-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: kinyematika_tvyordogo_tyela.htm)
Кинематика твердого тела

 

1.  Кинематика твердого тела

Кинематика твердого тела – это раздел, в котором изучают кинематику абсолютно твёрдого тела. Основными задачами кинематики твердого тела являются задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом, а также определение кинематических характеристик движения точек, принадлежащих этому телу.

Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:

1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;

2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Существует следующие виды движения твердого тела:

1) поступательное движение;

2) вращение вокруг неподвижной оси;

3) Плоско-параллельное движение.

4) сферическое движение (вокруг неподвижной точки);

5) свободное движение.

Первые два называются простейшими движениями твердого тела. К простейшим движениям твердого тела относят поступательное движение и вращение тела вокруг неподвижной оси. Любое другое движение состоит из этих двух видов. Более сложные виды движения – сферическое и свободное или произвольное.

Поступательное движение — это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. Поступательное движение имеет три степени свободы, соответствующие координатам одной выделенной точки т.т. (о степенях свободы смотрите далее).

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Вращательное движение имеет одну степень свободы, соответствующую углу поворота одной выделенной точки т.т.относительно оси вращения

Плоскопаралле́льное движе́ние (плоское движение) — вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором все точки тела совершают движение параллельно некоторой плоскости. Но это не поступательное движение – возможно вращение т.т. параллельно выделенной плоскости. Плоскопараллельное движение имеет три степени свободы, соответствующие двум координатам одной выделенной точки т.т. в выделяемой ее движением плоскости и углу поворота ее относительно оси вращения. Практически это движение соответствует движению плоского т.т. в двумерном пространстве.

Сферическое движение (движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки) — движение абсолютно твёрдого тела, при котором оно имеет одну неподвижную точку. При движении вокруг неподвижной точки О каждая из точек твёрдого тела описывает в пространстве сферическую поверхность, центром которой является точка О. Сферическое движение имеет три степени свободы, соответствующие двум координатам одной выделенной точки т.т. на выделяемой им сферической поверхности и углу поворота относительно оси вращения, проходящей через эту точку и центр сферического движения.

Свободное движение - вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором единственным ограничением является сохранение формы т.т. Свободное движение имеет шесть степеней свободы, соответствующих координатам трех выделенных точек т.т., с сохранением связей (расстояний между ними.

2.  Область применения понятия абсолютно твердого тела

Вопрос этот не бессмыслен и имеет вполне определенный интерес, потому не всякое "пространство" допускает существование такого объекта. Точнее, абсолютно твердое тело может существовать в любом пространстве, но не всякое пространство допускает его "динамическое" существование.

Существование в пространстве означает, что он занимает определенную область геометрического пространства-времени. Это означает, что т.т. вложено в это пространство, а для этого необходимо, чтобы их метрические свойства в области вложения совпадали. Это означает, что для любых двух точек A, B тела T в один и тот же момент времени

(A Î T) & (B Î T) ® R(A, B) = R(rA, rB),

где  R(A, B) – расстояние между точками A и B тела,

R(rA, rB) - координатное расстояние между точками пространства с пространственными координатами точек A и B.

Невыполнение этого условия означает невыполнение условия определения абсолютно твердого тела.

Существование во времени означает его (а.т.т.) существование в каждый момент времени в прошлом, настоящем, будущем. Это также означает выполнение предыдущего условия в  каждый момент времени.

(A Î T) & (B Î T) ® R(A, B, t) = R(rA, rB, t).

"Динамическое" означает его существование во времени и в пространстве, т.е. в движении. К этому же можно отнести и простые перемещения и повороты т.т. в пространстве как особый вид движения.

Возможность перемещения тела в пространстве означает однородность пространства. Возможность поворота тела в пространстве означает изотропность пространства. Возможность движения означает, что пространство должно быть однородным и изотропным в пространстве и времени. В противном случае движение невозможно в силу отличия метрических свойств.

Замечание. Но это только достаточное условие. Необходимым является совпадение метрических свойств каждой окрестности точек тела и пространства вдоль траектории движения. Но оно является необходимым для произвольного движения тела.

Рассмотрим конкретные пространства.

1. Галилеево пространство является однородным, изотропным пространством в пространстве и времени. Область галилеевых пространств можно расширить до римановых пространств с постоянной кривизной его пространственной части.

2. Риманово пространство с абсолютным временем в общем случае может допускать существование т.т. с движением только при наличии определенных симметрий относительно движения. В противном случае т.т. должно быть вморожено в нее в некоторой области с совпадающими метрическими условиями. Если допускается произвольное его движение, то метрика пространства должна двигаться вместе с телом.

Твердое тело, вложенное в такие пространства с соблюдением метрических условий, будет жить в ней без каких либо проблем. Более того – в состоянии движения по любому закону, опять же с соблюдением метрических условий. Единственный вопрос, который может возникнуть в этой ситуации – как передать ускоряющее усилие в каждую точку тела.

