1.  Уравнение волны в галилеевом пространстве

1.   Выбор модельного пространства

Практической физической моделью для применения (использования) этих слов и словосочетаний является неподвижная сплошная (воздушная, жидкая, твердая) среда, в которой распространяется волна, а то, где находится эта "воздушная" среда, есть пустое абсолютное галилеево пространство. Само по себе эта среда не является абсолютной инерциальной системой отсчета (АИСО), но для распространяющихся волн как самостоятельных сущностей при вложении в галилеево пространство это настоящее галилеево АИСО. Волна в среде в галилеевом пространстве может распространяться только с одной определенной скоростью – скоростью звука. После того, как определены волны как сущности, их можно рассматривать отдельно от ее основы, забыть о существовании материальной основы для ее существования, оставив только существенные моменты этого факта. В этом случае волна как самостоятельный объект само определяет АИСО. Галилеево пространство с вложенной в нее АИСО допускает определение параметров АИСО с использованием волновых эталонов.

Физическое модельное пространство ВП – сплошная среда со свойствами абсолютности АИСО, в котором распространяются гармонические волны. Физически уравнение (8)

(см. далее) выражает закон распространения волны в пространстве–времени.

Модельное математическое пространство, в котором все это определяется – галилеево пространство с выделенным АИСО. Вопрос о возможных значениях волновых параметров скорости (c₀, c_i) решается просто: предельные ограничения на c₀ и c_i должны сниматься – иначе теряется смысл введения гармонического уравнения (8), т.к.  уравнение (8) вырождается. Параметры c₀, c_i фактически определяют метрику пространства–времени в волновых единицах – количество эталонных волн частотой 1 Гц на единицу координатной оси t и пространственного направления, соответствующего направлению распространения.

Дополнительным условием могло бы быть снятие ограничения единственности скорости c в произвольном направлении. Это означает, что в этом направлении могли бы быть организованы множество волн с различной скоростью распространения. Но снятие такого ограничения либо вообще приводит к снятию вопроса построения ВП – к чему мы стремимся, либо к выбору приоритетного из всех c. К тому же есть способы логически безупречного обхода этого выбора. Оно заключается в дополнении пространственных направлений дополнительными "виртуальными", "невидимыми" для макроразмерной физики координатными направлениями. В современной физике эти направления могут быть циклическими с очень малыми радиусами. Возможны и другие интерпретации, маскирующие эти дополнительные направления, например, "бранные" или потенциальные.

В ортонормированной синхронизированной со скоростью распространения фронта волны с.к. c₀ = |c_i| = c = 1. Такой с.о. является АИСО, синхронизированное по эталонам с волновым АИСО. В случае произвольной параметризации ПВ оно может быть не нормированным, и не только в этом случае – но и при переходе просто в другое ортонормированное галилеево ИСО. При переходе в другое ИСО, как известно, наблюдается эффект Доплера.

С т.з. математики уравнение (8) есть скалярная функция от координат ПВ, а в качестве параметра скалярной функции имеем скалярное произведение некоторого вектора – вектора направления распространения 2pw(c₀, c_i) на координаты точки ПВ плюс произвольная начальная фаза, что представляет скалярную фазу гармонической функции. Раз это скалярное произведение, то у него есть метрический тензор, и операции поднятия – опускания индекса. Раз мы имеем в виду галилеево пространство, то разрешены только галилеевы преобразования координат. Раз мы в ней ввели метрику – то это галилеево метрическое пространство. В дополнение к своим метрикам – "промежуток времени" и 3–мерное "расстояние". В метрическом ГП метрический тензор и другие тензоры преобразуются по правилам преобразования тензоров галилеева пространства. И в ней определена операция поднятия–опускания индексов тензоров и скалярного произведения с использованием этого метрического тензора.

Волновые эталоны являются однородными и изотропными. И это свойство выполняется автоматически: длина волны эталона, измеренная в любом направлении, равна самой себе, при любых движениях, перемещениях и преобразованиях координат. То же самое относительно скорости распространения волны c. Даже если они на самом деле не изотропны и не однородны с т.з. других видов эталонов. Для появления не изотропности и не однородности необходимо "измерять" волновые параметры какими то другими, не волновыми, эталонами. Примером не изотропного ПВ для волны является ГП: галилеева скорость волны в ней подчиняется галилееву правилу закона сложения скоростей и скорость волны в разных ИСО в разных направлениях (в т.ч. противоположных) может быть различной.

