Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: June 24 2019. -------
Ссылка на этот материал: Классическая_механика_и_тензоры.htm)


1      Применение тензоров в КМ

Для изучения КМ и практического применения ее результатов в механике можно применять различные математические методы. Они зависят от сложности поставленных задач и удобности применения этих методов. Основные и наиболее древние методы – арифметика, алгебра и анализ. Анализ включает использование дифференциального и интегрального исчислений. Но их сложно использовать к многокомпонентным задачам. Как следствие -   появляется необходимость использования векторного, матричного и их более продвинутого собрата – тензорного исчислений. А также других более продвинутых алгебраических и геометрических методов. Но все же наиболее доступные методы – векторный и тензорный исчисления.

Что такое вектор или матрица, знают практически все, кто учился в старших классах школ. Тензор отличается от них своим рангом и включает в себя векторы и матрицы, а также положением индекса.

Размерность индексов тензоров в КМ определяется числом 3 – числом измерений пространства: «вправо – вверх – вдаль». Еще одним существенным параметром является «время». Ее можно рассматривать как раздельно, так и совместно с пространственными координатами, включив к ним координату «время» и расширив количество индексов до 4 и присвоив ей индекс 0.

1.1    Векторы и тензоры в классической механике

Векторы и тензоры бывают контра- и ковариантными. Отличаются они соответственно верхним и нижним расположением индекса. Имеются операции опускания и поднятия индексов. В классической механике с ортонормированными координатами можно не отличать друг от друга тензоры с контра– и ковариантными индексами, потому что они имеют одинаковые значения элементов. Поэтому операция поднятия-опускания индексов вырождается в тождественную операцию. Как альтернатива, в некоторых случаях эта операция применяется с обратным знаком – но это уже прерогатива 4-мерной механики, в которой имеется фундаментальная скорость. Поэтому в 3–мерной формулировке мы не всегда будем писать индексы при используемых «векторных» параметрах. Также отметим, что не всё, что выражается через 3–мерные значения, является вектором (тензором) по отношению к галилеевым преобразованиям тензоров и координат (ГПТК). Рассматривать их как тензоры можно (и то не всегда) только во взаимно неподвижных с.о. с совпадающими началами координат. При смене начала координат исчезают тензорные свойства объектов типа "координата" и «время», но разность координат dr, dt и тензоры, связанные с ними, остаются тензорами.

r' – r = Dr,

t' – t = Dt.

При переходе в равномерно движущуюся со скоростью v0 с.о. дифференциал dr также теряет свои 3–мерные тензорные свойства, т.к. преобразуется не тензорно следующим образом:

dr' = drv0 · dt

и может быть обнулен в соответствующим образом подобранной с.о. Но при dt = 0, т.е. для подпространства одновременных событий, дифференциал dr продолжает обладать тензорными свойствами:

dr' = drv0 · 0 = dr.

Дифференциал времени является инвариантом даже по отношению к ГПТК:

dt' = dt.

3-мерными тензорными свойствами относительно ГПТК продолжают обладать дифференциал ускорения dvi и ускорение wi = dvi/dt м.т., т.к. они связаны с разностью координат.

В силу этих свойств 3-мерные тензорные параметры при ГПТК должны пересчитываться специальным образом. Этих недостатков лишена 4-мерная формулировка параметров механики в 4-мерном галилеевом пространстве. Но недостатки, связанные с трансляцией, т.е. изменением начала отсчета координат, остаются. Но в ней свои особенности и сложности.

1.2    Суперпозиция сил, действующих на м.т.

Принцип суперпозиции сил связан со свойствами векторов в векторном пространстве и тензоров в тензорном исчислении. Для любых векторов (тензоров) определены алгебраические операции сложения/вычитания и умножения/деления на число, поднятия/опускания индексов, разложения вектора на составляющие, скалярного и векторного произведения векторов. Сила является вектором и обладает всеми свойствами векторов.

Обычно на тело действуют одновременно несколько сил. Например, на санки, движимые по поверхности с трением, действуют четыре силы. Это

1) сила тяжести со стороны Земли Fg;

2) сила реакции опоры Fr;

3) сила трения со стороны поверхности Fтр и

4) сила Fч, с которой человек тянет санки по поверхности Земли.

Чтобы установить результат их действия, вводят понятие равнодействующей силы, т.е. такой силы, которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих на него сил. Равнодействующая нескольких действующих сил определяется по законам векторной алгебры как сумма соответствующих векторов:

FFтр + Fr + Fч + Fg.

Для приведенного случая все эти силы можно посмотреть на следующем рис 1.

