-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: June 04 2019. -------
Ссылка на этот материал: Пространство_и_принципы_КМН.htm)


Основы классической механики

Классическая механика изучает механическое движение макроскопических объектов, которые движутся со скоростями много меньше скорости света v << c = 3´108 м/с, изучающего законы движения тел в пространстве со временем и причины, это вызывающие, основанный на законах Ньютона и принципе относительности Галилея. Поэтому её часто называют "Ньютоновской механикой". Под макроскопические объекты подпадают объекты, размеры которых R ³ 10-10 м. Это размер типичной молекулы и более. Поэтому классическую механику следует рассматривать как нерелятивистскую неквантовую теорию движения материальных объектов.

Неевклидовы (римановы) пространства не являются предметом классической механики. Исключение - они являются римановыми разметками плоских евклидовых пространств или вложениями в них. Например, окружность, сфера или поверхность шара, пространство в сферических координатах.

Физика начинается с определения причины движения. И покоя – тоже. Это – самая фундаментальная проблема, остававшаяся в течение тысячи лет неразрешенной до конца из-за ее сложности. Природа.

В зависимости от вида изучаемых объектов классическую механику подразделяют на механику материальной точки, конечной системы материальных точек, абсолютно твердого тела или не меняющих своей формы объектов. А также различных конечных технических конструкции и близких к ним природных объектов. Механику сплошных сред (механика упругих тел, гидромеханика, аэромеханика), также как и электродинамику, отнести к классической механике трудно. Но движение перечисленных выше дискретных м.о. в с.с. или под действием электромагнитных сил вполне можно отнести к компетенции классической механики.

По характеру решаемых задач классическую механику подразделяют на кинематику, динамику и статику. Кинематика изучает механическое движение частиц без учета причин, вызывающих изменение характера движения частиц (сил). Закон движения частиц (траектория, или скорости, или ускорения) системы считается заданным.  По этому закону в кинематике определяются скорости, ускорения, траектории движения частиц системы. Динамика рассматривает механическое движение частиц с учетом причин, вызывающих изменение характера движения частиц. Силы, действующие на частицы системы со стороны тел, не включенных в систему, и между частицами системы,  считаются известными. Статика может рассматриваться как частный случай динамики, где изучаются условия механического равновесия системы.

По способу описания систем механика делится на ньютонову и аналитическую механику. Существует несколько эквивалентных способов формального математического описания классической механики: законы Ньютона, Лагранжев формализм, Гамильтонов формализм, формализм Гамильтона — Якоби. В данном разделе для формального математического описания в основном используются законы Ньютона.

1.   Пространство классической механики

Классическая механика оперирует в пространстве R1´ R3, где R1 – одномерное евклидово пространство с одной временной координатой, R3 – 3-мерное евклидово пространство с тремя пространственными координатами. Определение "евклидово" говорит о том, что пространства метризованы и плоские, и что пространство и время абсолютны, независимы, однородны и изотропны по отдельности (см. далее), независимо друг от друга. Это свойство евклидовых пространств. Но в классической механике это обычно постулируется.

Классическая механика обычно не оперирует 4-мерным пространством R4 = R1´ R3 как единым целым, а оперирует каждым из пространств R1 и R3 по отдельности, но все же вместе. А именно, состояние материальной системы в R3 (координаты) зависит от момента времени в R1. И это и допустимо, и возможно.

В силу абсолютности R1 и R3, для каждого момента времени из R1 в R4 можно выбрать связанный с ней слой пространства R3. Причем единственный. Свободным параметром параметризации является ее начальная точка и направления осей координат. Этот фактор оставляет возможность независимой от других слоев параметризации точек каждого слоя Пространства.

Но материальная точка во времени движется из слоя в слой, причем траектория ее движения является непрерывной. Т.е. должно быть определено расширение топологического понятия "окрестность" с трех пространственных измерений и на четвертую.  И это условие объединяет пространство и время в единое 4-мерное пространство-время. Причем желательно, чтобы координаты вдоль траектории движения м.т. при этом также менялись непрерывно, а не скачками.

