-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: June 16 2019. -------
Ссылка на этот материал: Вязкое_трение_сопротивления.htm)


1.   Движение под действием поля давления газа без учета сопротивления движению м.т.

Взаимодействие происходит с силовым полем, задаваемым скалярной функцией давления от координат и времени j(t, r), называемое потенциальным. В таком поле изменение энергии тела пропорционально изменению потенциала на участке траектории и поэтому сила воздействия на м.т. определяется градиентом (grad j) этого поля:

Fi = ej,i

(1)

Работа этого поля:

dA = du = ej,idri.

(2)

В 3–мерном представлении j – скалярное поле, в 4–мерном он может быть как скаляром, так и элементом вектора с индексом 0.

Движение под действием поля давления газа с плотностью ρ происходит по закону:

Fi = kυ,

(3)

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от материала среды, оказывающей давление,

υ – объем м.о.,

Т.к. невозможно привести какие–либо простые дополнительные соображения по характеру действия давления на м.т. (типа геометрических, как в предыдущем случае), то никаких дополнительных выводов по этому виду взаимодействия с м.т. привести невозможно. Действие поля плотности вещества ρ полностью соответствует действию скалярного поля φ (см. далее) без каких–либо оговорок, если не учитывать реальные эффекты типа «перемещения дырки» – перемещения газа на место, с которого уходит м.т. конечного объема в процессе движения, и силы вязкости – диффузионный эффект в газе или другом веществе.

Существуют взаимодействия, сила действия которой на м.т. зависит от скорости движения м.т. Наиболее простыми из этих сил являются силы сопротивления и силы, линейно зависящие от скорости.

2.   Вязкое трение и силы сопротивления

Сила – это количественная мера взаимодействия тел. В рамках классической механики мы имеем дело со следующими видами сил: силами инерции, гравитационными, электростатическими, упругими, силами трения и сопротивления. Объектами воздействия классических сил являются м.т., с.м.т., твердое тело, сплошная среда (твердое вещество, газ, жидкость).

Вязкое трение существует между различными слоями внутри жидкости и газа, в связи с чем, его называют внутренним трением. Вязкое трение или сила сопротивления по своему характеру существенно отличается от сухого. Сила сопротивления движению возникает при движении твердых тел в жидкостях и газах. Для него характерно отсутствие трения покоя, поэтому даже весьма малая внешняя сила может сообщить телу некоторую скорость.

Наблюдения показывают, что сила сопротивления движению в жидкостях или газах в значительной степени зависит также от формы движущегося тела, а также от свойства среды, называемого вязкостью. Геометрическую форму тела, при которой сила сопротивления движению со стороны среды мала, принято называть обтекаемой.

3.   Силы сопротивления

Силы сопротивления возникают при движении объекта в жидкости или газе. Причина сопротивления – вязкость. Вязкость появляется от диффузионного и турбулентного перемешивания молекул жидкости (газа) между ее слоями жидкости, движущимися относительно друг друга. Диффузионное перемешивание присутствует всегда, но оно основное при ламинарном течении, масштаб у него молекулярный. Вихревое перемешивание гораздо более масштабное и реализуется при большом градиенте скорости.

Тело, движущееся в газообразной или жидкой среде, испытывает влияние так называемой силы сопротивления среды, которую условно можно рассматривать как силу вязкого трения Fтр. По зависимости от скорости взаимного движения различают два вида сопротивления. Они определяются степенью вхождения скорости в формулу для выражения силы трения. Сила сопротивления, возникающая в жидкости или газе, всегда направлена против движения тела, по касательной к  его поверхности и зависит от скорости движения тела.

Стокс установил, что при небольших скоростях движения сила сопротивления Fc пропорциональна скорости (1),

Fc = k1×v,

(11)

а при больших скоростях пропорциональна квадрату скорости (12).

Fc = k2×v2.

(12)

А также известно, что в жидкостях, в которых плотность вещества велика, тело не может развить большую скорость, сила сопротивления пропорциональна скорости (11), а в газах, из–за их малой плотности, тело может развить большую скорость, поэтому сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (12).

