Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 06 2019. -------
Ссылка на этот материал: potencial'noe_pole_klassichyeskoj_myehaniki.htm)


1.    Движение м.т. под действием силы

Движение м.т. под действием внешних сил в общем случае может зависеть явно от массы и зарядов м.т., координаты, времени и скорости м.т. Это движение формально может зависеть и от ускорения тела, но таких сил в природе практически не обнаружено. В дальнейшем изложении мы будем предполагать взаимодействие поля с массой, зарядом ek и скоростью vi м.т.:

F = F(mekrvt).

(1)

Исследуем такие обстоятельства.

Пусть в пространстве существует некоторое независимое внешнее силовое поле F и имеется пробная м.т. с массой m и/или зарядом e. На это пробное тело будет действовать сила f. Поставим такой вопрос: если в некоторую точку пространства поместим м.т. с другой массой m' и/или зарядом e' и объединим их в систему, с какой силой будет действовать внешнее поле на эту с.м.т.? Здесь возможны два ответа: 1) с силой, пропорциональной общей массе и/или заряду; 2) с другой силой. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: с силой, пропорциональной зарядам м.т. В этом случае как бы каждая частичка массы составного м.о. взаимодействует с внешним полем независимо и общая сила получается сложением силы взаимодействия с силовым полем каждой части м.т., т.е. пропорционально массе или заряду частицы. Это можно назвать принципом линейности взаимодействия м.т. с полем от заряда(ов) (в т.ч. от массы) м.т. Именно такие взаимодействия мы и будем рассматривать дальше.

Случай 2: с другой силой. Это соответствует внешнему силовому полю, сила взаимодействия которой с пробным телом зависит от его заряда не линейно, или зависит, возможно, и от других параметров пробного тела, например, размеров, формы пробного тела и скорости, для упрощения рассматриваемого как м.т. и т.д. Такие силовые поля мы не будем рассматривать, хотя многие виды взаимодействий м.о. с окружающей средой являются именно такими, например, гидро– и аэродинамические силы, силы сопротивления и трения. Они рассматриваются в специальных разделах физики.

Силовые поля первого типа удобнее рассматривать как векторное поле напряженности силового поля E(rvt) с законом взаимодействия:

f(rvt) = ekEk(rvt),

(2)

где E(rv, t) – вектор напряженности силового поля в точке нахождения м.т. Под действием этой силы м.т. получит ускорение:

w(r, v, t) = f(r, v, t)/m = ek/m ·Ek(r, t).

(3)

В выражении (3) на месте параметра m может стоять только масса м.т. в соответствии со вторым законом Ньютона.

Удобство введения поля напряженности заключается в том, что силовое поле напряженности E задается независимо от значения массы и/или заряда пробной м.т., в отличие от задания непосредственно силы f.

Т.к. у м.т. может быть несколько различных зарядов ek и действующих на нее силовых полей Ek(rv, t), с которыми взаимодействует соответствующий заряд м.т., то общую силу взаимодействия с полями мы получим как сумму отдельных сил:

f = Skfk = ekEk(rvt).

(4)

Условие линейности и ковариантности силы взаимодействия не изменится, если параметр–заряд ek будет каким–либо зависимым образом линейно преобразовываться совместно с полем Ek(rv, t), но 1) независимо от преобразования координат, т.е. быть свободным не координатным тензором произвольной размерности, образующие некоторое векторное пространство, либо 2) зависимо при преобразованиях координат по индексу k, составляя с координатами общую группу, например, векторный заряд – ток, тензорный заряд – момент, спин.

2.    Взаимодействие с силовым полем, задаваемым напряженностью

Второй закон Ньютона для движения в присутствии силового поля, задаваемого напряженностью E, записывается так:

F = mw = eE,

w = e/m · E.

(5)

Из этих формул видно, что поле напряженности пропорционально ускорению м.т. и, наоборот, что ускорение м.т. пропорционально заряду и напряженности поля и обратно пропорционально массе м.т.

В силу уравнения (5) мы должны сделать также вывод о том, что поле напряженности должно вести себя при преобразованиях координат с.о. так же, как сила или вектор–ускорение, т.е. не меняться при галилеевых преобразованиях координат (ГПТК). Это означает, что поле E должно быть ковариантным векторным полем с нулевым временным элементом.

