-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: June 16 2019. -------
Ссылка на этот материал: Законы_движения.htm)


1      Законы движения

(См. также Механика и законы движения).

Существование вполне определенной траектории движения м.т. в определенном выше пространстве означает, что необходимо существуют законы движения м.т. в ней. Движение м.т. определяется ее положением в пространстве в произвольный момент времени: r = r(t). При отсутствии законов движения нет никаких ограничений на вид этой функции.

1.1.      Непосредственное задание траектории

Наиболее простым законом движения является прямое задание координат в любой момент времени:

r(t) = f(t).

(1)

Обычно такой закон движения заранее не известен, а известно состояние материи в определенный момент времени и некоторый закон, позволяющий найти положение системы в последующие (и, конечно, в предыдущие) моменты времени. И этот закон должен определять однозначно положение м.т. в соседнем слое пространства в близкий момент времени:

r(t + dt) = f(r, t, dt).

(2)

1.2.      Задание траектории полем скоростей

Если функция f(r, t, dt) достаточно гладкая, в первом приближении закон этого движения определяется линейным уравнением

(3)

где dr/dt - вектор скорости м.т. в данной точке в данный момент времени. Эти уравнения говорят о том, что движение м.т. в первые моменты времени определяется только ее начальной координатой и скоростью.

Для определения траектории  в более отдаленном будущем законом движения должен быть закон, по которому  определяется скорость м.о. в любом месте в любой момент времени, который может зависеть от взаимного положения материальных объектов и их параметров. Если известен закон изменения этой скорости в любой точке пространства в любой момент времени, то задача решается решением дифференциального уравнения (3) первого порядка. В уравнении (3) для определения скорости  в любом месте в любой момент времени необходимо задать поле скоростей dr(t, r)/dt как функцию координат материальных объектов во времени.

Можно ли определить дальнейшее движение м.т. во все времена на этой основе? Математика говорит о том, что да, если известна скорость в любом месте в любой момент времени.

1.3.      Задание траектории полем ускорений

Но не всегда известна функция скорости от координат и времени. Следующим приближением является уравнение движения с использованием известного ускорения м.т. в данной точке в данный момент времени:

(4)

По аналогии с предыдущим, законом движения в этом случае должен быть закон изменения ускорения в любом месте и в любой момент времени, который может зависеть опять же от взаимного положения материальных объектов. Опыт показывает, что такая корреляция в законах механики действительно существует и задается вторым законом Ньютона.

1.4.      Задание траектории дифференциальными уравнениями произвольного порядка

Наиболее общим способом определения траектории является уравнение движения с использованием производных произвольного порядка по времени от траектории:

(5)

Замечания практически те же, что и в предыдущем случае. Опыт показывает, что от производных по координате более второго законы движения не определяются – достаточно ограничиться производными до второго порядка.

Насколько эти законы общи? Эти законы абсолютно общие. Но имеются замечания – вышеприведенные уравнения пригодны для описания только для одного конкретного материального объекта (или объектов). При наличии многих взаимодействующих объектов задача усложняется тем, что необходимо одновременно записать уравнения движения для всех объектов и учесть в них то, что они влияют друг на друга. Данная проблема решается с помощью так называемых "обобщенных координат", суть которой в том, что количество пространственных координатих  (или степеней свободы) умножается на количество взаимодействующих объектов.

Все движения, которые мы встречаем в природе, в действительности очень сложны. Чтобы понять все эти явления, лучше всего начать с наиболее простых возможных случаев и постепенно продвигаться к более сложным. Рассмотрим тело, находящееся в покое. Чтобы изменить положение такого тела, необходимо оказать некоторое физическое воздействие на него. Наша интуиция связывает движение с такими действиями, как толчок или тяга. Если мы хотим, чтобы тело двигалось быстрее, мы должны толкать его сильнее. В “Механике”, в продолжение двух тысяч лет приписываемой Аристотелю, можно прочитать: “Движущееся тело останавливается, если сила, его толкающая, прекращает свое действие”. Отсюда можно сделать вывод: чем сильнее воздействие, тем больше скорость. Но связать скорость движения с физическим воздействием на него оказалось практически невозможно. Эта связь оказывалась не устойчивой и зависящей от внешних условий: от гладкости поверхности, от материала и смазки соприкасающихся поверхностей и т.д. К тому же проявляется эффект инерции движения: после прекращения внешнего действия тело останавливается не сразу. Есть еще один эффект: тело, находящееся на другом движущемся теле, тоже движется с той же скоростью, хотя на него никто явно не воздействует.

Выход из этого противоречия, указанный Галилеем, таков: если ничто не толкает и не тянет тело или если на тело ничто не действует каким-либо другим образом, если на тело не действуют никакие силы, оно покоится или движется прямолинейно и равномерно, т. е. всегда с одной и той же скоростью по прямой. Следовательно, скорость сама по себе не показывает, действуют ли на тело внешние силы или нет. Правильный вывод Галилея был сформулирован спустя поколения Ньютоном в виде закона инерции. Этот закон — обычно первый из физики, что мы выучиваем в школе наизусть, и многие из нас могут его вспомнить: "Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если только оно не вынуждено изменять его под влиянием действующих на него сил".

