Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: February 28 2019. -------
Ссылка на этот материал: kinyematika_matyerial'noj_tochki.htm)
 Кинематика движения материальной точки

1      Движение материальной точки

Долгое время понятия о кинематике были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Кинематика и динамика не разделялись. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению».

Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.

В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.

После создания СТО, показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики.

1.1    Понятие материального объекта

Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки. Определимся, что такое материальная точка или "м.т.", система материальных точек ("с.м.т."), сплошная среда (далее "с.с.") и вообще материальный объект (далее "м.о.").

М.т. и состоящие из них с.м.т., и с.с. - все это, конечно, идеализированные физические материальные объекты (м.о.).  М.т. – наиболее элементарная из них. Физически м.т. – это материальное тело или другой физический объект, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. При определении координатной системы каждая м.т. получает определенные значения координат, а м.о - координатную область, в которой она находится.

С точки зрения математического описания, м.т. – это выделенная точка геометрического пространства, которому приписаны материальные свойства, и она обладает свойством неделимости. С.м.т. – это несколько м.т. Материальные точки из с.м.т. можно нумеровать (индексировать). С.с. – это уже область геометрического пространства, где каждой ее точке приписываются материальные свойства, и она обладает предельными свойствами "плотности". И вообще, с математической точки зрения м.о. - это особые выделенные структурированные объекты пространства. На них в некотором смысле нарушается однородность и изотропность пространства, эти точки и области пространства отличаются от других, не материальных, областей.

Математически материальность области пространства описывается функцией плотности, имеющей смысл "количества материального (м.т. или чего-то еще) в единице физического пространства". Мощность этого материального может в любой области пространства быть конечной, счетной и континуальной и в принципе более чем континуальной.

Каждая м.т. характеризуется своим определенным набором скалярных параметров – масса, электрический заряд. Материальная точка изотропна. В модели материальной точки не рассматриваются не изотропные структурные характеристики частиц: момент инерции, дипольный момент, собственный момент, спин и др.

1.2    Что такое кинематика

Кинема́тика м.т.  — раздел механики, изучающий математическое описание движения м.т. Основное пространство кинематики – непрерывное многомерное метризуемое топологическое координатное пространство, размеченное с помощью числового поля. Стандартный обязательный набор параметров движения – координаты, траектория, координатные скорость и ускорение. Соответственно, для анализа движения м.т. задаются поля траекторий движения r(t, r0), скорости v(t, r), ускорения w(t, r). Степень детализации параметров движения может быть различной в зависимости от условий задачи.

Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение. Область определения кинематики – описание траектории движения материи, в отношении которых можно определить понятия координата, скорость, ускорение, не обязательно в метризованном пространстве.

В метризованном пространстве появляются понятия вектора, тензора, скалярного и векторного произведения, внешнее и внутреннее (свертка) произведения векторов и тензоров, модуль вектора. А также ИСО – инерциальная система отсчета. Появляются дополнительные понятия, связанные с метрикой – прямой, окружности, равномерности, параллельности и перпендикулярности. Появляются понятия эталона и процесса измерения, длины и продолжительности, ортонормированности/римановости применяемой системы координат. В связи с этими понятиями появляются дополнительные задачи, возлагаемые на кинематику.

Основными реальными пространствами, применяемыми в кинематике, являются галилеево пространство и пространство Минковского, представляющие собой композицию 3-мерного пространства и 1-мерного времени. А также 4-мерное (4=3+1) риманово метрическое пространство произвольной топологии.

Задачи кинематики очень похожи на геометрические, но ее отличие заключается в существовании параметра "время", и именно через нее определяется "движение", в отличие от геометрии. Каких либо ограничений на характер движения м.т. в пространстве, параметризацию и метрические соотношения этого пространства нет. Причина этого в том, что в кинематике нет законов движения, а есть только само движение:

ri = ri(t): i Î {1..3}.

Ограничения появляются при наложении определенных условий на это движение. Эти ограничения определяются геометрией траектории – например, по прямой или по окружности, или топологией пространства движения - например, по поверхности сферы.

Задача кинематики в метризованном пространстве определяется метрическими условиями. Самые простые условия – метрические условия равномерного или равноускоренного движения по прямой или окружности в галилеевом или псевдоевклидом ортонормированном пространствах. Или движение во вращающейся с.о. В римановом пространстве в общем случае можно поставить вопрос о движении только по геодезической прямой. Любое другое движение является специфическим, если риманово пространство не плоское.

Метрические условия появляются в любой задаче, в которой траектория движения параметризована каким-либо способом: даже 3-мерное движение, параметризованное координатой "время" t, уже является метризацией.

1.3    Что такое динамика

Динамика м.т. – (греч. δύναμις — сила) — раздел механики, изучающий движение тел под действием приложенных к ним сил и причины возникновения механического движения. Динамика как раздел механики дополнительно оперирует такими понятиями, как масса, сила, импульс, энергия. Именно сила является причиной движения. Метризация просто необходима для изучения движения под действием сил хотя бы потому, что многие физические понятия определяются через геометрические эталонированные "время" и "расстояние", в частности, "энергия" и "работа" определяется через скалярное произведение.

Состояние движения с.м.т. определяется параметрами движения каждой отдельно взятой м.т. Состояние движения абсолютно твердого тела определяется дополнительно ориентацией в пространстве и вращением, моментом импульса и моментом силы. В отличие от абсолютно твердого тела, движение с.с. определяется ее плотностью и скоростью в каждой точке пространства, им занимаемой, и проявляется геометрически и физически в ее деформации.