Проинтегрируем уравнение (5) вдоль некоторой траектории движения от точки a до точки b:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image001.png

(6)

Левая часть этого интеграла дает работу силы ∆А вдоль траектории движения от точки a до точки b, которая должна быть равна изменению кинетической энергии ∆К:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image002.png

(7)

Если поле E не является градиентом некоторой скалярной функции φ(r,t), или rot E ¹ 0, то интеграл ∆А будет зависеть от конкретной траектории движения м.т., и какие либо общие выводы относительно движения м.т. в таком поле делать будет затруднительно. В случае градиентного поля можно сделать определенные выводы относительно движения м.т. в этом поле. Рассмотрим этот случай.

3.    Потенциальное (градиентное) силовое поле. Потенциал, потенциальная энергия. Закон сохранения (перехода) энергии

Пусть φ(r,t) – некоторое скалярное поле, Ei j,i ~ –j,i = Ei  - поле напряженности этого поля. Здесь учтено, что за направление вектора напряженности Ei силового поля в механике принимается направление уменьшения поля j(q) и это направление совпадает с направлением действия силы на положительный заряд (массу). Второй закон Ньютона в ортонормированной системе координат для такого поля будет формулироваться так:

md2ri/dt2 = ej,i = eEi.

d2ri/dt2 = e/m·j,i = e/m·Ei

(8)

Частная производная ∂φ/∂t = j,0 в классической механике не имеет какого–либо непосредственного физического или механического смысла, потому что она в соответствии со вторым законом Ньютона не оказывает какого–либо механического воздействия на м.т. Для доказательства этого рассмотрим м.т. и поле φ(r,t), зависящее только от времени t. Т.к. по второму закону Ньютона состояние движения зависит только от поля напряженности Ei, а оно в данном случае равно 0: j,i ≡ 0, то состояние движения м.т. не должно меняться. Это есть условие стационарности потенциального поля. Таким образом, частная производная j,0 представляет собой величину, никаким явным образом не изменяющий параметров движения м.т., и поле φ(r,t) определено с точностью до произвольного постоянного φ0 = const, не изменяющего поле j,i. Это значит, что поле φ(r,t) определено с точностью до некоторой постоянной «нормировки» или «калибровки». Оно может означать изменение какого–либо внутреннего свойства м.т. типа внутренней энергии во времени или реактивной массы, но в классической механике мы не изучаем свойство м.т., зависящее от времени, не влияющего на движения м.т., кроме реактивного.

Проинтегрируем правую часть уравнения (6) вдоль траектории с учетом вышесказанного:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image003.png.

(9)

Так как E является градиентом некоторой скалярной функции φ(q), то в случае стационарного поля интеграл (9) имеет точное решение:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image004.png

(10)

В общем случае этот интеграл состоит из двух составляющих: пространственной ∆Фr и временной ∆Фt:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image005.png

(11)

В полном интеграле движения м.т. в общем случае Et = j,0 имеет явную составляющую, т.к. движение происходит не только в пространстве, но и во времени. Но эта составляющая не должна влиять на движение м.т. Для учета этого при интегрировании необходимо из общего интеграла вычесть составляющую за счет градиента поля по времени:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image006.png

(12)

А это значит, что этот интеграл считается только по пространственным дифференциалам:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image007.png

(13)

Пространственная составляющая интеграла ∆Фr называется работой силы над м.т. Имеет смысл стационарное поле φ(q) нормировать по возможности таким образом, чтобы на бесконечности потенциал был равен нулю. Тогда значение φ(q) будет давать значение градиентного поля м.т. относительно бесконечно удаленной точки.

При произвольном поле φ(q) работа поля над м.т. будет зависеть от траектории движения м.т. в части, разделяющей Ф на работу A и временную часть Фt. Но если поле φ(q) не будет явно зависеть от времени, то интеграл http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image008.png не будет зависеть от траектории и в ней будет только составляющая Ar. Такое поле φ(q) = φ(r) будет называться потенциальным полем, а величина U(r) = -eφ(r) будет называться потенциальной энергией м.т.

Гравитационное силовое поле взаимодействия между м.т. по Ньютону как целого в обобщенных координатах является потенциальным полем, поскольку взаимодействие м.т. зависит только от взаимного расположения отдельных м.т. в каждый момент времени или обобщенной координаты системы м.т. Силовое поле n взаимодействующих м.т. в координатах q зависит явно от времени, но в обобщенных координатах qn не зависит явно от времени, а зависит только от разности их пространственных координат.