3. Пространство Минковского (СТО) тоже является однородным, изотропным пространством в пространстве и времени. Поэтому в ней возможны перемещения и повороты как дискретные акты.

Область пространств с такими свойствами можно расширить, как и в предыдущем случае, до римановых пространств с постоянной кривизной. Замечания те же – см. п.1 и п.2.

С движением в пространствах таких типов имеются проблемы, и они связаны с известным из СТО явлением сокращения размеров движущихся материальных объектов и замедлением темпа течения времени в них с точки зрения наблюдателя. Поэтому считается, что существование твердого тела в ней невозможно.

 Другим подтверждением этого мнения можно считать невозможность одновременного синхронного движения каждой точки твердого тела хотя бы в связи с относительностью понятия одновременности и невозможности абсолютной синхронизации времени во всех состояниях движения. И это связано с конечной скоростью распространения сигналов силовых взаимодействий. Если просто – со скоростью света в вакууме.

Еще одно подтверждение – пространство, связанное с ускоренно движущимся телом, не является пространством Минковского.

Но все это с точки зрения 4-метрики риманова пространства с конечной скоростью распространения сигналов. Если метрические отношения в т.т. рассматривать в с.о., связанной с телом, то любое инерциальное движение в пространстве Минковского является допустимым. Потому что в ИСО, связанной с телом, метрические отношения сохраняются. Несмотря на то, что в с.о. внешнего подвижного относительно его наблюдателя размеры тела сокращаются.

Случай вращающегося тела – особый случай. С.о., связанная с таким телом, уже не является инерциальной.

В конце этой части можно сказать, что движение абсолютно твердого тела в экзотических пространствах, отличных от галилеева, не относится к широко изучаемым. Разве что можно назвать поведение почти т.т. в областях с сильным градиентом гравитационного поля вблизи массивных тел: за счет деформации метрической структуры тела возможно появление силы отталкивания в область с меньшей деформацией. Интерес теоретический, потому что структура тела может быть уже разрушена гравитационными силами и силы деформации исчезнут: жидкость и газ не обладают деформируемой структурой почти т.т.

Вывод: абсолютно твердое тело может быть непротиворечиво определено только в однородном изотропном галиеевом пространстве с абсолютным временем. Реально существуют только деформируемые тела и тела без метрической структуры, и они могут жить в любом пространстве.

3.  Понятие о степенях свободы твердого тела

Понятие о степенях свободы твердого тела возникает в связи с необходимостью однозначного описания его положения в пространстве во времени. Сколько степеней свободы – столько и координат необходимо для этого. Т.к. количество точек твердого тела бесконечно, то одним из способов описания является определение координат всех его точек. Но это практически невозможно. Поэтому речь идет о некотором минимальном количестве координатных параметров твердого тела. Таким образом,

Числом степеней свободы твердого тела называется число независимых параметров, которые однозначно определяют положение тела в пространстве относительно рассматриваемой системы отсчета. Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы.

image136

Рис. 2.1. Определение числа степеней свободы твердого тела.

Рассмотрим пример. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (рис. 2.1а), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис. 2.1б), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол поворота j диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис. 2.1в), то число степеней свободы становится равным трем – к x и j добавляется угол поворота рамки f.

Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы: например декартовы координаты x, y и z. Координаты точки могут определяться также в цилиндрической (r, j, z) и сферической (r, j, f) системах отсчета, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три.

Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат xОy, то координаты x и y определяют положение точки на плоскости, а координата z тождественно равна нулю.

Свободная материальная точка на поверхности любого вида имеет две степени свободы. Например: положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами: широтой и долготой.

Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета.

Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l. Положение каждой точки определяется тремя параметрами, но на них наложена связь (рис. 2.2).

 

 

Рис. 2.2. Число степеней свободы линейного тела.

 

Уравнение  l2(xA xB)2 + (yA yB)2 + (zA zB)2 является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров). Поэтому эти две точки имеют пять (2 * 3 – 1 = 5  или 3 + 2 = 5) степеней свободы. Расшифруем роль вышеиспользованных чисел в порядке их появления. 2 – количество точек, 3 – количество координатных или размерность пространства, 1 – количество наложенных связей, 3 – количество координат для определения первой точки, 2 – количество координат для определения второй точки, 5 – количество степеней свободы объекта.

Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями длины 1. Число степеней свободы этих точек равно шести: 3 * 3 – 3 = 6 или 3 + 2 + 1 = 6.

 

Рис. 2.3. Число степеней свободы плоского тела.

 

Свободное твёрдое тело можно определить или тремя, или четырьмя точками единичной длины и в общем случае имеет эти же 6 степеней свободы: 3 * 4 - 6 = 6 или 3 + 2 + 1 + 0 = 6. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы отсчета, определяется заданием трех его точек, не лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях.  