 Это свойство может генетически переходить и к ВП и проявляться в ее свойствах. Например, волновой эталон длины в ИСО ГП является направленным эталоном, зависимым от направления распространения волны. Но есть способ проверки не изотропности для противоположных направлении вектора распространения собственными волновыми эталонами: сравнить эталоны длины в двух противоположных направлениях наложением (или покоординатно) и подсчетом количества волн между выделенными точками. Это свойство позволяет выявить волновое АИСО. Для исключения таких альтернативных возможностей можно считать ПВ изотропным, однородным хотя бы в одной, выделенной с.о. – АИСО, в котором c = 1 в любом направлении.

Уравнение (8) означает, что частота w является универсальным параметром волны, определяющим взаимную скорость изменения волнового процесса во времени, c – универсальная фундаментальная скорость, параметр c_i – ковариантная скорость ее распространения во всех возможных направлениях. В связи с тем, что все эти параметры включаются в обобщающий их ковариантный векторный параметр 2pw(c₀, c_i) = (2pwc₀, 2pwc_i), все они могут изменяться при переходе в другое ИСО по правилам преобразования векторов.

Преобразования координат rⁱ и (любых) векторов cⁱ и с_i в ГП производятся в соответствии с формулами

(1)

где v_пⁱ – скорость новой ИСО относительно исходной. Волновые частота w и фаза j также преобразуются по особым правилам.

2.   Уравнение волны и ее параметры

Расстояние между любыми двумя точками ГП можно измерить, приложив галилеевы линейки между этими двумя точками в одно и то же галилеево время, а время – с помощью галилеевых часов (устройство этих эталонов не является задачей этой работы). Основное свойство галилеевых эталонов – независимость их параметров от скорости с.о., в которой они используются: независимо от состояния взаимного движения результат измерения будет одним и тем же. Основное свойство ГП – инвариантность "плоскости" одновременности, что выражается в неизменности координаты "время" при галилеевых преобразованиях координат.

А если их нет, но есть волны?

Волна формально является периодической функцией своего параметра:

волнового и функционально волна в одномерном однородном ПВ t "распространяется"

Рисунок 1.1 График синусоидальной волны.

в соответствии с гармоническим уравнением

где A(q) – значение волнового поля в точке с координатами qⁱ,

j(q)  – значение фазы волнового поля в этой же точке.

Процесс существования волн в ПВ сам по себе обладает инвариантными параметрами. Ими являются фаза j волны в произвольной точке ПВ и разность фаз Dj (количество волн n) между любыми двумя точками ПВ. Разность фаз Dj непосредственно связана с количеством волн n:

Здесь j_s – начальная фаза волны в начале с.о., 

w – частота (не круговая!) волнового процесса,

n – количество длин волн. Множитель 2p присутствует для согласования фазы волны Dj с количеством волн Dn и фактически приравнивает их.

Физически параметр фазы волны n тесно связан с временем t и частотой w: это количество волн, разделяющих два значения времени – начала и конца отсчета времени. А параметр j тесно связан с определенным выше интервалом s_t Ошибка! Источник ссылки не найден. для одной координаты t:

Параметр j выступает в роли универсального параметра состояния. Смысл ее – закономерное упорядочение на множестве состояний "фаза" пространства. Физический смысл ее – последовательное прохождение множества состояний, связываемое с собственным временем, которое связывается с фазой: каждый изменение фазы на 2p есть один цикл собственного времени волнового поля.

В многомерном пространстве процесс распространения волн дополнительно связан с наличием дополнительных измерений и определенным пространственным направлением распространения фронта волны и соответствующими параметрами. При наличии пространственных координат произвольная свободная не изотропная волна в неограниченном бесконечном пространстве распространяется и вдоль пространственных направлений в соответствии с гармоническим уравнением

в котором w₀ – частота волнового процесса, или ковариантная скорость распространения волнового процесса во временном направлении,

w_i – пространственная частота или направляющий ковариантный вектор волнового процесса,

c_i – пространственная ковариантная скорость распространения волнового процесса.

Общее количество параметров уравнения волны (5) в 4-мерном ПВ получается равным пяти. Если прибавить 10 параметров метрического тензора – то уже 15 параметров. С учетом инварианта формы (5):2 – 14 параметров. В ортонормированном пространстве количество независимых параметров сокращается до четырех.

