Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: dvizhyeniye_volnovoye.htm)
Виды движения сплошной материи

1 Виды движения сплошной материи

Материю можно представить как сплошную среду, состоящую из бесконечного множества бесконечно маленьких элементарных материальных объемов (континуума элементарных точек, заполняющих пространство непрерывным образом). Параметрами такой среды будут плотность ρ(r,t) "элементарных точек" и скорость движения vi(r,t)  каждой "элементарной точки" в пространстве и времени. Эти параметры в совокупности составляют некоторое поле, которое можно назвать материальным. Если эти параметры обладают свойствами непрерывности и дифференцируемости, то к такому материальному полю можно применить математические методы тензорного и дифференциального исчислений. Это – континуальная сплошная среда.

Законы движения материи – это законы его перехода из одного пространственного слоя в другой пространственный слой во времени t, и ее можно определить через векторное поле. Обозначим его как поле Ji и назовем ее "полным током". Оно n+1–мерно и состоит из двух частей – временной J0 = ρ(r,t), называемой плотностью, и пространственной Ji = ρvi(r,t), который называется просто током. Такое движение материи называется конвективным движением, потому что при этом происходит перемещение вещества из одной точки в другую.

Движение с.с. на практике часто ограничивается дополнительными, или граничными, условиями. Граничные условия ограничивают область движения с.с. и накладывают ограничения на заранее известные плотность ρ0(r,t) и скорость v0(r,t) ее движения (возможно, как функции от координаты и времени) вблизи этих границ.

Кроме конвективного движения, имеется понятие волнового движения материи. Ее можно рассматривать и как частный случай конвективного, и как самостоятельный случай движения материи. Как самостоятельный случай он по параметрам волнового движения не связан с конвективным движением. Но часто волновое движение непосредственно связано с конвективным и/или происходит на фоне конвективного. Условием волнового движения материи являются малые отклонения от положения равновесия точек с.с. и малые отклонения плотности от равновесного. При этом оно характеризуется равенством нулю нормы векторного поля (φ, Ai): c2φ2 = A2. Параметр φ при этом связывается с энергией поля, Ai – ее импульсом, c – скоростью распространения поля.

Здесь также надо отметить то обстоятельство, что конвективное движение не подчиняется законам суперпозиции, и линейная комбинация возможных решений ее уравнений движения не будет новым решением уравнений движения. Конвективное движение есть одно из частных решений неоднородного уравнения движения материи. Это также значит, что в конкретной области пространства нельзя представить движение с.с. как движение двух независимых движений с независимыми параметрами. А для волновых движений, наоборот, все это является обычным явлением. Волновое движение есть решение однородного волнового уравнения движения материи. Линейная комбинация любых решений волнового уравнения будет являться еще одним ее решением. Это значит, в частности, что два потока с.с. не могут пройти друг сквозь друга, не замечая друг друга, а две волны вполне могут. Таким образом, общее решение движения с.с. в пределе малых движений будет состоять из двух частей:

J = 10A0 + knAn, n Î {1, 2, … ¥}

где A0 соответствует ее конвективной части (одно из частных решений соответствующего уравнения), а knAn соответствует суперпозиции независимых решений общего волнового уравнения движения с.с.

Есть два способа представления поля J – через n+1 (тензорное пространственно–временное) и n–мерное (пространственное) представления.

Первый способ – это прямое задание n+1–мерного тензорного поля J. Такое представление обладает многими тензорными свойствами, но все же ограниченными. Ограничения определяются типом метрики (галилеевой, псевдоевклидовой, римановой) пространства.

Второй способ заключается в том, что координата t = τ является "скалярной" функцией в пространстве–времени и вместо 4–мерного пространства–времени можно пользоваться 3–мерным евклидовым пространством, в котором ко– и контравариантные тензоры численно равны. При этом пространство и время абсолютны и независимы. Следовательно, вместо 4–вектора Ji можно будет пользоваться композиционным скалярно–векторным полем Ji = (ρ, ρvi) классической. Это, конечно, верно только в случае отсутствия галилеевых преобразований координат, и при их наличии компоненты этого поля должны будут изменяться по определенным законам. Поэтому их можно назвать псевдотензорными. Такой величиной, например, является кинетическая энергия м.т. K (псевдоскаляр) в составе 4–вектора энергия–импульс: Pi = {K, ρvi}. Вопрос вызывает также и закон преобразования векторов. Можно подобрать новую с.о. таким образом, что вектор обнулится. Это говорит о том, что эта механика уже не является тензорной. Механику (и физику), основанную на таком пространстве, назовем ньютоновой. Несмотря на наличие некоторых тензорных свойств такой механики, пользоваться тензорным исчислением здесь довольно сложно. Можно воспользоваться 4–мерной галилеевой механикой, но в ней появляются проблемы с понятием "энергия" и вообще с временными компонентами тензоров.

Если мы рассматриваем пространство и время с точки зрения движения сплошной среды (далее – с.с.), то связь слоев пространства определяется законами перехода из слоя в слой каждого элементарного объема с.с. во времени τ. Эту связь можно рассматривать с нескольких точек зрения – конвективного, волнового движения и в параметрах с.с.

1) с конвективным движением. Определяется в параметрах сплошной среды в конкретной точке пространства с координатой r во времени τ. Параметрами сплошной среды являются 1) в Лагранжевом подходе – поле плотности ρ (массы и/или заряда) и поле плотности импульса pi = ρvi или обобщенный импульс (ток) Pi = (ρ, ρvi ) и 2) в Эйлеровом подходе – те же плотность и импульс и абсолютное отклонение (перемещение) r'i(t, r) точки с.с. во времени от первоначального:

r'i = r'i(q),

vi = dr'i(q)/,

Pi = (ρ, ρvi ) = Pi(q),

dPi = Fi(q, P)

(1)

 

Здесь r'i(τ, r) – новые координаты (или отклонение) точки с.с. с первоначальными координатами r в момент времени τ = 0. Уравнения движения с.с. определяются уравнениями движения каждого конкретного объема с.с. в пространстве и времени. Это наиболее общий вид движения. Волновые движения включены в нее как составляющие.

