Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?


Механика 4 мерного пространства
Обозначения и сокращения
Пребразования евклидова пространства
Пребразования галилеева пространства
Метрики галилеева пространства
Симметрии в галилеевом пространстве
Преобразования галилеевых векторов
Преобразования галилеевых тензоров
Сопряженные векторы и волнове метрики галилеева пространства
Пространства механики
Механика и законы движения
Детерминизм, обратимость и инверсия осей координат
Галилеева механика
Три закона ньютона
Уравнение распространения волны
Слабые метрические поля
Классческая механика
Релятивизм классической механики
Четвёртое измерение в KM
Скалярное потенциальное поле
Скалярное поле сопротивления среды
Векторное потенциалное поле
Дорелятивиская механика ч1
Дорелятивиская механика ч2
Дорелятивистские преобразования векторов
Дорелятивистские преобразования тензоров
Интерпретация DRPTK для координат
Уравнение волны в пространстве RGM
Пространство SET
Лоренцевы преобразования

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 05 2019. -------
Ссылка на этот материал: dorelyativiskaya-mehanika-ch1.htm)


1.  Дорелятивистская механика

В классической ньютоновой механике имеются несколько "скалярных" энергетических параметра – это, в частности,

1) масса m (заряд e),

2) кинетическая энергия dK = mvdv (, v×dmv, dmv2/2),

3) потенциальная энергия dU = dU(t, r, v),

4) работа силы на участке траектории dA = Fdr,

и несколько векторных параметров:

1) скорость vi и

2) импульс pi,

3) ускорение wi,

4) сила fi,

5) их моменты и т.д.

Но т.н. "скаляры" и "векторы" классической механики являются скалярами и векторами только во взаимно неподвижных с.о. и только при одном и том же времени. Во взаимно подвижных с.о. они подвергаются определенным, зависящим от скорости, преобразованиям, которые не являются тензорными и изменяют свои значения. Это говорит о том, что 4-мерная механика в таком виде уже не является тензорной. В галилеевой механике также нет места работе силы и энергии м.т.

Поэтому галилеевы преобразования тензоров и координат (ГПТК), галилеева (ГМ) и классическая механики на ее основе не могут быть основой 4–мерной классической механики (КМ), которую назовем дорелятивистской. Она не учитывает квадратичный по скорости м.т. параметр – кинетическую энергию. При очень малых скоростях это действительно так. Но она не учитывает и линейный по перемещению параметр – работу. Т.е. она не учитывает никакие энергетические параметры. А это в классической механике является основным наряду с импульсом м.т. Следовательно, закон сохранения энергии – тоже не имеет места. Для устранения этого дефекта в качестве ДРПТК можно (необходимо) применить какой–то другой механизм, отличный от него. Следствием ее непременно будет изменчивость контравариантных "временных" элементов векторов с индексом 0, в том числе импульса p0 м.т., которую мы определим как энергию м.т. Такой механикой являются дорелятивистские преобразования тензоров и координат (ДРПТК) и дорелятивистская механика – ДРМ.

Основными параметрами м.т., также как и в галилеевой, будут его скалярная масса m, векторные 4–скорость Vi = dqi/dt = (v0, vi), 4–ускорение Wi = d2qi/dt2 = (w0, wi) и 4–сила взаимодействия с внешним миром Fi = (f0, fi). Но: координата t здесь является уже четвертой координатой, и производная по ней уже должна иметь дополнительный индекс 0. Тогда имеем 4-координаты qi в составе {qi} = {t, ri},4–скорость Vi0 = dqi/dt = (v00, vi0), 4–ускорение Wi00 = d2qi/dt2 = (w000, wi00) и 4–сила взаимодействия с внешним миром Fi00 = (f000, fi00). Т.е. то, что в классической механике являлись "скалярами" и "векторами", в 4-мерной механике будут реальными скалярами, векторами и тензорами. В дальнейшем нижние индекс 0 при обозначении координаты q0 через t, мы будем писать не всегда, но иметь это в виду. Особенно в ортонормированной с.к. Это соответствует тому, что координата t будет представлена и как скалярный параметр, и как 4-я координата в 4- пространстве.

В ортонормированной с.к. также можно не отличать верхние и нижние индексы пространственных координат. Также заметим, что в ортонормированной с.к. частные дифференциалы qi/qj составляют единичную матрицу


(1)

в силу ортонормированности координатной системы. Полные дифференциалы не обязательно равны 0 и зависят от пути.