В отношении к движению м.т. динамику движения м.т. в кинематике можно применять для изучения ее "ускоренного" (неравномерного) движения в неинерциальных с.о и/или неевклидовых криволинейных пространствах с определенной геометрией . В таких с.о. существует причина, которая заставляет свободную материальную точку изменять свое состояние движения (координатные скорость и ускорение) даже в отсутствие внешних сил, причем вполне однозначным способом: это криволинейность и/или неинерциальность с.о. Действующие здесь силы – это поля ускорений. Естественно, здесь у понятий "масса", "сила", "импульс" и "энергия" изменяется их физический смысл и/или вовсе не применяются. Может, это не кинематика? И да, и нет – здесь вводятся новые понятия – силы и/или ускорения инерции, действующие против метрических координатных ускорений.

Динамика, базирующаяся на законах Ньютона, называется классической. Здесь же рассматриваются гравитационные силы взаимодействия между телами. Математически пространство механики Ньютона – евклидово, или, точнее, галилеево. И ограниченно тензорное.

Движение одной м.т. определяется силами, действующими на нее со стороны сил инерции (см. выше) и внешних сил. Например, гравитационными или электромагнитными, контактными силами трения и сопротивления. Гравитационное взаимодействие определяется через скалярное силовое поле, градиент которой определяет ее силовое действие на другие массы. В ОТО Эйнштейна гравитационные силы отождествляются с силами инерции. Есть теории, в которых электромагнитное взаимодействие отождествляется с силами инерции, но в более многомерном – 5-мерном – пространстве.

Есть динамика нескольких м.т., или системы м.т. Движение каждой м.т. в такой системе определяется законами взаимодействия. Примеры – те же. Только источниками сил уже являются сами эти м.т.

Есть динамика твердых тел. Движение твердого тела происходит в 5-мерном пространстве, два из которых циклические. Наиболее яркий пример твердого тела со сложным движением – гироскоп.

Есть динамика сплошных сред. Это аэро-, гидро- и газодинамика. Есть много других динамик, изучающих движение объектов типа сплошной среды в особых состояниях, например, динамика плазмы. Движение с.с. определяется статическим давлением (плотность массы и заряда, температура), силой инерции и током (от скорости), тензором упругости и вязкостью, а также внешними силами. А также концентрационными параметрами многокомпонентной с.с. и диффузии.

1.4    Особенности кинематики и динамики

Кинематику и динамику движения м.т. можно разделить на несколько больших классов: классическую, релятивистскую, на метрических и не метрических пространствах, в плоском и не плоском  пространствах  различной размерности и топологии. В не метрических пространствах расстояния не определены и такие пространства в физике не рассматриваются. Метрическое пространство - пространство, в котором определена метрика (расстояние)  между любыми точками. Плоское пространство – это метрическое пространство с нулевой кривизной (евклидово, галилеево, минковского, цилиндрические). Не плоское пространство является метрическим неевклидовым пространством с ненулевой кривизной – положительной (риманово), отрицательной (лобачевского).

От размерности используемого пространства различают линейную (1-мерную), плоскую (2-мерную), пространственную (3-мерную) и т.д. В метрическом отношении пространство может быть евклидовым или псевдоевклидовым.

Классические кинематика и динамика определяются в галилеевом абсолютном пространстве с использованием абсолютных эталонов, которые не зависят от состояния движения с.о. Возможно движение с произвольной ничем не ограниченной скоростью.

Релятивистская кинематика и динамика строятся в пространстве Минковского с использованием релятивистских эталонов, которые зависят от состояния движения с.о. Это означает, что нельзя сравнивать взаимно подвижные материальные объекты без потери инвариантности отношения параметров. Особенностью этого пространства является ограничение на предельно допустимую скорость м.о. – не более скорости света. В силу этого определить, что понимать под релятивистской кинематикой, можно только на уровне соглашений. Например, что понимать под равноускоренным движением м.т.? Если под ним понимать классическое определение, то непременно выйдем за пределы разрешенной скорости. Поэтому в СТО под равноускоренным движением понимается постоянное, неизменящееся ускорение в собственной с.о. м.т., т.е. локально покоящейся касательной относительно м.т. с.о. Да и определение релятивистской скорости довольно специфическое.

Динамика, базирующаяся на СТО Эйнштейна в пространстве Минковского, также называется релятивистской. СТО – наиболее обобщенная форма законов Природы "классического" типа. Его отличие от классической ньютоновой механики в том, что устанавливается эквивалентность между массой и энергией м.т.

В электродинамике, основой которой является все то же  пространство Минковского, рассматривается движение м.т. под действием электромагнитных сил. Электромагнитное поле – это векторное силовое поле, через градиент (точнее, 4-ротор) которой определяется ее силовое действие на заряженные тела.

ОТО рассматривает движение м.т. в римановом пространстве под действием гравитационных сил, имеющих "(гео)метрическую" природу. Гравитационное поле – это симметричное 4-мерное тензорное поле ранга 2, определяющее кривизну пространства-времени, в которой движется м.т. Динамика движения м.т. в таком пространстве переходит в кинематику движения в римановом 4-мерном пространстве.

На уровне микромасштабов ─ молекулярном и атомном ─ появляется квантовая механика, исчезает материальная точка и ее кинематика и динамика, исчезает ее координата и сила, из механических понятий главными становятся энергия и момент импульса. Появляются понятия "состояние" и "вероятность состояния". Фактически, остается система с дискретным множеством состояний. Динамика в микромасштабе – это изменение вероятности нахождения системы в определенном состоянии во времени и пространстве.