В последних формулах коэффициенты пропорциональности k1 и k2 зависят от рода жидкости или газа и их температуры.

Разделение на трение и сопротивление здесь вообще то достаточно условное, потому что и в первом, и во втором случае трение и вязкость всегда присутствуют вместе. Даже трение может быть сухим и вязким.

4.   Сила касательного трения

Силы трения воздействуют на м.т. через трение пропорционально степеням скорости от 0 до 2, в зависимости от характера силы. Механизмом действия этой силы является передача части импульса движущегося м.о. от плоскости, параллельной направлению движения, к обтекающему его потоку с.с. за счет контактного взаимодействия – силы трения. В этом контактном взаимодействии участвуют также приграничные слои газа. Для м.о. силы трения переходят в силу сопротивления движению.

Рассмотрим следующую модель воздействия силы трения на плоскую пластину, движущуюся в среде в направлении плоскости (рис.1). Для упрощения рассмотрения задачи мы примем следующие допущения:

1) газ очень разреженный и элементы газа практически не взаимодействуют друг с другом на расстоянии размеров м.о.;

2) игнорируем собственным движением элементов газа относительно с.о.;

3) все элементы газа имеют одну и ту же массу m.

4) будем учитывать силу взаимодействия только вдоль направлении движения, без тангенциальной составляющей.

Собственным броуновским движением элементов газа пренебрегать нельзя, потому что он является основной причиной трения.

Рис. 1. Механизм появления силы сопротивления за счет трения о среду.

При движении пластины AB в направлении оси Oy в направлении оси Ox и –Ox пластину бомбардируют элементы среды за счет броуновского движения со скоростью v^b. Движением элементов среды в направлении Oy пренебрежем, т.к. это движение будет компенсировано движением других элементов в направлении –Oy. За время взаимодействия их с пластиной элементы среды изменяют направление движения на обратную (при полном отражении) и получат дополнительную скорость v||y = vy в направлении движения пластины. За счет передачи этого импульса и получается появление силы трения о среду для движущейся пластины. Для единицы площади пластины:

vo = v^b + vy,

dp = –k(mbN)vydt.

(13)

Для всей пластины:

Fy = dp/dt = –k(mbN)vy, 

(14)

где vy – скорость движения пластины,

v^b – средняя скорость бомбардировки пластины элементами среды,

vb – скорость бомбардировки пластины броуновского движения элементов среды,

mb – масса элемента среды,

vo – скорость отраженного элемента среды,

k – коэффициент эффективности передачи импульса пластины элементам среды,

s – площадь боковой поверхности пластины.

N – количество элементов среды, провзаимодействовавших с пластиной. Это количество зависит от плотности и скорости броуновского движения частиц среды:

N = r/mb · vbs.

(15)

Окончательно имеем:

Fy = –k(mbr/mb · vbs)vy = –k(rvbs)vy = –evy.

(16)

Из уравнения (6) видно, что силы касательного трения пропорциональны (линейны) по скорости. Сама среда может находиться в состоянии движения относительно с.о., в которой рассматривается движение м.т. В этом случае силу сопротивления можно выразить уравнением:

Fy = –er(v v0) = erv0erv.

(17)

где v0 – скорость среды.

В общем виде такие силы можно определить через уравнение:

Fi = eEi + ervi.

(18)

где Ei = rv0 – силы, не зависящие от скорости. В нашем случае они должны быть равны нулю;

e – константа взаимодействия, или заряд м.т., пропорциональный объему м.о.;

r – плотность среды, в которой движется м.о.;

Скалярное поле r можно заменить на тензорное поле rδij, где δij – единичный диагональный тензор. Тогда:

Fi = eEi + erδijvj.

(19)

Если тензоры в этом выражении имеют размерность 3, то коэффициенты Ei, r и δij можно объединить в одном 4–тензоре ранга 2 как его элементы:

(20)

Здесь второй столбец и вторая строка имеют размерность элементов 3. Верхняя строка матрицы F0j = 0, потому что в рамках данной интерпретации сила F0 = 0 (или не определена). Мы не знаем, что такое сила F0. Хотя есть предположение, что это мощность внешней силы по изменению энергии м.т.