Рис. 2.4. Число степеней свободы объемного тела.

Несмотря на то, что шесть степеней свободы определяют положение твердого тела, при задании четвертой точки выявляется дискретная степень свободыориентация твердого тела. Относительно любых трех смежных ребер тетраэдра, определяющего положение тела, можно определить ее правую или левую ориентацию, отличающихся друг от друга как изображения в зеркале. Оправданием достаточности положения трех точек для описания положения т.т. является то, что путем произвольного движения т.т. нельзя изменить его ориентацию. Следовательно, три точки однозначно определяют положение т.т.

При задании движения твердого тела его положение в пространстве можно считать заданным, если известно положение трех его точек, например, А, В, С, не лежащих на одной прямой, с учетом связей и ориентация в зависимости от времени. Кроме общего случая движения твердого тела, имеют место и другие его виды, характеризующиеся некоторыми отличительными признаками, позволяющими выделять их из всех возможных движений тела. Количество степеней свободы при этом будет, конечно, меньше или равно шести, потому что дополнительные условия накладывают дополнительные связи. Это связи типа ограничений на траекторию движения т.т. и/или на ее ориентацию, в т.ч. во времени. Например, прямолинейное поступательное движение с равномерным вращением вокруг выделенной оси.

4.  Поступательное движение твердого тела

Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.

4.1.      Определение

Поступательное движение твердого тела является наиболее простым видом движения твердого тела. Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается при движении параллельной своему первоначальному направлению. Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ным. Поступательное движение может быть и прямолинейным, и криволинейным. Например, кузов автомобиля, движущийся по прямолинейному участку дороги, совершает прямолинейное поступательное движение; кабинка вращающегося колеса обозрения совершает криволинейное поступательное движение.

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: «При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и имеют равные по модулю и направлению скорости и ускорения». Следовательно, поступательное движение тела вполне определяется движением какой-либо его точки, а изучение движения сводится к уже рассмотренной задаче кинематики точки. Задавать поступательное движение можно, например, с помощью трех декартовых координат произвольно выбранной точки A тела как функции времени

xA = f1(t); yA = f2(t); zA = f3(t). (2.2)

4.2.      Скорость и ускорение

Так как для описания положения тела в пространстве надо задать три независимых параметра (декартовы координаты одной из его точек), говорят, что тело при поступательном движении в пространстве имеет три степени свободы.

Поскольку скорости и ускорения всех точек твердого тела при поступательном движении одинаковы, можно пользоваться терминами «скорость тела» и «ускорение тела», подразумевая скорость и ускорение любой его точки. При координатном способе задания движения скорость и ускорение тела определяют по их проекциям на координатные оси, которые равны первой и второй производным от соответствующих координат по времени:

(2.3)

(2.4)

Модули скорости и ускорения определяются по формулам:

(2.5)

(2.6)

 

Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела как целого имеют смысл только при поступательном движении. Только в этом случае можно говорить о равномерном и равнопеременном движении т.т. Во всех остальных случаях разные точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины "скорость тела" и "ускорение тела" для этих движений теряют или меняют свой смысл.

4.3.      Векторный характер перемещения

Мы, конечно, уверены, что линейные перемещение, скорость и ускорение обладают векторными свойствами. Действительно, если м.т. переместится на расстояние (sABx, sABy, sABz), а затем еще на (sBCx, sBCy, sBCz) (рис. 2.2),то общее перемещение м.т. определится как векторная сумма этих векторов:

sAC = (sACx, sACy, sACz)

= (sABx, sABy, sABz) + (sBCx, sBCy, sBCz) =

= (sABx + sBCx, sABy + sBCy, sABz + sBCz).

Замечание. ²Векторность² параметра можно обозначать по разному. Например, можно также специально выделять векторные параметры стрелкой сверху  символа:  и/или жирным написанием: a. Дополнительно можно выделять прямым начертанием: , , a. Или комбинировать их. Можно не выделять специально и векторность определять по контексту.

 

Это свойство следует из векторных свойств евклидова пространства и соответствует векторному сложению векторов перемещения.

Рис. 2.2. Сложение перемещений

Другим свойством векторов является линейность (точнее, дистрибутивности) умножения векторов на действительное число, которое, конечно, тоже выполняется для перемещений:

(a + b)s = as + bs,

a(s1 + s2) = as + as.

Это свойство быть вектором от перемещения автоматически переносится и на ее дифференциалы по времени, т.е. на скорости и ускорения.

Но этим свойством обладают линейные перемещения м.т. только в евклидовом пространстве, потому что оно является представителем линейных векторных пространств. Если пространство не является евклидовым, то свойство линейности сохраняется только локально для бесконечно малых перемещений dsi.

