-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 05 2019. -------
Ссылка на этот материал: primery-kinematicheskogo-dvigeniya.htm)


1      Примеры кинематического движения м.т.

Если известны уравнения движения м.т. и начальное состояние в некоторый момент времени, то параметры движения м.т. можно определить интегрированием или дифференцированием соответствующего уравнения движения. Если закон движения задан некоторым дифференциальным уравнением, то уравнения движения м.т. определяются решением соответствующего дифференциального уравнения. Общим выражением уравнения движения является следующее дифференциальное уравнение n–й степени

(1.1)

или при параметрическом задании линии движения:

(1.2)

Сам вид уравнения Fk(…) зависит от постановки задачи.

Общее решение уравнения дает семейство линий движения м.т. Конкретное решение определяется начальными значениями параметров уравнения. По теореме Коши, решение дифференциального уравнения единственно, если известен полный набор начальных параметров системы дифференциальных уравнений.

Зависимость уравнения движения от производных dnq(u)/dun говорит о возможной зависимости закона движения м.т. от скорости, ускорения и других высших производных. В механике обычно степень дифференциального уравнения ограничивается числом n = 2, т.е. законы движения зависят от координаты, времени (взаимодействие с внешним силовым полем), скорости и ускорения м.т. Зависимость от скорости определяется релятивизмом, зависимость от ускорения – взаимодействиями. Количество уравнений K зависит от количества степеней свободы системы взаимодействующих м.т.:

K = 3L(N + 1) – M,

(2.1)

где 3 – размерность базового геометрического пространства, в котором происходит движение,

L – количество взаимодействующих м.о.,

N – степень дифференциального уравнения,

M – количество наложенных связей на систему.

Если наложенные связи на систему принимать как дополнительные уравнения движения, то количество уравнений движения будет равно:

K = 3L(N + 1).

(2.2)

По отношению к преобразованиям с.о. координата (точнее, ее дифференциал, или разности координат близких точек), скорость и ускорение ведут себя как контравариантные векторы.

Уравнения движения м.т. могут быть получены из законов движения Ньютона с применением законов сохранения. Кроме собственно законов Ньютона — а именно второго — в уравнения движения ньютоновской механики входят кинематические уравнения, уравнения связей и конкретные законы сил, такие, как например закон всемирного тяготения или закон Гука. Другими способами получения законов движения являются применение уравнений Лагранжа-Эйлера к системе м.о. или уравнений Гамильтона-Якоби. Эти уравнения получены на основе теоремы о минимальности действия на траектории м.т.

1.1    Виды движения м.т.

То, что мы рассматривали ранее, никаким образом не касалось физики процесса движения. Оно касалось только общего математического описания этого движения, причем достаточно произвольного. В ней невозможно определить тип траектории движения, потому что нет инструментов для этого определения. В ней невозможно определить движение по прямой линии, по окружности или по другим типам траектории. Для такого описания необходимы дополнительные определения.

На практике довольно часто встречаются задачи на движение м.т. по определенной траектории. Примеры:  движение по прямой, окружности, параболе. "Движение по прямой", "движение по окружности", а также движение по любой другой траектории с определенными заранее геометрическими свойствами, предполагает наложение на форму траектории некоторых алгебраических условий и уже по определению предполагает определенные геометрические  свойства пространства описания движения, оставляющие эти свойства инвариантными относительно некоторых преобразований.

И эти описания даются геометрией. Именно в ней определены понятия прямой, плоскости, угла и многих других производных от них понятий. А также метрические понятия - расстояния, длины. А через них – и окружности. И дополнительные кинематические понятия типа "движение по прямой", движение по окружности", "криволинейное движение" как следствия метрических понятий "расстояние, длина". 

В кинематике кроме 3-мерного пространства, еще рассматривается 1-мерное время. В связи с этим появляется метрическое понятие "промежуток времени", а с ней дополнительные понятия – равномерность, неравномерность, равноускоренность, и т.д.

Дадим некоторые определения.

Прямолинейным движением в произвольном пространстве называется движение по линии, задаваемой линейной функцией:

ri = Aiu + r0i.

(3)

Здесь Ai – направляющий вектор линии движения,

u – параметр точки траектории.

ri – координата точки траектории, или событие прямой,

r0i – определяющая прямую точка траектории.

В метрическом пространстве прямолинейному движению соответствует движение между двумя точками по самой короткой траектории. Прямолинейное движение м.т. является наиболее простым способом движения.

Равномерным движением называется движение с постоянным модулем скорости вдоль траектории.

Приведенное выше уравнение движения ничего не говорит о скорости и ускорении, следовательно, о равномерности или неравномерности движения. В них известно только направление движения, соответствующее направляющему вектору уравнения движения. Для определения равномерности/неравномерности движения необходимо ввести в уравнение "время" как еще один дополнительный параметр движения. Тогда равномерному движению будет соответствовать соблюдение условия:

(4)

Здесь vt – скорость движения точки.