В пределе нулевых расстояний и промежутков времени пространство-время в классическом понимании вообще может исчезнуть вместе с причинностью и детерминизмом.

2      Кинематика движущегося материального объекта

2.1    Свойства пространства и времени

То, что мы рассматривали ранее, никаким образом не касалось физики процесса движения. Оно касалось только общего математического описания этого движения, причем достаточно произвольного. В ней невозможно определить тип траектории движения, потому что нет инструментов для этого определения. В ней невозможно определить движение по прямой линии, по окружности или по другим типам траектории: все траектории движения одинаково равноправны. Для такого описания необходимы дополнительные определения.

На практике довольно часто встречаются задачи на движение м.т. по определенной траектории. Примеры:  движение по прямой, окружности, параболе. "Движение по прямой", "движение по окружности", а также движение по любой другой траектории с определенными заранее свойствами, предполагает наложение на форму траектории некоторых алгебраических условий и уже по определению предполагает определенные геометрические  свойства пространства описания движения, оставляющие эти свойства инвариантными относительно некоторых преобразований.

В реальной кинематике кроме 3-мерного пространства, еще рассматривается и 1-мерное время. В связи с этим появляется еще два понятия – равномерность и неравномерность, а также метрическое понятие "промежуток времени". И дополнительные кинематические понятия типа "равномерное (неравномерное) движение", "движение по прямой", движение по окружности", "криволинейное движение".

Вместе с этими свойствами появляется вопрос – каковы свойства применяемого нами математического пространства и времени? Оказывается, самым общим свойством применяемого нами математического пространства и времени является ее метризуемость. А также их однородность и изотропность. А дальше разные теории расходятся.

И эти описания даются геометрией. Именно в ней определены понятия прямой, плоскости, угла и многих других производных от них понятий. А также метрические понятия - расстояния, длины, А через нее – и окружности. И даже промежутка времени.

2.2    Та же точка или нет?

Вопрос: можно ли в пространстве и времени определить понятия "та же точка" и "другая точка"?

Ответ: понятия "та же точка" и "другая точка" можно определить для определенного момента времени в определенной с.о., но невозможно определить для разновременных точек. В пространстве-времени все точки другие, или разные. Даже если м.о. находится в состоянии покоя (в какой-то с.о), сказать, что он находится в одной и той же точке пространства невозможно: для движущегося относительно этого объекта наблюдателя его положение постоянно меняется. Возможность выделения точки через понятие " та же точка" определяет АСО.

2.3    Свойства материи

Физическая материя является вложенным в пространство-время объектом и имеет особые свойства. Она обладает индивидуальностью, в то время как область пространства не обладает этим свойством. В частности, м.т. является особенностью пространства, его особой, реперной точкой. Произвольная точка пространства таким свойством не обладает.

Вопрос: насколько реальны физические пространство, время, материя?

Ответ: настолько, насколько мы можем воспринимать их и изучать, измерять и сравнивать, помнить прошлое и предвосхищать будущее. Восприятие физического пространства у нас отождествляется с математическим числовым трехмерным евклидовым пространством. Материя воспринимается нами как вложенные в это пространство объекты. А время воспринимается через движение, изменение взаимного расположения  материи в этом пространстве. 

2.4    Основные понятия

Основным понятием кинематики является движение материального объекта в пространстве и времени. Движение определяется через ее положение, скорость, ускорение и т.д.

Для описания положения и движения м.т. применяются специальные модельные математические пространства, способные адекватно описать любое его состояние и движение. Обычно такими пространствами являются n-мерные топологические метрические (или метризуемые, непрерывные, полные, плотные) числовые пространства. Положение м.т. в каждый момент времени t определяется координатами {ri, t}: i Î {1..3}. Множество точек {ri} составляет траекторию м.т., а  множество точек {qi} составляет мировую линию м.т. В случае обобщенных координат qi: i Î {0..3..} (соответствие не обязательно) можно говорить о траектории при соответствии q0 ~ t, иначе можно говорить только о мировой линии.

Движение или мировая линия м.т. полностью определяется функцией координат ri от времени t: ri = ri(t). Особенностью мировой линии является ее непрерывность и однозначность: каждому значению t соответствует единственная точка ri(t). Единственность такой точки диктуется тем, что существует стрела времени и никакой материальный объект не может возвратиться назад во времени и оказаться в другой точке. Да и в той же тоже: нет определения для "та же точка" и "другая точка", потому что для этого надо выделить какую-то с.о. "Та же точка" и "другая точка" – понятия относительные.

В обобщенных координатах эти свойства могут и не соблюдаться, в силу ее обобщенности, но очень желательно, в силу физического существования стрелы времени.

Понятие "скорость" является производными от мировой линии понятием:

Скорость и ускорение - это величины, характеризующие величину и направление движения материальной точки в данной системе координат или системе отсчета. Классически скорость определяется через изменение координаты места нахождения r(t) м.о. в пространстве от времени t. Пространственными скоростью vi и ускорением wi м.т. называются кинематические параметры м.т., определяемые через первую и вторую производные параметров пространственного положения м.т. ri по временному параметру t некоторой литературе определяется еще ускорение "рывка" через третью производную координат по времени):

(1)

В силу определения скорости и ускорения через производные на вид мировой линии накладывается ограничение о достаточной гладкости/непрерывности мировой линии и существования этих производных как минимум второго порядка.