При преобразованиях инверсии координатных осей векторы перемещения, а также скорости и ускорения, меняют свой знак.

Замечания.

1. Верхние индексы здесь соответствуют верхним контравариантным координатным индексам тензоров. В тензорном исчислении так принято. Нижние индексы при этом должны соответствовать ковариантным индексам. Но в ортонормированном пространстве верхние и нижние индексы можно не различать.

2. Здесь для обозначения индексов применялись верхние и нижние индексы. В данном случае нижние индексы просто индексируют номера складываемых перемещений sAB и sBC.

В силу линейности дифференциалов в линейном векторном евклидовом пространстве векторами также являются и скорости, и ускорения, а также их дальнейшие производные по времени от перемещения м.т.

Еще одним свойством векторов является возможность определения скалярного произведения любых двух векторов и, как следствие, определения длины вектора, угла между двумя векторами, их параллельности и перпендикулярности. Без них было бы невозможно определить вращательное движение твердого тела. Простой поворот вектора – да, а вот поворот с сохранением длины – нет. Эти свойства пригодятся в следующей части.

5.  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси 

Вращательное движение твердого тела является следующим элементарным видом движения твердого тела.

Вращением вокруг неподвижной оси называют такое движение твердого тела, при котором две какие-либо точки (например, A и B (рис.2.1)), принадлежащие телу, в процессе движения остаются неподвижными. Перемещение тела из одного положения в другое называют поворотом. Прямую, проходящую через эти точки, называют осью вращения тела. Обычно при рассмотрении вращения эту ось обозначают как ось z (рис.2.1). Все точки тела, лежащие на оси вращения, также неподвижны.

Для описания положения т.т., вращающегося вокруг неподвижной оси, необходимо задать еще одну, выделенную, точку, не находящуюся на оси. Обозначим ее M. Наша задача будет задать координаты этой точки при движении.

5.1.      Угол поворота

Все точки, не лежащие на оси вращения, при вращении описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры расположены на оси. Эти плоскости можно разметить с помощью координатных осей x и y. Но гораздо удобнее использовать угол поворота j некоторой подвижной оси r, связанной с выделенной точкой M, от неподвижной координатной оси x. Этот угол совместно с двумя точками на оси вращения полностью определит положение т.т.

image077

Этот угол называют углом поворота тела. При этом r будет задавать расстояние точки т.т. от оси вращения.

Таким образом, закон вращательного движения можно считать установленным, если задан угол поворота тела jz как функция времени:

jz = jz(t).

Здесь индекс z указывает на то, что вращение происходит вокруг оси z в плоскости (x, y).

5.2.      Единицы измерения угловых параметров движения

Размерность угла поворота в системе СИ – рад. При этом угол поворота j принято считать положительным, если поворот тела, наблюдаемый с положительного направления оси Оz, виден происходящим против хода часовой стрелки.

Далее нам встретятся еще два кинематических параметра, связанных с углом поворота. Это угловая скорость и угловое ускорение. Размерность угловой скорости – рад/с или что то же самое, 1/с,  размерность углового ускорения – рад/с2 или что то же самое, 1/с2.

Также для определения угла поворота т.т. используется единица измерения "(угловой) градус". При этом 2p рад = 360 градус. Соответственно через градусы можно определить угловые скорость и ускорение.

В технических дисциплинах применяется еще одна единица измерения – число оборотов. Число оборотов тела N и число оборотов в минуту n связаны с углом поворота j(t) и угловой скоростью w(t) следующими зависимостями:

jz = 2pN рад;

 рад/с.

Далее мы не будем использовать явно индекс z, но будем подразумевать по контексту.

5.3.      Векторный характер угла поворота

Сам по себе угол поворота dj ничего не говорит о направлении вращения. В 3-мерном пространстве можно выделить еще два независимых параметра, определяющих направление оси вращения. Таким параметром является единичный вектор в направлении оси вращения. Таким образом, всего имеется три параметра, определяющих вращение т.т. Зная угол поворота dj, направление оси вращения и радиус-вектор расстояния до некоторой точки A т.т, можно определить линейное перемещение этой точки (конца радиус-вектора) A с помощью формулы

|dr| = rsinJdj. (4.1)

Направление перемещения определяется как направление, перпендикулярное и радиус-вектору OA, и к оси вращения OO', представленной вектором n. Как видно, определение замечательное и однозначное, но словами. Как записать это не словами?

Рис.4.2. Параметры поворота твердого тела.

В теоретической физике для определения вектора перемещения используют операцию векторного произведения

dr =  [dj, r]. (4.2)

Результатом векторного произведения является опять вектор, перпендикулярный перемножаемым векторам и с длиной, вычисляемой по формуле (4.1).

Замечание. Векторное произведение можно записывать по разному. Например, [dj, r], dj´r, (dj´r), [dj´r]. Можно также специально выделять векторные параметры стрелкой сверху символа и/или жирным написанием: [dj, r].