Если учесть, что при опускании пространственного индекса знак параметра меняется, то противоположные знаки при параметрах w₀ и w_i соответствуют распространению волны в положительном направлении соответствующей оси, одинаковые – в отрицательном направлении этой же оси.

Уравнение (5) в предполагает наличие трех особенностей в отношении значений параметров скорости в ПВ: 1) c ® ∞, 2) c = 0 и 3) c ¹ 0 Ù c = const < ∞.

1) Условие бесконечности скорости света c ® ∞ определяет абсолютность координаты времени и выделяет временную составляющую направления поля, а именно – составляющая w₀, которая может существовать независимо от пространственных составляющих c_i. Это соответствует уравнению (4). Физически это означает, что во всех точках 3-мерного пространства фаза волны имеет одно и то же значение, зависящее только от абсолютного времени t. С другой стороны это означает бесконечную скорость синхронизации генератора волны в ПВ в этой, и как следствие – во всех других с.о.

Здесь cⁱ – контравариантная пространственная скорость фронта волны. Процесса "распространения" волны фактически здесь и не будет, потому что фактически она существует с одной и той же фазой в любой точке 3-пространства.

2) В уравнениях (6) в ГП условие равенства нулю скорости волны c = 0 формально не входит в область ее допустимых значений. Но уравнение (6) можно немножко видоизменить:

Это соответствует базовому волновому уравнению (5). Уравнение (7) предполагает независимость и абсолютность волновой функции от координаты времени. Но эта независимость теряется при переходе в любое ИСО, т.к. скорость c получает добавку vⁱ скорости ИСО в соответствии с уравнениями преобразования координат. Для ГП c'ⁱ = cⁱ – vⁱ = –vⁱ.

3) соответствует общему случаю конечной ненулевой скорости распространения волны. При этом не предполагается ее постоянство, т.е может быть множество волн с одним и тем же направлением, но разными скоростями распространения. Условие c = const выделяет из всех возможных полей только некоторое ее подмножество. А именно – АИСО – абсолютную с.о.:

Условие (8):2 позволяет рассматривать АИСО как ИСО в ПВ.

Уравнения (5) формально учитывает одновременно движение и наблюдателя, и источника волны. Даже начальная фаза j_s может быть линейной функцией от координат (t, rⁱ). Но даже это не изменяет форму уравнения: она остается ковариантной исходному уравнению (5).

Уравнения (8) также одновременно выражают закон Гюйгенса для распространяющейся волны: однофазная поверхность или фронт волны всегда перпендикулярен к направлению своего распространения c_i движения. Это определяется тем, что фаза волны есть проекция координаты rⁱ точки на вектор направления c_i. Эта проекция предполагает, что существует перпендикулярная к направлению движения волны однофазная плоскость, называемая фронтом этой самой волны.

Из (5) также можно усмотреть, что одна и та же фазовая картина может быть обеспечена при различных значениях параметров (w₀, w_i) и параметризации (t, rⁱ). Например, любая добавка к параметру (t, rⁱ) вектора (Dt', Dr'ⁱ) такого, что w₀Dt'– w_i Dr'ⁱ = 0, не изменяет фазовой картины. Это – движение ИСО перпендикулярно направлению волнового вектора w_j с произвольной скоростью.

И второе – фазовая картина также не изменяется при преобразовании смещения, изменяющего фазу волны на 2pn. Этому условию удовлетворяет галилеево преобразование смещения

(t', r'ⁱ) = (t, rⁱ  + Drⁱ) : w_i Drⁱ = 2pn.

Инвариантами формы (5) при преобразованиях координат являются (по определению) скаляры - сама функция A(t, r), амплитуда A_s скалярное произведение w₀w⁰ - w_iwⁱ и фаза 2p(w₀t + w_irⁱ) + j_s. Скалярная фаза

может выполнять роль линейного метрического "материального" "расстояния" = "время жизни", равного количеству периодов эталонной фазы периодической эталонной волновой функции с материальным вектором (w₀, w_i), существующего параллельно с билинейным метрическим тензором для определения самого скалярного произведения и связанного с преобразованиями координат.