Для определения основных понятий кинематики – координаты, траектории, мировой линии, скорости, ускорения - нет необходимости в метрических отношениях пространства-времени. Но без метрики нет сравнения и нет знания. И как только появляется некий скалярный параметр типа расстояния или промежутка времени, измеряемые с использованием эталонов длины и времени, появляется метрика. Даже просто параметризация мировой линии с помощью сравнимого аддитивного скалярного параметра u вносит в кинематику элемент метрики. В частности, время и расстояние являются такими параметрами. Такими параметрами могут быть любые измеримые параметры пространства-времени. Математический аналог измеримости – существование метрической функции.

3      Координаты

Наиболее естественным является параметризация с помощью числового поля. Положение каждой м.т. в таком пространстве описывается ее числовыми координатами в каждый момент времени. Несмотря на то, что Пространство как объект исследования определен однозначно, ее конкретная координатная параметризация может быть определена достаточно произвольно. Одной и той же ее точке можно задать любое произвольное значение из некоторого множества, вплоть до того, что оно не будет связано никакими условиями, кроме однозначности.

Имеется два подхода к параметризации пространства и времени.

Первый – 3-мерный. В этом случае пространство и время параметризуются независимо. В случае применения ортонормированной с.к. (декартовой в евклидовом пространстве) параметризация соответствует эталонной: в единице любой координаты умещается ровно одна единица эталона длины или времени. При применении пространства с произвольной метрикой для параметризации координат оси времени все равно применяются эталонные понятия "время" и "расстояние". Это пространство классической механики.

Второй – 4-мерный (или даже произвольномерный). Здесь уже нет какой-то привязки значений координат к эталонам: эталоны будут косвенно присутствовать только в метрике пространства-времени. Также нет независимости пространственных и временной координат друг от друга. Это пространства Минковского СТО и с произвольной метрикой ОТО.

3.1    3-мерный подход

Практика показывает, что свойства физического пространства хорошо описываются евклидовой геометрией по крайней мере в привычных нам масштабах. Наиболее простой реализацией параметризации этого пространства являются декартовы координаты пространства и времени. Притом в классическом случае пространство и время абсолютны, т.е. независимы. Их независимость позволяет в физике ввести понятие инерциальных с.о.

Также широко применяются некоторые другие ортонормированные с.к. В частности, полярные и сферические.

Координаты в пространстве не обязательно должны быть декартовыми координатами м.т. с определенными метрическими свойствами. Любые N величин r1, r2, … , rN, вполне характеризующие положение каждой материальной точки из с.м.т., называются обобщенными координатами, а производные от них по времени – обобщенными скоростями, ускорениями, ... 

Параметризация с помощью числового поля предполагает, что пространство является топологическим метризуемым пространством. База топологии может быть определена через n-мерные параллелепипеды, где n – размерность пространства. Физически к параметризации предъявляются некоторые дополнительные требования. Это ее непрерывность по возможности без сингулярностей. Непрерывность предполагает, что близкие точки имеют близкие координаты:

из ("i:dqi®0) следует ("j: dqj®0).

Эти требования диктуются из того, что наблюдаемые нами движении м.о. происходят достаточно непрерывно, т.е. ни координаты, ни ее дифференциалы вдоль мировой линии не могут изменяться скачками. В принципе это же можно сказать и по любому другому дифференциалу координаты большего порядка вдоль мировой линии.

Координаты м.т. в реальном физическом пространстве в любой момент времени определяются тремя упорядоченными вещественными числами, проиндексированные числами от 1 до 3. Часто координаты в 3-мерном пространстве обозначают символами x, y, z, причем с правой ориентацией с.к. (см. рис. 1).

Рис. 1. Координаты в пространстве. Для точки A показаны ее координаты и скорость.

В классической механике движение м.т. определяется его координатами в произвольный момент времени t:

ri = ri(t): i Î {1..3}.

В данном уравнении индексы задаются символом i.

Для определения положения системы из n классических м.т. в пространстве необходимо задать n 3-мерных радиус-векторов r1, r2, … , rn, или n 3-мерных координат

(2)

в каждый момент времени t. Число 3n называется количеством степеней свободы системы n материальных точек, далее - с.м.т. При этом время t скорее выступает в качестве инвариантного параметра траектории движения м.т., чем какой-то координаты. Физический смысл этой инвариантности – одновременность события нахождения каждой м.т. в определенной точке пространства. На практике в физических теориях ему формально придается смысл дополнительной координаты, описывающей динамику. При этом свойство его инвариантности может пропасть (см., например, СТО).

Для сплошной среды одномоментно определяется функция плотности среды в каждый момент времени и ее скорости в каждой точке среды:

r = r(t; r1, r2, r3) = r(t; ri),

vi = vi(t; r1, r2, r3) = vi(t; rj).

(3)

где r1, r2, r3 – координаты точки пространства в момент времени t.

r – плотности в произвольный момент времени,

ri – координаты материальной области пространства в произвольный момент времени t. Одновременно выполняет роль континуального индекса элементарной материальной области м.о.

Но эти функции не дают закона изменения (движения) с.с. в пространстве и времени. Для этого надо знать динамические законы движения с.с.

Но даже такое описание не совсем полно – оно не учитывает эффекты броуновского движения и диффузии. При этом еще надо иметь еще ввиду, что с.с. может быть многокомпонентной.

3.2    Преобразования координат

Преобразования координат есть преобразования из одной системы пространственных координат K в другое K': K ® K'. Преобразованные координаты – это просто другая параметризация точек пространства. Преобразования координат должны удовлетворять тому же условию (п.2.1.1) - непрерывности: близкие точки должны отображаться в близкие же точки, без разрушения топологических окрестностей и непрерывности параметров скорости и ускорения.

