-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: June 16 2019. -------
Ссылка на этот материал: Кеплерова-задача-двух-тел.htm)


Гравитационное взаимодействие двух м.т., или Кеплерова задача

(По Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Механика).

Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна r и соответственно силы обратно пропорциональны r2. Сюда отно­сятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электроста­тические поля; первые, как известно, имеют характер притяже­ния, а вторые могут быть как полями притяжения, так и от­талкивания. Две м.т. взаимодействуют между собой в соответствии с законом:

(1)

где γ – гравитационная постоянная взаимодействия,

m1 , m2 – массы взаимодействующих тел,

r – расстояние между телами.

Это есть движение в центральном поле, соответствующее потенциальному полю, и оно приводится к предыдущему случаю для потенциальной энергии:

(2)

Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором

(3)

с положительной постоянной α. График «эффективной» потен­циальной энергии

(4)

имеет вид, изображенный на рис. 1. При r → 0 она обращает­ся в +¥, а при r ¥ стремится к нулю со стороны отрица­тельных значений; при r = M2/am она имеет минимум, равный

(5)

Рис. 1. Эффективная потенциальная энергия м.т. в центральном поле.

Из этого графика сразу очевидно, что при Е > 0 движение ча­стицы будет инфинитным, а при E < 0 — финитным.

Форма траектории получается с помощью общей формулы (7). Подставляя в нее U = -α/r и производя элементарное интегрирование, получим:

(6)

Выбирая начало отсчета угла φ так, чтобы const = 0, и вводя обозначения

(7)

перепишем формулу для траектории в виде

(8)

Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; p и e — так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета φ заключается, как видно из (8), в том, что точка с φ = 0 является ближай­шей к центру (так называемый перигелий орбиты).

Рис. 2. Форма траектории м.т. в Кеплеровой задаче.

В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону (1), орбита каждой из частиц тоже представляет со­бой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.

Из (7) видно, что при E < 0 эксцентриситет e < 1, т. е, орбита является эллипсом (рис. 2) и движение финитно в со­ответствии со сказанным в начале параграфа. Согласно извест­ным формулам аналитической геометрии большая и малая по­луоси эллипса

(8)

Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с (7.3), при этом e = 0, т. е. эллипс обращается в окружность. Отме­тим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее рас­стояния до центра поля (фокуса эллипса) равны

(9)

Эти выражения (с w и e из (6) и (4)) можно было бы, конечно, получить и непосредственно как корни уравнения Uэфф(r) = E.

Время обращения по эллиптической орбите, т. е. период дви­жения T, удобно определить с помощью закона сохранения мо­мента в форме "интеграла площадей". Интегрируя это равенство по времени от нуля до T, получим:

2mf = TM,

где f — площадь орбиты. Для эллипса f = πab, и с помощью формул (8) находим:

T = 2πα3/2√(m/α) = πα √(m/2 |E3|)

(10)

При E ≥ 0 движение инфинитно. Если E > 0, то эксцентриситет e > 1, т. е. траектория является гиперболой, огибаю­щей центр поля (фокус), как показано на рис. 2. Расстояние перигелия от центра

(11)

где a = p/(e2 – 1) = α/2E - «полуось» гиперболы.

Рис. 2.Движение по гиперболе в Кеплеровой задаче при наличии силы притяжения.

В случае же E = 0 эксцентриситет e = 1, т. е. частица дви­жется по параболе, с расстоянием перигелия rmin = р/2. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности.

Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (6.4). Она может быть представлена в удобном параметрическом виде следующим образом.

Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е со­гласно (6), (8), напишем интеграл (6.4), определяющий время, в виде

()

С помощью естественной подстановки

ra = -ae cosξ

этот интеграл приводится к виду

()

Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить const в нуль, получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости r от t:

(12)

 (в момент t = 0 частица находится в перигелии). Через тот же параметр ξ можно выразить и декартовы координаты частицы x = rcosφ, y = r sinφ (оси x и y направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из (7) и (12) имеем:

ex = pr = a(1 – e2) – a(1 – e cosξ) = ae (cosξ  – e),

()

а y найдем, как √(r2x2). Окончательно:

x = a (cosξ  - e)

y = a√(1 – e2)sin ξ

(13)

Полному обороту по эллипсу соответствует изменение парамет­ра ξ от нуля до 2π.

Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату

(14)

где параметр ξ пробегает значения от -¥до +¥.

Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором

(15)

α > 0. В этом случае эффективная потенциальная энергия

()

монотонно убывает от +¥ до нуля при изменении r от нуля до ¥. Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно. Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория яв­ляется гиперболой

(16)

 (p и e определяются прежними формулами (6)). Она про­ходит мимо центра поля, как пока­зано на рис. 3.

Рис 3. Гиперболическое движение м.т. в Кеплеровой задаче
при наличии силы отталкивания.

Расстояние пери­гелия

(17

Зависимость от времени дается параметрическими уравнениями

(18)

В заключение параграфа укажем, что при движении в поле U = α/r (с любым знаком α) имеется интеграл движения, спе­цифический именно для этого поля. Легко проверить непосред­ственным вычислением, что величина

(19)

Действительно, ее полная производная по времени равна

(20)

или, подставив M = m[rv]:

 

положив здесь согласно уравнениям движения mv̇ = ar/r3, мы найдем, что это выражение обращается в нуль.

Сохраняющийся вектор (19) направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию, а по величине равен we. В этом проще всего можно убедиться, рассмотрев его значение в пери­гелии.

Подчеркнем, что интеграл движения (19), как и инте­гралы M и E, является однозначной функцией состояния (поло­жения и скорости) частицы.

 

Ссылка на этот материал: Кеплерова-задача-двух-тел.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 81 to erect in degree "один" equally:

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 05 ч 29 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:3
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 3