При преобразованиях координат фаза j₀ может изменяться, точнее, к ней прибавляется некоторый "калибровочный" член. Этот "калибровочный" член может явно просуммирован с начальной фазой j_s при преобразованиях смещения и/или неявно включен в состав элементов w₀ и w_i. Для примера рассмотрим изменение уравнения (5) при преобразованиях смещения

(10)

Уравнение (8) при этом преобразуется следующим образом:

(11)

Из (10) видно, что при смещении начала координат начальная фаза изменяется на постоянную величину Dj = w₀t_s - w_ir_sⁱ рад. Возьмем более общие преобразования, но без смещения и поворота:

(красным обозначены равные нулю элементы при галилеевых преобразованиях). Здесь через тензор vⁱ_j определяется разница значений преобразованной и исходной координат. Воспользовавшись формулами (11) по отношению к преобразованиям (12), имеем:  

(13)

При галилеевых преобразованиях без поворота формула значительно упрощается:

(14)

Результат ожидаемый, только сложным путем от общих ПТК.

Уравнение (8) можно записать и во многих других эквивалентных математических формах, выделяющих какие-либо особенности этого уравнения. Ниже представлены пять форм уравнения волны.

1). Координатное представление:

w₀ и w_i – ковариантные координатные частот скорость (на единицу длины оси) волны,

j_s – начальная фаза волны в начале координат,

c_i = w _i/w₀ – ковариантная скорость распространения волны в единицу времени,

cⁱ – скорость (контравариантная) распространения волны в единицу времени,

g_ij – метрический тензор ПВ. Любое ПВ по умолчанию предполагает наличие метрического тензора для определения операции поднятия–опускания индекса. За исключением ПВ с абсолютным временем (АПВ), каким является ГП.

Уравнение (15) явно определяет ковариантные координатные частоту w₀ и скорость c_i в текущей координатной системе.

2). Ортонормированное представление с синхронизированными часами в произвольной с.о. (приемника):

w - эталонная частота источника волны в с.о. источника,

Первая форма (16):

c₀ – коэффициент ускорения волнового времени,

c_i – коэффициент укорочения длины волны в ортонормированной с.к., а также ковариантная скорость распространения волны.

Вторая форма (17):

wc₀ - ковариантная координатная частота волны (на единицу длины координаты время),

c_i /c₀ - ковариантная скорость распространения волны,

cⁱ = c²c_i – контравариантная скорость распространения волны,

l = c²c_i /w₀ - координатная длина волны,

c = c₀/c_i - координатная скорость волны в направлении распространения:

c = |cⁱ| = 1/| c_i |, cⁱc_i = 1.

Третья форма (18) задает уравнение волны в с.о. источника.

c_i - ковариантная скорость распространения волны,

В частности, в ортонормированном АИСО изотропная волна распространяется в соответствии с уравнением

в котором w = w₀ = wc_0, w_i = wc_i, параметр c₀ равен единице, волновой вектор |k_i| = 1, c – изотропная скорость волны, модуль которой равен единице, j₀ = const. Вектор c_i здесь есть ковариантный вектор скорости cⁱ распространения волны в определенном направлении.

Сразу замечу: никаких других свойств ни ИСО, ни АИСО, ни тип пространства, и даже то, что это – АИСО или ИСО, из уравнения (8) вывести невозможно. Это просто обобщенная форма уравнения волны в произвольном пространстве. Нельзя даже сказать, это АИСО ГП или другого. Законы преобразования параметров волны зависят от законов преобразования тензоров соответствующего пространства. Даже уравнение (8):2 ничего не говорит о его принадлежности галилеевому пространству или Минковского (Лоренца-Пуанкаре-Эйнштейна) и др. Выбор соответствующего нашему разбору типа пространства мы произведем чуть позже.

Расшифровки значений параметров уравнения волны следующие:

Рис. 1 Плоская одномерная бесконечная гармоническая волна в с.о. источника Aи. Для каждого момента условно показаны графики значения функции волны по оси x.

t, r_i – координаты точки ПВ,

A_s – амплитуда волнового процесса,

A – текущее значение напряженности волнового процесса,

w – частота (не круговая!) волнового процесса,

cⁱ = k_i×c – контравариантная векторная скорость распространения фронта волны,

c = |c_i| =– скалярная скорость (координатная) распространения волны в этом пространственном направлении,

c₀ – ковариантная координатная "скорость" распространения во "временном" направлении, фактически определяет количество эталонных волн частотой w = 1 Гц на единицу координатной оси "время", а в форме wc₀ – количество волн частотой w на единицу этой же координатной оси.

c_i = –k_i/c – ковариантная векторная скорость распространения волны в соответствующем направлении (обратите внимание на знак "–" в формуле – намек на похожесть на релятивистский инвариант "интервал" распространения волнового процесса в сплошной среде в ПВ!, но не более):

c_i =  –k_i/c = –сⁱ/c² ® k_i ­¯ c_i.