Основным свойством конвективного движения в НМ и ГМ является возможность локального обнуления пространственной части поля "плотность–импульс" некоторым допустимым преобразованием координат:

pi ≠ 0 → p'i = 0.

В теориях типа СТО, ОТО похожее свойство выражается с некоторыми ограничениями следующим уравнением, в котором соответствующим локальным преобразованием координат плотность импульса поля pi в каждой точке (но не одновременно) можно обнулить:

 (ρc2)2 (cpi)2 = (ρ'0c2)2 – 0 = (E0)2 ≠ 0 (СТО, ОТО),

где E = ρc2 – плотность энергии,

E0 – плотность энергии покоя

ρ0 – плотность покоя материального поля,

pi –  плотность импульса в направлении распространения,

с – скорость распространения волны в направлении p.

При этом E = ρ0c2. При наличии одновременно и волнового движения отделить ее от конвективного затруднительно. Это можно сделать с определенной степенью приближения, усреднив параметры движения с.с. в исследуемом объеме за некоторое время.

2) с волновыми движениями. Волновое движение не является самостоятельным видом движения, оно обычно происходит на фоне конвективного и является частью ее. Поэтому при таком описании движения с.с. обычно предполагается, что в среднем с.с. покоится, т.е. конвективного движения "по большому счету" не имеется: общий импульс (иногда и момент движения) равны нулю. Если это происходит на фоне конвективного, то полное движение материи можно разделить на сумму конвективного r'ki(q) (или vki(q)) и волнового r'φi(q) (или vφi(q)) движений:

r'i = r'ki(q) + r'φi(q),

vi = vki + vφi.

(2)

При этом предполагается, что конвективное движение осуществляется достаточно плавно (так сказать – стационарно и/или с малой частотой), а волновое – с более высокой частотой. Если конвективным движением можно пренебречь или ее невозможно будет измерить (такая физическая система возможна не только теоретически, но и реально), то движение будет чисто волновым. Обычно такие системы и рассматриваются в СТО и ОТО.

Основным свойством волнового движения является свойство равенства нулю некоторой "нормы" векторного поля "энергия–импульс" при любых допустимых преобразованиях координат в силу тензорности волновой механики:

 (ρc2)2 (cpi)2 = (ρ'0c'2)2 – 0 = (E0)2 = 0,

где E = ρc2 – плотность энергии,

E0 – плотность энергии покоя

ρ0 – плотность покоя материального поля,

pi –  плотность импульса в направлении распространения,

с – скорость распространения волны в направлении p.

Реализовать это можно по разному: с эфирной (ГТО) и безэфирной (СТО, ОТО) теориями. Для ГТО c' ≠ c, для СТО и ОТО c' = c. Важно, что покажет опыт. В нашем мире для наших приборов эфир не наблюдаем.

Волновые движения можно разделить на два вида – А) в с.о., связанной со структурой с.с.: и Б) в с.о., не связанной со с.с.

А) Пространство (координата) может быть определена на структуре с.с. При этом среда как бы (в среднем) покоится (стационарна) относительно с.о. и координатными узлами являются стационарные элементы сплошной среды. Этот способ описания можно рекомендовать для анализа движения твердой с.с. и газообразной и жидкой среды с маяками.

Координатная и временная сетка устанавливаются либо абсолютно, либо через структуру волновых движений. Эталоны тоже соответствующие – абсолютные или волновые – длина и частота эталона абсолютные или на основе волновых движений. В первом случае мы приходим к механике КМ (классическая (ньютонова или галилеева) механика и соответствующие им теории относительности), во втором однозначно приходим к теориям типа СТО или ОТО, в зависимости от того, на какой фоновой среде происходит волновое движение – однородной и изотропной, линейной или нелинейной и т.д.

Такую связь пространства и материи можно организовать двумя способами:

а) с волновыми движениями абсолютных смещений элементов с.с. При этом параметрами движения являются абсолютные смещения элемента с.с. от некоторого стационарного r'(τ0, r) = 0 во времени r'(τ, r), если имеет значение, что и на сколько переместилось:

r' = r'(q) = dt = ∫ dr'i,

dr'i = Vi(q) ,

dvi = Wi(q, v) ,

(3)

Такой вид движения имеет смысл изучать в однородной и изотропной среде.

б) с волновыми движениями геометрии с.с. При этом движение заключается в изменении геометрии ближайшей окрестности точки с.с., или расстояний между элементами сплошной среды во времени (механика деформаций и смещений с.с.). Расстояния определяются через метрику получаемого при этом пространства. В этом случае обязательно должны появиться силовые поля инерции за счет относительного ускоренного движения объемов с.с.

Б) с волновыми движениями в объеме с.с., не связанными со структурой с.с. (волновая механика). При этом система координат не связывается с первичной структурой с.с. На практике иногда невозможно идентифицировать каждый элемент структуры с.с. в пространстве и времени, да и сама среда практически не наблюдаема, что означает не измеримость абсолютного перемещения элементов с.с., а наблюдаемы и измеримы только вторичные параметры с.с. (отклонения от среднего значения плотности ρ, потока импульса pi или их градиенты и отклонения каких–то других измеримых параметров с.с. от средних). Этот способ описания можно рекомендовать для анализа движения газообразной и жидкой с.с.

Случай А) и его подвиды оперируют отклонениями координат элементов с.с. от статической или геометрии, связанной со структурой с.с. (расстояниями между элементами) и ее изменениями во времени. Случай Б) оперирует непосредственно дифференциальными параметрами движения элементов с.с. в пространстве без возможности определения первичного движения. Но все они дают один вид движения – конвективный, в конце концов как наиболее общий вид движения.