Прямолинейным равномерным движением называется движение по прямой с постоянной скоростью:

ri = vit + r0i,

(5)

где vi – постоянноая скорость м.т.,

t – время движения,

Движением по окружности в двумерном  пространстве называется движение по траектории, задаваемой решением квадратного уравнения (см. (1)):

(xx0)2 + (yy0)2 = R2,

(6)

где x, y – координаты точки траектории,

x0, y0 – координаты центра окружности траектории,

R – радиус окружности траектории.

1.2    Движение по прямой

Наиболее простой формой движения является равномерное движение по прямой. Равномерное движение по прямой осуществляется в соответствии с первым законом Ньютона по инерции при отсутствии внешних возмущении, а также при взаимной компенсации возмущающих сил. При этом уравнением движения при постоянной скорости vi = const будет уравнение:

ri = r0i + vit,

(7)

где r0i – начальное положение м.т. в момент времени t = 0.

Следующей наиболее простой формой движения является равноускоренное движение по прямой. При постоянном ускорении wi = const прямолинейное равноускоренное движение происходит в соответствии с уравнением

wi = const,

vi = v0i + wit,

ri = r0i +v0it + ½wit2.

(8)

1.3    Движение криволинейное

Криволинейным называется движение, происходящее с переменной по направлению скоростью. Если при этом меняется и модуль скорости, то такое движение называется криволинейным неравномерным.

Если на траектории точки известны координаты r0i и вектор скорости v0i в какой-либо момент времени t0, а также зависимость ускорения от времени a(t), то, интегрируя это уравнение, можно получить координаты и скорость точки в любой момент времени t (как до, так и после момента t0):

\vec v (t) = \vec v_0 + \int_{t_0}^t \vec a(t) dt.

\vec r (t) =  \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + \int_{t_0}^t\int_{t_0}^t \vec a(t) dt^2.

Очень многие практические задачи формулируются таким образом, что зависимость скорости v(t) и/или ускорения a(t) от времени неизвестна, а известна какая либо другая зависимость v(t, r) и/или a(t, r), то положение тела в любой момент времени можно найти решением соответствующего интегрального или дифференциального уравнения.

2      Кинематика движения по окружности

Движением по окружности в двумерном  пространстве называется движение по траектории, задаваемой решением квадратного уравнения (см. (1)):

(xx0)2 + (yy0)2 = R2,

(9)

где x, y – координаты точки траектории,

x0, y0 – координаты центра окружности траектории,

R – радиус окружности траектории.

2.1    Равномерное движение м.т. по окружности

Рассмотрим случай криволинейного движения, а именно равномерное движение материальной точки по окружности. Для описания положения точки в этом случае удобно пользоваться не прямоугольной декартовой системой координат, а характеризовать положение точки углом φ, который образован радиусом, проходящим через эту точку с координатной осью, проведенной через центр окружности вращения (см. рис. 3). В ходе движения угол φ изменяется во времени. Аналогично введенному выше понятию скорости введем понятие скорости вращательного движения. Назовем ее угловой скоростью вращения и будем обозначать буквой ω. По аналогии со скоростью v

(10.1)

 

Время, за которое материальная точка совершает полный оборот, называется периодом обращения Т. За это время точка оборачивается по окружности на угол 2π радиан, следовательно

(10.2)

 
ω = 2π/Т .

Величина, обратная к периоду Т – число оборотов n, совершаемых в единицу времени, характеризует угловую скорость вращения (n = 1/Т). Из (2.2) следует, что

(10.3)

 
ω = 2πn.

Выше упоминалось, что вектор скорости  v  всегда направлен по касательной к траектории движения. Следовательно, при вращательном движении скорость v материальной точки направлена по касательной к окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному из центра вращения в нашу точку. Ее называют линейной скоростью вращения. Найдем связь этой линейной скорости с угловой скоростью ω.

Безымянный3

Рис. 3. Движение м.т. по окружности.

На рис. 3 показано перемещение материальной точки из положения А в положение В по дуге Δl. Линейная скорость такого перемещения равна v = Δl/Δt, где Δt – время перемещения. Учитывая связь длины дуги Δl с ее радианной мерой, то есть углом поворота Δφ

Δl = RΔφ,

(11)

получим:

(12)

При равномерном вращении модуль скорости |v| остается неизменной, но направление ее непрерывно меняется. Такое изменение скорости определяется ускорением м.т. На рис.3 в точках А и В, между которыми произошло перемещение, отложены соответствующие векторы скорости v1 и v2 . Чтобы показать приращение скорости на этом промежутке, перенесем начало вектора v1 в точку В. Тогда вектор приращения скорости Δv будет соединять концы векторов v1 и v2 и будет направлен вдоль радиуса R. Угол между векторами v1 и v2  равен углу поворота Δφ нашей материальной точки при ее движении из А в В. Для малых углов Δφ  можно принять Δv = Δφv, где v – модуль векторов v1 и v2 . Найдем ускорение w на участке АВ. Оно равно отношению приращения скорости на этом участке ко времени прохождения участка

(13.1)

С учетом (4.5) получаем

w = ω2R,

(13.2)

или, учитывая, что ω = v/R

w = v2/R.

