-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 05 2019. -------
Ссылка на этот материал: dvizhenie-v-krivolinejnoj-sisteme-koordinat.htm)


Движение в криволинейной с.к.

Еще одной формой описания движения м.т. является движение м.т. в пространстве с произвольной с.к. Такая с.к. называется криволинейной. Существование понятия криволинейности по умолчанию предполагает наличие метрики и геометрических понятий прямолинейности и "плоского пространства", в котором все прямые описываются линейными функциями. Принципиально имеется два вида криволинейных координатных систем.

1)      Криволинейная с.к. в плоском пространстве.

2)      Криволинейная с.к. в 3-х и 4-мерном римановом пространствах.

Криволинейную с.к. в плоском пространстве всегда можно сделать декартовым. Но бывают задачи, которые проще решить в некоторых других с.к., обладающих определенными симметриями. Наиболее распространены ортогональные не декартовы с.к. Это в частности полярные, сферические, гиперболические, параболические, их многомерные расширения и комбинации по различным группам осей. Возможно также применение более простых прямоугольных и косоугольных с.к.

Еще один тип криволинейных с.к. – неравномерно движущиеся (неинерциальные) с.к., в частности – равномерно или неравномерно вращающиеся с.к.

С.к. в римановом пространстве принципиально невозможно сделать плоским декартовым. Но в некоторых случаях возможно определить с.к. с определенными симметриями. Это те же полярные, сферические и другие, уже названные выше. Известно, что любое риманово пространство размерности n можно вложить в пространство большей размерности N = n(n +1)/2.

Можно также выделить почти декартовы и не декартовы с.к. Почти декартовы с.к. – это с.к., мало отличающиеся от прямоугольной декартовой разметки вплоть до первых производных от почти единичного (±1) метрического поля. Все остальные с.к. являются не декартовыми. Они могут быть как плоскими, так и римановыми. Они характеризуются большим разбросом значений метрических полей по всему пространству: от -¥ до +¥.

Почти плоские (почти декартовы) координатные системы заслуживают отдельного рассмотрения. Такими свойствами обладают локальные участки практически всех пространств. Только размер локальности может варьироваться. Но можно сразу сказать: окрестность любого гравитирующего материального тела таким не является. Это скорее риманово пространство с определенной симметрией типа точечного, вращения или масштабного.

Наряду с почти декартовыми с.к. можно рассматривать и выделенные какими-то симметриями с.к. с малыми отклонениями. Их основные виды приведены выше.

Почему надо рассматривать римановы пространства? Классическая и релятивистская механики, а также теории элементарных частиц, не затрагивающие гравитационное поле, строятся в плоском евклидовом пространстве. Общая теория относительности (ОТО) и теории, затрагивающие гравитационное поле, строятся в римановом пространстве. Поэтому возникает необходимость рассмотрения движения и в римановом пространстве. Тем более, что ОТО предсказывает, что глобально Вселенная является ограниченным пространством с (почти) постоянной положительной кривизной с топологическими лучами-дырками на месте черных дыр. Т.е. он похож на трехмерную сферу-еж.

3)      Риманово пространство с абсолютным временем.

Это еще один частный случай пространств. Ее прообразом является галилеево пространство. Он характеризуется тем, что время и пространство в ней абсолютны. Время можно синхронизировать одновременно в о всем пространстве. Достаточно определить векторное поле с нулевой циркуляцией.

С точки зрения разметки можно сразу выделить слои абсолютного пространства с синхронизированным временем или не выделять. В первом случае слои пространства и времени могут быть римановыми по отдельности, во втором римановым является все единое пространство-время. Можно сказать все то же самое, что по пунктам 1 и 2, с учетом особенности координаты времени.

Каких либо особенностей в описании кинематики движения м.т. в таком пространстве не имеется. Основными параметрами движения по прежнему остаются координаты, траектория движения, скорость  и ускорение. Даже уравнения движения не изменяются. Только правила преобразования параметров уравнения движения будут более сложными.

Но кое-какие особенности все же проявляются. Эти особенности кроются в наличии возможной не тривиальной неевклидовой геометрии Пространства. Эта особенность подразумевает наличие метрических свойств у пространства. В теории разметка и метризация определяются выбором наблюдателя.