И конвективное, и волновое движения с.с. вполне могут быть контравариантными аналогами ковариантных векторных полей Vi.

На практике сплошная среда не обладает континуальным свойством, а оказывается состоящим из очень большого, но счетного, числа дискретных элементарных объектов (атомов, молекул, амер и т.д. в различных теориях), достаточно независимых друг от друга в своем движении, но взаимодействующих друг с другом через упругие столкновения с определенной конечной ненулевой вероятностью. В связи с тем, что эти взаимодействия достаточно случайны в пространстве и времени, к ним можно применить методы математической статистической физики. В соответствии с ее законами оказывается, что только достаточно большие объемы, включающие в себя большое количество атомов, движутся согласованно с одинаковой усредненной скоростью. Размеры этих областей определяются длиной свободного пробега атомов. Такое движение реальной с.с. можно представить через движение континуальной с.с. и изучать с помощью законов движения с.с.

В пределах размеров свободного пробега элементов с.с. появляются новые формы движения материи. Во первых, это движение связано с хаотическим движением каждого атома с достаточно произвольной скоростью. Оказывается, что в пределах этого объема или соизмеримых с ним сосуществуют движения с.с. с разными значениями скоростей, а не одной, как в континуальном случае. При этом они еще и взаимодействуют между собой, т.е. существует эффект прямого внутреннего трения, ответственного за перемешивание атомов соседних слоев. За счет такого "случайного" движения  в такой с.с. должно существовать движение, называемое диффузионным. За счет этого в с.с. будет существовать эффект переноса некоторого  параметра через произвольную площадку, причем в обе стороны. Такими параметрами могут быть перенос импульса, энергии, температуры, компоненты с.с. и т.д. При межслоевом переносе параметров импульса и энергии появляется внутреннее трение. При переносе компонентов с.с. происходит диффузионное перемешивание с.с.

Во вторых, новые формы движения могут быть связаны со структурой элементарных кирпичиков с.с. За счет этого могут появиться, например, зависимости параметров с.с. от температуры, поляризуемость, неизотропность, квантовые свойства - сверхтекучесть, сверхпроводимость.

1.1    Конвективное движение с.с.

Большое значение для детального изучения с.с. и законов ее движения имеет ее идеальность, состав и свойства элементов с.с. (их континуальность или дискретность в виде атомов, молекул) – количество степеней свободы ее элементов, степень приближения элементов с.с. к определению м.т., анизотропия свойств с.с., химические реакции и связанные с ним движения состояния среды, прочность твердого тела, состав и структура сплавов и др. Но есть и общие свойства и законы, слабо зависящие от элементарного состава с.с. Общим свойством является непрерывность математического описания с.с. в области своего существования, даже если она состоит из отдельных атомов. Дискретность его состава учитывается применением специальных статистических математических методов, учитывающих это их свойство. В 3–мерном классическом представлении законы с.с. выражаются следующими тремя законами.

Первым основным законом является закон неразрывности ее потока. Он выражается через первое основное уравнение движения с.с., которому подчиняются реальные с.с.:

r,0 + pi,i = 0,

Div Pi = Pi,i = Pii = 0.

(4)

 

Это кинематический закон, выражающий закон сохранения материи – количества с.с. и ее импульса. Если имеются источники тока, то уравнение не будет равно нулю.

С тензорной точки зрения формула (4) есть скалярное произведение оператора частной производной ∂/∂qi на импульс м.т.

Второй основной закон сплошной среды касается сил, действующих в сплошной среде. Это динамический закон – аналог 2–го закона Ньютона для сплошной среды. 2–й закон механики сплошной среды записывается как уравнение движения. В 3–мерной форме это выглядит так:

p,0 + p0,jvj = f0,

pi,0 + pi,jvj = f(в)i + σijj = fi,

(5)

где p0 = ρ – плотность или полная энергия сплошной среды;

vj – скорость потока с.с.;

pi = rvj – импульс или ток с.с.:

pi,0 = fi0 – мощность или сила инерции, действующая на элемент с.с. вне зависимости от плотности импульса с.с. Аналогом ее в механике является поле напряженности (например, гравитационное), в электродинамике – электростатическое поле напряженности.

p0,j = f0j – действие этой силы заключается в изменении плотности и энергии с.с. Антисимметричность элементов силы f0i и fi0 следует из закона сохранения энергии: работа внешней силы равна изменению энергии элемента объема с.с.

f(в)i, f(в)i – внешняя сила на единицу объема сплошной среды;

σijтензор напряжений, или внутренние силы сплошной среды. Он обладает свойством симметричности: σij = σji.

pi,j = –pj,i = fij – еще один силовой параметр сплошной среды – сила на организацию циркуляции потока сплошной среды. Этот параметр показывает силу, закручивающую ток сплошной среды в плоскости, определяемой координатными осями ri и rj в направлении от оси i к оси j вокруг третьей, перпендикулярной к ним, оси. Положительным эта сила считается, если при взгляде со стороны 3–ей пространственной оси он действует против движения часовой стрелки. Аналогом ее в механике является поле момента силы, в электродинамике – магнитное поле. Каких либо ограничений на элементы тензора fij нет.

Уравнения (3.2) являются аналогами второго закона Ньютона для сплошной среды. Сила, действующая на элемент объема сплошной среды в 3–мерном представлении:

F0 = F0j vj,

Fi = Fi0 v0 + Fij vj,

(5a)

Учитывая, что v0 = 1 – скорость течения времени и p0,0 = p0,0v0 и pi,0 = pi,0v0, мы можем записать (5) в форме:

p0,0v0 + p0,jvj = f0,

pi,0v0 + pi,jvj = f(в)i + σijj = fi,

(5b)

Это позволяет записать уравнение (5) в 4–мерном представлении:

Fi = Fij vj.