(13.3)

Ускорение w является вектором, направленным вдоль радиуса к центру вращения, то есть по нормали к вектору скорости v. В связи с этим его называют нормальным или центростремительным ускорением и обозначают wn или wцс.

wn = v2/R.

(13.4)

2.2    Неравномерное движение м.т. по окружности

Рассмотрим теперь неравномерное движение материальной точки по окружности. Введенные нами понятия угловой скорости и нормального ускорения, выражаемые формулами (4.1) и (4.9), и в этом случае сохраняют свою силу. Однако теперь линейная скорость движения материальной точки меняется не только по направлению, но и по величине. В этом случае векторы v1 и v2 , соответствующие каким-либо двум близким положениям материальной точки в ходе ее движения, имеют разную длину, и можно говорить, что имеется некоторая составляющая Δvτ приращения скорости вдоль текущего направления движения, то есть по касательной к окружности. С приращением Δvτ связывают понятие тангенциального ускорения wτ = Δvτ/Δt. Более строго

(14.1)

где |v| – модуль вектора мгновенной скорости материальной точки. С учетом (2.5)

(14.2)

Величину  \(\frac{{d\omega }}{{dt}}\)называют угловым ускорением и обозначают ww:

(14.3)

Итак, при неравномерном движении материальной точки по окружности ускорение имеет составляющую, направленную вдоль радиуса (нормальное ускорение) и по касательной к окружности (тангенциальное ускорение). Полное ускорение является векторной суммой этих составляющих:

w = wτ + wn.

(14.4)

Поскольку векторы wτ и wn перпендикулярны друг другу, то

w2 = wτ2 + wn2.

(14.5)

Мы рассмотрели случай неравномерного движения материальной точки по окружности. Следующим по сложности движением м.т. является одновременное переносное и круговое ускоренные движения.

2.3    Движение в естественной (собственной) с.к.

Мы рассмотрели случаи равномерного и неравномерного движения материальной точки по окружности. Полученными результатами можно пользоваться и в более общем случае криволинейного движения – движении материальной точки по траектории, представляющей собой произвольную плоскую кривую, то есть кривую, все точки которой принадлежат одной плоскости. Действительно, достаточно малый участок такой траектории всегда можно приближенно представить (аппроксимировать) в виде дуги окружности некоторого радиуса. Чтобы найти положение центра и величину радиуса этой окружности необходимо в пределах данного участка траектории взять две точки А и В, провести через них касательные к этой траектории и восстановить к ним перпендикуляры (см. рис. 4). Точка пересечения О перпендикуляров и будет центром аппроксимирующей окружности, а расстояние  R от касательных до точки пересечения – радиусом окружности. Величину этого радиуса называют радиусом кривизны плоской кривой на данном малом участке. Если устремить длину дуги этого участка к нулю, то в пределе мы получим радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Теперь движение материальной точки по произвольной плоской кривой на любом достаточно малом ее участке можно представлять как движение по окружности с соответствующим радиусом кривизны, и формулы (14) могут быть использованы для нахождения нормального, тангенциального и полного ускорения.

 

рис1%203

 

Рис. 4. Криволинейное движение м.т.

Ес­ли траектория и закон движения точки заданы, то при исследованиях часто поль­зуются естественными координатами. Сама траектория при этом параметризуется с помощью параметра l, а ее значение называется дуговой координатой.

Во всякой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество (целую плос­кость) нормалей. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоско­сти, называют главной нормалью, а перпендикулярную к ней — би­нормалью. Пусть точка движется по какой-либо неплоской траек­тории, представленной на рис. 5 винтовой линией, и в дан­ное мгновение находится в точ­ке М своей траектории. По­строим прямоугольную систе­му координат с началом в этой точке М, направив ось абсцисс Мx по касательной, ось орди­нат Мy по главной нормали и ось аппликат Mz по бинорма­ли. Такие координатные оси, называемые осями естествен­ного трехгранника, можно по­строить в каждой точке траек­тории. Выберем положитель­ные направления на осях. В механике обычно принимают направление вектора скорости за положительное направление касательной, положительное направ­ление главной нормали считают в сторону вогнутости кривой, а бинормаль направляют так, чтобы получившаяся система прямо­угольных координат являлась правой системой.

