-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?


Механика 4 мерного пространства.
Пребразования евклидова пространства.
Пребразования галилеева пространства.
Метрики галилеева пространства.
Преобразования галилеевых тензоров.
Уравнение волны в галилеевом пространстве.
Уравнение волны в циклическом ГП.
Галилеево пространство и эффект Доплера.
Пространства механики.
Вложение волнового пространства в ГП.
Вывод формул преобразования координат физического пространства.
Однонаправленне волнове метрики галилеева пространства.
Галилеева механика.
Классическая механика.
Механика и законы движения.
Три закона ньютона.
Детерминизм, обратимость и инверсия осей координат.
Уравнение распространения волны.
Релятивизм классической механики.
Четвёртое измерение в KM.
Скалярное потенциальное поле.
Скалярное поле сопротивления среды.
Векторное потенциалное поле.
Дорелятивиская механика ч1.
Дорелятивиская механика ч2.
Дорелятивистские преобразования векторов.
Дорелятивистские преобразования тензоров.
Преобразования материальных тензоров КМ.
Интерпретация дорелятивистских преобразований.
Слабые метрические поля в АСО галилеева пространства.
Пространство SET.
Лоренцевы преобразования.
Эксперимент майкельсона морли.

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: January 10 2021. -------
Ссылка на этот материал: Уравнение-волны-в-циклическом-ГП.htm)


 

1.  Уравнения распространения волны в циклических галилеевых пространствах

Волна формально является периодической функцией своего параметра:

(1.1)

волнового и функционально волна в одномерном однородном ПВ t "распространяется" в соответствии с гармоническим уравнением

Рисунок 1.1

График синусоидальной волны.

A = sinj(q) = sin2pn(q) = sin(2pwtjs),

j = 2pwt js.

(1.2)

где A(q) – значение волнового поля в точке с координатами qi,

j(q)  – значение фазы волнового поля в этой же точке,

js – начальная фаза волны,

w – частота [об/с] (в оборотах – как на рисунке – 1000 в одну с.),

2pw – частота круговая – в радианах [рад/с].

В многомерном пространстве процесс распространения волн дополнительно связан с наличием дополнительных измерений и определенным пространственным направлением распространения фронта волны и соответствующими параметрами. При наличии пространственных координат произвольная свободная волна в неограниченном бесконечном пространстве распространяется и вдоль пространственных направлений в соответствии с гармоническим уравнением

(1.3)

в котором w0 – частота волнового процесса, или ковариантная скорость распространения волнового процесса во временном направлении,

wi – пространственная частота и/или направляющий ковариантный вектор волнового процесса,

ci = ci/c2 – пространственные ковариантная и контравариантная скорости распространения волнового процесса.

Если говорить строго, то первые два уравнения волны дают стоячую во времени волну, а (1.3) – бегущую. Понятие "бегущая" обозначает, что фаза волны в конкретной точке ПВ со временем изменяется. Мы далее будем предполагать, что скорость распространения бегущей волны постоянна и равна

(1.4)

Рассмотренные выше волны с одной единственной частотой и формой волны не являются единственными формами ее существования. Они – простейшие  (понятие "простейшие" – само по себе понятие тоже относительное). Кроме этих, простейших, форм с определенными параметрами, возможно существование бесконечного множества других форм, получаемых сложением произвольного числа простейших форм с различными значениями амплитуды, частоты, скорости и начальной фазы. Эта возможность называется свойством линейности множества волновых состояний:

(1.5)

Здесь n – индексирующий элемент из (дискретного или непрерывного) множества возможных значений  соответствующего параметра. Возможность такого "интегрального", "суммируемого" или "смешанного" определения для возможных волновых процессов называется "интерференцией" состояний. При этом сами составляющие общую "волну" частные волны не теряют своей индивидуальности и независимости. Наиболее просто такие непрерывные ортогональные решения на основе гармонических уравнений существуют только в однородных изотропных неограниченных линейных (см. выше) пространствах, а дискретные – в ограниченных (цилиндрических, тороидальных, …) пространствах.

Интеграл (1.5) в общем случае может задавать и не дифференцируемые состояния. Поэтому предполагается, что законом изменения в ПВ общего волнового состояния является ее ограниченность и непрерывность до всех своих важных производных.