Почему произведение "векторное"? А вот почему. Как и линейные перемещения, угол поворота dj удовлетворяет основному свойству векторов – векторному сложению и свойству дистрибутивности умножения на число. В самом деле, представим себе, что твердое тело совершает два элементарных поворота dj1 и dj2 вокруг разных осей, проходящих через неподвижную точку O (рис.4.2). Тогда результирующее перемещение dr произвольной точки A тела, радиус-вектор которой относительно точки O равен r, можно представить в виде

dr = dr1 + dr2 = [dj1, r] + [dj2, r].

Используя свойство дистрибутивности векторного  умножения, имеем:

dr = [dj1 + dj2, r] = [dj, r], (4.3)

где

dj = dj1 + dj2,

т.е. два данных поворота dj1 и dj2 эквивалентны одному повороту на угол dj = dj1 + dj2 вокруг оси, совпадающей с вектором dj и проходящей через точку O.

Это свойство для вращательного движения вокруг неподвижной оси тривиально. Из евклидовой геометрии мы знаем, что углы поворота на плоскости складываются и умножаются на число с соблюдением вышеназванных свойств. Более того, для вращательного движения вокруг неподвижной оси угол поворота можно определять не как вектор, а как действительное число, равное длине вектора поворота. Это возможно потому, что этот вектор направлен вдоль оси вращения, и ее направление не меняется. Конечно, для полного определения положения т.т., кроме скалярного угла поворота, надо знать и ее направление.

Также заметим, что при рассмотрении таких величин, как радиус-вектор, перемещение, скорость и ускорение не возникал вопрос о выборе их направления. Оно вытекало естественным образом из природы самих величин. Подобные векторы называются полярными. В отличие от них векторы типа угла поворота, направление которых связывают с направлением  вращения, называют аксиальными.

5.4.      Угловая скорость

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом являются угловая скорость w и угловое ускорение e. Угловая скорость тела – это векторная величина, характеризующая интенсивность и направление изменения угла поворота тела:

djz = wzdt.

Алгебраическое значение угловой скорости равно первой производной по времени от угла поворота тела:

(2.7)

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора  wz, модуль которого равен |w| и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.14). С этой точки зрения jz можно считать вектором, а индекс z считать координатным индексом, пробегающим значения от 1 до 3 (или x, y, z) при векторе угловой скорости. Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси.

Рис.14

 

5.5.      Угловое ускорение

Угловое ускорение тела e – это векторная величина, характеризующая интенсивность (или скорость) изменения угловой скорости. Алгебраическое значение углового ускорения равно первой производной по времени от угловой скорости тела или второй производной по времени от угла поворота тела:

(2.8)

6.  Линейные скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Установим зависимости между угловыми и линейными скоростями и ускорениями различных точек этого тела. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, радиусы которых равны расстояниям от этих точек до оси вращения.

6.1.      Скорости точек тела

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.13). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt проис­ходит элементарный поворот тела на угол dj, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds = hdj. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отно­шению ds к dt, т.е

Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя­ние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела w имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

 

Рис.15                        Рис. 16

Чтобы найти выражение непосредственно для вектора , проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор r точки М (рис. 17). Тогда h = rsina   и по формуле

|v| = |w|×h = |w|×r×sina  или |v| = |[w´r]|.

 

Рис.17                                    Рис.18

Таким образом, модуль векторного произведения |v| = h×|w| = rsina×|w| равен модулю скорости точки М. Направления векторов [w´r] и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­сти их одинаковы. Следовательно,

v = [w ´ r],

т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки (формула Эйлера).

6.2.      Ускорения точек тела

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами  ускорения точки, движущейся по окружности.

В нашем случае r = h. Подставляя значение v в выражения wt и wn, получим:

 

Касательная составляющая ускорения wt направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая wn всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.16). Полное ускорение точки М будет

(2.12)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом m, который вычисляется по формуле  Подставляя сюда зна­чения wt и wn, получаем .

Так как w и e имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол m с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.18.

Ускорение произвольной точки M твердого тела, вращающейся вокруг неподвижной оси AB с угловой скоростью w можно определить непосредственно из векторной формы уравнения скорости v = [w ´ r]. Продифференцировав это уравнение по времени, найдем полное векторное ускорение точки M:

или

w = [e´r] + [w´[w´r].

В данном случае ось вращения закреплена и неподвижна, следовательно, e параллельна w, поэтому вектор [e ´ r] = he представляет собой тангенциальное ускорение wt. Вектор [w ´ [w ´ r]] = w×(h×w) = w2h является нормальным ускорением wn.

6.3.      Пример.

Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что j = 0,5sin2t. Длина OM = l =. (рис. 19)

2-4

Рис.19

Маятник вращается вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость w = cos2t с-1,  угловое ускорение e = -2sin2t с-2

Например, при t = 1 с, j = 0,5sin2 = 0,45 рад = 26°, w = cos2 = -0,42 с-1 (вращение по часовой стрелке); e = -2sin2 = -1,82 с-2 (угловое уско­рение направлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное.

Скорость точки M: vM = lw = 1×0,42 = 0,42 м×с-2 (определя­ется модуль скорости). Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости – в сторону вращения.

.

 
Нормальное ускорение wn = lw2 = 1×0,422 = 0,176 м×с-2,

касательное ускорение wt = le = 1×1,82 = 1,82 м×с-2. (определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор wt  вниз, как указывает угловое ускорение).

Величина полного ускорения точки  м×с-2.

7.  Равномерное и равнопеременное вращения

Вращение называют равномерным, если в процессе движения угловая скорость остается постоянной по модулю и по направлению, т.е., если  . Умножив правую и левую части этого равенства на величину dt и проинтегрировав левую часть полученного равенства в пределах от φ0 до φ, а правую – от 0 до t, получим закон равномерного вращения:

φ = φ0 + w0t. (2.15)

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и w 1/с. При одном обороте тело повернется на угол 2p, а при n оборотах на 2pn; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства тогда следует, что

.

Вращение называют равнопеременным, если угловое ускорение тела в процессе движения остается постоянным по модулю и направлению, т.е., если . Чтобы найти закон изменения угловой скорости в этом случае, проинтегрируем левую часть равенства dw = edt пределах от w0 до w, а правую – от 0 до t:

w = w0 + e0t.

(2.16)

Так как , то полученное выражение запишем в следующем виде^

dj = w0dt + e0tdt.

Интегрируя это выражение при изменении угла поворота от φ0 до φ и времени от 0 до t, запишем закон равнопеременного вращения:

(2.17)

Если величины w и e имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.

8.  Обобщенная таблица кинематических уравнений параметров движения т.т.

  Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

tablica1_1

9.  Преобразования простейших движений твердого тела 

В различных механизмах часто осуществляют преобразование простейших движений: поступательное – во вращательное, вращательное – в поступательное, а также передачу вращательного движения от одного элемента механизма к другому. К таким механизмам относятся барабаны с тросами, шестерни, шкивы, рейсмусы, кулачковые механизмы. Возможны и другие разновидности механизмов.

Рассмотрим определение угловой скорости барабана 2 при заданной скорости груза 1, подвешенного на тросе, намотанном на барабан (рис.15). Такой механизм обычно используется на кранах. Скорости всех точек троса, на котором подвешен груз, одинаковы (трос считают нерастяжимым), скорость точки схода троса с барабана колеса равна скорости груза. Но с этой точкой соприкасается точка, принадлежащая колесу, которое совершает вращательное движение, и имеющая ту же скорость, что позволяет определить угловую скорость колеса. При этом будем полагать, что положительному движению груза соответствует положительное вращение колеса.

image111

Рис. 15.

 Запишем алгебраическое значение угловой скорости 2-го колеса

(2.18)

Аналогично можно определить скорость груза по заданной угловой скорости колеса

(2.19)

При передаче вращения от одного элемента к другому используют зубчатые или фрикционные зацепления (рис.2.3, 2.4), а также цепные или ременные передачи (рис.2.5, 2.6). В случае зубчатого зацепления колеса 1 и 2 имеют общую точку, поэтому скорости точек, находящихся на их ободьях, одинаковы:

(2.20)

Знак ± поставлен в связи с тем, что знак в формуле зависит от схемы соединения колес. Для рис. 2.3. и 2.5 необходимо применять знак – (минус), для рис.2.4 и рис.2.6 знак +(плюс).

При записи алгебраического значения угловой скорости 2-го колеса по рис.2.3 учтем, что внешнее зацепление меняет направление вращения на противоположное:

(2.21)

а внутреннее зацепление (рис.2.4) его не меняет:

.

(2.22)

 

image116

image117

image118

image119

Одинаковы модули скоростей и для соответствующих точек на шкивах ременной передачи (имеются в виду те точки, где ремень, который считается нерастяжимым, сходит с одного шкива и наматывается на другой). Направление вращения может также либо изменяться на противоположное при передаче движения (рис. 2.5), либо не изменяться (рис. 2.6). Угловую скорость при этом определяют соответственно по формулам (16) и (17).

10.        Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям. Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

10.1.  Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Рис. 9.5.

 

Рис. 9.5.

 
Положение тела определяется тремя углам. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера: y (пси), q (тета), j (фи).

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x, y, z. На­чало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 20). Вторая сис­тема, оси x1, y1, z1, связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

Рис.20

Рис. 9.4.

 

Рис. 9.5.

