Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: May 19 2019. -------
Ссылка на этот материал: Параметры_движения.htm)


Параметры м.т в механике.

Основными понятиями и объектами классической механики являются понятия пространства, времени и материального объекта (далее м.о.) в виде материальной точки (далее м.т.), системы материальных точек (с.м.т.) и сплошной среды (с.с.), и их движения и взаимодействия. С основными понятиями связаны параметры м.о. Это, во первых, скалярные параметры – масса m и заряд j, непосредственно описывающие м.т., и кинематические 3-мерные векторные параметры и их производные -  координаты r, скорость v, ускорение w:

r = r(t)

v = dr/dt,

w = d2r/dt2.

(1)

Кроме кинематических параметров движения появляются и динамические параметры, через которые описываются их движение и взаимодействия. Для м.т. это комплексные (векторные, тензорные, …) параметры, описывающие ее движение – энергия и мощность, сила и импульс, и моменты M векторных параметров - момент силы (инерции) и момент импульса.

М.т. является изотропным объектом, что означает ее сферическую симметричность и отсутствие каких-либо дополнительных собственных параметров, кроме скалярных (зарядов) и кинематических. М.т. может иметь и другие, тензорные, параметры, но тогда это будет уже м.о. Под материальным объектом понимается материальная система, которую можно описать  конечным количеством параметров. Например, система из двух (трех, четырех, …) м.т. Возможно, это абсолютно твердое тело. М.т., конечно, тоже является м.о.

М.о. может иметь и другие, собственные, параметры, кроме массы и заряда. Они могут быть независимыми константами, скалярными функциями или особыми тензорными свойствами параметров формы, движения, взаимодействия.  Например, поляризация. В качестве классического примера реального объекта, рассматриваемого как м.т., но имеющего тензорные свойства, можно привести такой параметр, как момент инерции м.о. относительно центра тяжести Mцт, или тензор (или вектор) электрической и магнитной поляризации.

Скорость и импульс, ускорение и сила, момент импульса и момент силы являются производными параметрами и задают параметры движения м.т. в пространстве и времени. При этом эти параметры в 3-мерном представлении не всегда отображаются на 3-мерные тензоры. Такие параметры можно назвать псевдотензорами – это в основном псевдоскаляры и псевдовекторы.

Сплошная, непрерывная материя в пространстве также может быть объектом классической механики. Ее взаимодействия определяются ее полевыми параметрами: плотностью массы, заряда, плотностью импульса, а также давлением и температурой. Механика сплошной среды изучается в специальных разделах механики – механике сплошной среды, деформируемых сред, сыпучих и пластических сред, гидро- и аэродинамике, термодинамике. Специфической особенностью этих механик является конечность скорости распространения деформаций в с.с.

Скалярные параметры при ГПТК не изменяются, а параметры движения изменяются. Но это не обязательное условие – некоторые "скалярные" и другие "тензорные" параметры ньютоновой механики при ГПТК изменяются совсем не как скаляры и тензоры. Пример – кинетическая энергия и скорость. Такие параметры называются псевдоскалярами и псевдотензорами.

В галилеевой механике таких параметров (например, энергии) не может быть в принципе. Это связано с особенностями ее метризации. В ней не рассматриваются параметры не тензорного характера, несмотря на естественность их появления в ньютоновой механике.

1.   Уравнения движения и взаимодействия

Параметры м.т. характеризуют м.т. и его взаимодействие с другими телами и внешними силовыми полями. Взаимодействия м.т. с внешними полями описываются с помощью присвоенных ему скалярных параметров, называемых зарядами. Гравитационный заряд называется массой и обозначается символом m. Электромагнитный заряд обозначается как e. Другие заряды могут быть обозначены другими буквами или с использованием скалярного индекса k: ek. С использованием зарядов совместно с массой обогащается спектр динамических параметров м.т. Понятию "импульс" для заряда будет соответствовать понятие "ток", понятию "момент импульса" будет соответствовать понятие "момент тока" или "циркуляция тока", понятию "плотность массы" будет соответствовать понятие "плотность заряда", а понятию "энергия" ничего не соответствует – нет отдельного понятия "энергия заряда". Но есть понятие "энергия м.т." как интегральный, суммирующий параметр. Это связано с тем, что понятие "момент" связан с векторным произведением значения координаты с вектором в 3-х или 4-м форме (см. примеры (1)).