В ограниченном пространстве с произвольной топологией и метрикой в решениях (1.5), может присутствовать не любое, а только некоторое ограниченное, перенумерованное через параметр n, множество ортогональных решений {Fn(t, ri)}. В общем случае решения Fn(t, ri) не являются чисто гармоническими одночастотными периодическими функциями с постоянными амплитудами в ПВ, но они обладают свойствами элементарности и ортонормированности. Тогда обобщенное решение для всех возможных решений уравнений движения волн задается линейным уравнением

(1.6)

Решение (1.6) в общем случае могут задавать и не дифференцируемые состояния. Поэтому в некоторых случаях можно принять, что законом изменения общего волнового состояния  в ПВ является ее ограниченность и непрерывность до всех своих важных производных.

В наиболее простой форме непрерывные ортогональные решения на основе гармонических уравнений для уравнения (1.17) существуют только в однородных изотропных неограниченных линейных (см. выше) пространствах, а дискретные в цилиндрических и тороидальных пространствах.

1.   Одна циклическая координата и покоящийся[1] источник

Пусть ПВ представляет собой пространство с одной неограниченной временной и одной цилиндрической пространственной координатами. Уравнение изотропной волны (1.3) при этом не претерпевает каких либо изменений:

(1.7)

Но! В ПВ при определенном значении t по единственному циклическому (цилиндрическому) направлению "круговой, циклической" координаты rц с радиусом Rц и "круговой", "циклической" длиной lц = 2pRц возможны только "застывшие" периодические решения волнового уравнения только с целыми значениями nц полных длин волн l вдоль циклической координаты:

(1.8)

где n – гармоника действующей по циклической координате волны,

N – множество целых чисел,

с уравнением  застывшей волны

(1.9)

где j0t – некоторое смещение волновой функции, возможно, зависящее от координаты t.

При таком определении волновой функции по окружности циклической координаты уложится ровно n волн. При наличии дополнительной координаты "время" уравнение волны получает "движение" и будет следующим (источник волны "покоится"):

(1.10)

где wn – частота (не круговая) n–ой гармоники, cц – скорость волны. При таком определении

Рисунок 1.2

Схематическое изображение движения
выделенной точки фронта волны для
n = 2
по поверхности цилиндра (
t, r)

волновой функции в ПВ (t, rц) в 2p единиц времени на круг уложится ровно n волн. Перепишем (1.10) в более привычном виде с использованием ковариантного вектора скорости cц = –cц/c2 волны в циклическом направлении:

(1.11)

В (1.11) появился еще один параметр |cц| = c – скорость волны в циклическом направлении. Учитывая, что в 2–мерном пространстве (t, rц) должно выполняться равенство

(1.12) 

 и c = 1, имеем результат:

(1.13)

Здесь lц – круговая длина волны по окружности. Как видно из (1.10), (1.11) и особенно (1.13), частота волны может иметь только определенные дискретные значения. При n = 1 она имеет минимальное значение wmin = cц/lц, все остальные значения кратны ему (см. Рисунок 1.3).

2.   Ограничения применения

Рисунок 1.3

Схематическое изображение распространения волны покоящегося источника при n = 2 вдоль образующей окружности "цилиндра" ПВ(t, rц) (развертка) и "видимые" параметры волны с т.з. наблюдателя АСО.

Ограничением применения уравнения (1.13) является n ≠ 0: n = 0 является отдельным случаем. В смысле циклической частоты при n = 0 волновая функция перестает быть циклической и будет постоянной в форме (1.13), независимой от координаты rц и времени t:

(1.14)

Другие решения соответствуют предельным значениям скорости распространения волны. И они вырожденные по одной из координатных осей. Это отдельные независимые решения. При бесконечной скорости распространения волны пропадает цикличность по единственной пространственной координате rц:

(1.15)

Значение частоты может быть произвольным. При нулевой скорости распространения волны теряется смысл определение самой волновой функции.

Ps. Можно было все это и не расписывать – результат (1.13) очевиден. Но далее не все так очевидно.

3.   Одна циклическая координата и волны c т.з. движущегося наблюдателя

Не тривиальным способом волновая функция (1.10) может быть определена при определении параметра j0t. Если она будет определена линейно от времени,: j0t = 2pw(j0vt) или даже проще: j0t = – 2pwvt, то это будет соответствовать волновому уравнению не изотропной волны, соответствующему в свою очередь движению источника и/или приемника во времени относительно АСО.