Особенностью движения м.т. в произвольно размеченном пространстве является свободное (инерционное) движение м.т. вдоль геодезический линии и отход траектории движения от геодезической при наличии дополнительных, не обусловленных геометрией, ускорений. Это непосредственно следует из трех законов Ньютона. При этом должно происходить изменение скорости как за счет инерционных ускорений, так и внешних полевых ускорений. Эти ускорения совместно определяют динамику кинематического движения м.т. Под инерционным движением подразумевается движение при отсутствии внешних ускорений вдоль геодезической, что соответствует параллельному переносу вектора в пространстве в направлении движения. Для вектора скорости это соответствует первому закону Ньютона.

1.  Метрика пространства

Движение в произвольно размеченном пространстве полностью определяется ее метрикой. Это движение удовлетворяет условию геодезичности линии движения между любыми двумя точками: движение происходит по траектории с минимальной длиной S = òds.

Общий случай метрики определяет криволинейную с.к. и даже более – в неевклидовом пространстве. Неевклидово пространство может иметь кривизну и не тривиальную топологию. Примером ее с положительной кривизной может быть сфера, с отрицательной - гиперсфера.

Метрические свойства пространства тесно связаны с ее разметкой и ее последующей метризацией посредством физических эталонов. Именно реальных физических эталонов с определенными инвариантными свойствами. В этом смысле имеются два типа эталонов. Это абсолютные эталоны галилеева пространства и релятивистские эталоны зависимых друг от друга пространства и времени. В 4-мерном римановом пространстве-времени в связи с этим также имеются две возможности. Для галилеева пространства не существует общей 4-метрики, а существуют две отдельные независимые вырожденные метрики – инвариантная глобальная линейная абсолютная метрика "промежуток времени" t = dt и 3-мерная "расстояние" dl2 = Si(dri)2, действующая только в пределах пространства одновременности. Для галилеева пространства также возможна особая изотропная метрика "интервал" ds2 = c2dt2 - Si(dri)2 (или как альтернатива ds2 = dt2 - Si(dri)2/c2), связанная с существованием фундаментальной скорости c, которая приводит в конце концов к релятивистскому пространству-времени с зависимыми друг от друга пространством и временем. Первая форма позволяет интерпретировать метрику "расстояние" как предельный случай от "интервал" при стремлении фундаментальной скорости c к нулю, а второй "промежуток времени " как предельный случай от "интервал" при стремлении фундаментальной скорости c к бесконечности. В связи с изложенным имеется два принципиально различных вида метрических пространств "галилеевы" и "релятивистские", и одно промежуточное, переходное между ними – галилеево с абсолютной изотропной метрикой. Соответственно галилеева и релятивистская эталоны – это две совершенно различные эталоны. Далее предполагается, что пространство релятивистского типа.

В 4-мерном римановом пространстве-времени пространство и время зависимы друг от друга и возможно организовать общую 4-метрику ds = ds(gij(q),dq) через метрический тензор gij(q):

(20)

При этом элемент g00 определяет в текущей с.к. скорость течения времени: она говорит, что в одной единице разметки времени умещается Ö(g00) эталонных единиц времени. Соответственно элемент gii определяет квадрат эталонной  длины одной единицы разметки пространства в направлении оси с индексом i. Недиагональные элементы gij: i ¹ j определяют степень косоугольности координатной разметки пространства. Элементы g0j и gi0i, j ¹ 0 определяют наклон "3-мерного пространства одновременности" к "временной" оси q0 и определяются "углом неодновременности" точек пространственной координатной сетки для наблюдателя вдоль соответствующей оси.

Если метрика не зависит от времени, то она называется стационарной. Диагональная метрика задает ортогонально (не обязательно прямоугольно) размеченное пространство. Если метрика постоянна в пространстве и имеются не нулевые не диагональные элементы, то система координат - косоугольная.  Единичная диагональная метрика Eij задает прямоугольное декартово пространство.