В связи с этой формулировкой причины покоя возникает вопрос: а в какой параметризации Пространства она адекватна? Это не может происходить при произвольной параметризации Пространства: всегда, для любого закона движения, можно найти с.о., в которой м.т. будет покоиться всегда, и в то же время существует другая параметризация, в которой м.т. может испытывать невообразимые движения. Следовательно, должны существовать выделенные с.о. удовлетворяющие принципу Галилея.

И эта параметризация – евклидова ортонормированная система пространственных координат, связанная с покоящимися м.о., нормированное время плюс галилеевы преобразования координат и тензоров (ГПТК, ИСО). Далее мы будем применять именно ее и тензорное (и векторное) исчисление в этой с.о. Неполнота тензорного исчисления в ней компенсируется наличием псевдоскалярных и псевдотензорных параметров, изменяющихся при ГПТК специальным образом. Наиболее важные параметры такого рода – энергия и импульс.

Наличие изменяющихся псевдопараметров скорее всего говорит о том, что они должны быть связаны каким-либо отношением: изменение одного приводит к вполне определенному изменению другого параметра. Но эта связь может оказаться скрытой по той причине, что параметры могут быть определены с точностью до постоянного слагаемого, который не будет участвовать в отношении. Например, масса может оказаться в роли такого слагаемого, и не будет никакой возможности связать ее с другими параметрами по причине его неизменности. Она может оказаться частью любого псевдоскалярного параметра, например, энергии.

После определения механики в евклидовой с.к. методами тензорной алгебры можно непротиворечиво распространить законы механики и в пространства с произвольной геометрией, в т.ч. и не евклидовой. Но абсолютность пространства и времени при этом останутся неизменными. Это – принципиальный пункт классической механики и физики.

2      Примеры движения м.т. под действием внешних сил

Наиболее простыми взаимодействиями м.т. с полем являются одномерные движения под действием сил, зависящих явно только от времени, координаты или скорости м.т. Далее мы рассмотрим их. В этой части предполагается, что все векторы – f, r, v, w – являются контравариантными векторами, векторными функциями или векторными полями.

2.1.      Движение м.т. под действием силы, зависящей только от времени

Движение м.т. под действием силы f = f(t), зависящей только от времени, происходит по закону:

(11)

Пространство, в котором рассматривается движение, может иметь произвольную размерность. Такое движение м.т. полностью интегрируется во времени независимо по каждой координате. Скорость м.т. определяется решением интеграла:

v(t) = v0 + ∫wdt.

(12)

Положение м.т. определяется решением интеграла:

r(t) = r0 + ∫v(t)dt.

(13)

В 3-мерном пространстве уравнение движения состоит из системы трех независимых уравнений, каждая из которых решается независимо от других.

Простейшим видом такого движения является случай движения под действием постоянной силы. Если f = const = f0, то получим линейный закон изменения скорости от времени:

(14)

Положение м.т. определяется следующим квадратным уравнением:

 (1.5)

Такому уравнению движения подчиняется также движение под действием силы трения. Сила трения в первом приближении имеет постоянное значение независимо от скорости. При этом происходит уменьшение скорости движения м.т. до значения 0 и м.т. останавливается, т.к. у силы трения при скорости 0 не определено направление действия: fv=0 = 0.

Особенностью силы трения является то, что она в любой с.о. является тормозящей силой, т.е. она неявно зависит от направления движения: f = -k · v/|v|, и реальное движение под ее действием не обратимо при инверсии времени. Но математически оно все же обратимо, если не учитывать механизм силы трения - математически сила трения при обращении времени превращается в силу подталкивания в направлении движения.

2.2.      Движение м.т. под действием силы, зависящей только от скорости

Движение м.т. под действием силы f = f(v), зависящей только от скорости, происходит по закону:

(21)

В общем случае направление вектора w может не совпадать с направлением вектора скорости v. Но в данном случае мы рассматриваем одномерное движение. В противном случае сила будет зависеть от направления движения.

Для получения уравнения движения необходимо решить в общем случае нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно v:

(22)

В 3-мерном пространстве уравнение движения состоит из системы трех дифференциальных уравнений. Простейшей зависимостью такой силы от скорости является линейная функцией в одномерном пространстве:

(23)

где k – коэффициент сопротивления движению, учитывающий и зависимость от массы m.

vc – некоторая постоянная скорость, зависящая от с.о., или собственная (фоновая) скорость пространства (среды) движению м.т. Параметр vс может быть полем скорости сопротивляющейся среды.