5.   Движение м.о. в среде разреженного газа под действием силы сопротивления. Динамическое сопротивление движению м.о.

Расчет сопротивления разреженного газа движению м.о.

Это взаимодействие м.т. с полем, взаимодействующим с м.т. через скорость.

Рассмотрим детально взаимодействие движущегося материального тела с поперечной относительно направления движения м.т. площадью s с покоящимся газом. Для упрощения рассмотрения задачи мы примем следующие допущения:

1) газ очень разреженный и элементы газа практически не взаимодействуют друг с другом на расстоянии размеров м.о.;

2) игнорируем собственное движение элементов газа относительно с.о.;

3) игнорируем собственное броуновское движение элементов газа;

4) все элементы газа имеют одну и ту же массу m.

5) будем учитывать силу взаимодействия только вдоль направления движения, без тангенциальной и вихревой составляющих. Такое взаимодействие будет выполняться для симметричного м.о. относительно двух перпендикулярных плоскостей, проходящих через вектор направления движения тела;

При движении со скоростью v за время dt м.т. упруго провзаимодействует (см. рис. 2) со всеми элементами газа в объеме dV = svdt и передаст каждому из них импульс в направлении движения м.т. и соответственно уменьшит свой импульс на величину:

Dpn = (1 + cos an)m1v,

(21)

где Dpn – полученный элементом газа при отражении от м.т. импульс в направлении движения,

an – полный угол отражения элемента газа относительно направления движения, от –p до p,

n – индекс элемента газа от 1 до N – общего количества провзаимодействовавших элементов газа,

m1 – масса одного элемента газа,

v – скорость м.о.

Безымянный.png

Рис. 2 Схема рассеивания материальным объектом элементов разреженного газа при движении

Общий импульс, переданный всем элементам газа при движении со скоростью v за время dt составит:

dpi = SDpni = S(1 + cos an)mvi =

= ks(rs·|vdt)vi = kssr·|vvdt.

(22)

Если мы направим ось с.о. в направлении движения м.о., то сила сопротивления будет равна:

dp = kssv2dt,

(23)

где S – знак суммирования по всем участвующим во взаимодействии за время dt элементам газа,

ks = S(1+cos aN) – коэффициент, учитывающий форму (статистику характера отражения элементов газа) м.т. Если s – плоскость, движущаяся в направлении нормали к себе, то k = 2, т.к. все элементы отражаются в направлении движения: cos aN = 1. Для всех других форм k < 2, потому что элементы газа могут быть отражены не только в направлении движения, но и по разным другим направлениям. Для цилиндра, движущейся боковой поверхностью, и шара, k = 1.

ks = коэффициент сопротивления материального тела, учитывающий форму м.о.

r – плотность разреженного газа,

s – площадь рассеяния м.т., перпендикулярный направлению движения,

m – масса столба элементов газа объемом s·|v|·dt.

При этом сама м.т. по 3–му закону Ньютона получит обратный импульс, равный – dp и силу сопротивления движению:

F = –dp/dt = – ksrv2.

(24)

Найдем коэффициент k для цилиндра, движущейся боковой поверхностью, и шара. Для этого просуммируем переданный импульс по всей площади взаимодействия и поделим на площадь при v = 1 и r = 1:

1)   для цилиндра, движущейся боковой поверхностью и общей площадью 2. Для каждого отдельного сегмента dh одной половины цилиндра с площадью 1 имеем:

dp = (1+cos 2b) db ;

 

= (b – ½ sin 2b),

 

 = (b – ½ sin 2b)| = p/2 ~1,57.

(25)

2)      для шара радиусом 1 и площадью поперечного сечения S = p. Для каждого отдельного кругового сегмента dh:

 

dp = (1 + сos 2b) (2pdh) =

= (1 + cos 2b)2psinbdb =

= 4pcos2bsinbdb,

 

=

 

dp = 4pcos2bsin bdb = –4p/3·cos3b,

 

k = –4/3·cos3b| = 4/3 ~ 1,33.