Рис. 1. Пример сложения и разложения силы на

составляющие: FFтр + Fr + Fч + Fg (на самом деле

в данном случае Fr = Fg).

Силы, заменяемые равнодействующей силой, называют составляющими. Нахождение равнодействующей нескольких сил называется сложением сил.

Необходимо всегда помнить, что складывать можно не любые векторные параметры. А только подобные: например, только силы, только импульсы, и т.д. Силы нельзя складывать с импульсами. И даже здесь имеются ограничения: складываемые параметры должны быть определены в одних и тех же единицах измерения.

1.3    Сложение нескольких сил в одну

При сложении нескольких сил, действующих на одну и ту же м.т., все силы складываются векторно в точке, в которой находится м.т. При этом действие обобщенной силы ничем не отличается от общего действия всех этих сил на м.т. по отдельности:

F = SnFn.

Замечание. Все сказанное ниже в этой части по отношению к силе, относится и к любому другому вектору или векторному параметру.

Для примера приведем схему сложения двух сил F1 и F2.

Рис. 2. Cложение двух сил и разложение одной силы на две

методом параллелограмма.

Для сложения двух сил F1 и F2 на векторах строится параллелограмм OF1FF2. Результатом сложения двух сил будет считаться направленная диагональ OF.

1.4    Разложение одной силы на несколько

Разложение силы на несколько является задачей, обратной к предыдущей. Обычно при решении такой задачи известно из каких-либо соображений направление и/или значение некоторых сил, на которые следует разложить силу F. Зная эту информацию, необходимо найти все остальные силы и/или их значения. Например, решим эту задачу для  двух сил F и F2, показанных на предыдущем рис. 2.

Для решения задачи треугольник сил FOF2 достраивается до параллелограмма OF1FF2 перенесением стороны F2F  в точку O. Результатом будет считаться вектор OF1:

OF1 = OF - OF2,

F1 = F - F2,

При разложении одной силы на несколько всегда можно воспользоваться следующими свойствами сил, приложенных к одной точке:

1. К любой системе сил, приложенных к одной точке, можно добавить произвольную пару уравновешенных сил F1 и F2:

F1 + F2 = 0.

2. Любую группу сил, приложенных к одной точке, можно заменить их обобщающей силой.

F = S{n}F{n}: n Î {Mn}.

2      Динамика м.т.: импульс и сила. Общие положения

Считается, что стержнем динамики Ньютона является понятие силы, а основная задача динамики заключается в установлении закона движения тел по данной силе и, наоборот, в определении силы из данного движения.

2.1    Определение динамики

Динамика – это раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, обуславливающими это движение, а именно движение под действием приложенных к нему внешних, в т.ч. реактивных, сил. Силой называется фактор, за счет которого может изменяться скорость м.т. Этот фактор может быть приложен непосредственно к м.т. (контактная сила), или быть внешним силовым полем.

В основе классической механики лежат три закона, сформулированные Ньютоном в 1687 году. Эти законы вытекают из опыта и являются обобщением огромного круга изученных явлений. На эти три закона надо смотреть не как на изолированные независимые утверждения, а как на систему взаимосвязанных законов. Опытом проверяется не каждый закон в отдельности, а вся система в целом.

До Галилея и Ньютона считалось справедливым утверждение Аристотеля, что причиной движения является сила, то есть внешнее воздействие на тело. С прекращением воздействия движение прекращается, то есть по Аристотелю сила нужна только для поддержания движения. Галилей показал ошибочность этого утверждения и сформулировал ее в виде принципа относительности, а Ньютон сформулировал прямо противоположное утверждение в виде первого закона динамики. Согласно этому закону  «Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если только оно не вынуждено изменять его под влиянием действующих сил».

2.2    Пространство КМН

Считается, что механика (МН) в объеме трех законов Ньютона с определением ИСО определяется в евклидовом пространстве. Но это не совсем так. Механика Ньютона в объеме трех законов Ньютона определена в аффинном пространстве. Это видно из того, что во всех трех законах Ньютона не присутствуют понятия о расстояниях и углах. Есть понятия только о прямых и векторах. И, конечно, понятие параллельности. Действительно, любые линейные преобразования координат и векторов не меняют основные законы Ньютона.

1.      1-й закон. При аффинных преобразованиях координат ИСО остается ИСО, прямые переходят в прямые, вектора – в вектора. Косоугольность (понятие евклидова пространства) с.к. не имеет значения, потому как с.к. ИСО может быть и косоугольным.