Это накладывает на параметризацию соседних слоев пространства определенные условия. Основные требования к параметризации 4-пространства КМ (для общего случая параметризации) следующие:

1) топологическая близость и непрерывность параметризации точек с близкими координатами; 

2) равенство координаты "время" (одновременность) точек  в любом подпространстве (слое) R3; через координату "время" определяется линейная метрика во всем пространстве;

3) параметризация координат каждого слоя R3 может быть произвольной и в каждом слое пространства может быть определена собственная (в общем случае риманова) метрика; в силу евклидовости пространства всегда имеется возможность определить на ней плоскую ортонормированную систему координат;

4) непрерывность определенных на ней геометрических и материальных полевых функций до производных определенного порядка, обычно до второго порядка (в т.ч. метрики), как требование для использования математического анализа.

Замечание: пространство R4 = R1´ R3 в общем случае может быть параметризовано произвольно. Одновременность событий в любом подпространстве R3 означает, что для любой  точки из R4 подпространство одновременных с ней событий R3 определяется однозначно при любой общей параметризации. Это определяется существованием линейной метрики "время".

Из вышесказанного следует, что координата точки пространства и время определены произвольно (по построению), а также то, что для м.т. скорость движения и ускорение относительны (по построению). Это означает, что никакими прямыми измерениями мы не сможем определить абсолютные координату, скорость и ускорение м.т, а также любое другое абсолютное движение, т.к. мы способны измерить только относительную координату, а через нее – скорость и ускорение м.т. Это называется принципом относительности. Они указывают на топологическую однородность и изотропность пространства (тоже по построению).

Действительно, если в пространстве существует некоторая с.м.т., в т.ч. и поля, то любое движение этой системы как целого, даже ускоренное, не меняющее взаимное расположение с.м.т. и полей, будет не измеримо средствами этой системы. Задание с.к., опирающейся на это взаимное расположение, эквивалентно определению в пространстве системы отсчета (далее – с.о.), относительно которой возможны измерения. Эту с.о. можно назвать материальной. Это является еще одним принципом механики: с.о. должны быть связаны с материей. Такими с.о. являются инерциальные системы отсчета (ИСО – см. далее). Существование ИСО определяется первым законом Ньютона.

Но как быть с существованием акселерометра? Она же измеряет собственное ускорение. А дело в том, что в пространстве кроме координат определена еще и особая с.о. – инерциальная с.о. (ИСО), относительно которой м.о. движутся равномерно и прямолинейно при отсутствии какого либо взаимодействия. Относительно этой ИСО определены параллельные переносы векторов, а акселерометр определяет именно изменение вектора скорости при ее параллельном переносе вдоль линии движения акселерометра. Изменение этого вектора тесно связано с аффинной связностью пространства. Аффинная связность однозначно определяется метрикой пространства-времени – но не наоборот.

5) К этим требованиям также добавляются принципы относительности КМН – см. далее. Эти принципы определяют группу движений пространства и принцип ковариантности уравнений движения относительно этих движений.

2.   Принципы относительности классической механики

В понятие принципов относительности входят ковариантность описания физической системы от принятой системы отсчета и его допустимых преобразований. Этот принцип заключается обычно в следующих свойствах:

1) в повторяемости результатов экспериментов при идентичных начальных условиях. Только при выполнении этого условия возможно выявление и изучение законов физики;

2) в независимости результатов эксперимента от места проведения эксперимента и ее ориентации;

3) в независимости результатов эксперимента от состояния движения: если поставить какой-либо эксперимент в неподвижной и равномерно движущейся (инерциальной) с.о., при условии, что наблюдатель покоится в них, то при одинаковых относительных начальных параметрах эксперимента результаты будут идентичными;

4) и как следствие - в ковариантности уравнений движения от допустимых преобразований координат. Это означает, что форма уравнений движения не зависит от конкретной допустимой с.о. (см. п. 1, 2, 3).

Повторяемость результатов экспериментов при идентичных начальных условиях является основной предпосылкой при изучении законов Природы. Если бы не было повторяемости, невозможно было бы определить взаимную зависимость явлений Природы. Это даже не принцип, а парадигма, постулат или аксиома познаваемости Природы. В результате появились основополагающие закономерности явлений Природы.