(26)

Из рассмотрения взаимодействия шара с газом также можно сделать еще один вывод: если рассматривать только отраженные элементы газа и не рассматривать процесс заполнения пустого пространства за движущейся м.т., то они распределены в пространстве во всех направлениях изотропно и несут импульс, распределенный в пространстве в соответствии с функцией P(r) и направленной от м.т.:

P(r) = F/S = F/(4/3·pr2) =

= ¾ksrv2/pr2.

(27)

Для шара имеем:

P(r) = ¾ (4/3·srv2)/pr2 =

= srv2/pr2.

(28)

Эту функцию можно представить как поле напряженности и оно должно оказывать воздействие на другие м.т. в пределах свободного пробега элементов газа. За этими пределами эти элементы теряют свое первоначальное направление движения и возможен только перенос взаимодействия создаваемым в процессе потери направления кинетическим давлением.

Это один из возможных механизмов появления силовых полей, связанных с м.т. В данном случае напряженность этого поля пропорциональна кинетической энергии м.т. Скорость распространения поля равна скорости элементы относительно среды в с.о., связанной с м.о. Если невозможно не учитывать взаимодействие элементы газа друг с другом, или обладают собственным (броуновским) движением, то характер силы должен измениться. Скорость распространения информации уже будет порядка скорости броуновского движения элементов газа.

Обобщим этот вид силы. Сила прямого лобового сопротивления разреженного газа движению м.о. определяется выражением:

Fv = – (ks)vrv2 = –erv2.

(29)

где e – характеристика сопротивления м.о. движению в среде. Ее можно назвать зарядом м.о.

Сама среда может находиться в состоянии движения относительно с.о., в которой рассматривается движение м.т. В этом случае силу сопротивления можно выразить уравнением:

Fv = –er(vv0)(vv0) = –er(v2 – 2v0v + v02),

(30)

где v0 – скорость среды.

В общем случае даже в покоящейся среде вектор действия силы Fi не обязан быть коллинеарным вектору скорости vi. Тогда это же можно записать через тензор ранга 3 Ki,jk:

Fi = erKijkvjvk,

dpi = erKijkvjvkdt,

(31)

где e – константа взаимодействия, или заряд м.т., пропорциональный объему м.о.;

Kijk – тензор коэффициентов сопротивления м.о., зависящий от формы м.о. Необходимо иметь в виду, что этот тензор не является полем, а только характеристикой м.о. в покоящейся среде.

Механизм взаимодействия следующий: м.о. сталкивается с каждым встретившимся в поперечном сечении по движению атомом покоящегося газа и упруго провзаимодействует с ним (отразится от поверхности м.о.). Этот механизм взаимодействия в состоянии покоя материальной среды предполагает, что направление действия силы противоположно направлению движения:

Fi(v) = –Fi(–v).

(32)

Этот же механизм взаимодействия в состоянии покоя среды предполагает, что тензор силы Kijk симметричен по нижним индексам:

Kijk = +Kikj.

(33)

Рассматривая тензор Kijk как 4–мерный тензор, то в силу равенства нулю элемента F0 классической и галилеевой силы, элементы Kijk при i = 0 должны быть равны нулю. Как следствие, пространственную часть сил Fi можно разделить по пространственным и временному индексам:

Fi = er[Ki00 + (Kij0 + Ki0j)vj + Kijkvjvk].

(34)

В трехмерной записи это же будет записываться так:

Fi = er(Ei + Gijvj + Kijkvjvk).

(35)

Здесь составляющая силы Ei учитывает состояние движения среды относительно с.о., Gij – состояние движения м.о. и среды относительно с.о, Vijk – состояние движения м.о. относительно среды.

 

Ссылка на этот материал: Вязкое_трение_сопротивления.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 59 plus 2 equally:

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 05 ч 29 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:6
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 6