2.      2-й закон. При аффинных преобразованиях координат векторы остаются векторами и преобразуются по своим законам. Нулевой вектор при этом остается нулевым.

3.      3-й закон. Линия действия двух взаимодействующих тел и равенство сил взаимодействия не меняется при аффинном преобразовании координат.

4.      В аффинном пространстве остаются в силе законы сохранения импульса и массы.

Законы сохранения энергии и момента импульса являются уже законами однородного и изотропного метрического галилеева пространства и не следуют непосредственно из трех законов Ньютона.

При введении в рассмотрение криволинейных и неинерциальных систем отсчета (НСО) МН определяется в локально аффинном пространстве. Отношение локально аффинного пространства к аффинному пространству такое же, как риманова  пространства к евклидовому пространству. В аффинном пространстве определяются законы сохранения массы и импульса. А также ее детерминированность и обратимость.

И только там, где явно появляются расстояние (длина, площадь, объем) и угол, появляются евклидово (галилеево) и риманово пространства. Вместе с ними появляются энергия, моменты векторных параметров и, собственно, классическая механика Ньютона (КМН) в привычном для нас виде. В евклидовом пространстве определяются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

Итак, пространство КМН – галилеево пространство как прямое произведение абсолютных евклидова 3-мерного пространства R3 и 1-мерного пространства R1, называемой «время»: Rкмн = R3×R1. Можно ли написать Rкмн = R4? Формально – да, физически – нет, потому что R3 (пространство) и R1 (время) имеют совершенно разную природу с физически разными единицами измерения. Каждое из них абсолютно и независимо от другого.

2.3    Основные параметры м.т. в динамике

Основными параметрами м.т. в динамике являются те же параметры, что и в кинематике - его положение ri(t) или qi(u), скорость vi (или Vi), ускорение wi (или Wi). Это связано с тем, что все таки траектория движения м.т. является достаточно важным. Индексы принимают значения от 1 до 3. Формально это координаты в 4-мерном пространстве с произвольной параметризацией мировой линии точки в ней, физически - координаты в 3-мерном пространстве во времени как параметра мировой линии. С одним важным замечанием: каждое 3-мерное подпространство является сножеством одновременных точек.

Но имеются и дополнительные параметры. И тоже важные и основные. Это их моменты – движения vij и ускорения wij. Они возможны только в евклидовом пространстве с метрикой. Их важность определяется изотропией пространства относительно вращений.

Замечание. Определение тензорного момента в виде aij = [ri×aj] по какому либо векторному параметру ai тесно связано с 3-мерностью пространства и наличием метрики, через которое определяются расстояние и углы.

Наиболее значительным отличием динамики от кинематики является введение новых параметров – скалярной массы m (а также заряда ei) и векторной силы f. Масса определяет количество вещества, что проявляется в его аддитивности, и меру его инертности, что проявляется в определении его импульса и втором законе Ньютона. Через массу определяется также гравитационное взаимодействие м.о. Через гравитационное взаимодействие определяется ее гравитационный заряд. Сила определяет способность воздействовать на м.о.

Через массу  мультпликативно определяются другие дополнительные параметры м.т. - импульс pi, действующая на нее внешняя или реактивная сила fi (или Fi) (здесь и далее условимся 3-мерные векторные параметры обозначать строчными буквами, 4-мерные – прописными). Например, импульс pi = mvi, сила  fi = mwi. С зарядами вместо импульса связываются токи: ji = evi. В дополнение к основным параметрам м.т. в динамике добавляются «моментные» параметры: момент инерции mij = Snmnrirj, момент импульса pij, момент силы fij, в т.ч. относительно ц.т. м.о.

Масса и заряд являются скалярными параметрами м.т., скорость, ускорение и сила – векторными, моменты – тензорными ранга 2 или аксиальными векторами. Скорость и ускорение определены ранее в разделе «кинематика».

Все эти параметры можно представлять в 3- мерном и 4-мерном видах. В 4-мерном виде некоторые 3-скаляры будут представлены как элементы тензора с нулевым значением индекса. Импульс, сила тока и сила (в т.ч. по координате времени t как параметру) в 4-мерном представлении определяются следующим формулами:

Pi = (p0, pi) = m(v0, vi) = mVi,

Ji = (j0, ji) = e(v0, vi) = eVi,

(2.1)

При этом v0 = 1,  J0 = ev0,  f0 = 0. Элемент mv0 = mdt/ = mλ = m0 называется динамической массой м.т. Именно  динамической, в отличие от скалярной m (см. также замечание о двухвалентности тензора скорости (v0, vi) ~ Vi). Динамическая масса не является массой как таковой, она соответствует элементу импульса м.т. с нулевым индексом – временной компоненте импульса м.т. P0. Она в общем случае переменная, и только в галилеевом пространстве λ = const постоянная.