(6)

 

Сила Fi является функциональной (суммированной) силой. Она дает реальную силу, действующую на элемент объема сплошной среды, но не дает полного представления о всех реально действующих силах на этот элемент объема, потому что имеет только 4 степени свободы, а сила Fij имеет 6 степеней свободы. Областью определения этой силы является условие P2 ¹ 0. Случай P2 = 0 соответствует полю и требует специального рассмотрения в рамках волновой механики.

Силы, действующие в с.с., разделяются на две части: 1) сила Fi0, не зависящая от его состояния движения и 2) силы F0i и Fij, зависящие от его состояния движения. Все силы, действующие в с.с. – (5), можно объединить в одно 4–мерное:

Fij = Pi,j.

(7)

Сила fij является антисимметричным тензором по своему определению. Реальным силовым полем, способным создать такие силы, является электромагнитное поле Aij ~ {E, H} Здесь можно провести параллель между импульсом сплошной среды pi и векторным потенциалом электромагнитного поля Ai. В обеих случаях сила определяется по схожим формулам. Их отличия: 1) векторный потенциал является активным источником силы, а сплошная среда – пассивным объектом в отношении силы; 2) поле Ai определено с точностью до gradφ, поле Pi – определено точно, но его циркуляция определена с точностью до градиента произвольной скалярной функции.

Наличие симметричной составляющей тензора fii говорит о наличии линейных пропорциональных скорости сил движению элемента объема с.с. Т.к. сила не должна изменяться при переходе в движущуюся с.о., то этой составляющей не должно быть. Но этим не запрещается существование таких сил. Это говорит лишь о том, что должны быть определены правила преобразования таких сил при изменении с.о.

Третий закон для сплошной среды можно ввести по аналогии с третьим законом Ньютона для с.м.т. Для этого в каждой точке пространства необходимо определить исчерпывающий список взаимодействующих материальных полей по индексу n. Каждое поле имеет свою функцию поля плотности, импульса и момента импульса. Тогда третий закон будет говорить о том, что сумма всех сил взаимодействующих в элементе объема с.с.  полей  должна быть равна нулю:

dFnm = 0,

F = ∑dFnm + ∑dFn,

(8)

 

где dFnmсилы взаимодействия полей,

dFn – внешние силы по отношению к материи. Это должны быть в т.ч. и силы инерции.

Из этого закона автоматически следует закон сохранения полного импульса и момента импульса элементарного объема:

dPn = 0,

dMn = 0.

Но не все агенты взаимодействия могут быть непосредственно наблюдаемы, и в силу этого этот закон может нарушаться.

1.2    Диффузионное движение материи

Кроме общего конвективного движения с.с. как единого существует в ней и внутреннее движение – диффузионное. Это движение происходит не под действием силового взаимодействия, потому что элемент среды не получает ускорения, а обменное. И среда при этом обладает свойствами абсолютной с.о. по отношению к этому движению. Оно заключается в перемешивании, осреднении параметров среды параметрами ближайшей окрестности путем аддитивного переноса усредненных параметров среды в соседние области. При этом не происходит движения элементарного объема с.с. как единого целого, а происходит только невидимое внутреннее движение составляющих объем среды «элементарных» частиц (атомов, молекул, амер, …). Т.е в каждой точке (объеме) существует «пофракционное» движение среды как функции от направления в пространстве, а не одно общее движение в одном направлении. Фракция – множество элементов среды примерно с одинаковыми параметрами. Параметры могут быть самыми различными: кинематическими, динамическими, химическими, … Эту функцию распределения можно назвать фракционным спектром распределения плотности и импульса атомов по направлениям движения. Например, если есть градиент температуры с.с., то существует поток тепла Qi от более нагретой части к менее нагретой за счет разнонаправленного потока отдельных частиц из элементарного объема среды и переноса ими тепла в соседние области покоящейся с.с. Пусть с.с. однородна и изотропна. Тогда существует поток тепла:

Qi = – c · dijT,j.

(9)

где c – коэффициент теплоемкости с.с., пропорциональная плотности с.с.,

dij – тензорный коэффициент диффузионного переноса тепла, не зависит от плотности с.с.

За счет этого потока будет происходит изменение температуры в каждой точке пространства:

c dT = –Qi,idt,

c dT/dt = –Qi,I .

(10)

.

Т.к. в среднем с.с. покоится, то dT/dt = T,0 и уравнение (10) запишется так:

cT,0 + Qi,i = 0.

(11)

 

Из этого уравнения видно, что для правильной тензорной записи ее необходимо принять, что температура T является временным элементом тензора потока температуры: TT 0:

cT 0,0 + Qi,i = 0.

(12)

Заменим в уравнении часть cT 00 на Q00:

Q0,0 + Qi,i = 0.

(13)

Это уравнение есть уравнение неразрывности потока тепловой энергии, или закон сохранения тепловой энергии.

Если среда однородная и изотропная, то это уравнение можно записать через температуру:

T0,0 + Ti,i = 0.

(14)

1.3    Свехтекучесть

Свехтекучесть проявляется при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю. Оно связано с тем, что в движении с.с. перестает проявляться процесс хаотического движения и перемешивания атомов. Остается только одно движение – небольшие колебания атомов около точки равновесия. Эти колебания происходят в соответствии с законами квантовой механики. В соответствии с ее законами в с.с. в состоянии абсолютного нуля температуры возможны только колебания с определенной энергией, причем эти колебания коллективные. Температура с.с. определяется не хаотическими движениями, а энергией соответствующего квантового состояния. При этом с.с. с повышением температуры как бы делится на две части – сверхтекучую и обычную. Сверхтекучая часть способна двигаться без трения, а обычная движется с трением.