3.3    Траектория движения и мировая линия  м.т.

Движение м.о. – такое же основное понятие кинематики, как и ее положение. Даже более: и положение, и движение – суть одно понятие. Положение описывает статическое состояние объекта во времени, и время в ней выступает как фиксирующий момент, а движение фокусирует нас на ее изменении во времени и пространстве. Здесь время присутствует уже в динамике.

Кроме положения в каждый момент времени, параметрами движения м.т. являются скорость и ускорение.

Линия, определяющая положение м.т. в произвольный момент времени, называется траекторией или мировой линией (см. рис. 2).

Основное свойство этой линий – ее непрерывность и ограниченность. Еще одно, но уже геометрическое и одновременно очень физическое, условие – ее метризуемость. Метризуемость определяет ее измеримость и физичность.

Для описания движения существенным является особая роль координаты "время" t: в процессе движения в каждый момент времени t м.т. может иметь одну единственное значение координат. Поэтому линия движения в 4-мерном пространстве-времени не может быть замкнутой: линия начинается в прошлом и продолжается в будущем. Но пространственные координаты во времени могут повторяться – траектория в 3-мерном пространстве может быть замкнутой.

Траектория или мировая линия задается условиями задачи или определяется как решение уравнения движения м.т. qi = qi(t).

Безымянный

Понятие "траектория" обычно применяется в механике и задает линию движения м.т. в трехмерном пространстве. Понятие "мировая линия" обычно применяется в специальной и общей теории относительности (СТО и ОТО) и задает линию движения в 4-мерном пространстве-времени. Далее линию движения в 4-мерном пространстве будем называть мировой линией, а ее проекцию на 3-мерное пространство – траекторией. Траекторией можно называть и мировую линию, если это понятно по контексту. Каждая точка "мировой линии" называется "событием".

3.4    Параметризация мировой линии и интервал

В классической 3-мерной механике траектория обычно параметризуется через время t. Это наиболее естественный параметр, по которой можно отследить движение м.т. Причем этот параметр согласовывется с эталоном. Через нее определяются кинематические параметры движения м.т. – скорость dr/dt и ускорение d2r/dt2.

Иногда встречается параметризация траектории движения через длину этой линии l, при круговом движении угол поворота j, высота над поверхностью земли h. Часто они применяются для замены 3-мерных координат для уменьшения размерности до 1 (единицы) с целью упрощения задачи, чем замены параметра "время" t. Исключительное положение параметра t в этом вопросе объясняется тем, что он является абсолютным, неизменным, с точностью до смены эталона времени и системы единиц измерения.

В принципе совершенно не важно, с помощью какого параметра параметризуется линия движения. От этого зависит только сложность исходных уравнений, задающих ее. Единственное требование к этому параметру – ее однозначность и направленность в будущее.

В 4-мерной механике привилегированное положение координаты t теряется в связи с тем, что он является таким же равноправным элементом, задающим координаты м.т., как и три пространственные координаты. Поэтому в 4-мерной кинематике м.т. линия движения параметризуется с помощью некоторого независимого скалярного параметра u:

qi = qi(u): q0 = t, qi = ri.

(4)

В качестве параметра u в уравнениях движения могут выступать параметры, имеющие определенный инвариантный физический смысл. Например, в классической и галилеевой механике это может быть эталонное время t : u = t = ∫dt, в силу ее абсолютности. В СТО и ОТО это скалярный интервал s : u = s = ∫ds. Этот параметр можно определить и как "собственное время" t  м.т.

Для однозначного определения траектории и/или мировой линии движения необходимо, чтобы движение происходило только в одном направлении – направлении стрелы времени. Это значит, что отображение u ® q(τ) является однозначным. Причина этого – однонаправленность собственного времени, что означает: одна и та же м.т. не может находиться одновременно (в один и тот же момент времени) в двух точках пространства. Движение в обратном направлении не является движением обратно во времени, и оно тоже происходит с увеличением параметра τ вдоль направления мировой линии.

Формулировки законов движения классической кинематики по координате t симметричны относительно не всех координат пространства-времени, потому что в них в качестве параметра для параметризации мировой линии применяется выделенная из нее координата "время". Это вполне соответствует духу построения физики в рамках абсолютного ньютонова пространства-времени, но не соответствует современным взглядам на пространство и время, в которой они равноправны. Следующая формулировка с применением скалярного параметра du, связанного не только с dt, вдоль траектории движения является симметричной относительно всех 4–x координат пространства–времени. Этот параметр является свойством пространства–времени и не зависит от м.т., а зависит только от координаты q и ее дифференциала dq. Мы не будем делать каких–либо предположений насчет физического объяснения способа задания параметра u. Возможен следующий формальный способ задания движения через параметр u (и/или du):

qi = qi(u) (задает отдельную траекторию),

dqi = Aidu (задает семейство траекторий).

(5.1)

Функция должна быть однозначной. Параметр Ai здесь является скоростным параметром. Действительно, из

(5.2)

следует, что

.3()

является скоростью м.т. по параметру u. А вектор Ai будет полем скоростей вдоль траектории. Задача – только за способом выбора параметра u (и/или du). Примером функционального задания параметризации траектории движения является параметризация временем движения t:

u = t,

ri = ri(t),

dri = Aidt.

(6.1)

Выбор способа задания параметра u можно сделать через задание параметра траектории с помощью метрических тензоров gij.…n(q):

du = du(q,dq) = gi(q)dqi: du/dt > 0,

du2 = du2(q,dq) = gij(q)dqidqj,

,

dun = dun(q,dq) = gij.…n(q)dqidqj…dqn.