Взаимодействие м.т. с внешними полями определяется через систему уравнений движения м.т. в пространстве и времени. Второй закон Ньютона является одним из таких уравнений движения. В общем случае эту систему уравнений можно записать следующим образом:

Fi(m, ek, t, r(t), dr(t)/dt, ... , dnr(t)/dtn) = 0,

(2)

где i – индекс обобщенной координаты м.т., м.о. или системы,

m, ek – скалярные параметры м.т.; возможно тензорные или имеющие другую групповую структуру;

r(t) – траектория движения,

dr(t)/dt, ... , dnr (t)/dtn – полные производные траектории движения ri(t) (скорость, ускорение и т.д.).

В форме второго закона Ньютона через силу это уравнение можно записать в виде :

F(m, ek, r, t, r(t), dr(t)/dt, d2r(t)/dt2) = 0

или в уже разрешенном виде

f = f(m, ek, r, t, r(t), dr(t)/dt, d2r(t)/dt2) = mw.

(3)

Уравнение движения не определяет механизм взаимодействия, а определяет только ее математическое описание. И только интерпретация уравнения взаимодействия может определять механизм взаимодействия.

Внешнее силовое поле в (2, 3) спрятано за явной зависимостью уравнения движения от координаты и производных координаты м.т. по траектории, потому что обычно взаимодействие м.т. с внешним полем есть функция координат и ee производных по траектории движения. Вместо параметра t может использоваться другой параметр u, с помощью которого параметризуется траектория движения, тогда в список параметров уравнения должен быть добавлен параметр u: tu, r(t) → q(u). При этом для того, чтобы траектория движения была однозначна, необходимо выполнение условия: dt/du > 0.

2.   Сила

В число основных понятий и соответствующих им параметров, кроме кинематических параметров, описанных выше входит понятие и векторный параметр "сила" f. Параметр f называется силой, действующей на м.т. Именно она совместно с массой и ускорением является главным героем всех трех законов Ньютона. Первый закон определяет движение м.т. в отсутствие силы, второй – в присутствии внешней силы, а третий – для консервативной системы м.т.

f = m · w.

(4)

3.   Особая роль массы тела

Роль параметра «масса» особая. Выделенная роль массы от других параметров (зарядов) м.т. определяется правой частью уравнения второго закона Ньютона, в которое входит произведение массы м.т. m на ускорение w = d2r/dt2, получаемое телом при взаимодействии с силовым полем или контактно с другой м.т. (4). В этом выражении масса выступает как мера инерции, характеризующей способность изменять скорость под действием внешней силы:

(5)

Масса m выступает входит также в определение импульса тела р.

(6)

В классической механике в качестве собственных параметров м.т. рассматриваются только скалярные масса m и при рассмотрении электромагнитного взаимодействия – электрический заряд е. В общем случае у м.т. могут существовать много других собственных параметров (зарядов), обозначаемых буквой е со скалярным индексом k: ek или e(k).

Рассмотрим основные свойства массы. Как мера количества вещества, она обладает следующими свойствами:

 

- масса является мерой количества вещества;

- масса составного тела является аддитивным параметром и равна сумме масс составляющих его частей;

- масса изолированной системы тел сохраняется, не меняется со временем;

- масса тела не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, в частности, она одинакова в различных инерциальных системах отсчета.

Кроме свойств, присущих скалярным параметрам, у массы имеются и другие, физические, свойства.

- во первых, масса тела является мерой его инертности (или инерции, или инер­ционности, как пишут некоторые авторы);

- и, во вторых, массы тел являются источником их гравитационного притяжения друг к другу.

Левая часть уравнения, определяющая силу взаимодействия f, может зависеть произвольным образом от других параметров м.т. и внешних полей, но обычно порядок дифференциального элемента dnr(t)/dtn для левой части уравнения (2, 3) ограничивается числом n = 2:

f(m, ek, r, t, , r(t), dr(t)/dt, d2r(t)/dt2) = mw.

В уравнениях (2, 3) масса тела определяет чувствительность м.т. к изменению состояния движения под воздействием силы, чувствительной к соответствующему заряду (в т.ч. и массе). Масса тела и заряды являются скалярами (или даже константами) и не изменяются при взаимодействиях с внешними полями и между собой (кроме, возможно, случаев рассмотрения неупругого взаимодействия и реактивной силы).