Сверхтекучая жидкость движется таким образом, что при движении соседних слоев не происходит перескока атомов между ними, они как бы скользят друг по другу без переноса энергии и импульса. Для того, чтобы это движение было устойчивым, необходимо, что бы атомы находились в достаточно глубокой потенциальной яме, препятствующей его выходу из нее. С другой стороны, атомы не должны составлять кристаллическую структуру, т.е. они должны быть достаточно подвижными.

2 Уравнение волнового движения вещества

Это движение осуществляется за счет сил инерции и внешних по отношению к элементу объема с.с. сил. Это – чисто силовое движение. Давление и напряжения в с.с. тоже необходимо считать внешними силами.

Предположим, что существует некоторое однородное одномерное скалярное поле плотности с.с. ρ(r, t) = ρ = const, находящееся в состоянии покоя. Предположим также, что каждый элемент с.с. движется в ограниченной окрестности некоторой стационарной точки r, причем это отклонение в среднем нулевое. Также предположим, что температура с.с. постоянна и одинакова. Тогда это движение определяется параметром r'(t,r) – скалярным или векторным отклонением от стационарного состояния равновесия каждого элемента объема с.с. Существует два вида движения по отношению к геометрическому пространству:

1) скалярное отклонение может означать отклонение в перпендикулярном (поперечном) направлении (дополнительное независимое измерение к геометрическим измерениям с.с.);

2) векторное отклонение может означать отклонение в направлении, не выходящем за пределы возможных направлений от каждой точки с.с. (направления в объеме с.с.). такое отклонение может быть продольным и поперечным, в зависимости от направления распространения волны.

И скалярное, и векторное отклонения могут быть и независимыми от собственных движений с.с.

Тогда для каждого элемента с.с. мы можем написать уравнения движения. Скорость движения элемента сплошной среды:

vi = r'i,0,

(15)

ускорение:

wi = r'i,00,

(16)

сила инерции, действующая на элемент среды Ft (без учета колебаний температуры в волне):

Fti = ρr'i,00,

(17)

где i – векторный индекс направления отклонения.

В случае скалярного отклонения будем считать, что имеется только одно направление отклонения и индекс можно не писать.

2.1    Векторное (продольное) отклонение волнового параметра

В случае векторного отклонения внешняя сила должна быть равна силе полного внутреннего давления на элемент объема. При этом для жидкой или газообразной с.с. сила давления зависит только от градиента плотности с.с.:

F||i = –k||ijρ(r,t),j,

(18)

где k||ij – относительная жесткость среды на продольную деформацию. Необходимо заметить, что k||ij является диагональным контравариантным тензором ранга 2 с одинаковыми элементами, и его действие свертки на следующий за ним тензор заключается в подъеме его индекса тензором ранга 2.оспринимать как скаляный индекс).

При малых величинах деформации изменение плотности можно определить из формулы:

ρ(r,t) = ρ(1– r'i,i).

 

Здесь ρ = const по условию, в отличие от ρ(r,t) ¹ const. Тогда сила F|| будет равна:

F||i = –k||ijρ(r),j = –k||ijρ(1– r'h,h),j = ρk||ijr'h,hj.

(19)

Сумма силы инерции и давления должна быть равна нулю:

Ft + F|| = 0

 

Следовательно, для полной силы F, действующей на элемент объема, окончательно имеем:

F = Ft + F|| = ρr'i,00 + ρk||ijr'h,hj = 0,

r'i,00 + k||ijr'h,hj = 0.

(20)

 

В этом уравнении структура второго члена говорит о том, что колебания в многомерной среде взаимозависимы по различным осям за счет составляющей r'h,h – объемной плотности. Для независимости колебаний по различным осям необходимо, чтобы возникающие силы зависели только от направления деформации с.с. и не рассеивались (не распространялись) во все стороны. Реально таких сред нет. Но мы можем предположить, что такая среда существует. В такой с.с. при сжатии–растяжении в одном направлении не появляются силы, действующие в другом перпендикулярном направлении, и каждое направление можно считать независимым от остальных и уравнение движения упростится. Для каждого индекса будем иметь:

r',00 k||2r',jj = 0.

(20а)

В этом уравнении свертка производится по нижним индексам, но это не ошибка, потому что учтена сигнатура скалярного произведения для опущенного индекса j. Такой средой является одномерная среда – стержень.

2.2    Скалярное (поперечное) отклонение волнового параметра

 

При скалярном отклонении сила, возвращающая элемент среды обратно в исходную точку r, будет пропорциональна величине второй производной отклонения по координате r и перпендикулярна к ней:

F^ = +k^ijj,ij,

(21)

где k^ – относительная жесткость среды на скалярную деформацию.

Сила F^ в этом случае не является вектором, потому что направлена в том же направлении, что и параметр j – перпендикулярно к измерениям с.с. Сила инерции определяется по той же несколько модифицированной формуле (17):

Ft = ρj,00.

 

Действительно, рассмотрим рис. 6 для одномерного случая – струны:

Рис. 6. Расчет возвращающей силы, действующей на элемент струны.

 

Рассмотрим участок струны (x, x+dx). Если считать угол α маленьким, то на ее участок dl = (x, x+dx) действует сила:

dF^ = N(x + dx) – N(x) = N sin(α + a,x dx) – N sin(α).

 

Угол α при малых ее значениях можно заменить на производную функции отклонения φ:

dF^ = N(j(x+dx),x – (j(x),x) = Nj(x),xxdx.

 

Здесь N – натяжение струны. Заменим ее на k^2 – аналог k^ij:

F^ = k^2j,xx.

 

Сумма силы инерции и давления (или натяжения) должна быть равна нулю:

Ft + F^ = 0.

