, Δm' – изменение массы за счет поглощения поля с одной стороны,  Δm'' – изменение массы за счет излучения поля с другой стороны:

(10)

Здесь ΔSj · Δl(j) = ΔV – объем м.о. Параметр Δlj можно назвать размерным параметром (диаметром) куба по соответствующей оси координат. Т.к. суммировать нужно по одинаковым индексам j и k, то имеем:

Это уравнение должно быть верно для любого объема и промежутка времени, поэтому

Это уравнение называется уравнением неразрывности для поля или законом сохранения массы. Точно похожие уравнения непрерывности можно вывести для импульса и энергии элемента объема поля.

7.2.              Закон сохранения импульса. Уравнение Эйлера

Определим поток импульса поля Δpi через площадку ΔSj любой из граней за время Δt, учтя, что импульс может входить в объем через любые грани объема (см. рис. 3). Кроме этих трех плоскостей, необходимо иметь в виду и 4-ую пару плоскостей – временную. Через эту плоскость может происходить изменение параметров поля даже без пространственного движения поля. Также необходимо иметь в виду, что импульс может возникать и за счет внутренних объемных, например, гравитационных с напряженностью Ei в ньютоновой механике и внутренних поверхностных сил типа поля давления p:

(11)

где vj – скорость поля по направлению оси j.

Расшифруем составляющие уравнения. Левая часть уравнения Dpit  представляет общую силу, действующую на элемент с.с.:

Часть Dpif  представляет объемные силы:

Часть Dpis  представляет разность входящего и выходящего потоков с.с.:

Поток импульса Dpis имеет положительное значение, если поток поля через эту площадку идет внутрь объема, и отрицательное – в противном случае, и состоит из двух частей входящего и выходящего потоков:

где Dps'i – входящий в объем поток по трем осям,

Dps''i – выходящий из объема поток по трем осям.

Найдем баланс поглощенного и излученного импульса всеми гранями объема поля. Баланс складывается из трех составляющих: Δpf – изменение импульса за счет объемных сил, Δps' – изменение импульса за счет поглощения поля с одной стороны,  Δps'' – изменение импульса за счет излучения поля с другой стороны. И это изменение должно быть равно изменению импульса за счет временной составляющей потока импульса Δpt:

(12)

Здесь ΔSj · Δlj = ΔV – объем м.о.:

Учтя, что суммирование производится только по индексам j = k, имеем:

Переходя к пределам, для единицы объема имеем:

Это уравнение очень похоже на уравнение неразрывности и отличается только правым членом, который говорит о том, что в объеме поля может быть внешний источник объемной силы (и, следовательно, импульса). Конкретный вид правой части уравнения может сильно отличаться от приведенной и она может быть не только гравитационной. Также можно заметить, что уравнение неразрывности и закон сохранения импульса можно записать в единой 4-мерной форме:

при этом Pi = {ρ, pi}, i Î {0 .. 3}, E0 = 0 (нет источника массы).

Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера позволяют определить поле скоростей и поле плотности для системы, в которой задано поле давлений p(r, t) и поле массовых сил Ei(r, t). Однако в обычной постановке задач поле давлений не задано. Для формулировки задач о движении сплошной среды в этом случае необходимы дополнительные соотношения, связывающие давление, плотность и скорость. Такие соотношения получаются в рамках термодинамики.

7.3.              Закон сохранения энергии

В классической ньютоновой механике, в отличие от галилеевой, имеется также закон сохранения энергии. Причем он является одним из основных законов. Если при взаимодействии двух м.т. энергия (учитываемая) может и не сохраняться, то для с.с. это не так – закон сохранения является точным законом. В баланс энергии входят кинетическая, тепловая и потенциальная энергии.

Умножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно получить уравнение, описывающие изменение плотности энергии среды:

Левая часть этого уравнения преобразуется к виду:

Для преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности:

В итоге левая часть уравнения принимает вид:

(a)

Для вычисления мощности поверхностных сил давления в среде  воспользуемся первым началом термодинамики

которое, с учетом уравнения непрерывности, можно записать в виде:

Из этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаем

Отсюда для адиабатных процессов  мощность сил определяется выражением

(b)

Равенства (а), (б) и (в) приводят к уравнению

которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества и поля:

Здесь  - плотность энтальпии.

рассматриваться как фоновое силовое поле, через которое взаимодействуют м.о.

 

Ссылка на этот материал: dvizhyeniye_sploshnoj_sryedy.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 96 / 4 =

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 13 ч 08 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:6 V:8 N:38
Уникальных посетителей за текущие сутки: 6 Просмотров: 8 Этой страницы (всего): 38