Первой закономерностью в явлениях Природы явилась ее независимость от времени и места в пространстве, а также направления. На основе этого возник прнцип, что существует выделенная неподвижная с.о., и что все неподвижные относительно нее с.о. эквивалентны. В частности, из нее следовало, что тело движется, пока на нее оказывается силовое действие, и останавливается при прекращении действия. Этим руководствовались в механике при анализе законов механики вплоть до XVII, были принципы ковариантности законов механики относительно евклидовых преобразований пространственных координат – это смещения и повороты системы координат. Математически этот принцип выра­жается в том, что уравнения ньютоновой механики не меняются при пе­реходе к новым координатам:

t' = t t0,

r' = wr r0,

(1)

где w - символ оператора поворота с.к.,

t0, r0 – смещения временных и пространственных координат.

Но оказалось, что это не совсем правильно описывает законы движения. В частности, движение предметов на равномерно движущемся корабле не подчиняется этому принципу – законы движения ковариантны движению относительно палубы корабля и направлению ее движения, а не относительно земли (воды).

В одной из книг Галилея («Письма к Инголи», 1624 г.) есть яркое рассуждение на тему о том, что в каюте корабля с зашторенным иллюминатором никакими механически­ми опытами нельзя обнаружить равномерное и прямолинейное движение корабля относительно берега. Приводя этот пример, Галилей подчерки­вал, что никакие механические опыты не могут отличить одну инерциальную систему отсчета от другой. Это утверждение получило название принципа относительности Галилея. Математически этот принцип выра­жается в том, что уравнения ньютоновой механики не меняются при пе­реходе к новым координатам:

t' = t t0,

r' = wr v0 · t r0,

(2)

где v0 — скорость новой инерциальной системы относительно исходной. Этот принцип применим в отношении классической механики Ньютона (КМН) и галилеевой классической механики (КМГ).

В соответствии с этим в классической механике выбор с.о. определяется принципом относительности, состоящей в следующих утверждениях, соответствующих выбору евклидового пространства:

1. Пространство и время независимы (абсолютны). Это значит, что время (точнее, ее разность) одно и то же в любой точке пространства. При преобразованиях координат время преобразуется независимо от пространственных координат и наоборот. Независимость пространства и времени означает их абсолютность. В пространстве-времени определена линейная метрика Δτ.

С.о., в которой новая временная координата изменяется зависимо от пространственных координат, не имеет смысла. Это соответствует тому, что время независимо, одинаково в каждой точке пространства при любых преобразованиях пространственных координат и что информация о событииях в пространстве в любой момент времени в любой точке доступна вся, т.е. информация распространяется с бесконечной скоростью.

Пространство 3-мерно, время одномерно.

Пространство и время бесконечны (возможный вариант – безграничны: аналоги – окружность, цилиндр, сфера).

2. Пространство и время однородны. Это означает, что законы природы одинаковы в каждой точке пространства в каждый момент времени. Однородность пространства проявляется в законе сохранения импульса. Однородность времени проявляется в законе сохранения энергии.

3. Пространство изотропно. Это означает, что законы природы одинаковы не только в каждой точке пространства, но и не зависят явно от направления в пространстве и зеркального отражения с.о. Изотропность пространства проявляется в законе сохранения момента импульса.

В пространстве определена евклидова метрика:

(Dl)2 = (Dri)2.

(3)

Постранственная метрика определена только на пространственном слое с одним и тем же значением времени.

4. Время изотропно. Это означает, что если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное движение, т.е. такое, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения в классической механике обратимы, или что можно восстановить прошедшие события по текущему состоянию.

Изотропность времени не постулируется, потому что это в общем не верно. Но законы классической механики (сформулированы Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии») - сами по себе инвариантны относительно замены направления времени на обратное.

Время определяет в пространстве дополнительную скалярную линейную метрику в дополнение к пространственной:

Dt = Dt.

(4)

Линейная метрика Dt определена во всем пространстве.

5. Существование ИСО: не взаимодействующие ни с чем м.т. движутся прямолинейно и равномерно. С.о., связанные с такими м.т., являются ИСО. Все ИСО равноправны и движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.