Рисунок 1.4

Схематическое изображение распространения волны от источника в АСО при n = 2 вдоль образующей окружности "цилиндра" ПВ(t, rц) (в развертке) и "видимые" параметры волны с т.з.

В предыдущем случае был рассмотрен случай покоящегося источника с т.з. наблюдателя АСО. Здесь рассмотрим этот же источник, но с т.з. наблюдателя ИСО, движущегося[2] со скоростью v вдоль координаты rц. Запишем уравнение движения волны в цилиндрическом ИСО наблюдателя:

(1.16)

Здесь (rцvt) – преобразование координат в ИСО. Учитывая, что в 2–мерном пространстве (t, rц) должно выполняться равенство

(1.17) 

и c = 1, имеем:

(1.18) 

В результате получаем, что движущийся в АСО наблюдатель должен увидеть измененную частоту волны. При этом частота должна зависеть от  направления ее движения. Если догоняет (v > 0)– частота уменьшается, в противном случае – увеличивается. Формула (1.18) полностью соответствует расчетному эффекту Доплера для наблюдателя ИСО от покоящегося в АСО источника волны.

Схематически этот результат показан на Рисунок 1.4. Здесь зеленой линией показана линия движения точки начала координат движущегося ИСО наблюдателя. Т.к. волна по-прежнему формируется неподвижным источником, картина волны на рисунке не изменится. Точка C соответствует периоду волны в АСО. А точка C', соответствующая периоду волны уже "догоняющего" АСО ИСО уже будет соответствовать другой длительности волны – в соответствии с принципом Доплера. Но длина соответствующей волны не изменится.

Если такой наблюдатель посмеет подумать, что он находится в покое (на линии одномерной окружности – в соответствии с принципом относительности Галилея), то он должен предположить, что это АСО вращается вдоль циклической линии окружности. И в соответствии с законом сложения скоростей в ГП он будет иметь разные скорости распространения фронта волны в разных направлениях.

4.   Одна циклическая координата и движущийся в АСО источник волны с т.з. источника

Если предыдущий случай можно описать как "видение" волны, генерируемой неподвижным в модельной АСО эталонным генератором с т.з. движущегося наблюдателя

Рисунок 1.5

Схематическое изображение распространения волны, генерируемой движущимся в АСО источником волн при n = 2 вдоль образующей окружности "цилиндра" ПВ(t, rц) (развертка) и "видимые" параметры волны с т.з.  наблюдателя АСО.

ИСО, то данный случай подобен "видению" волны, генерируемой подвижным[3] в модельной циклической АСО (аналог – свисток паровоза в движении) эталонным генератором с т.з. неподвижного в АСО наблюдателя. Т.е. в ИСО генерируется волна, в АСО детектируются его параметры. Распространение волны осуществляется (синхронизируется), естественно, в соответствии с абсолютным временем ГП, но процесс ее генерации должен осуществляться на оси координат t'ц подвижной системы. Схематически этот результат показан на Рисунок 1.5. Он практически совпадает с предыдущим рисунком. Только источник и приемник поменялись местами. Здесь зеленой линией показана линия движения точки начала координат движущегося ИСО источника и с.о., связанная с ним.

Рассмотрим, как распространяется волна. Т.к. волна формируется подвижным источником, картина волны на рисунке изменится, хотя линии ее движения не изменятся. Волна, возникающая в точке O, движется по изотропной линии cц, проходит через точки 2p ~ C1, достигает точки 4p ~ C2, и оказывается в т. C1 – с т.з. наблюдателя АСО. Но источник уже ушел из образующей цилиндра АСО ПВ C2 – и в этой точке он не сможет сформировать новый фронт волны. Тем более, это не соответствует ее началу координат. Новый фронт волны можно сформировать только в точке C'2 – с приходом фронта соответствующей волны в начало штрихованных координат. И точка C'2 – в силу цикличности координатной линии rц –  становится началом нового цикла обхода волной цилиндра (t', r'ц) источником волны. (в точке C'1 – мы ее пропустили – как в начале своей с.к. сформирует новый фронт волны – первой волны, а в т. C'2 сформируется уже вторая волна – т.к. у нас на рисунке показана ситуация с двумя вонами на циклической окружности). Т.к. точка C'2 дальше точки C2, то соответствующая периоду волны длина волны движущегося генератора ИСО уже будет соответствовать другой длительности волны t' ц. Но длина соответствующей волны с т.з. ИСО не изменится и она по прежнему будет равна C2 C2 = C'2 C'2. Это изменение периода волны можно оправдать и изменением скорости волны в АСО. Для попутного направления распространения волны длина волны увеличивается, частота уменьшается.