(6.2)

где dqi – виртуальное перемещение м.т. при изменении параметра u на du,

gi(q) – векторное поле линейной метрики, или ковариантное векторное поле стрелы собственного времени пространства,

gij(q) – метрический тензор пространства,

gij..kl(q)  – полиметрический тензор.

du – инвариантный скалярный дифференциал параметра вдоль линии движения. Далее этот параметр будем обозначать: через du – в общем случае, – в случае применения метрики, определенной одномерным векторным метрическим полем gi, ds – в случае применения биметрики, определенной тензором gij ранга 2.

Если задана мировая линия движения м.т., то можно определить полный дифференциал по этой линии:

dqi = dqi/du · du = Vidu,

(7)

где Vi = dqi/du – скорость м.т. по параметру u мировой линии м.т.,

Примерами дифференциального задания способа параметризации траектории движения являются:

1)      наиболее естественный способ параметризации – через прошедшее по часам время:

du = dt = dt;

(8.1)

2)      естественный способ параметризации длиной 3-мерной дуги траектории движения l:

(8.2)

3)      параметризация траектории движения интервалом СТО s:

;

(8.3)

4      Скорость и ускорение

С к о р о с т ь - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения материальной точки в данной системе координат или системе отсчета. Классически скорость определяется через изменение координаты места нахождения r(t) м.о. в пространстве от эталонного времени t. Пространственными скоростью vi и ускорением wi м.т. называются кинематические параметры м.т., определяемые через первую и вторую производные параметров пространственного положения м.т. ri по временному параметру t некоторой литературе определяется еще ускорение "рывка" через третью производную координат по времени):

(9)

Параметр t соответствует временной координате, r – пространственным координатам.

Координатные скорость и ускорение, определяемые по отношению к временной координате t, в общем случае не отражают реальные скорость и ускорение в эталонных единицах, т.к. координаты могут быть реализованы произвольно. Но реальное физическое пространство-время очень близко по геометрии к евклидовому плоскому пространству и координатная сетка строится специальным образом, согласованным с классическими галилеевыми или релятивистскими эталонами длины и времени. В ней имеется метрика, что выражается в существовании измеримого расстояния и промежутка времени между любыми двумя точкам пространства-времени. В общем случае (в т.ч. при произвольной параметризации плоского пространства) это не так.

В математике из непрерывности линии траектории не следует, что скорость и ускорение будут вполне определены. Многие непрерывные линии в математике имеют фрактальную везде и в каждом масштабе структуру, не имеющую производной. Но реальные траектории должны быть непрерывны и ограничены в любой промежуток времени, и быть дифференцируемыми до второго порядка почти везде. Это условие гарантирует существование скорости и ускорения м.т. в любой момент времени и возможность применения математических методов анализа. В статистической и квантовой механике эти требования совершенно не уместны: у квантовой "м.т." в принципе нет определенной траектории и параметров движения. В классической механике максимум неопределенности – это предброуновское (колебательное) и броуновские молекулярные (атомные) тепловые движения или другие "почти случайные" движения. Эта неопределенность может также определяться информационной неполнотой о состояний практически бесконечного числа объектов и/или ограниченной точностью определения их параметров. А также "разрывностью" функции описания траектории от параметров м.т. Поэтому в этих случаях можно говорить только о средней статистической скорости.

Задание координат м.о. в определенный момент времени однако еще не определяет механического состояния системы, т.е. не позволяет предсказать положение системы в любой другой момент времени. При заданных значениях текущих координат система может обладать произвольными текущими скоростями, а при известных текущих скоростях – ускорениями и т.д. С математической точки зрения положение системы однозначно определяется

1) заданием ее начальных текущих и всех будущих координат в любой момент времени или

2) заданием ее начальных текущих координат и поля скоростей в любой точке пространства-времени или

3) заданием ее начальных текущих координат и скоростей  и поля ускорений в любой точке пространства-времени;

4) … (эту закономерность можно продолжить дальше). И, в общем,

5) знание текущих значений координат и всех ее производных по времени в начальный момент времени и поля следующей более старшей производной во времени по теореме Коши позволяет найти положение системы в любой момент времени в будущем.

Траектория или мировая линия определяется решением дифференциального уравнения соответствующего порядка. Для реальной взаимодействующей м.т. порядок дифференциального уравнения заканчивается числом два (что соответствует случаю 3), потому что взаимодействия определяют силу взаимодействия f, по второму закону Ньютона прямо пропорциональную ускорению w и обратно пропорциональную массе m: f = mw. Как отмечено выше, заданием ее текущих координат и скоростей  и поля ускорений в любой точке пространства-времени позволяет однозначно найти положение системы в любой момент времени. Сила, действующая на м.т., может зависеть максимально только от ее заряда (зарядов) m, ei, положения ri, скорости vi и, конечно, времени:

f = f(m, ei, ri, vi, t),

(10)

Для с.м.т. в качестве параметров должны пониматься обобщенные параметры, включающие в себя параметры всех м.т. системы.

4.1    Скорость м.т.

Зная координаты м.т. в любой момент времени, можно вычислить его координатную скорость:

(11)

 (здесь индекс "0" применяется для выделения производной по времени t, в отличие от производной по параметру u – см. далее). Таким образом определяется классическая 3-мерная скорость м.т. Эта формула корректна, т.к. классическая скорость относится к эталонному времени t.