Скорость и ускорение по индексу времени 0 в ортонормированной с.к. принимают вполне определенные постоянные значения:

v0 = dt/dt = 1

и

v00 = w0 = d2t/dt2 = 0.

(2)

В неортонормированных с.к. это не так.

2.  Вывод малых преобразований параметров 4–мерной дорелятивистской механики

В 4-мерной галилеевом пространстве есть очень интересные объекты – элементы с контравариантными индексами 0, которые обладают "инвариантными скалярными" свойствами. Например, элемент A0 любого контравариантного вектора при преобразованиях координат не изменяют своего значения. Есть еще элементы векторов с ненулевыми ковариантными индексами Ai : i ¹ 0, которые тоже обладают инвариантными скалярными свойствами. Элементы 4-тензоров с такими свойствами можно поэксплуатировать, приняв их в качестве псевдоскаляров. Причем так, чтобы эта эксплуатация согласовывалась с КМ.

В 4–мерном тензорном представлении аналоги этих скаляров могут быть 1-мерными элементами векторов с индексом 0. Например, так (здесь и далее m = const и ее везде можно вынести за знак дифференциала):

работа силы A на участке траектории:

dAполн = dA0 + dA ® dAполн - dA = dA0 = const.

dA = Fidri – работа силы на пространственном участке траектории dr,

dA0 = F0dt – работа силы на временном участке траектории dt,

или изменение кинетической энергии K:

dKполн = dK0 + dK ® dKполн - dK = dK0 = const.

dK = d(mv2/2) = v×dmvизменение кинетической энергии м.т. на участке траектории dr,

dK0 = d(mv02/2) = v0×dmv0 – изменение кинетической энергии м.т. на участке траектории dt.

(3)

Здесь и dA и dK с ненулевыми индексами являются скалярными величинами классической механики, а с индексом 0, в соответствии со свойствами галилеева тензорного пространства, тождественно равны 0. И они по отдельности не обладают тензорными свойствами скаляра, потому что зависимы от скорости с.о. Поэтому классическая механика является 3-мерной тензорной механикой только в выделенных взаимно покоящихся с.о., но не 4-мерной.

Но есть их композиция, являющаяся реальным тензорным 4-мерным скаляром. Это композиция

dK - dA = 0,

(4)

которая выражает главный закон механики – закон сохранения энергии KA = const через композиционный интеграл от dKdA = 0, через которые возможно определить очень близкую к тензорной классическую механику. Это уравнение является тождеством КМ. В соответствии с этим фактом,

За основу такой тензорной механики возьмем уравнения классической механики (3.2) и (3.5):

(5)

Из (5) можно получить два уравнения. С одной стороны:

(6)

где P – мощность. Мощность P можно обозначить как F0, по аналогии как 4-й элемент вектора силы. С другой стороны:

(7)

Объединив два  последних уравнения и имея в виду (4), можно получить скалярное уравнение, выражающее дифференциальный закон сохранения энергии в векторной форме:

(8)

Определим разницу импульса классической механики от рассматриваемого случая. Классический вид:


(9)

Измененный вид:


(9а)

Закон сохранения энергии запишется в виде скалярного уравнения (8):

(10)

которая должна выполняться в любой с.о. А также



(10a)

Замечу: (8), (10) и (11)  имеют форму скалярного произведения векторов (P, Fi) и (dt, dri) с использованием псевдометрического тензора gij

(11)

пространства Минковского. На этом можно было бы закончить эту главу. Но продолжим.

Последнее уравнение говорит о том, что 4-сила Fi и 4-скорость взаимно ортогональны в 4-мерном псевдометрическом пространстве.

Учтя все вышесказанное, мы можем определить малые преобразования кинетической энергии и импульса м.т. под действием силы:

dp0 = FiVidt,

dpi = F0V0dt.

(12)

Из этих выражений видно, что малые преобразования перепутывают пространственные и временные элементы 4–тензоров. Следовательно, при принятии этих преобразований мы не можем говорить о независимости пространственных и абсолютности временных элементов тензоров (в т.ч. и координат), что постулируется и в классической, и в галилеевой механиках.

Полная энергия и импульс м.т. после малого преобразования импульса под действием силы будут определяться выражениями:

P'0 = P0 + F0iVidt,

P'i = Pi + Fi0V0dt.

(12*)

Из этих формул (12) мы видим, что группа малых преобразований 4-импульса ДРПТК совпадает с группой силовых полей классической механики.