Это, пожалуй, основополагающий принцип классической механики, связывающий с.о., (и связанные с ним координатные системы) между собой. Через существование ИСО определяется взаимодействие м.о. и второй и третий законы Ньютона. Через нее определяется метричность пространства-времени и ее аффинная связность.

Сюда же, пожалуй, можно включить принцип Маха: бесконечно удаленные объекты не взаимодействуют с рассматриваемой локальной системой, направление на них можно считать неизменным, а сами объекты неподвижными в связи с отсутствием их углового движения: звездное небо практически неподвижно. Этот принцип позволяет выделить не вращающиеся локальные с.о. в среде локально взаимодействующих объектов

6. Принцип неизменности массы (и заряда) не взаимодействующей ни с чем м.т., как само собой разумеющееся. Масса и заряд являются скалярами. Это дань однородности и изотропности пространства-времени. В классической механике не принято включать в принципы относительности.

Все эти 6 утверждений объединяются под общим определением принцип(ы) относительности Галилея (ПОГ) или галилеевой теорией относительности (ГТО). Пространства и с.о., которые удовлетворяют этому условию, называются Галилеевыми или инерциальными (ИСО), а преобразования системы координат, переводящие их друг в друга – преобразованиями Галилея. Эти принципы определены для пространства, в котором разворачиваются события классической механики. Пространство, удовлетворяющее этим принципам, похоже на абсолютно твердое тело.

Пока в ней нет вещества, все происходит в соответствии с этими принципами. Но как только мы в это пространство вносим вещество, эти принципы начинают сдавать свои позиции. Внеся в такое пространство одну единственную м.т., мы уже нарушим его однородность: точка, в которой находится м.т., становится особой. Внесение других м.т. нарушает и изотропность пространственных направлений: появляется направление, связывающее точки между собой. Любые другие точки будут отличаться друг от друга расстоянием до этой точки и направлением на нее. Таким образом, в Пространстве классической механики появляется поле r(t) расстояний до этой выделенной точки и линейное множество «траектория» или «мировая линия» r(t) этой точки. Пространство получает свойства абсолютности для с.о., связанной с этой точкой.

Внеся большее число м.о., мы еще больше нарушим его свойства однородности и изотропности и получим еще больше оснований для свойства абсолютности некоторой с.о.

Несмотря на все это, принципы относительности, сформулированные выше, сохраняют свою силу. Принципы относительности классической механики действуют в отношении законов, которым подчинены движения всех материальных объектов и не связаны с конкретной их расстановкой в пространстве. От конкретной расстановки зависят конкретные взаимодействмя между объектами, а не сами законы движения.

В начале XX века был сформулирован более общий принцип, получивший название
принципа относительности Эйнштейна. Согласно принципу относительности Эйнштейна не только механические, но и любые другие эксперименты (оптические, электрические, магнитные и т. д.) не могут отличить одну инерциальную систему от другой. Теория, построенная на этом принципе, получила название теории относительности, или релятивистской теории (латинский термин «релятивизм» эквивалентен русскому термину «отно­сительность»). Релятивистская теория, в отличие от нерелятивистской (галилеевой или ньютоновой), учитывает, что в природе существует предельная фундаментальная скорость с распространения физических сигналов:  
c = 3×10-8 м/с.

3.   Преобразования координат классической механики

Принципы относительности Галилея говорят о том, что существует одно единственное абсолютное пространство (не АСО!), одно и то же во все времена, и все события проходят в ней во времени. Но несмотря на абсолютность времени и пространства, формально можно ввести 4-мерное пространство-время событий q: q = {t, ri}, которые для каждого отдельного объекта разворачиваются последовательно от некоторого линейного параметра u:

q = q(u): q = (t, ri).