Кроме классической скорости, возможно определение скорости по скалярному параметру траектории u(t, r):

(12)

Роль параметра u может быть различной. В частности, это время по часам, привязанным к м.о. Или топометра. Тогда параметр u выполняет роль некоего "метрического" скаляра вдоль траектории с метрическим коэффициентом

(13)

Классическая скорость v0i через них определяется по формуле

(14)

Заметим: 3-мерные координаты, разность координат и скорость не являются настоящими векторами.

Далее мы не будем использовать нижний индекс u (и 0 тоже), подразумевая ее в нужном месте по контексту.

4.2    4-мерная скорость м.т.

Сразу заметим: 4-мерные разность координат и скорость являются настоящими векторами, но сами координаты не являются векторами.

В настоящее время модно (и это правильно) использовать модель 4-мерного пространства, где вместо "три пространственные координаты ri: i Î{0..3 } плюс одна независимая абсолютная 'временная' координата t как параметр состояния объекта" используются "четыре равноценные объединенные координаты qi: i Î{0..3 }, где координата q0 соответствует координате t". Формулы, приведенные выше для 3-мерного случая, верны и для 4- мерного случая, только вместо трех координат ri будут применяться четыре координаты qi. Оставшийся элемент v00, определяющий скорость относительно этой дополнительной координаты – координаты "время" t - в этом случае принимает тривиальное значение: v00 = dt/dt =1.

Формально координатная 4-скорость vi относительно 4-й координаты "время" не является вектором, а является элементом 4-тензора ранга 2: vi ~ vi0. Для получения скорости со свойствами вектора необходимо (но не достаточно), чтобы делимое dq было 4-вектором, что конечно выполняется всегда, а делитель du в знаменателе выражения скорости dr/du был скаляром и определялся однозначно для любых двух близких точек пространства в направлении движения:

du = du(q, dq).

(15)

Таким параметром классической механики является эталонное время.

Таким параметром также может быть любая другая скалярная функция u(q) или линейная от дифференциалов функция координат u: du = du(q, dq) (в частности, примеры см. (8) и их различные комбинации). Их роль – метрическая, т.е. они метризуют пространство-время.

Для 4-мерной скорости движения Vi = (V0, Vi) будут выполняться следующие соотношения:

(16.1)

при этом:

(16.2)

 

где g0 –коэффициент пересчета параметра u в эталонное время t. Параметр u можно назвать классическим "абсолютным" или релятивистским "собственным" "временем" t м.о. В принципе он определяет некоторую "временную" метрику в пространстве-времени.

Преобразования соответствия между этими скоростями следующие:

(16.3)

Теперь насчет "неполной" скорости. "Неполная" скорость – это проекция скорости на координаты какого–либо подпространства пространства. В частности, это классическая 3-мерная скорость в 3-мерном пространстве. Выполнить условие неравенства нулю при произвольном преобразовании координат неполной скорости невозможно. Действительно, если взять любые две близкие точки близких слоев этого подпространства, соответствующих параметрам u и u + du, соответствующим преобразованием координат этим точкам можно придать одинаковые значения внутренней координаты по этому подпространству (3-пространству) при различных значениях дополнительных координат (времени), соответственно получим нулевую неполную скорость вдоль линии, соединяющей эти две точки. Следовательно, неполная скорость не является ни вектором, ни тензором, но в пределах слоя подпространства для преобразований, оставляющих этот слой инвариантным (при фиксированном t), он будет обладать векторными (тензорными) свойствами.

Кроме определения вектор-скорости, можно определить понятие модуля скорости м.т. Модуль скорости м.т. определяется по формуле

(17.1)

В галилеевом пространстве классической ньютоновой механике считается, что vi = vi .

(17.2)

В галилеевой и классической механике 4-модуль скорости определить возможно только как промежуток времени между двумя точками.

Рассмотрим, что в кинематике м.т. является тензором, а что – нет. Относительно координат t, ri и qi сразу можно сказать, что они не могут быть тензорами. Действительно, т.к. координаты определяются довольно произвольно, то для любой точки ее можно обнулить, переместив начало с.о. в эту точку. Это всего лишь координаты возможно аффинного пространства.

Относительно 3-мерной скорости vi можно сказать, что она тоже не может быть вектором. Действительно, соответствующим галилеевым преобразованием (переходом в другую с.о., движущуюся с этой же скоростью), ее можно обнулить.

Но дифференциал 4-координаты dq и 4-скорость dq/du являются векторами хотя бы локально: никакими преобразованиями координат их невозможно обнулить.

4.3    Ускорение м.т.

Ускорение определяется как скорость изменения скорости: w = dv/du, где u – параметр вдоль линии движения. Можно выделить несколько видов ускорения:

1)      Классическое w = dv/dt = d2r/dt2,

2)      Скалярное w = dv/du = d2r/du2,

3)      Смешанное w = dv/dt = d(dr/du)/dt,

4)      Смешанное w = dv/dt = d(dr/dt)/du.

Классическое ускорение wi = dvi/dt = d2qi/dt2 является координатным ускорением, где и в числителе, и в знаменателе стоят дифференциалы координат:

(18.1)

В галилеевом пространстве они соответствуют элементам соответствующего тензора и соответствуют  ускорению по скалярному параметру, соответствующему эталону времени t ~ t. Формально ускорения, определенные таким образом, не являются  векторами, а всего лишь элементами производных ранга 3 по координате времени вдоль мировой линии: wi ~ wi00: i Î {0..3}.

Через вторую производную d2qi/du2 = qiuu определяется координатно-скалярное ускорение м.т. Wi по скалярному параметру u вдоль мировой линии:

(18.2)

при этом:

(18.3)

Формально эти ускорения Wuui являются элементами вектора: i Î {0..3}.