В случае слабых метрических полей в почти плоском в среднем пространстве-времени метрику gij можно разделить на две части – евклидову плоскую метрику Eij и ее вариацию dgij и записать в виде (с преобразованиями). Если dgij << 1, то имеем:



(21)

Через скорость vi м.т. пройденный им за координатное время dt путь ds будет равен:

(22)

В случае малых значений скорости м.т. vi << c и параметров dgij << 1 этот путь можно записать в следующем виде (до второй степени малости по скорости):

(23.1)

Т.к. dgij << 1, то эту формулу можно упростить.

В пределе  классической механики со скалярным ½dg00 и векторным dg0j потенциалами:

ds ~ (1 - ½dg00 - dg0jvj - ½v2)dt.

(23.2)

В пределе  классической механики с потенциалом:

ds ~ (1 - ½dg00 - ½v2)dt.

(23.3)

В пределе  классической механики:

ds ~ (1 - ½v2)dt.

(23.4)

что указывает на пустое пространство даже без м.т.

Путь ds соответствует собственному времени, прошедшему по собственным часам м.т. Время dt здесь соответствует координатному времени. Все члены вышеприведенных функций без радикалов, кроме единицы, называются релятивистскими поправками.

2.  Галилеево пространство

В 4-мерном галилеевом пространстве-времени пространство и время независимы друг от друга (абсолютны) и общую 4-мерную биметрику организовать не получается. Поэтому на ней возможно определение двух независимых метрик – временной dt  = cdt (или более общая dt  = g0dt + gidri) и 3-мерной пространственной dl = Ö(gijdridrj). Первая метрика является линейной, вторая – билинейной.

Формально 3-метрику можно определить как 4-метрику, но в этом случае элементы метрики g00, g0i и gi0 необходимо обнулить. Метрика получается вырожденной. При произвольных преобразованиях координат, оставляющих слой пространства с одним и тем же временем t = const неизменным, это условие не будет нарушаться. При этом время будет определяться линейной метрикой dt = g0dt

В  пространстве также возможна организация метрики в обобщенном 4-мерном линейном виде (см. далее)

dt = gidqi = g0dt + gidri.

(24)

Эту метрику возможно применять для пространств галилеева типа с абсолютными пространством и временем для определения абсолютного времени. В таком же виде входит в действие векторный потенциал электромагнитного поля:

dse = eAidqi = e(A0dt + Aidri).

(25)

Из (25) формально можно предположить, что электромагнитное поле каким то образом связано с полем АСО галилеева пространства.

3.  Связность пространства

Пространство с криволинейной с.к. в общем случае является римановым пространством.

Свободное движение м.т. в произвольно размеченном плоском (евклидовом) пространстве происходит вдоль геодезический линии. Это непосредственно следует из трех законов Ньютона, точнее – из первого: геодезическая линия является прямой риманова пространства. Движение вдоль геодезической линии обобщается и на случай произвольного 4-мерного риманова пространства. В общем случае риманова пространства движение вдоль геодезической связано с изменением координатной скорости вдоль траектории и изменением ее направления. Следовательно, такое движение ускоренное. Ускорения определяют динамику кинематического движения м.т. Движение вдоль геодезической соответствует параллельному переносу вектора скорости в пространстве в направлении движения. Для вектора скорости это соответствует первому закону Ньютона. При этом

dvi = -Gijk vjdrk = -Gijk vjvkdt.

 

(26.1)

Здесь Gijk – это псевдотензоры аффинной связности риманова пространства.

Метрика может зависеть от времени. При этом в предыдущей формуле необходимо добавить индекс 0:

dvi = -(Gi00 + Gij0vj + Gi0k vk + Gijk vj vk)dt.

 

(26.2)

Если элементы тензора связности симметричны по нижним индексам, то

dvi = -(Gi00 + 2Gij0vj + Gijk vj vk)dt.

(26.3)

Эти уравнения говорит о том, что в римановом пространстве существует поле ускорений, которые можно назвать полями инерционных ускорений. В отношении материальных тел они определяют силу инерции.

Зная метрику риманова пространства, коэффициенты псевдотензора связности можно определить с помощью формулы

(26.4)

Замечание. Если рассматривается 4-мерное риманово пространство, то индекс принимает значения от 0 до 3. Для 3-мерного пространства индексы принимают значения от 1 до 3.