 

Следовательно, для полной силы F, действующей на элемент объема, окончательно имеем:

F = Ft + Fr = ρ(j,00k^2j,xx) = 0,

j,00k^2j,ii = 0.

(22)

 

В этом уравнении свертка производится по нижним индексам, но это не ошибка, потому что в коэффициенте k^2 учтена сигнатура скалярного произведения.

Сравнив уравнения (20) и (22), мы видим, что они совпадают с точностью до обозначений и в принципе для однородной среды не зависят от плотности этой среды. Эти уравнения по своей форме являются волновыми уравнениями для отклонения параметра среды от некоторого стационарного значения:

j,00k2j,ii = 0.

(23)

Далее F|| и F^ не будем различать и обозначать как F, но будем иметь в виду то, что у них имеются свои направления действия в пространстве. А параметр отклонения будем писать через φ или φk – в случае ее многомерности.

Умножим уравнение (23) на dt2:

(j,00 k2j',ii)dt2 = 0,

j,00 dt2 j,ii (kidt)(kidt)  = 0.

j,00 dt2 j,ii (dri)(dri)  = 0.

Эта форма уравнения говорит о том, что фронт волны распространяется как бы в пространстве с эффективной метрикой

,

с условием для направления движения фронта волны ki

ds2 = gijkikj = 0.

В общем случае многомерной многофункциональной среды будем иметь следующие уравнения:

jk,00 k^ijjk, ij = 0.

(24)

Возможна ситуация, когда сила F зависит и от отклонения от точки равновесия. Тогда к волновому уравнению (4.9) прибавится составляющая, пропорциональная отклонению элемента с.с. от точки равновесия. Это возможно, если среда является многокомпонентной, и каждая компонента имеет собственную степень свободы (поляризуемая среда). В частности, для нашей поляризуемой компоненты φ:

jk,00 k2jk,ii = μ2φk.

(24a)

Кроме внутренних сил и сил поляризации могут существовать и внешние силы, например, потенциальные u,k. Влияние этих сил на уравнение движения опишется уравнением:

jk,00k 2jk,ii = μ2φk – u,k.

(24b)

2.3    Решение волнового уравнения

Самое общее решение одномерного волнового уравнения, найденное Даламбером ещё в 1747 году – это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента (x – ct), а другой от (x + ct):

 

j = f1(x ct) + f2(x + ct),

(25)

где c = |k| – скорость распространения фронта волны. Первое слагаемое даёт волну, движущуюся по направлению к положительным x, второе – волну, бегущую к отрицательным x. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

Если дано граничное условие значения волны в одной заранее выбранной точке r0 в момент времени t0 с амплитудой j0, то общим решением будет уравнение

j = [f1(x – ct) f1(x0, ct0)] + [f2(x + ct) f2(x0, ct0)] + j0

Если дано граничное условие значения волны в одной заранее выбранной точке r0 в произвольный момент времени с амплитудой j0(t), то общим решением будет уравнение

j = f(xct) f(x + ct) + j0(t),

2.4    Плоские волны

Частными решениями уравнения (23) являются плоские волны:

2.4.1     Гармоническая волна

φ = sin ω(tnr/c).

(27)

где ω – круговая частота волны. Показывает, сколько колебаний волны происходит за 2p единиц времени.

n – единичный волновой вектор направления распространения волны.

При этом параметры ω, n, μ удовлетворяют соотношению:

ω2 = (n/c)2μ2,

|n/c| >= μ,

(28)

где ω – круговая частота волны,

n – единичный вектор в направлении движения волны.

Если μ = 0, то ω = |n/c| и при |n| = 1 решением будет:

φ = sin ω(tnr/с).

(27a)

Приравняв ω = 0, мы получим частное стационарное тривиальное решение волнового уравнения:

φ = sin ω(t – nr/c) = sin 0 = 0

 

Решениями являются также любые функции φ = const. Следовательно, стационарных не тривиальных решений уравнения (4.9) не имеется.

2.4.2     Экспоненциальная волна

φ = exp ω(tnr/с).

(29)

где ω – показатель затухания волны. При отрицательном w показывает, что через время t/ω амплитуда волны уменьшится в e = 2.712… раз, а при положительном – увеличивается во столько же раз.

При этом параметры ω, k, μ удовлетворяют соотношению:

ω2 = (n/c)2 + μ2.

(30)

Если μ = 0, то решением будет:

φ = exp ω(tnr/c).

(29a)

При положительном знаке коэффициента ω мы получим фронт ударной волны, при отрицательном – экспоненциально убывающую волну (хвост).

Приравняв ω = 0, мы видим, что не тривиальных частных стационарных вещественных решений волнового уравнения (4.13) не имеется. Уравнение n2 + μ2 = 0 имеет только одно вещественное решение: n = μ = 0. При этом решением уравнения будет постоянная функция:

φ = exp 0 = 1.

 

Решениями являются также любые функции φ = const.

2.4.3     Линейная волна

Частным решением является также любая линейная функция от координат:

φ = Ф0t + Фiri + C.

(31)

в т.ч. равная постоянной скалярной величине C, при условии μ = 0. При μ ¹ 0 решений через линейные функции не имеется.

Условием получения решения волновых уравнений (20) и (22) мы принимали малые отклонения параметра с.с. от некоторого стационарного значения, поэтому эти решения нельзя экстраполировать на большие отклонения. Необходимо иметь в виду то, что для решения этих уравнений при отклонении в векторном направлении r' дифференциал d(r + r')/dr > 0 должен быть ограничен вещественными положительными числами, что является условием поступательного перемещения области с.с без опрокидывания, откуда следует для одномерного случая неравенство 1 + dr'/dr > 0. Для случая многомерного отклонения это будет условие det|dij + r'ij| > 0. Но это уже область существенной нелинейности плотности среды от отклонения, что не входит в область определения линейного волнового уравнения. Необходимо иметь в виду также и то, что для стационарного сферически симметричного решения векторной волны r'(0) = 0 (точка возможной сингулярности, чего не должно быть). Для скалярной волны этого ограничения нет. С этих точек зрения из приведенных выше решений удовлетворительным является только решение в виде гармонической волны. Решения 2 и 3 не полностью удовлетворяет этим условиям в силу своей неограниченности.