(6)

Формально существует множество пространств, удовлетворяющих ПОГ. Начнем с шестого (о постоянстве массы и заряда): шестой принцип не имеет отношения к выбору вида пространства. Первым четырем принципам (пространство и время абсолютны, однородны, изотропны) удовлетворяют все евклидовы, цилиндрические и тороидальные пространства, сферические, а также некоторые "односторонние" пространства с постоянной кривизной. Пятый принцип выделяет из них пространства с нулевой кривизной: это первые три типа из перечисленных. Их всех объединяет свойство евклидовости: их можно изометрически отобразить на бесконечное евклидово пространство. Для пространств с ненулевой кривизной это возможно только локально для бесконечно малых областей. Поэтому

Одним из самых простых пространств, удовлетворяющих вышеприведенным принципам, является плоское евклидово пространство с декартовой системой координат и с галилеевыми преобразованиями координат и тензоров (ГПТК). В этом случае преобразования координат инерциальных с.о. получаются друг из друга с помощью ортогональных линейных преобразований. Мы будем рассматривать только ортогональную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям координат и времени, а также изменения масштаба времени и координат. Имеется пять групп преобразований координат с.о., удовлетворяющих этому условию (6–ая группа – обобщение всех пяти видов преобразований координат) (см. Галилеево пространство, Евклидово пространство):

1.    Cмещения начала системы координат и времени (трансляция):

(7)

2.    Линейные преобразования пространственных координат, соответствующие повороту системы координат:

(8)

Конкретные знаки в формулах зависят от того, является ли система координат правосторонней или левосторонней, и выполняется ли вращение по или против часовой стрелки. Матрица антисимметричная, "+" для элемента w21 соответствует правосторонняя система координат и положительное направление вращения против часовой стрелки.

3.    Галилеевы преобразования координат перехода в движущуюся систему координат (ГПТК):

(9)

4.    Инверсия значений координат и/или времени:

(10)

5.    ГПТК можно дополнить еще и масштабными преобразования координат и времени. Они соответствуют изменению единиц измерения. Обычно предполагается, что масштабные коэффициенты равны ±1 (см. предыдущий пункт):

(11)

Тогда

(12)

6.    В общем виде преобразования координат в тензорных обозначениях для пространственных и временных координат выглядят следующим образом (один из вариантов*):

(13)

*Конкретные варианты преобразования зависят от порядка выполнения отдельных преобразований, а именно трансляции, вращения и масштабного преобразования; формулы соответствуют перечисленному порядку (см. Галилеево пространство).

Здесь t0 – смещение времени точки начала отсчета новой системы координат в старой;

v0 ~ v0j – ковариантный вектор скорости движения новой с.о. относительно старой;

r0 ~ r0j – координаты точки начала отсчета новой системы координат в старой;

ωij – тензор ортогонального преобразования координат, соответствующий некоторому вращению системы координат, без изменения координаты точки начала новой с.о. относительно старой, удовлетворяющий условию: ωij · ωjk = δik. Соответствуют координатам единичных векторов новых координатных осей.

g – масштабный коэффициент преобразования координат, один и тот же по всем осям.

λ – изменение масштаба времени новой системы координат относительно старой;

λ · t – соответствует новому значению времени с масштабированием;

r r0 – (vv0) · t – соответствует координатам м.т. в новой с.о. со смещенным началом координат на r0 и скоростью движения v0 при условии, что преобразование wij (вращение) еще не выполнено.

Формально преобразования координат (13) без масштабных коэффициентов можно записать в 4-мерном тензорном виде:

(14)

или даже в более симметричном 5-мерном виде после введения постоянной фиктивной пятой координаты со значением 1:

(15)

причем тождественному преобразованию координат соответствует единичный тензор. Введение пятой постоянной координаты переводит классическую механику на плоскую 4-мерную брану в 5-мерном пространстве. Но в классической механике Ньютона не принято применять формализм 4-мерного, тем более 5-мерного, пространства-времени. Даже 4-мерная тензорная формулировка классической механики оказывается не совсем адекватна ей. Но в галилеевой механике это вполне допустимо.

Для полного рассмотрения динамики м.т. необходимо рассмотреть отдельно все 5 групп преобразований координат с.о. В дальнейшем мы не всегда будем рассматривать трансляцию и поворот пространственных координат и трансляцию временных координат, потому что они ничего существенного в характер движения м.т. не вносят, а будем рассматривать только галилеевы преобразования координат (9):

(16)

Наглядно преобразования Галилея можно изобразить графически следующим образом:

Рис. 1. Галилеевы преобразования координат.