4.  Виды ускорений в римановом пространстве

Найдем изменение скорости м.т. за время dt. Здесь мы будем исходить из того, что при свободном движении в криволинейном пространстве вектор скорости должен, во первых, переноситься параллельно самому себе и, во вторых, должен получать дополнительную скорость за счет дополнительных не метрических внешних ускоряющих воздействий wc. А это происходит в соответствии с уравнением


i,j,k Î {1..3}.

(27)

где dvi – ковариантный дифференциал изменения вектора скорости м.т. за время dt. Откуда имеем

(28)

В дальнейшем внешнее ускорение wci принимаем равным нулю: внешнего поля нет.

Если криволинейная с.к. не стационарна, то ко множеству индексов формально добавляется индекс 0. При этом скорость v0 в координатном представлении галилеева пространства всегда должна оставаться единицей: dt/dt =1, а ускорение – нулем: d2t/dt2 = 0. Запишем уравнения движения для такого случая, специально выделяя индекс 0 для свободной м.т.:



(29)

В силу произвольности скорости м.т. vi мы должны приравнять нулю все коэффициенты G0jk в вышеприведенном уравнении.

Для пространственного ускорения при i ¹ 0 имеем

(30)

По прежней же причине здесь одним из решений будет равенство нулю всех коэффициентов Gijk, что соответствует равномерному прямолинейному движению в плоском евклидовом пространстве без взаимодействия: vi = const.

Но должны существовать и другие решения, соответствующие криволинейным координатам, в т.ч. не плоским. Из последнего уравнения видно, что в произвольной криволинейной с.к. возможно существование трех видов 3-мерных псевдотензорных ускорений: псевдовекторного Gi00, псевдоматричного Gi0k и квадратичного по скорости Gijk. Первый вид ускорения соответствует переносному, второй – кориолисовому, третий – центробежному (см. п.4. "Вращающиеся с.о.").

Для примера рассмотрим движение в неподвижном пространстве, размеченной стационарной полярной с.к., где G122  =  -r, G212   = G221   = 1/r (все остальные элементы нулевые). Тогда



(31)

Здесь член dv1/dt соответствует центробежному ускорению, а член dv2/dt  - угловому ускорению.

Вопрос: как эти ускорения соотносятся с реальностью?

Естественно, реальное физическое ускорение, измеренное акселерометром, при отсутствии внешних полей будет равно нулю, а скорость - постоянна, что соответствует равномерному инерционному движению по геодезической (прямолинейной) траектории. Никакой прибор, измеряющий ускорение (акселерометр), не покажет ее наличие. Эти ускорения – это чисто координатные ускорения. Реальные ускорения и силы могут появиться только при наличии внешних воздействий на тело. Например, на земле на любое тело действуют силы притяжения Земли и реакция поверхности земли, ее нейтрализующая.

Противоположный пример – космический корабль с космонавтом на орбите Земли. Корабль летит и космонавт со своей точки зрения никаких реальных ускорений не испытывает – летит по геодезической линии по инерции. Вроде бы противоречит здравому смыслу – ведь корабль притягивается Землей и летит по криволинейной (эллиптической) траектории с точки зрения земного наблюдателя, и, следовательно, должно существовать ускорение. Но если встать на точку зрения космонавта, находящегося внутри корабля с зашторенными иллюминаторами, никакого притяжения Земли он не замечает – внутри состояние невесомости. И даже вряд ли поймет, что находится в поле притяжения Земли, пока не выглянет в иллюминатор. Наглядный пример относительности ускорения.

Точно так же и со скоростью: абсолютная скорость не измерима. Измеримы только относительные скорость и ускорение. Координаты можно задать достаточно произвольно. Но для определения относительного движения в пространстве и времени нужна метрика. Физически они определяют необходимость применения эталонов длины и времени.

 

Ссылка на этот материал: dvizhenie-v-krivolinejnoj-sisteme-koordinat.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 95 сложить с "четыре" равно:

---Load files---
Сегодня - 14_12_2019
Время переоткрытия сайта 04 ч 49 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:1 V:1 N:7
Уникальных посетителей за текущие сутки: 1 Просмотров: 1 Этой страницы (всего): 7