Решениями будут также решения, полученные преобразованием этих решений в другие, например, в движущиеся галилеевы с.о. Общими решениями будут также любые линейные комбинации таких решений, в т.ч. и интегральные.

2.5    Сферические волны

В качестве примера сферических волн рассмотрим волну, в которой распределение некоторого возмущения u в среде (давления, плотности, скорости и т.д.) обладает сферической симметрией. Найдем общее решение волнового уравнения для случая сферической симметрии

(2.16)

Поскольку u есть функция только от расстояния r от центра и от времени t, то, воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, запишем

(2.17)

Положив , получим для функции f(r, t) уравнение

(2.18)

т.е. обычное волновое уравнение в одном измерении, в котором роль координаты играет радиус r. Решение этого уравнения есть

(2.19)

где f1, f2произвольные функции. Таким образом, для сферических волн общее решение волнового уравнения имеет вид

(2.20)

Первый член представляет собой расходящуюся сферическую волну, распространяющуюся во все стороны из начала координат. Второй же член есть волна, сходящаяся к центру. В отличие от плоской волны, амплитуда которой остается постоянной, в сферической волне амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию до центра.

При этом если энергия волны не поглощается средой, то средний поток энергии через сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение (закон сохранения энергии). Отсюда следует, что амплитуда незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны. Соответственно средняя плотность потока энергии <J> обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

Интенсивность волны, определяющаяся квадратом амплитуды, обратно пропорциональна квадрату расстояния, т.е. в соответствии с законом сохранения энергии, поскольку полный поток энергии в волне распределяется по поверхности, площадь которой растет пропорционально r2.

Если в начале координат нет источника звука, то потенциал (2.16) должен при r = 0 оставаться конечным. Для этого необходимо, чтобы , т.е.

(2.21)

и мы имеем стоячую сферическую волну.

2.6    Решение через неявно заданные функции

Кроме решения, найденного Даламбером, существуют и другие решения (А.С.Зазерский, http://www.ltn.lv/~elefzaze/). Предположим, что кроме произвольных функций F(t–x/c), одномерному волновому уравнению удовлетворяют и произвольные функции вида G(ψ):

ψ = t – x/c – k(ψ),

(26)

где: k(ψ) – дополнительная произвольная функция от переменной ψ. При этом сама переменная ψ становится неявно заданной функцией.

Легко проверить, что G(ψ) действительно удовлетворяет волновому уравнению. Достаточно воспользоваться правилом дифференцирования неявно заданной функции и правильно вычислить величины:

k' = dk/dψ,

∂ψ/∂t = 1/(1 + k'),    

∂ψ/∂x = – 1/c(1 + k'),

присутствующие в первых производных:

G' = dG/dψ,

∂G/∂t = G'·∂ψ/∂t,

∂G/∂x = G'·∂ψ/∂x

Вычисляя вторые производные, получаем:

2G/∂t2 = G''·(∂ψ/∂t)2 + G'·∂2ψ/∂t2,

2G/∂x2 = G''·(∂ψ/∂x)2 + G'·∂2ψ/∂x2

Входящие в них вторые производные переменной ψ равны:

2ψ/∂t2 = – k''/(1 + k')3,    

2ψ/∂x2 = – k''/c2(1 + k')3.

Подставляя полученные величины в волновое уравнение

c2·∂2G/∂x2 – ∂2G/∂t2 = 0,

убеждаемся в его справедливости и для функции G(ψ).

Необходимо по этому поводу заметить, что после решения уравнения (4.12) в явной форме мы получим уравнение именно в форме, найденной Даламбером.

3 Волновое уравнение в равномерно движущейся относительно среды с.о.

Предыдущее решение волнового уравнения было выполнено в с.о., покоящейся относительно среды ее распространения. Выведем это же уравнение в движущейся со скоростью vi относительно среды с.о. Для этого формально воспользуемся обратными преобразованиями ковариантных тензоров при ГПТК. Применим ее к волновому уравнению (4.9):

j,ij =

(j',00 + j',ijvivj) (j',0jvj + j',i0vi)

j',0j j',ijvi

(32)

j',i0 j',ijvj

j',ij

 

Это выражение симметрично относительно главной диагонали. Здесь индекс 0 означает частную производную по координате времени, а i – индексы частных производных по пространственным координатам.

В результате получим:

j,00 = j',00 + j',ijvivj – 2j',i0vi,

j,i0 = j',i0 j',ijvj,

j,ij = j',ij.

(33)

 

Следовательно, волновое уравнение

j,00 j,ii = 0

преобразуется в:

j',00 + j',ijvivj 2j',i0vi j',ii = 0,

j',00 j',ii = 2j',i0vi j',ijvivj.

(34)

Эта форма инвариантна относительно преобразований Галилея. Она применима к изучению волновых движений в не релятивисткой с.с. для волн с не релятивистскими скоростями распространения (например, звука), но не применим к распространению света и других фундаментальных взаимодействий.

Эта форма уравнения говорит о том, что фронт волны распространяется как бы в пространстве с особой эффективной метрикой

,

соответствующей равномерно движущейся со скоростью vi с.о. Существенное замечание – данная метрика действительна только для волнового процесса распространения малых возмущений параметров фоновой среды. В самой исходной фоновой среде метрика остается галилеевой.