Пересчитаем координатно-скалярное ускорение через координатное.






(19.1)

Из этой формулы видно, что координатно-скалярное ускорение в общем случае даже не коллинеарно координатному ускорению и выражается наиболее просто (и коллинеарно) через координатное, если vi = 0: i Î {1..3} или коэффициент  g0 не зависит от u, что равносильно g0 = const:



(19.2)

Кроме определения вектор-ускорения, можно определить понятие модуля ускорения м.т. Модуль ускорения м.т. определяется по формуле

(20.1)

В галилеевом пространстве классической ньютоновой механике считается, что vi = vi  и wi = wi .

В классической галилеевой механике 4-модуль ускорения можно определить только формально, в силу отсутствия 4-метрики. Но можно определить ее 3-мерный аналог. В классической ньютоновой механике считается, что для ускорения wi = wi , следовательно:

(20.2)

Хотя модуль ускорения обладает свойством быть инвариантным в плоском пространстве, но считать ее настоящим скаляром нельзя. В общем случае произвольной разметки пространства-времени и мировой линии ускорение W теряет свои векторные свойства, потому что ее можно обнулить соответствующим выбором системы координат, например, такой для точек вдоль мировой линии м.т. с произвольным продолжением на все пространство (в собственной неинерциальной с.о., например, свободно падающей в гравитационном поле):

r'1 = r'2 = r'3 = const.

Тогда в любой точке мировой линии V0 = 1, Vi = 0 и Wi = 0, несмотря на то, что в в исходной с.о. Wi ≠ 0. Ускорение Wi, определенное таким способом, является вектором только в инерциальных с.о., в частности, галилеевом пространстве.

4.4    Скорость и ускорение в КМН и СТО

Определения скорости и ускорения, данные выше, являются достаточно абстрактными и не определяют физической сущности этих понятий. Определение скорости через параметр t и u являются координатными. Реальный физический смысл параметра t – эталонное время неподвижного в текущей с.к. наблюдателя. Реальный физический смысл параметра u определяется соответствующей теорией. В КМН, СТО (и ОТО) этот смысл – отмеряемое часами эталонное время, Но в КМН это время – инвариант в любой с.о., а в СТО (и ОТО) - собственное время в с.о. м.о.  или лабораторной с.о.

С точки зрения механики движение м.т. в КМН и СТО рассматривается в плоском евклидовом и псевдоевклидовом пространствах с применением инвариантов, присущих этим пространствам. Эти пространства обладают вполне определенными геометрическими свойствами, которые проявляются и в описании движения м.т.

Координатные скорость и ускорение в ГТО и СТО определяются по формулам 

vi = dri/dt, wi = dvi/dt = d2ri/dt2,

(21)

При этом координатные скорость и ускорение по временной координате КМН и СТО принимают тривиальные значения (u = t):

v0 = dt/dt = 1,

w0 = dV0/dt = d2t/dt2 = 0.

(22)

Ньютонова (и галилеева) механика допускает любые значения для 3-скорости и 3-ускорения – от 0 до бесконечности, в СТО координатная 3-скорость ограничена сверху скоростью распространения взаимодействий, равной скорости света c в вакууме в данной точке.

Координатно-скалярные скорость и ускорение в КМН и СТО определяются по формулам 

Vi = dri/du, Wi = dVi/du = d2qi/du2,

(23)

Скорости (wi и Vi) и ускорения (wi и Wi), определенные выше, являются векторами.

В качестве параметра u в ГТО и КМН выступает время t: u = τ ~ t.

Скорость и ускорение в СТО строится точно также, как и галилеева. Но здесь необходимо учитывать специфическую особенность СТО – ее релятивизм. Релятивизм заключается в том, что промежутки времени, отсчитанные покоящимися лабораторными часами, отличаются от показаний, отсчитываемых подвижными часами, связанными с м.о. при движении вдоль мировой линии. В качестве параметра u в СТО выступает интервал s: du = ds = Ö(dt2dr2) = Ö(1 – v2)dt. Параметр s – это показания релятивистских часов, связанных с м.о.

Координатно-скалярные скорость и ускорение в СТО определяется по формуле

(24)

Видно, координатно-скалярная скорость не ограничена скоростью света. При этом квадрат полной 4–скорости в СТО в собственном времени всегда равен единице:

(25)

т.е. движение м.т. в СТО происходит с постоянной по модулю скоростью. Модуль 3-мерной части 4-скорости при этом может быть произвольной. Но 3-мерный модуль скорости м.т. в с.о. наблюдателя не может превышать скорости света: |vi| ~ |Vi| = 1.

Учитывая, что Vi = g0vi, имеем

(26)

Ускорение м.т. в СТО определяется следующей формулой:

(27)

Преобразуем выражение dg0/du, подставив в нее выражения для du и g0:




 

Подставим ее в предыдущую формулу:


(28.1)

Заметим: в скалярном произведении (v×w) участвуют только пространственные индексы, ибо w0 = 0. Временная часть будет равна:



(28.2)

Можно доказать, что 4-мерные (не 3-мерные!) ускорение W и скорость V взаимно ортогональны. Действительно:

(29)

 

 

где 3 – размерность базового геометрического пространства, в котором происходит движение,

L – количество взаимодействующих м.о.,

N – степень дифференциального уравнения,

 

Ссылка на этот материал: kinyematika_matyerial'noj_tochki.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "восемнадцать" умножить на "пять" равно:

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 05 ч 39 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:4 V:7
Уникальных посетителей: 4 Просмотров: 7