Решим ее для постоянного vc. Проинтегрируем ее между точками от t0 до t:

(25)

Здесь v0 = v(0) - vc. При k > 0, что соответствует сопротивлению, движение происходит с приближением значения скорости м.т. к скорости vc, но эта скорость никогда не достигнет значения, равного vс, в силу свойств экспоненциальной функции.

Разрешим уравнение (25) относительно координаты r :

(26)

При k > 0, vc = 0 и t → ∞ движение происходит с замедлением и бесконечным стремлением к некоторой границе, в силу свойств экспоненциальной функции:

(27)

Еще одна простейшая зависимость такой силы от скорости – тоже линейная, но всегда направленная перпендикулярно вектору скорости и некоторому направлению H:

f = e[v ´ H].

(28)

Под действием такой силы м.т. будет двигаться по окружности некоторого радиуса R, определяемой из уравнения. Приравняв модуль внешней силы f центробежной силе, имеем:

(29)

При наличии у м.т. начальной коллинеарной к направлению H скорости vk, будет двигаться одновременно по винтовой линии со скоростью в направлении H, равной этой начальной скорости.

2.3.      Движение м.т. под действием силы, зависящей только от координат. Одномерный случай

Такое движение осуществляется уже под действием силовых полей. Движение м.т. под действием силы f = f(r), зависящей только от координаты, происходит по закону:

(31)

Решить это уравнение проще, если воспользоваться законом сохранения энергии. Для этого заметим, что интеграл силы по координате x в одномерном случае всегда будет равен потенциальной энергии:

f(r) = U(x).

(32)

Запишем уравнение закона сохранения энергии к нашему одномерному случаю:

½v2 +U(x) = E.

(33)

Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирующееся путем разделения переменных. Имеем:

(34)

откуда:

(35)

Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия E и постоянная интегрирования C. Поскольку кинетическая энергия является величиной существенно положительной, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, и движение может происходить только в тех областях пространства, где U(x)≤ E.

Пусть, например, зависимость U(x) имеет вид, изображен­ный на рис. 4. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энер­гии, мы сразу же выясним возможные области движения. Так в изображенном на рис. 4 случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от С,

 

Рис. 4. Движение м.т. в потенциальном поле.

Точки, в которых потенциальная энергия равна полной

U(x) = E

(36)

определяют границы движения. Они являются точками оста­новки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если об­ласть движения ограничена двумя такими точками, то движе­ние происходит в ограниченной области пространства; оно яв­ляется, как говорят, финитным. Если же область движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, — движение инфинитно, частица уходит на-бесконечность.

Одномерное финитное движение является колебательным - частица совершает периодически повторяющееся движение ме­жду двумя границами (на рис. 4 в потенциальной яме АВ ме­жду точками x1 и x2). При этом согласно общему свойству об­ратимости время движения от x1 до x2 равно времени обратного движения от x2 до x1. Поэтому период колебаний Т, т. е. время, за которое точка пройдет от x1 до x2 и обратно, равен удвоенному времени прохождения отрезка x1x2 или:

(37)

причем пределы x1 и x2 являются корнями уравнения (4.6), при данном значении Е. Эта формула определяет период дви­жения в зависимости от полной энергии частицы.

Движение м.т. под действием произвольных сил в 3-мерном пространстве не поддается общему решению, хотя в некоторых случаях это возможно. Такие примеры рассмотрены ниже.

2.4.      Движение м.т. под действием силы, линейно зависящей от координаты

Движение под действием этой силы определяется следующим линейным уравнением:

wi = Aij rj.

(41)

После соответствующего выбора системы координат путем диагонализации тензора жесткости Aij это уравнение распадается на 3 независимых уравнения, по количеству координат пространства, которые решаются назависимо и в которой сила взаимодействия будет определяться диагональным тензором Aij: i ¹ jAij = 0. Поэтому рассмотрим в качестве зависимости силы от координаты линейную зависимость и решим уравнение для этого частного случая – одной координаты x (одномерное пространство). Такую зависимость силы от координаты имеет движение м.т. под действием силы пружины:

(42)

где k – жесткость пружины. Это линейное однородное уравнение 2–го порядка, которое решено в предыдущем примере, и оно имеет решения вида:

 

(43)

где C1, C2 и C – свободные члены решения уравнения.

Это решение соответствует периодическому колебательному движению относительно начала координат с круговой частотой:

(44)

В многомерном случае жесткость k становится тензором kij. Этот тензор можно разложить по всем взаимно ортогональным координатным осям и он будет переопределен как диагональный тензор: kij = 0 для i ¹ j. Система с таким тензором жесткости будет иметь N (по числу пространственных координатных осей) колебательные частоты по взаимно ортогональным направлениям:

)

(45)

М.т. в таком пространстве будет двигаться по достаточно сложной траектории, заполняя собой внутренность "параллелепипеда" соответствующей размерности и линейных размеров.

 

Ссылка на этот материал: Законы_движения.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 17 to divide on "семнадцать" =

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 04 ч 37 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:1
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 1