1.  Вращающаяся система отсчета. НСО

Еще одно усложнение задач кинематики проявляется в том, что физически, кроме покоящихся с.о., могут существовать движущиеся и вращающиеся равномерно или неравномерно с.о.

Особенностью данных с.о. с геометрической т.з. является их возможное движение относительно других с.о., возможно, взаимно вращающихся. При этом все, даже взаимно вращающиеся с.о., будут равноправны. Сами по себе эти с.о. с геометрической т.з. являются евклидовыми, точнее, даже декартовыми, с физической т.з. являются неинерциальными с.о.

Если рассматривать движение  именно в этой, пусть и вращающейся, с.о., то каких либо особенностей в описании кинематики движения м.т. в таком пространстве не имеется. Основными параметрами движения по прежнему остаются траектория движения, координатные скорость  и ускорение в этой выделенной с.о. Даже уравнения кинематического движения не изменяются. И все же – чем отличаются друг от друга вращающиеся и не вращающиеся с.о.? Можно ли определить, что рассматриваемая с.о. вращается?

С физической т.з. кое-какие особенности проявляются. Причиной этих особенностей является существование выделенных инерциальных с.о., и вопрос будет касаться относительно траектории, скоростей и ускорений именно в этих инерциальных с.о. Даже "покоящаяся" во вращающейся с.о. м.т. обладает ускорением, которая реально проявляется в необходимости силового удержания ее в состоянии "относительного покоя" относительно ее. Как следствие, это означает, что свободная м.т. во вращающейся с.о. движется неравномерно, с ускорением, а в не вращающейся, в соответствии с первым законом Ньютона, покоится либо движется прямолинейно и равномерно.

Приступая к изучению этого вопроса, напомним, что в рамках ньютоновской механики длина масштабов и вре­мя считаются абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных системах отсчета, т. е. не зависит от движения. Это же касается и течения времени, которое также оди­наково во всех системах, в т.ч. вращающихся.

Пусть имеются две произволь­ные системы отсчета К и К', движущиеся произвольным образом относительно друг друга. Известны скорость v и ускорение а некоторой точ­ки А в одной из этих с.о. Каковы соответствующие значения скорости и ускорения этой точки в другой с.о.?

Рассмотрим последовательно четыре наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

2.  Поступательное движение систем отсчета

K'-система движется поступательно по отношению к K-системе. Пусть в К-системе начало отсчета K'-систе­мы характеризуется радиусом-вектором r₀, а ее скорость и ускорение — векторами v₀ и w₀. Если положение точки А в K-системе определяется радиус-вектором r, а в K'-системе — радиусом-вектором r', то r = r₀ + r' (рис. 6).

 

Рис. 6. Взаимное расположение двух взаимно параллельных с.о. K и K'.

Если с.о.  движется равномерно и прямолинейно в с.о. K, то радиус-вектор r₀ начала с.о. K' в системе K будет равен

r0 = rн +v0t.

(16.1)

Тогда координата произвольной точки А в системе K будет иметь координаты

r = r' + (rн + v0t).

(16.2)

Пусть далее за промежуток времени dt точка А совершит в K-системе элементарное перемещение dr. Это перемещение складывается из перемещения dr₀ вмес­те с K'-системой и перемещения dr' относительно K'-сис­темы, т. е.

dr = dr0 + dr'.

(16.3)

Поделив выражение на dt, получим следующую формулу преобразования ско­рости:

v = (v0 + v').

(16.4)

Это же можно было получить, продифференцировав (16.2) по времени.

Продифференцировав (16.4) по времени, получим форму­лу преобразования ускорения. Учитывая, что v₀ = const, именем:

w = w'.

(16.5)

Отсюда видно, что если обе с.о. являются ИСО, то ускорения точки А в обеих системах отсчета бу­дут одинаковы.

С.о. K и K' могут двигаться друг относительно друга ускоренно. Это возможно, если v₀ ¹ const. Продифференцировав (16.4) по времени с учетом этого, получим форму­лу преобразования для ускорения:

w = w0 + w'.

(16.6)

Ускорение w₀ называется поступательным ускорением с.о K'.

С.о. K и K' могут располагаться по отношению друг к другу и более сложным образом. Для этого имеются две возможности: 1) координатные линии располагаются не параллельно и 2) угол между координатными линиями изменяется во времени. Важными частными случаями такого расположения является вращающиеся с.о.