Параметры c_i фактически определяет количество эталонных волн частотой w = 1 Гц на единицу длины в направлении распространения фронта волны, а в форме wc_i – количество волн частотой w на единицу длины этого же направления.

k_i = cⁱ/c: |k_i| = 1– волновой вектор (направление) процесса распространения волны (в дальнейшем использовать ее практически не будем или очень редко в связи с трудновыполнимым условием ее "единичности" при преобразованиях координат и тензоров),

j_s – начальная фаза волны в этом же направлении (скаляр). Она может зависеть от координаты, например, линейно:

j'_s = 2pw(v₀t + v_irⁱ),

И тогда обобщенное уравнение волны после подстановки в (8) может быть записано в виде

При этом собственная частота источника не меняется. Но частота, измеряемая наблюдателем, изменяется по сравнению с частотой самого источника, при этом длина волны остается той же, что и с т.з. источника. Этот эффект называется эффект Доплера.

Из (20) можно сделать вывод, что форма уравнения волны осталась ковариантной к (8). Следовательно, форма (8) является наиболее общей, ковариантной формой уравнения распространения волны.

3.   Уравнение изотропной волны АИСО в ИСО

Рис. 2 Плоская одномерная бесконечная гармоническая волна от покоящегося источника Aи в присутствии движущегося со скоростью  vпi приемника (ИСО). Для каждого момента условно показаны графики значения функции волны по оси x.

Уравнением изотропной волны в АИСО является уравнение (19). Движущийся приемник можно заменить на движущийся с той же скоростью ИСО. Для записи уравнения волны в с.о. ИСО мы должны учесть правила преобразования векторных параметров (1) к уравнениям Ошибка! Источник ссылки не найден.. Также мы должны учесть изменение начальной фазы волны в ИСО. При наличии движущегося со скоростью v_пⁱ наблюдателя (приемника) появляется дополнительный переменный источник к начальной фазе j₀, связанный с движением начала координат ИСО (приемника). При равномерном движении ИСО (см. Рис. 2) начальная фаза (на линии x = v_пt) будет линейно зависеть от скорости и времени:

(21)

В результате получим следующие формулы преобразований уравнения распространения волны при переходе в ИСО, движущуюся со скоростью v_пⁱ:

Для частного случая изотропной волны в АИСО (19) уравнение волны в ИСО будет следующей:

Уравнения (22) говорят о том, что в ИСО (с т.з. приемника-наблюдателя) и частота, и скорость волны, и длина волны изменяются следующим образом.

Эти уравнения выражают эффект Доплера по отношению к движущемуся со скоростью v_пⁱ ИСО. Из (23) видно, что длина волны при этом не изменяется.

4.    Движение ИСО перпендикулярно к направлению распространения волны

При движении ИСО перпендикулярно к направлению распространения волны каких либо изменений с волной не происходит, т.к. c_iv_пⁱ = 0 и эффекта Доплера не будет наблюдаться. Но будет наблюдаться аберрация (Рис. 3), т.к. скорость распространения волны подчиняется закону сложения скоростей галилеева пространства:

Так отклоняются вертикально падающие капельки дождя по отношению к движущемуся автомобилю.

На Рис. 3 показан механизм образования эффекта аберрации. Здесь ABCD – бесконечная пластина с отверстием BC, движущаяся слева направо со скоростью v_ИСО. Черные тонкие горизонтальные линии условно соответствуют фронтам волн. Красная волнистая линия соответствует направлению движения фронта волны в соответствии с законом Гюйгенса со скоростью c.

Рис. 3 Графическое изображение аберрации волн в движущемся ИСО.

Синие волнистые линии моделируют направление движения волн в соответствии с (25). Через отверстие BC часть волн проходит из верхней полуплоскости в нижнюю. В результате визуально  создается эффект "косого" движения "луча" после отверстия. 

На Рис. 3 можно увидеть еще один эффект движения перпендикулярного к направлению движения ИСО волны. Он заключается в том, что в ИСО получается видимость нарушения закона Гюйгенса при распространении луча волны – она как бы движется не перпендикулярно к фронту луча. Разрешение этого противоречия в том, что закон Гюйгенса в галилеевом пространстве работает только в с.о. АИСО. В ИСО кусок фронта волны распространяется так, как будто он находится в АИСО. Т.е. он не наследует скорость источника в ИСО, как ее наследуют галилеевы объекты – например, брошенные кем то в ИСО перпендикулярно к направлению движения камни.