 
Когда углы Эйлера равны нулю, под­вижные оси совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачи­ваем на угол y вокруг оси z. При этом оси x1 и y1 отойдут от осей x  и y в гори­зон­тальной плоскости и ось x1  займёт по­ложение OK (рис.20). Затем тело вращаем вокруг но­вого поло­жения оси x1 (прямой OK) на угол q. Ось z1 отойдёт от оси z на этот угол q, а ось y1 приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси z1 на угол j. Ось x1 отойдёт от положения OK в на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси z1. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано).

Линия пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной x1Oy1, прямая OK, называ­ется линией узлов. Угол y  называется углом прецессии, угол q – углом нутации, угол j – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам y = y(t), q = q (t), j = j (t), которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.21). Ось волчка z1 описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом y (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации q.

А вращение волчка вокруг своей оси z1, определяемое углом j – собственное вращение.

Рис.21

10.2.  Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Проведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис.22).

Рис.22

По­кажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение. Точки, а значит и дуга, займут по­ложение A1 и B1. Соединим точки A  и A1, B и B1 дугами большого радиуса AA1 и BB1. Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и най­дём их точку пересечения P1. Соединим эту точку P1 с точками A, B, A1, B1. Получим два сфе­рических треугольника DABP1 и DA1B1P1, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB = A1B1, а AP1 = A1P1 и BP1 = B1P1 – как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P1, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP1.

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку O. Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

Рис. 9.7.

 
Конечно, такое перемещение не яв­ля­ется истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положе­ния в другое каким-то другим, наверное бо­лее сложным путём. Но, если время Dt такого пере­хода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при Dt ® 0 можно предположить, что для данного момента времени тело поворачива­ется вокруг некоторой оси Р, проходя­щей через неподвижную точку O, вращаясь вокруг неё с угловой скоро­стью w. Конечно, для каждого дру­гого момента времени эта ось рас­поло­жена иначе. Поэтому ось Р называют мгновенной осью вращения, а угло­вую скорость w – мгновенной угловой скоростью, вектор которой на­прав­лен по оси.

Рис. 9.8.

 
 

10.3.  Скорость точек тела.

По теореме Даламбера-Эйлера за малое время Dt движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP1 с некоторой угловой скоростью wср (рис.23).

Рис.23

Тогда скорость точки M: vср = [wср×r]. В пределе, при Dt ® 0, угловая скорость wср  будет приближаться к мгновенной угловой скорости w, направленной по мгновенной оси вращения P, а скорость точки vср - к истинному значению:

 .                  

Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор w, в нашем случае – по мгновенной оси вращения P. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси P. Величина скорости v = h×w (рис.23).

Рис. 9.9.

 
Определение скоростей то­чек тела значительно упроща­ется, если извест­на мгновенная ось вращения P. Иногда её можно найти, если уда­стся обна­ружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме O, скорость кото­рой в данный момент равна нулю, и провести ось P  из не­подвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое ме­сто точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.

Пример 6. Водило OA = a, вращаясь вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью w0, застав­ляет диск радиуса R кататься по горизон­тальной плоскости (рис.24).

Рис.24

Рис. 9.10.

 
Если представить диск как ос­нование конуса с вершиной в не­подвиж­ной точке О, то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки О.

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости w будет направлен по этой оси.

Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её ско­рость vA = aw0 (рис.24). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси P и направление вектора w. Величина угловой ско­рости  (h – рас­стояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость точки P: vB = 2h×w. Так как h = Rcosa и  , то  и vB  = 2 aw0.

10.4.  Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости w изменяется и по величине, и по направлению. Точка распо­ложен­ная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью u (рис.25).

Рис.25

Если рас­сматривать вектор w как ра­диус-вектор этой точки, то .

Итак. Угловое ускорение тела можно опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

e = u.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки M тела

есть сумма двух векторов.

Первый вектор w1 = [e×r]. Модуль его |w1| = e×r×sina1 = e×h1, где h1 – расстояние от точки M  до вектора e. Направлен он перпендику­лярно e и r. Но таким же способом определяет­ся касательное ускорение. Поэтому первую состав­ляющую ускорения определяют как ка­сательное ускорение, предпола­гая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с векто­ром e. И обо­значается этот вектор ускорения так

wte = [e×r].    

Второй вектор w2 = [w×v]. Модуль его w2 = w×v×sina2, но a2 = 90º, т.к. векторы w и v перпендикулярны друг другу.

Рис.26

Значит w2 = w×v = wh2w = h2w2, где h2 – расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора w.

Направлен вектор w2 перпендикулярно w и v, т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P, или вектора w. Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Wnw = [w×v].  

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

w = wte + wnw.

Этот результат называется теоремой Ривальса.

Заметим, что в общем случае векторы w и e не совпадают и угол между wte и wnw не равен 90º, векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.