При масштабных преобразованиях координат значения координат изменяются пропорционально изменению соответствующего масштаба (11, 12). Скорость изменяется пропорционально изменению масштаба пространственной координаты и обратно пропорционально изменению масштаба времени:

kv = g/λ.

(16)

Ускорение при масштабных изменениях координат изменяется в соответствии с формулой:

kw = g2.

(17)

Из сравнения уравнений (16) и (17) видно, что масштабные преобразования времени не являются ковариантными в 3-мерном представлении: различные типы "векторов" преобразуются различными способами.

4.   Инверсия осей координат, обратимость и детерминизм

Истинность принципов относительности Галилея , обозначенных выше, верно только для не диссипативных систем. В диссипативных системах изотропность времени нарушается: здесь уже важно направление времени. Например, движение под действием силы трения не обратимо. Вместе с принципом изотропности времени в этих случаях необходимо рассмотреть вопрос о детерминированности и обратимости классической механики.

При инверсиях только пространственных координат время остается неизменным, координата вместе со скоростью и ускорением изменяют знак. Это означает, что движение происходит с прямым порядком событий, но как бы в зеркальном изображении относительно точки симметрии, находящейся в начале координат. Инвертирования ускорения по отношению к направлению движения при этом не происходит. Каких либо особенностей эта инверсия в классическую физику не привносит.

Более интересным является следующий случай - инверсия временой оси. Инверсия времени означает, что положительному приращению времени будет соответствовать движение в прошлое. При этой инверсии скорость изменяет знак, ускорение остается прежним, но инвертированным по отношению к направлению движения, и при этом порядок событий инвертируется: все события будут происходить в обратном порядке. Именно с этой инверсией связаны понятия обратимости и ее противоположности – необратимости.

Обратимостьсвойство какого-либо процесса, выражающееся в существовании другого процесса, симметричного исходному относительно инверсии времени. Физически обратимость проявляется в возможности пустить движение таким образом, что события будут происходить в обратном порядке в той же с.к. Теоретически это означает, что с.к. и ускорение при этом  не изменяются: r' = r,  w' = w, а время и скорость изменяют знак:  t' = -t,  v' = -v. Это соответствует инверсии координаты времени. Если процесс не обратим, можно поставить вопрос о существовании стрелы времени.

При одновременной инверсии пространственных и временой координат пространственная и временная координаты меняют знак, скорость не изменяет знака, ускорение изменяет знак. Это означает, что движение происходит с обратным порядком событий, как и в предыдущем случае, но в зеркальном виде.

На принципе детерминизма и обратимости построена классическая физика. Для физических явлений детерминизм проявляется в существовании определенной зависимости событий, следующих друг за другом. Определенная зависимость событий определяется существованием уравнений движения. Но существование уравнений движения не гарантирует детерминированность – важна интерпретация, которая может быть однозначной и статистической. Важна интерпретация. Классическая механика Ньютона однозначна. Но и статистические дисциплины – термодинамика, молекулярная физика и физика микромира – в своих уравнениях детерминированы, несмотря на то, что эти уравнения статистические. Их статистичность говорит о том, что движение реальных систем может не соответствовать этим уравнениям, потому что они приблизительные. Любое движение, заданное уравнениями, уже детерминировано этим уравнением. Только не путайте движение в соответствии с уравнением, соответствующее определенной физической теории, с реальным движением. Полное знание невозможно!

Детерминизм (от лат. determino — определяю) - философское учение об объективной закономерной взаимосвязи и взаимообусловленности явлений материального и духовного мира. Центральным ядром детерминизма служит положение о существовании причинности, т. е. такой связи явлений, в которой одно явление (причина) при вполне определённых условиях с необходимостью порождает, производит другое явление (следствие). Детерминизм независим от понятия обратимости и не связан с инверсией.

Детерминизм проявляется в закономерной обусловленности следствия от причины. Причина интереса к детерминизму кроется в степени предопределенности происходящих в Мире событий, а также так интересующий любого человека вопрос о судьбе и воле, свободе выбора своего настоящего и будущего, о соотношении прошлого и будущего: почему будущее неопределенно – а прошлое уже определенно и кругом имеются его следы.