Запишем уравнение (13) в проинтегрированном виде:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image009.png

()

или, после избавления от пределов |http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image010.png:

K + U = С = const.

(2.4)

где С – некоторая константа, зависящая от нормировки поля и состояния движения м.т. в некоторый начальный момент. Это уравнение также выражает закон сохранения энергии при движении м.т. в потенциальном поле.

Т.к. кинетическая энергия м.т. не может быть отрицательной величиной, то в потенциальном поле U м.т. может находиться только в тех точках пространства, в которых выполняется соотношение:

K = – U + С ≥ 0 или U ≤ С.

()

Частными случаями потенциального поля являются все центральные (трехмерные) поля, цилиндрические (двухмерные) и плоские (одномерные) поля E и их суперпозиции (линейные комбинации нескольких полей и интегральные суммы таких полей по некоторому параметру). Центральное поле – это поле с напряженностью E, направленной всегда к некоторой выделенной точке (или от) с модулем, зависящим только от расстояния до этой точки:

E(r) = E(|r – r0|).

()

где r – вектор-координата точки пространства,

r0 – вектор-координата проекции точки r на элемент симметрии поля.

Цилиндрическое поле – это поле с напряженностью E, зависящее только от двух координат и направленной всегда перпендикулярно в направлении к некоторой выделенной прямой линии. Напряженность такого поля E зависит только от расстояния до центра поля, линии симметрии или выделенной плоскости r0.

E(r) = E([O ´ r] ).

()

где O – некоторое единичное векторное направление, параллельное выделенному направлению,

[O ´ r] – векторное произведение единичного вектора направления поля на вектор–координату (расстояние до плоскости).

Плоское поле – это поле с напряженностью E, зависящее только от одной координаты и направленной всегда перпендикулярно в направлении к некоторой выделенной плоскости. Для плоского поля

E(r) = E(O · r ).

()

O – некоторое единичное векторное направление, перпендикулярное выделенной плоскости,

O · r – прямое произведение вектора на вектор–координату (расстояние до плоскости).

В общем случае вопрос «является ли векторное поле E градиентным?» разрешается следующим образом: если rotE = 0, то поле E – градиентное:

Eij – Eji = 0.

()

Это доказывается в векторном анализе.

4.    Потенциальное поле и галилеевы преобразования координат

Рассмотрим, как ведет себя градиентное поле A = φ(r,t)/q при ГПТК. Пусть новая система координат движется в направлении оси x со скоростью v0. Тогда:

A' = ∂φ'/∂x' =

= [φ(x + v0 dt + dx) – φ(x)]/[ x + v0 dt + dx  x] =

= [φ(x + vdt + dx) – φ(x)]/[ vdt + dx] =

= [φ(x) + ∂φ/∂x (vdt + dx) – φ(x)]/ [–vdt + dx] =

= [∂φ/∂x (v· dt + dx)]/[vdt + dx]

= ∂φ/∂x = A.

()

т.е. пространственная часть градиентного поля не меняется. Это соответствует тому, что сила, действующая на м.т., не зависит от ее состояния движения. Для временной составляющей:

A'0 = ∂φ'/∂t' = ∂φ'/∂t = [φ(x + vdtt + dt) – φ(x)]/dt =

= ([∂φ/∂x (vdt)] + ∂φ/∂t dt)/dt =

φ/∂t + ∂φ/∂x v0 =

A0 + vA.

()

т.е. временная часть градиентного поля изменяется.

Из вида преобразований grad φ' = ∂φ'/∂r' и ∂φ'/∂t' видно, что они преобразуются по закону преобразования 4–мерных ковариантных векторов при галилеевых преобразованиях координат:

http://lowsofphisics.ru/fizika_myehanika/klassicheskaya-mehanika/f0620_polya_klassichyeskoj_myehaniki.files/image011.png

()

При масштабных преобразованиях координат и времени соответствующие компоненты градиентного поля изменяются обратно пропорционально масштабному коэффициенту, в соответствии с ковариантным законом преобразования векторов.

Ссылка на этот материал: potencial'noe_pole_klassichyeskoj_myehaniki.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 41 plus 6 equally:

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 59 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25