3.  Равномерно вращающаяся с.о.

Пусть K'-система вращается с постоянной угловой скоро­стью ω вокруг оси, неподвижной в K -системе.

Рис. 7. Параметры равномерно вращающихся с.о.

Возьмем начала отсчета К и К' систем отсчета в произволь­ной точке О на оси вращения (рис. 7.а). Тогда ради­ус-вектор точки А в обеих системах отсчета будет один и тот же: r = r'.

Если точка А неподвижна в К'-системе, то это значит, что ее перемещение dr в К-системе за время dt обуслов­лено только поворотом радиуса-вектора r на угол dj (вместе с К'-системой) и равно вектор­ному произведению

dr = [dj ´ r] = [ωdt ´ r] = [ω ´ r]dt.

(17.1)

Если же точка А движется относительно К'-системы со скоростью v', то за время dt она совершит дополни­тельное перемещение v'dt (рис. 7.а) и тогда

dr = v'dt + [dj ´ r].

(17.2)

Поделив это выражение на dt, получим следующую фор­мулу преобразования скорости:

v = v' + [ω ´ r].

(17.3)

где v и v' — скорости точки А в системах отсчета К и К'- соответственно.

Теперь  перейдем  к ускорениям.  В соответствии  с (5.9) приращение dv вектора v за время dt в K-системе должно складываться из суммы приращений векторов v и [ω ´ r], т. е.

dv = dv' + [ω ´ dr].

(17.4)

Найдем dv'. Если точка А движется в К'-системе с v' = const, то приращение этого вектора в К -системе обус­ловлено только его поворотом на угол dj (вместе с К'-системой) и равно, как и в случае с r, векторному произ­ведению [dj ´ v']. В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора v' с осью вращения (рис. 7.б). Если же точка А имеет ускорение w' в K'-системе, то за время dt вектор v' получит еще дополнительное приращение w'dt, и тогда

dv' = w'dt + [dj ´ v'].

(17.5)

Подставим (17.5) и (17.2) в равенство (17.4) и получен­ное выражение разделим на dt. В результате найдем следующую формулу преобразования ускорения:

w = w' +2[ω ´ v'] + [ω ´ [ω ´r]].

(17.6)

Первое слагаемое в правой части этой формулы называется поступательным ускорением. Второе слагаемое в правой части этой формулы но­сит название кориолисова уско­рения (или поворотного) w_cor, а третье слагаемое — осестремительного ускорения:

wcor = 2[ω ´ v'], wcs = [ω ´ [ω ´r]].

(17.7)

Таким образом, ускорение w точки относительно К-системы равно сумме трех ускорений: ускорения w' отно­сительно К'-системы, кориолисова ускорения w_cor и осестремительного ускорения w_cs.

Осестремительное ускорение можно представить в ви­де w_cs = ω²ρ, где ρ — радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси. Тогда формулу (17.6) можно за­писать так:

w = w' +2[ω ´ v'] - ω2ρ.

(17.8)

4.  Равномерно вращающаяся и поступательно перемещающаяся с.о.

К'-система вращается с постоянной угловой скоро­стью ω вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью v₀ и ускорением w₀ по отношению к К-системе. Этот случай объединяет два предыдущих. Введем вспомогательную S-систему отсчета, которая жестко свя­зана с осью вращения К'-системы и перемещается посту­пательно в К-системе. Пусть v и v_s — скорости точки А в К- и S-системах отсчета, тогда в соответствии с (5.1) v = v₀ + v_s. Заменив v_s, согласно (5.4), выражением v_s = v + [ω´r], где r - радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения К'-системы, полу­чим следующую формулу преобразования скорости:

v = (v' + v0) + [ω´r].

(18.1)

Аналогичным образом, используя (5.2) и (5.9), найдем формулу преобразования ускорения:

w = (w' + w0) + 2[ω´v'] - ω2ρ.

(18.2)

5.  Неравномерно вращающаяся и поступательно перемещающаяся с.о.

Если К'-система вращается с переменной угловой скоро­стью ω вокруг оси, то в формулу преобразования ускорения добавится еще один член, соответствующий ускоренному вращению:

(19)