5.   Виды векторов в классической механике

Внимательно посмотрев на уравнения перехода к новой системе координат, мы видим, что имеется 1 закон преобразования времени (13.1) и 3 закона преобразования пространственных параметров движения, что соответствует их размерности:

– вектор–координата с законом преобразования (13.2, 13.3);

– вектор–скорость – уравнение (13.4);

– вектор–ускорение – уравнение (13.5);

Из вида преобразования времени видно, что при l = g = 1 все эти "векторы" ведут себя как векторы, а время ведет себя как скаляр. Как следствие, как скаляр ведут себя также разность времен любых двух точек Δt и дифференциал времени dt. При l ¹ 1 и g ¹ 1 они ведут себя как элементы тензора соответственно рангов 1 – вектор (координаты ri), 2 – матрица (скорость vi0) и 3 – тензор (ускорение wi ~ vi00).

Из вида преобразований координат и скорости видно, что они в общем случае не являются тензорами трехмерного пространства, потому что любой вектор координаты можно сделать нулевым соответствующим преобразованием трансляции, а вектор скорости обнулить соответствующим ГПТК.

По отношению к преобразованиям с.к. координата (по отношению к выделенной точке – началу координат, без трансляции и ГПТК), скорость (без ГПТК) и ускорение (7 – 12) или (13) ведут себя как контравариантные векторы.

Из вида преобразования координат и скорости также можно усмотреть, что разность координат Δr при Δt = 0, скорость Δv, а также полные дифференциалы координат dr при dt = 0 (на слое пространства) и скорость dv по времени являются векторами и обладают тензорными свойствами. Действительно, для dr:

dr'i = r'j(t + dt) r'j(t)

= [g · ωij · (rj(t + dt) r0jv0j · (t + dt))] – [g · ωij · (rj(t) r0jv0j · t)] =

=g · ωij · ((rj(t + dt) – rj(t)) r0j + r0jv0j · (t + dt) – v0j · t) =

= g · ωij · (drjv0j · dt).

(18)

При dt = 0 имеем dr'i = g · ωij · drj.

Для dvi:

dv'i = v'j(t + dt) v'j(t) =

= g · ωgij · (vj(t + dt) vj(t)) · dt =

= g · ωij · (vj(t) + dvj(t)/dt vj(t)) · dt =

= g · ωij · dvj(t).

(19)

При масштабных преобразованиях координат действие параметра g остается в рамках тензорного исчисления, при масштабных преобразованиях времени "векторы" разного типа преобразуются по разному. Точнее, они отличаются коэффициентами степени при масштабных преобразованиях. Для сохранения возможности использования тензорного исчисления необходимо либо 1) зафиксировать масштаб времени, что эквивалентно введению некоторого скалярного времени, соответствующего некоторому эталонному времени во всем пространстве времени независимо от применяемой системы единиц измерения, либо 2) для векторов различного типа вводить нормирующие коэффициенты, обратные друг другу для контра– и ковариантных векторов и зависящие от масштабных коэффициентов. Конечно, мы выберем первую возможность, оставляя за собой право пользоваться тензорным исчислением.

Вектор–координата не изменяется при масштабных преобразованиях времени. При масштабных преобразованиях координат он получает нормирующий множитель g.

Вектор–скорость при масштабных преобразованиях получает нормирующий множитель g/l, как тензор ранга 2 ri0 и он является тензором ранга 1 в 3–мерном представлении со скалярным временем.

Вектор–ускорение получает нормирующий множитель g/l2, как тензор ранга 3 ri00. Вектор–ускорение невозможно обнулить никакими линейными преобразованиями координат и он является тензором ранга 1 в 3–мерном представлении со скалярным временем.

Среди преобразований системы координат имеются выделенные, в которых масштабы длины и времени не изменяются и система координат остается ортогональной и единичной. В такой системе |ωij| = g = ±1, λ = ±1 и сумма квадратов элементов тензора ωij в любой строке и столбце = 1, а свертка любых двух несовпадающих строк или столбцов = 0. Такие системы преимущественно мы и будем рассматривать в дальнейшем. Они называются ортонормированными.

 

Ссылка на этот материал: Пространство_и_принципы_КМН.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 85 minus 62 =

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 04 ч 18 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:5
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 5