10.5.  Пример

Продолжим исследование движения водила. Модуль угловой скорости  по условию. Значит, вектор w вместе с осью P, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора w движется по окружности радиуса r = w×cosa с угловой скоро­стью w0. Поэтому угловое ускорение диска .

Откладывается вектор e из неподвижной точки О. Направлен он, как скорость uM, перпендикулярно водилу OA, параллельно оси x (рис. 27).

Рис.27

Найдём ускорение точки В.

Ускорение .  Направлен вектор wte перпендикулярно OB и расположен в плоскости zO1y.

Ускорение . Вектор wnw  направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора wB найдём с помощью проекций на оси x, y, z:

wBx = 0,

Значит

 

 

11.        Вопросы для самопроверки

- Что определяет число степеней свободы твердого тела?

- Почему при поступательном движении тела скорости и ускорения его точек не могут быть различными?

- Сколько степеней свободы имеет тело с двумя закрепленными точками?

- Приведите определения угловой скорости и углового ускорения тела.

- Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

- Как вычислить скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Объясните куда направлен вектор скорости?

- Запишите формулы для нормального и тангенциального ускорений точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

- Перечислите основные виды движений твердого тела.

- Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?

- Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно осуществляется?

- По каким формулам определяются модули угловой скорости и углового ускорения вращающегося твердого тела?

- Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

- Выведите формулы модулей скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

- При каких условиях ускорение точки вращающегося тела составляет с отрезком, соединяющим точку с центром описываемой ею окружности, углы 00, 450, 900?

- Ускорения каких точек вращающегося тела:

а) равны по модулю;

б) совпадают по направлению;

в) равны по модулю и совпадают по направлению?

- Каковы векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений?

- Выведите формулы Эйлера для проекций вращательно скорости точки на координатные оси.

- Что представляет собой передаточное число передачи и как определяется передаточное число сложной передачи?

- На какие составляющие движения можно разложить движение свободного тела в общем случае и как они зависят от выбора полюса?

- Как определяют скорости точек свободного твердого тела?

- Как связаны между собой скорости точек свободного тела, расположенных на отрезке произвольного направления, и на отрезке, параллельном мгновенной оси?

- Покажите, что векторы угловой скорости и углового ускорения свободного тела не зависят от выбора полюса.

- Как определяют ускорения точек свободного твердого тела?

- Чему равно число степеней свободы тела с одной закрепленной точкой?

- Приведите названия углов Эйлера.

- Запишите уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.

- Сформулируйте теорему Эйлера-Даламбера.

- Что определяют кинематические уравнения Эйлера?

- Приведите векторную запись формулы для определения линейной скорости точки при вращении твердого тела с одной неподвижной точкой.

- Как определить величину и направление вращательного ускорения точки твердого тела с одной закрепленной точкой?

- Как направлен вектор осестремительного ускорения точки при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки?

- Какими параметрами определяется положение твердого тела, одна из точек которого неподвижна?

- Как формулируется теорема Эйлера-Даламбера о перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?

- Что называют мгновенной осью вращения твердого тела с одной неподвижной точкой и каковы уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах осей декартовых координат?

- Что представляют собой неподвижный и подвижный аксоиды мгновенных осей при сферическом движении и что происходит с аксоидами при действительном движении тела?

- Как определяются модуль и направление углового ускорения тела при сферическом движении?

- Почему направления векторов углового ускорения и угловой скорости тела при сферическом движении не совпадают?

- Как определяются скорости точек тела при сферическом движении?

- Какие модули и направления имеют составляющие ускорения точки тела при сферическом движении?

- Почему направления векторов вращательной скорости и вращательного ускорения при сферическом движении тела не совпадают?

- Определите угловую скорость вращения вала электродвигателя (в рад/с), если n=1400 об/мин.? Вычислите скорость и ускорение точки на поверхности вала; диаметр вала d=100 мм?

- Определите характер вращения твердого тела вокруг неподвижной оси в следующих случаях:

1) e = 5 рад/с2;

2) e = 0;

3) w = 150 рад/с;

4) w = 20t рад/с, где t – время.

- Какая составляющая ускорения любой точки твердого тела равна нулю при равномерном вращении твердого тела вокруг неподвижной оси?

1) нормальное ускорение;

2) касательное ускорение;

3) полное ускорение.

Рис 9.12.

 
 


12.        Использованная литература.

И.Е.Иродов. Основные законы механики. М.,Высшая школа, 1985.

Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Механика. Электродинамика. ККФ, книга 1. М., Наука, 1989.

 

 

Ссылка на этот материал: kinyematika_tvyordogo_tyela.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 80 to divide on "шестнадцать" equally:

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 02 ч 59 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:1 V:1 N:9
Уникальных посетителей за текущие сутки: 1 Просмотров: 1 Этой страницы (всего): 9