Рис. 5. Естественный трехгранник. Естественными осями назы­вают прямоугольную систе­му осей, направленных по касательной, главной норма­ли и бинормали к траекто­рии.

Значение координаты вдоль оси Мx при этом будет равна значению l. Несмотря на то, что в каждой точке траектории определены все три координатные оси, м.т. при движении будет иметь нулевые координаты по нормальным к траектории осям Мy и Mz.

Если точка меняет свое движение на возвратное, например, если точка совершает колебательные движения на каком-либо участке кривой, то обычно не меняют положительного направления естест­венных осей, а приписывают скорости знак минус, если точка дви­жется в сторону уменьшения дуговой координаты. Так в естествен­ном способе задания движения точки вместо модуля скорости появляется "алгебраическая скорость", по абсолютной величине рав­ная модулю, но имеющая собственный знак ("+" или "—"). Это обстоятельство сказывается и на определении касательного уско­рения точки при естественном способе задания ее движения. Проекция ускорения на ка­сательную характеризует из­менение в данное мгновение алгебраической скорости:

wa = dv/dt = d2l/dt2.

(15.1)

В естественной с.к. координатные ускорения вдоль нормальных к траектории осей будут равны по определению. Но реальное ускорение не обязательно будет нулевым, т.к. траектория является не прямой линией: проекция ускоре­ния на главную нормаль выражает нормальное уско­рение

wn = v2/R.

(15.2)

и определяется радиусом кривизны дуги, а проекция ускорения на бинормаль равна нулю:

wb = 0.

(15.3)

Но так называемое "ускорение рывка", определяющее касательную к траектории винтовую линию, не равна нулю. Нулевое ускорение рывка определяет плоское движение

Как видно, вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости. При разложении ускорения по осям есте­ственного трехгранника получаем две составляющие (касательное и бинормальное ускорения), как и при векторном способе задания движения. Од­нако при естественном способе задания движения касательное ус­корение понимают несколько иначе, чем при других способах зада­ния движения.

Если движение точки задано в естественной форме, т. е. заданы траектория и дуговая координата l = l(t), то первая производная дуговой координаты по времени определяет алгебраическую ско­рость vl точки, вторая производная от дуговой коор­динаты по времени является первой производной от алгебраической скорости и характеризует быстроту изменения алгебраической скорости. При таком способе задания движения ее тоже называют касательным, или тангенциальным, ускорением. При естественном способе задания движения точки   знак    ("+" или "—")    касательного   ускорения   не свидетельствует об ускоренном или замедленном движении точки. Критерием ускоренного движения здесь является условие, что знаки алгебраической скорости и касательного ускорения wr одинаковы. При разных знаках движение точки за­медленное.

Другая составляющая (нормальное ускорение) характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по направлению. Эта составляющая направлена по главной нормали и по модулю определяется выражением.

(15.2)

Здесь v — модуль скорости; R — радиус кривизны траектории.

Ввиду того что квадрат модуля скорости равен квадрату алгеб­раической скорости, при естественном способе определения движе­ния точки нормальное ускорение выражают формулой (4.15).

Абсолютную величину полного ускорения определяют по фор­муле

 

(15.4)

Координата, скорость и ускорение по бинормали будут в любой точке траектории равны нулю по определению естественных координат.

Нетрудно определить направление вектора ускорения при есте­ственном способе задания движения точки. Вектор находится в со­прикасающейся плоскости и составляет с главной нормалью угол, определяемый по тангенсу:

(15.5)

При любом движении вектор ускорения лежит с той же стороны касательной, с которой расположена траектория.

Если траектория м.т. задана координатным способом, то касательное    (тангенциальое)  и нормальное   ускоре­ния можно определить через производные координатные скорость и ускорение.

Касательное   ускорение,   как известно, характеризует изменение модуля скорости, оно соответствует изменению длины вектора скорости вдоль его направления, и для определения касательного ускореия надо спроецировать вектор ускорения на направление вектора скорости, а для этого модуль ускорения помножить на косинус уг­ла между направлениями скорости и ускорения: wτ = wcos(v,w). Поэтому касательное ускорение определяется по формуле:

(15.6)

А нормальное ускорение определяется по формуле:

(15.7)

Иногда требуется определить радиус кривизны траектории точ­ки, движение которой задано в координатной форме. Если траек­тория плоская, то приравнивая равенство (15.7) к выражению (15.2), получаем выражение для радиуса кривизны:

(15.8)

 

Ссылка на этот материал: primery-kinematicheskogo-dvigeniya.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 71 - 64 =

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 02 ч 59 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:1 V:1 N:10
Уникальных посетителей за текущие сутки: 1 Просмотров: 1 Этой страницы (всего): 10