Масса тела и заряды обладают свойством аддитивности. Это означает, что если некоторый материальный объект является составным объектом, но рассматривается как одно целое, то, хотя и каждая составная часть ее взаимодействует с внешним полем (или другими объектами) независимо, ее можно рассматривать как одну м.т. с общей массой и зарядом, находящимся в центре масс (см. законы Ньютона) этих м.т.:

m = Skmk ; e = Skek.

(7)

Сила, действующая на м.о., тоже обладает свойством аддитивности, и складывается из сил, действующих на каждую ее составную часть:

f = Skfk.

(8)

где k – индексы составляющих составной объект м.т. с одним и тем же типом заряда.

При упругих взаимодействиях массы взаимодействующих м.т. не изменяются. При неупругих взаимодействиях двух тел с массами m1 и m2 их массы могут изменяться, но сумма их масс не изменяется. Это же относится и к зарядам м.т.:

m1 + m2 = m'1 + m'2,

m'1 = m1 + ∆m,

m'2 = m2 – ∆m.

(9)

Примером неупругого взаимодействия является столкновение двух автомобилей. Еще один интересный пример с противоположным эффектом неупругого взаимодействия - движение ракеты с помощью реактивного двигателя.

В СТО параметр "масса" имеет две интерпретации. Первое – как скалярный параметр, применяемый в серъезных научных работах, соответствууе по значению массе покоя м.т.  и обозначается через m. Вторая – как динамическая масса, сответствующий временному элементу вектора энергии–импульса м.т., отвечающей за полную энергию м.т., поделенной на c2. Динамическая масса применяется в научно-популярной, школьной и частично вузовской учебной литературе. Обозначается тем же символом m, хотя правильнее было бы обозначать как m0. m0 – эквивалент полной энергии м.т. В СТО эти массы взаимосвязаны и эта связь определяется через модуль полного 4-импульса м.т.:

P2 = E2p2c2 = (m0c2)2p2c2 =(mc2)2,

Масса в СТО не обладает свойством аддитивности, но полная энергия, импульс и их моменты – обладают.

Свойством аддитивности для с.м.т. или м.о. также обладают и другие общие параметры – импульс, сила, их моменты. Но скорости и ускорения для с.м.т. не складываются.

4.   Импульс м.т.

Величину, определяемую как произведение массы на скорость, называют импульсом p м.т, а произведение заряда на скорость называют током j м.т.:

(10)

Импульс является аддитивным параметром и для с.м.т. определяется как сумма импульсов составляющих с.м.т. объектов. При этом "импульс" по четвертой координате представляет собой просто массу м.т.:

(11)

Замечание. Отсюда можно сделать вывод, что скалярный параметр "масса" m, возможно, является четвертой координатой в векторных параметрах м.т., соответствующих импульсу. Этот вывод обосновывается тем, что четвертая координата при ГПТК не изменяется по своей величине. Это утверждение допустимо в научно-популярной литературе и соответствует определению "массы покоя" в ней, но в серьезной профессиональной научной литературе масса есть скаляр.

Под воздействием силы изменяется импульс м.т. p = m · v:

dp = m · dv = m · w · dt.

5.   Момент вектора

Общим определением момента M является уравнение в векторной форме как трехмерный аксиальный вектор

M = [r ´ a] ~

~ Mij = (riajrjai).

(12)

где aлюбой векторный параметр. Момент импульса является антисимметричным тензором ранга 2.

Иногда удается определить "момент" и по отношению к некоторому "скалярному" параметру. Это возможно, если этот параметр можно интерпретировать как "временной" элемент 4-вектора, которому можно приписать индекс 0.

M0j = (r0ajrja0) = (tajrj).

(13)

Здесь r0 = tнулевая координата в 4-мерной формулировке пространства-времени,

v0 º 1 – скорость по  нулевой координатной оси в 4-мерной формулировке пространства-времени: dt/dt º 1.

6.   Момент скорости

Для примера рассмотрим практически не применяемый на практике "момент скорости". Момент скорости м.т. vij определяется по формуле:

M = [r ´ v]:

vij = (ri ´ vj) = (ri vjrj vi).

(14)

Момент  скорости по индексу 0 будет соответствовать "момент"

v0j = (r0vjrjv0) = (t× vjrj).

(15)

7.   Момент импульса

Момент импульса также является редко применяемым параметром. Векторный момент импульса определяется как векторное произведение радиус–вектора на импульс м.т.:

P = [r × p] = [r × mv] = m[r × v].