5.   Уравнение волны в системе с движущегося в АИСО источника и ее параметры

Рис. 4 Плоская одномерная бесконечная гармоническая волна от движущегося источника Aи. Для каждого момента условно показаны графики значения функции волны по оси x.

При наличии движущегося источника волнового процесса появляется источник дополнительной переменной начальной фазы к js в исходной АИСО. При равномерном движении источника она будет линейно зависеть от скорости vи и времени:   (25)   С учетом этого и с учетом эффекта Доплера в галилеевом пространстве уравнение волны (8) в с.к. источника должно быть переписано в следующем виде (см. Рис. 4): (26)

а в с.к. АИСО добавится элемент смещения (25) во времени:

Для частного случая изотропной волны в АИСО (19) уравнение волны в AИСО будет следующей:

Уравнения (27) говорят о том, что в АИСО (с т.з. покоящегося наблюдателя) и частота, и скорость волны, и длина волны изменяются следующим образом.

Эти уравнения выражают эффект Доплера для покоящегося наблюдателя по отношению к движущемуся со скоростью v_иⁱ ИСО волнового источника.

6.   Уравнение волны при движущихся источнике и приемнике

При наличии движущихся источнике и приемнике волнового процесса появляются два источника дополнительной переменной начальной фазы к j₀. Если за исходное уравнение распространения волны возьмем уравнение волны при движущемся источнике, то для добавления движущегося приемника достаточно применить уравнение (22)

к уравнению (27):

При равномерном движении источника она будет линейно зависеть от скорости v_и и времени:

(29)

(Под источником с положительным направлением движения волны вдоль оси x будем понимать источник, находящийся бесконечно далеко с другой стороны оси. Поэтому волна получается направленной строго в одном направлении в любом месте оси x.) С учетом этого и с учетом эффекта Доплера в галилеевом пространстве уравнение волны (8) в с.к. источника должно быть переписано в следующем виде (см. Рис. 4):

а в с.к. АИСО добавится элемент смещения (25) во времени:

Уравнения (27) говорят о том, что в ИСО и частота, и скорость волны, и длина волны изменяются.

7.   Движение источника перпендикулярно к направлению распространения волны

При движении ИСО источника перпендикулярно к направлению распространяемой им волны каких либо изменений с волной не происходит, т.к. c_iv_пⁱ = 0 и эффекта Доплера не будет наблюдаться.

Из этого уравнения видно, что при движении источника перпендикулярно к направлению распространения волны от параметров источника остается только ее частота.

8.   Интерференция волн

Рассмотренные выше волны с одной единственной частотой и формой волны (8) не являются единственными формами ее существования. Они – простейшие  (понятие "простейшие" – само по себе понятие тоже относительное). Кроме этих, простейших, форм с определенными параметрами, возможно существование бесконечного множества других форм, получаемых сложением произвольного числа простейших форм с различными значениями амплитуды, частоты, скорости и начальной фазы. Эта возможность называется свойством линейности множества волновых состояний:

Здесь n – индексирующий элемент из (дискретного или непрерывного) множества возможных значений  соответствующего параметра. Возможность такого "интегрального",  "суммируемого" или "смешанного" определения для возможных волновых процессов называется "интерференцией" состояний. При этом сами составляющие общую "волну" частные волны не теряют своей индивидуальности. Наиболее просто такие непрерывные ортогональные решения на основе гармонических уравнений существуют только в однородных изотропных неограниченных линейных (см. выше) пространствах, а дискретные для – в ограниченных (цилиндрических, тороидальных, …) пространствах.

Интеграл (34) в общем случае может задавать и не дифференцируемые состояния. Поэтому предполагается, что законом изменения в ПВ общего волнового состояния является ее ограниченность и непрерывность до всех своих важных производных.

В ограниченном пространстве с произвольной топологией в решении (34) может присутствовать не любое непрерывное интегрируемое множество решений, а только некоторое ограниченное дискретное суммируемое множество решений {F_n(t, rⁱ)}, связанных между собой линейным уравнением

и удовлетворяющее некоторым граничным условиям. Здесь F_n(t, rⁱ) является некоторым набором взаимно ортогональных гармонических функции пространства-времени соответствующего пространства.

E-mail: timinva@yandex.ru