Поделив (12*)  на m, мы получим закон малого изменения удельной энергии и скорости м.т.:

V'0 = V0 + w0iVidt = V0 + Vidv0i,

V'i = Vi + wi0V0dt = Vi + V0dvi0.

(13)

Здесь dv0i и dvi0 выступают в роли тензора малого преобразования скорости м.т. под действием силового поля wij.

Теперь посмотрим на изменение импульса dPi м.т. (12). Мы видим, что F0i = Fi0 – тензор силы является симметричным при наличии нулевого индекса и допускает наличие до 4–х независимых элементов во временной части тензора. Это общий член F00 и три пространственных члена F01 = F10, F02 = F20 и F03 = F30. При этом:

– сила F0i относится к силам, непосредственно изменяющим кинетическую энергию м.т. без изменения ее состояния движения – прямая работа внешней силы;

– сила Fi0 относится к силам, непосредственно изменяющим импульс (и скорость движения) м.т. независимо от ее скорости. Эта сила не изменяет напрямую энергию м.т.

А это все возможно, только если масса м.т. или скорость v0 не являются скалярами: mv0 ~ P0 ~ K ¹ const.

Элемент силы F00 соответствует прямому изменению энергии м.т. независимо от скорости и без наличия пространственной части силы. Наличие такой силы возможно, например, передача тепловой (фоновой?) энергии или потенциальная энергия. Это соответствует локальному неравновесному состоянию м.т. с пространством (полем, вакуумом?) и, соответственно, наличию потока энергии от поля к м.т. (или наоборот) без изменения ее состояния движения. Но мы будем считать, что м.т. не изменяет своих собственных параметров в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е. он всегда находится в равновесии с внешним полем: F00 = 0.

Если экстраполируем преобразования (12 - 13), то можем распространить ее действие на любые вектора нашего пространства для любых, не только малых, значений элементов преобразований.

A'0 = A0v0i · Ai,

Ai' = Aivi0 · A0.

(14)

Это и есть группа малых дорелятивистских преобразований тензоров и силовых полей – ДРПТК.

Расшифровку конкретных преобразований дорелятивистских векторов и тензоров можно посмотреть в

Дорелятивистские преобразования векторов
Дорелятивистские преобразования тензоров

Но правомерно ли это? Скорее всего, нет, потому что мы не можем просто экстраполировать это уравнение, а надо решить ее методами интегрального исчисления, получая новые векторы интегрированием по dv0i от 0 до v0i. Рассмотрим этот процесс для (13):

V'i = Vi + V0dvi0 = (v + Dv),

V'0 = V0 + òVidv0i = v'2/2.

(15)

Вывод формулы (15.2) можно посмотреть в Релятивизм классической механики ($3). Но в отношении уравнений (14) можно не сомневаться, если  v0i и Ai независимы друг от друга.

Замечание. В (13) и (16) не учтен эффект релятивизма. Для учета релятивизма необходимо оперировать уравнениями (12), в которых участвует параметр "масса" м.т., зависящий от скорости м.т., и соответственно ссылкой Релятивизм классической механики ($4). Это рассматривается в планируемой будущей работе "Релятивистская механика".

3.  Малые преобразования координат 4–мерной дорелятивистской механики

Мы аналогию малого преобразования векторов (12 - 15) м.т. можем распространить и на малые преобразования 4-координат пространства:

t' = tdv0i · ri,

r'i = ridvi0 · t.

(16)

Геометрически изображение данного преобразования координат можно видеть на рис. 1:

Рис. 1. Преобразования координат группы дорелятивистских преобразований координат. Необходимо учитывать, что значение параметра преобразования v0 здесь очень маленькие и отклонение новых осей координат t' и x' от старых t и x соответственно тоже очень малы. Диагональная линия соответствует характеристической скорости c (см. 16б).

В ненормированной с.к. при характеристической скорости  c ~ 300 000 000 м/с это преобразование имеет вид:

t' = tv0i/c2·ri,

r' = rvi0·t.

(16б)

В уравнениях преобразования координат (16б) можно заметить, что значимость дополнительного члена – v0i·r2 в силу малости скорости v0i и большого значения характеристической скорости c ~ 300 000 000 м/с очень низкая, поэтому реально можно считать, что координата t практически не изменяется:

t' = t,

r' = rvi0· t.

(16в)

Несмотря на свою малость, ее нельзя не учитывать там, где речь идет об энергиях, в частности, кинетической.