Если такой наблюдатель посмеет подумать, что он находится в покое (на линии одномерной окружности – в соответствии с принципом относительности Галилея), то он должен предположить, что это АСО вращается вдоль циклической линии окружности. И в соответствии с законом сложения скоростей в ГП он будет иметь разные скорости распространения фронта волны в разных направлениях. Здесь нет связи с эффектом Доплера – об этом далее.

Словами закончили – далее с формулами.

В предыдущих случаях был рассмотрен случай покоящегося источника. Здесь рассмотрим движущийся со скоростью v вдоль оси rц источник. Запишем уравнение движения волны в цилиндрическом ИСО источника с использованием скорости волны в ИСО источника:

(1.19)

Учитывая, что в 2–мерном пространстве (t, r'ц) должно выполняться равенство

(1.20) 

и c = 1, имеем:

(1.21) 

В результате получаем, что движущийся с ИСО наблюдатель должен увидеть измененную частоту волны (на рисунке зеленая сетка), причем равную предыдущему случаю (1.18). При этом частота должна зависеть от  направления ее движения. Если убегает - частота уменьшается, в противном случае – увеличивается. В отличие от формулы (1.18), здесь неуместно сравнение с эффектом Доплера.

Картина распространения волны во всех трех случаях одна и та же. Это хорошо видно на рисунках. Но между ними все же есть разница.

5.   Движущийся источник из АСО

Произведем переход в с.о. АСО:

(1.22) 

Вычислим минимальную циклическую частоту в АСО:

(1.23) 

В результате получили, что в АСО минимальная  частота волны также будет измененной, но независимой от направления движения источника в АСО и это изменение определяется квадратом скорости ИСО источника. Что соответствует метрике АСО в движущемся ИСО.

Ps. В специальной теории относительности (СТО) А.Эйнштейна первый и третий случаи не отличаются друг от друга. В них оба эти случая соответствуют двум эквивалентным случаям – двум ИСО = АСО. Интерпретация результатов в СТО, естественно, другая. Да и время в обеих системах различные. Релятивистские – в СТО и абсолютные – в галилеевом пространстве (ГП). И процедура синхронизации времени в СТО совершенно отличается от галилеевых, и они не позволяют выделить какое либо выделенное ИСО как АСО. Единственное, что их объединяет – это существование фундаментальной скорости c распространения фронтов волн. А первый и третий случаи различаются только тем, что один из них – источник, а другой приемник. И имеется эффект Доплера – отличающиеся друг от друга в галилеевом и релятивистском пространствах "релятивистским" фактором.

В общей теории относительности (ОТО) А.Эйнштейна добавляются дополнительные факторы, вытекающие из римановости ПВ. Единственное, что объединяет ее с ОТО ГТО – это существование фундаментальной скорости c распространения локальных фронтов волн.

2.  Много неограниченных и одна циклическая координаты

В общем случае пространство-время может иметь много пространственных осей координат. Некоторые из них могут быть неограниченными, а другие – циклическими с разными периодами цикличности.

При наличии нескольких ничем неограниченных координатных осей ri и одной ограниченной оси rц уравнение волны будет следующим см. (1.7):

(2.1)

Зная уравнение волны, в частности – частоту и скорость волны, мы можем найти длину волны в каждом из координатных направлений. Для этого запишем "срез" волны в необходимом направлении, приняв значения координаты в других направлениях равными нулю:

.

(2.2)

Теперь найдем ближайшую координату волны с фазой 2p вдоль этого направления:

(2.3)

Если направление цикличное, то частота w должна находиться из условия цикличности по циклической координате:

(2.4)

Для нее можно найти циклическую частоту, соответствующую одному циклическому обороту:

(2.5)

Отсюда находим длины волн в неограниченных направлениях:

(2.6)

Здесь, как и в предыдущем разделе, ограничением применения уравнений является условие n ≠ 0, а случай n = 0 является отдельным случаем. При n = 0 имеем обычное уравнение волны произвольной частоты без цикличности по неограниченным координатам:

(2.7)

Если скорость фронта волны в соответствующем направлении ci = 0, то можем сделать вывод, что в этом направлении волна не распространяется и длина волны, соответственно, равна бесконечности. Соответственно, при ci = 0 имеем случай предыдущего раздела (1.10) распространения волны исключительно в циклическом направлении.