В связи с тем, что уравнение (34) остается верным и для случая произвольного конвективного движения фоновой с.с.  с малым градиентом скорости, удовлетворяющего уравнениям ее движения, можно сделать вывод, что волновое движение в такой среде будет описываться эффективной римановой метрикой gij, зависящей от параметров движения с.с. gij = gij(t,r), несмотря на то, что исходное пространство, в которой движется с.с., евклидово.  

Из уравнения видно, что в волновом уравнении появились дополнительные члены. Если значения скорости vi очень малы, то членом j',ijvivj в уравнении (34) можно пренебречь, и мы получим уравнение волнового движения

(j',00 - j',ii)2j',i0Vi = 0,

Если имеется только одна пространственная координата, например – x, то волновое уравнение еще более упрощается:

j',00 = j',xx j',xxv2 + 2j',x0v,

j',00 (1 v2)j',xx = 2j',x0v.

(35)

 

Из этого уравнения видно, что в движущейся относительно среды с.о. происходит изменение параметра волнового уравнения (скорости распространения волны?) в раз.

Если скорость среды достаточно мала, то членом v2 можно пренебречь, и тогда волновое уравнение (32) можно упростить:

j',00 j',xx = 2j',x0v.

(36)

В пределе j',x0v → 0 (малые скорости и частоты) уравнение (32) переходит в свою наиболее простую (исходную) форму:

j',00 j',ii = 0.

4 Диффузионный перенос вещества в покоящейся среде

Это движение осуществляется за счет переноса вещества между соседними участками неоднородной по своим параметрам с.с. При этом происходит усреднение параметров среды. Это не прямое силовое взаимодействие, потому что элемент среды не получает прямого силового ускорения. Диффузионное движение существует всегда. Законы Ньютона для нее не писаны. Имеются только 1–й и 2–й законы диффузии Фика.

Предположим, что существует с.с., в котором нет прямого переноса вещества (покоится), но в ней существует некоторое скалярное поле φ(r, t), характеризующее некоторое локальное внутреннее состояние неоднородности, например, поле температуры. Необходимо заметить, что наличие диффузионного тока в одном направлении предполагает также наличие обязательного обратного потока сопряженного тока. В этом заключается суть обменности этого взаимодействия. Для поля температуры это означает, что в одном направлении движутся более горячие элементы с.с., а в другом – более холодные, и их общий материальный (не тепловой) поток равен нулю.

Если поле φ не однородное, то его изменение в пространстве и времени можно выразить через частные производные функции распределения поля:

dφ = j,0dt +j,idri.

(37)

Эта формула определяет изменение плотности в соседней точке r + dr через малое время dt. В этой же точке это изменение определится по формуле:

dφ = j,0dt.

(37а)

Если поле φ может переноситься еще и конвективно со скоростью vi, то этот дифференциал можно выразить через уравнение:

dφ = (j,0j,ivi)dt.

(37б)

В этих уравнениях не учтено движение под действием ньютоновых сил давления и изменения состояния движения за их счет.

В то же время, если это поле не однородное, будет существовать некоторый (диффузионный) ток D, стремящийся уменьшить неоднородность этого поля:

Di = (D0, Di) = –dij · (j,0, j,j).

(38)

где Di – пространственный ток плотности диффузионного параметра за счет пространственной неоднородности поля φ.

D0 – временной ток плотности диффузионного параметра за счет временной неоднородности поля φ. Это не пространственный ток поля, а источник. За счет его может происходить изменение даже однородного в пространстве поля во времени, например, за счет взаимодействия с другими фракциями.

dij – 4–тензор коэффициентов диффузионного переноса параметра среды. Этот тензор должен быть отрицательным в связи с тем, что диффузионный ток направлен в сторону уменьшения поля φ, а градиент – в сторону его увеличения.

Уравнение (38) выражает первый закон Фика для диффузионного движения. Адольф Фик — немецкий физиолог, установивший законы диффузии в 1855 г. Необходимо заметить, что уравнение (38) не учитывает наличие конвективного тока vi и скорость диффузионного переноса.

С учетом этого расшифруем (38) по составляющим тока Di. Временной ток диффузии D0:

D0 = d00j,0 + d0jj,j.

 

Здесь d0j – коэффициент диффузии по временному индексу.

Пространственный ток диффузии Di:

Di = di0j,0 + dijj,j.

 

Здесь dij – пространственные коэффициенты диффузии. Выражает дифференциальную связь соседних объемов с.с. Это симметричный тензор.

Предполагая среду однородным и изотропным, мы можем предположить, что тензор dij должен быть симметричным диагональным с двумя существенными членами – временным dt и пространственным dr. При этом за счет этого потока через время dt поле φ получит прирост своего значения:

dφ = (D0,0Di,i)dt = (dtj,00drj,ii)dt.

(39)

Заметив, что дифференциалы dφ в выражениях (37) и (39) должны быть равны, имеем волновое уравнение диффузионного потока параметра φ с.с.:

(dtj,00drj,ii)dt = j,0dt,

(dtj,00drj,ii) = j,0.

(40)

 

Это уравнение выражает второй закон Фика для диффузионного движения покоящейся среды. Это уравнение очень похоже на волновое уравнение, но с дополнительным линейным членом. Если среда не находится в состоянии покоя, то в среде существует конвективное движение с полем скоростей v:

dj/dt = j,0j,ivi,

(41)

и с учетом этого и наличия возможных источников диффундирующего параметра qe уравнение (41) модифицируется:

j,0j,ivi = dtj,00drj,iiqe,

dtj,00drj,ii = j,0j,ivi + qe.

(42)

Из уравнения (42) видно, что диффузионный ток входит в правую часть уравнения неразрывности и является источником для сплошной среды. Это уравнение есть модифицированное уравнение неразрывности для движущейся диффундирующей сплошной среды.

 

 

 

Ссылка на этот материал: dvizhyeniye_volnovoye.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "шесть" to increase on "шестнадцать" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 54 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25