Преобразования координат (16) существенны только в направлении движения новой с.о. Если направить одну из осей координат r|| в направлении движения новой с.о., то в перпендикулярном к ней направлении координата не изменяется:

r^' = r^,

а в параллельном изменяется:

r||' = (r||vi0 · t).

(17)

Эта группа не соответствует ни ГМ, ни КМ (но: см. замечание к (16б). И еще один существенный недостаток данных преобразований – они определены для малых преобразований тензоров от текущего состояния м.т. С их помощью невозможно определить тензор преобразований для произвольных значений скорости новой с.о. Для этого надо проинтегрировать соответствующие малые преобразования по скорости от va до vb. Этим мы займемся далее (см. замечание к (15)).  К тому же про эти преобразования мы не можем сказать, являются ли они ортонормированными или нет. На первый взгляд – нет. Детерминант матрицы преобразования не равен единице. Но у нас пока нет и условий ортогональности пространственной и временной осей координат. Возникают вопросы и относительно обратного преобразования координат.

Рассмотрим преобразование, обратное к прямому преобразованию координат (16). После решения обратной задачи, имеем следующий результат:

t = (t' + vx')/(1– v2),

x = (x' + vt')/(1– v2).

(18)

В силу принципа ковариантности уравнений движения обратное преобразование должно было бы иметь принципиально тот же вид, что и прямое. В нашем случае обратное преобразование не ковариантно прямому преобразованию. Но здесь мы имеем опять же только второй порядок малости различия в ковариантности этих уравнений. Поэтому имеем следующий результат:

t = (t' + vx'),

x = (x' + vt').

(18а)

4.  Сложение скоростей в соответствии с ДРПТК

При переходе в равномерно движущуюся с.к. ее скорость, в соответствии с (15), преобразуется следующим образом:

(19)

Это преобразование отличается от преобразования ДРПТК тем, что кроме пространственной скорости vi изменяется и "скорость" по временной координате: появляется дополнительная составляющая второго порядка малости +v0ivi. Но ведь dt' = dt, и вроде бы скорость dt'/dt' = dt/dt = 1. Но это изменение имеет второй порядок малости и при малых скоростях не существенено, хотя и заставляет задуматься: что–то здесь не так. При этом пространственная скорость преобразуется также, как и при ДРПТК.

(20)

Выполним последовательно два дорелятивистских преобразования к скорости м.т. – v'ii и v''ii:


(21)

Применим ее к движущейся со скоростью vi м.т.

.

(22)

Из этих преобразований видно, что при выполнении сразу двух преобразований к скорости м.т. изменяется не только временная составляющая скорости м.т., но изменяется и обычная скорость довольно сложным образом – скорость м.т. и систем отсчета не просто складываются, а появляются дополнительные составляющие второго +v'i0v''0i и +v'0kv''k0 и третьего порядка малости +v'i0v''0ivi. Даже для случая взаимно обратных преобразований v' = –v'' имеем:

(23)

Но для случая малых скоростей формула сложения скоростей упрощается:

(24)

Сравним уравнения преобразования координат (19) и (24). Эти два уравнения дают одно и то же преобразование координат, только первое дает однократное применение преобразования координат, второе – двукратное. Но от этого форма их не должна измениться, в силу принципа относительности и ковариантности законов механики. А здесь явно видно, что они отличаются: в первом случае скорости просто складываются, во втором появляется дополнительная составляющая. Все это говорит о том, что ДРПТК не может быть принята как окончательная версия новой механики на основе преобразований ДРПТК, но это – шаг в нужном направлении. Этот недостаток устраняется релятивистскими (лоренцевыми) преобразованиями координат и времени.

Выводы:

1. Формула сложения скоростей ДРПТК в области малых скоростей до второго порядка малости по скорости v/c соответствует галилеевым.

2. Дорелятивистская механика в области малых скоростей до второго порядка малости по скорости v/c соответствует классической механике.

3. ДРПТК не является релятивистской теорией: пространственные координаты и координата времени преобразуются по линейному закону (16), но их релятивистского сокращения не наблюдается.

4. ДРПТК в части экстраполяции на любые скорости и взятия обратного преобразования не является ковариантной. Как полноценная теория пространства, времени и механики движения материи она не годится.

 

Ссылка на этот материал: dorelyativiskaya-mehanika-ch1.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 69 ^ "ноль" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 16 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25