Если скорость фронта волны в циклическом направлении cц = 0, то по формуле (2.6) скорость фронта волны должна быть равна нулю. Но это не так, т.к. в этом случае должно быть равно нулю количество волн в циклическом направлении. И, следовательно, формула (2.6) не может быть применена.

1.   Одна неограниченная и одна циклическая координаты

Далее будем рассматривать случай одной циклической rц и одной неограниченной rb координатных осей. На Рисунок 2.1a изображен этот "плоский" случай. Ось времени в ней не изображена, но подразумевается:

Рисунок 2.1

Схематическое изображение распространения волны, генерируемой в АСО источником волн:
a) при распространении только вдоль циклической координаты; b) при частичном распространении  со скоростью v вдоль неограниченной координаты.

.

(2.8)

Если волна распространяется только в циклическом направлении rц, то никакой периодичности в распространении волны в не циклическом направлении b не будет наблюдаться: cb = 0 и  

.

 

Вдоль неограниченной координаты rb никакого движения волны не будет наблюдаться. Этот случай полностью соответствует первой части.

Соответственно, в случае распространения волны только в не циклическом направлении при cц = 0:

.

 

Вдоль циклической координаты rц никакого движения волны не будет наблюдаться. Этот случай не циклический.

В общем случае движения скорость распространения волны будет раскладываться в обеих направлениях – и в циклическом, и не циклическом. Это наш случай. При этом параметр скорости cц по циклической координате не обязан быть постоянным и равным фундаментальной скорости c, а с учетом скорости в не циклических направлениях осей пространственных координат должно соблюдаться условие общей скорости, равной фундаментальной (1.4). Этот случай изображен на Рисунок 2.1b. Распространение волны происходит как бы по винтовой линии OB' с определенным наклоном, определяемым отношением скоростей vb и cц, и фронтом B'B''.

Т.к. скорость по циклической координате является только частью общей скорости ci, то ее параметры, точнее – длина волны ln, с учетом целочисленности количества волн nц вдоль циклической координаты, должна удовлетворять условию:

(2.9)

Чтобы удовлетворить этому условию, необходимо, чтобы скорость волны в этом направлении удовлетворяла следующему:

(2.10)

Из (2.9) и (2.10) определяем возможную частоту

(2.11)

и минимальное ее значение при n = 1:

(2.12)

Этому условию при неопределенности скорости волны ci вдоль нециклических и cц вдоль циклической координаты удовлетворяет волновое уравнение

(2.13)

Скорость cц можно определить из (2.1) и известных значений ci:

(2.14)

Здесь v – скорость в нециклических направлениях. По сравнению со случаем с единственной циклической координатой минимальная частота изменяется за счет перераспределения скорости распространения волны между циклической и нециклической координатами.

2.   Длина волны в двухмерном пространственном случае

Длина волны в циклическом направлении была найдена в (2.9). Она является константой пространства. Для нахождения длины волны в не циклическом направлении рассмотрим уравнение распространения волны (2.13) в трехмерном пространстве (t, rb, rц).

(2.15)

Найдем уравнение движения волны в не циклическом направлении вдоль образующей цилиндра rц = 0:

(2.16)

Найдем длину волны в не циклическом направлении из условия, что изменение фазы фронта волны должно быть равно 2p при неизменном времени и циклической координаты:

(2.17)

С учетом (2.14) имеем:

(2.18)

E-mail: timinva@yandex.ru

 

 



[1] "Покоящийся источник" означает, что источник волны находится в покое относительно текущей АСО.

[2] "Движущийся наблюдатель" в данном случае означает, что модельная с.с., в которой формируется волна, находится в покое, а в движении с некоторой скоростью v относительно АСО находится наблюдатель ИСО. Естественно, через один оборот он прибывает в исходное место.

[3] "Движущийся относительно АСО источник" означает, что источник волны находится в движущейся со скоростью v ИСО относительно текущей АСО.

Ссылка на этот материал: Уравнение-волны-в-циклическом-ГП.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 4 to increase on 22 =

---Load files---
Сегодня - 20_09_2021
Время переоткрытия сайта 23 ч 29 м по Гр.
Календарь
на СЕНТЯБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 1 2 3
(9 330)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:43 V:72 N:43
Уникальных посетителей за текущие сутки: 43 Просмотров: 72 Этой страницы (всего): 43