(16)

Как видно из (16), момент импульса равен произведению массы на момент скорости. Численно значения элементов этих векторов определяются формулами:

P1 = p23p32, P2 = p31p13, P3 = p12p21.

(17)

Пусть м.т. – составная м.т., p = Snpn, f = Snfn. Рассмотрим, как изменяется момент импульса при преобразованиях трансляции:

r' = rr0 Þ

P' = S[r'n × p'n] = S[(rnrn0) × pn] =

= S[rn × pn] – S [rn0 × pn] =

= S[rn × pn] – [ rn0 × pn] =

= P – P0.

(18)

Здесь P0 – момент импульса с.м.т. как целого с полной массой и импульсом. Из формулы видно, что если p = 0, то момент импульса не зависит от выбора с.о. Для м.т. собственный момент импульса равен нулю, потому что всегда можно найти с.о., в которой для него p = 0. Если м.т. является составной, то условие p = 0 соблюдается для с.о., в которой ц.м. с.м.т. покоится. Этот момент импульса называют собственным моментом импульса м.т. (системы).

8.   Момент силы

Для силы определяется момент силы fij по формуле:

fij = m[ri ´ wj] = (rifjrjfi) = m (riwjrjwi).

(19)

Момент силы связан с массой и моментом импульса по формуле, похожей на второй закон Ньютона:

Под действием этого момента силы м.т. изменяет направление движения, причем зависимо от значения и направления скорости.

По  индексу 0, с учетом, что f0 = 0, соответствует "момент силы"

f0j = m(r0 fjrj f0) = mt f j.

(20)

Момент силы является антисимметричным тензором ранга 2. Момент силы также можно определить и как векторный параметр, точнее, как аксиальный вектор. Но это возможно только в 3-мерном пространстве:

F = [r ´ f].

(21)

Рассмотрим, как изменяется момент силы F с.м.т. при преобразованиях трансляции:

r' = rr0 Þ r = r' + r0 ®

F = S[rn × fn] =

= S[(r'n + r0) × fn] = S[r'n × fn] + Sn[r0 × fn] =

= S[r'n × fn] + S[r0 × f] =

= F' + F0.

(22)

Отсюда

F' = F F0 = S[r'n × fn].

Член S[r0 × fn] называется трансляционным моментом силы. Из формулы видно, что если f = 0, то момент силы F' не зависит от выбора с.о. Если м.т. является составной, то условие f = 0 соблюдается, если моменты сил, действующие на м.т., взаимно компенсируются. Такое бывает, в частности, если на м.т. взаимодействуют только между собой и не действуют внешние силы. Этот момент силы называют собственным моментом силы м.т. (системы).  Он равен нулю:

SFk = S([fnk ´ rk]|n¹k) =

= ½(S(fnk ´ rk + fkn ´ rn )|n¹k) =

= ½(S(fnk ´ rkfnk ´ rn )|n¹k) =

= ½(S(fnk ´ (rkrn))|n¹k) = 0.

(23)

Последнее верно в силу параллельности векторов силы fnk и лини действия силы (rkrn).

Объединение параметров м.т. в одной матрице

Все "моментные" параметры м.т. можно объединить в одном 4-мерном антисимметричной матрице:

(32)

Здесь элементы с индексом 0 будут определять моменты, связанные с координатой "время". Матрица (32) содержит всего 6 независимых элемента: 3 из них соответствую пространственных индексам, и еще 3 – пространственно-временным с индексом 0.

Формально все 10 параметров, включая и энергию и импульс м.т.,  можно объединить в 5–мерной матрице, получающейся из (32) добавлением еще одной строки и столбца с элементами энергии–импульса м.о. Это будет эквивалентно введению еще одной дополнительной координаты q4 (или вообще без индекса как скалярная координата) с движением м.о. на постоянном единичном расстоянии от базисного пространства–времени: q4 = 1. Момент по дополнительной координате будет описываться формулой

pi4 – p4i =

= r4pi – rip4 =

= 1× pi – ri × 0 = pi.

(31)

что формально полностью совпадает с определением импульса м.т. При этом импульс получает статус момента импульса по дополнительной координате:

(33)

Получаем "жизнь на бране" в 5–мерном пространстве.

 

Ссылка на этот материал: Параметры_движения.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 36 делить на 12 равно:

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 24 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25