Моменты в 4-мерном представлении будут представлены более широким спектром параметров. Дополнительно появятся элементы, содержащие индекс 0, например,

p00 = m(r0v0 - v0r0) = 0,

p0j = m(r0vj - v0rj) = m(tvj - rj),

pi0 = m(riv0vir0) = m(rivit).

Еще одним и очень важным параметром в динамике является энергия. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий: E = K +U. Аналога в кинематике им, пожалуй, не имеется.

K = ½mv2,

U = U(r).

В классической механике масса m является константой по определению. Соотношение между кинематическими и новыми динамическими параметрами при постоянной массе определяется вторым законом Ньютона (см. далее):  

Fi = mWi,

Заряд м.т. может стоять только в левой части этого уравнения и определяет, в частности, силу электромагнитного взаимодействия.

Как исключение, в случае реактивного движения масса m не является константой. Но, несмотря на это, масса в этом случае является скаляром, только зависящим от времени. При этом соблюдается закон сохранения полной массы для реактивной системы. Здесь изменение массы связано с делением реактивной системы на пассивную и реактивную составляющие.

3      Особенности использования 3-тензоров КМ, 4-тензоров ГП и законы Ньютона

Сила Fi является одним из основных объектов КМ. Именно она является главным "героем" трех законов Ньютон, и главное ее определение находится во втором законе Ньютона.

(1)

Здесь vi – скорость м.о.,

wi – ускорение м.о.

В 4–мерном расширении необходимо добавить условия:

(2)

Обращу внимание на несоответствие рангов левой и правой частей (1) друг другу. В (1) видно, что сила Fi по количеству индексов определена как контравариантный вектор, а правая часть определена через производную по времени и формально должна быть второго порядка. В классической механике это не имеет большого значения в силу абсолютности координаты времени и "время", точнее, ее дифференциал, обладает "скалярными" свойствами в силу "скалярности" координаты t. Но при переходе в 4 измерения "пространство + время" это уже имеет значение, в силу разных "алгебраических" свойств тензоров отличающихся рангов. Как примеры этих свойств – их нельзя сравнивать, складывать и вычитать. А если КМ допускает производить над ними эти (и другие, не приведенные здесь), то они по крайней мере неявно должны иметь один и тот же ранг.

Также необходимо обратить внимание на так называемые "скаляры" КМ. Заметьте – КМ, а не тензоров галилеева пространства. Они бывают двух видов. Первые – это истинные скаляры. При преобразованиях координат они не изменяют своего значения. Вторые – это псевдоскаляры, которые при преобразованиях координат изменяют свое значение. Чаще всего в 4–мерном представлении они оказываются элементами соответствующих векторов с индексом "0", элементами тензоров с нулевыми значениями индексов или произведения пространственных векторов и другие полные свертки пространственных тензоров. Их псевдоскалярность в этих случаях может быть связана с законом сохранения энергии. Примерами таких скаляров являются произведения пространственных векторов и другие полные свертки пространственных тензоров: кинетическая энергия, работа, расстояние. Особо стоит "скалярная" роль "времени" – она непосредственно связана со свойствами координаты "время" в ГП. Она во многих случаях играет роль истинного скаляра, но это верно только в КМ. Еще примеры – сила, скорость и ускорение с индексами 0. Также можно отметить скалярную роль массы и зарядов: их роль может быть двоякой – могут определять как истинный скаляр как общий множитель при тензоре, так и компоненту тензора с нулевыми индексами.

Можно отметить еще одну особенность уравнений КМ с тензорами: при правильных, соответствующих друг другу рангах элементов, составляющих уравнения 3–мерной КМ, при их интерпретации в 4–мерном виде теряется соответствие рангов. Ничего не поделаешь – необходим более детальный анализ уравнений, чтобы понять проблему.

Иногда при использовании тензорных полей появляется необходимость поднятия или опускания индекса для использования в рамках ньютоновой механики. Например, в трех законах Ньютона используется верхний индекс. В ньютоновой 3–мерной механике поднятие/опускание индекса при скалярном элементе не изменяет ее значения, а при пространственных элементах эквивалентно смене знака при них:

Fi ~ –Fi, F0 ~ F0.

(3)

 

Ссылка на этот материал: Классическая_механика_и_тензоры.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 99 minus 31 equally:

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 20 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6