-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?


Механика 4 мерного пространства
Пребразования евклидова пространства
Пребразования галилеева пространства
Метрики галилеева пространства
Симметрии в галилеевом пространстве
Преобразования галилеевых векторов
Преобразования галилеевых тензоров
Сопряженные векторы и волнове метрики галилеева пространства
Галилеево пространство и эффект Доплера
Уравнение волны в пространстве АИСО
Уравнение волны в галилеевом пространстве
Пространства механики
Механика и законы движения
Детерминизм, обратимость и инверсия осей координат
Галилеева механика
Три закона ньютона
Уравнение распространения волны
Слабые метрические поля
Классическая механика
Релятивизм классической механики
Четвёртое измерение в KM
Скалярное потенциальное поле
Скалярное поле сопротивления среды
Векторное потенциалное поле
Дорелятивиская механика ч1
Дорелятивиская механика ч2
Дорелятивистские преобразования векторов
Дорелятивистские преобразования тензоров
Преобразования материальных тензоров КМ
Интерпретация дорелятивистских преобразований
Пространство SET
Лоренцевы преобразования
Эксперимент майкельсона морли

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 05 2019. -------
Ссылка на этот материал: dorelyativiskaya-mehanika-ch2.htm)


Механика и законы движения

Самыми важными понятиями механики являются понятия пространства, времени, материи и, конечно, законы движения материи в пространстве-времени.

1.    Пространство-время

Под 4–мерной механикой мы будем понимать механику, построенную в математическом тензорном ортонормированном 4–мерном пространстве–времени, в котором допустимы смещения, повороты пространственных координат и преобразования тензоров, координат и времени (далее ПТК):

q'i = Vijqjq(0)j,

(1)

где q(0)i – смещение начала координат новой с.о. относительно старой,

Vij – тензор преобразования 4-мерного пространства

Обобщенный 4-мерный тензор Vij преобразований контравариантных векторов пространства (ПТК) с совпадающими началами координат имеет следующий вид:

(2)

где vi0, v0j  - элементы тензора преобразования ПТК,

vi(0)скорость новой с.о. относительно старой: vi0, v0j = -vi(0),

wij – тензор преобразования 3-мерного подпространства.

Любая координата-вектор (1) с помощью (2) преобразуется в координату-вектор

(3)

Как видно, при общих ПТК изменяются все элементы вектора, в т.ч. и элемент A0 – в противоположность ГПТК.

Смещения начала отсчета q(0)j тоже можно ввести непротиворечивым образом через тензор размерности 5, добавив еще одну координату с индексом 4, значением 1 и именем s º 1:

(4)

 

Основной принцип (относительности): законы механики ковариантны во всех с.о., полученных с помощью разрешенных преобразований координат. Это также означает, что

1) тензорные параметры м.т. при ПТК также должны преобразовываться в соответствии с ПТК и

2) м.т. не изменяет своей внутренней структуры.

Даже при силовом характере перехода в новое состояние движения эти правила должны соблюдаться.

2.    Кинематика

Для начала необходимо определиться, что такое "движение", точнее, в чем оно проявляется. Чтобы определиться с этим, надо определиться с некоторыми "определениями" и некоторыми "постулатами", через которые можно определить, что такое "движение" и "взаимодействие".

Первым и самым важным является определение материальной точки (или объекта) и его отношение с пространством-временем. Под материальной точкой (или объектом) понимается "точечная" особенность в 3-мерном слое пространства в каждый момент времени, выделяющая ее среди других однородных точек (или областей) 3-пространства в каждый момент времени. Причем так, что каждому значению 1-мерной координаты времени должно соответствовать единственное значение 3-мерной координаты этой точечной особенности. В математическом координатном представлении эта особенность проявляется в задании материальной точке некоторого многомерного числового значения, называемого "координатами" м.т. в пространстве-времени.

ri = ri(t).

Множество всех таких точек в пространстве-времени представляет собой "особенную" непрерывную линию, которая называется траекторией.

Основными параметрами м.т., кроме ее положения, будут также ее векторные 4–скорость Vi = dqi/dt = (v0, vi), 4–ускорение (или сила ускорения) Wi = (w0, wi) = d2qi/dt2. Скорость и ускорение по индексу времени принимают вполне определенные постоянные значения: v0 = dt/dt º 1 и w0 º d2t/dt2 = 0. Причем в любой с.к. это безусловно верно. Следовательно, они не могут быть существенными c точки зрения кинематики параметрами м.т. и являться предметом изучения.

В то же время надо иметь в виду, что скорости v0 = dt/dt º 1 и vi = dri/dt в 4–мерном представлении являются элементами тензора ранга 2 vij, а ускорения w0 = d2t/dt2 º 0 и wi = d2ri/dt2 являются элементами тензора ранга 3 wijk. Для избавления от подобного неудобства можно зафиксировать одну эталонную скалярную разметку параметра "нормированное, эталонное время" τ, которое называется "интервалом" или "собственным временем" вдоль траектории в пространстве–времени и определяет метрику в ней. Т.к. в галилеевом пространстве  

τ = t,

dτ = dt,

(5)

координата t может выполнять роль скаляра. Тензор преобразования ГПТК (2) в этом случае имеет вид

(6)

Поэтому в формулах (1)(4) в случае галилеева пространства

v'0 = v0v0jAj º 1 ® v00 º 1, v0j º 0,

w'0 = w0w0jAj º 0 ® w00 º 0, w00 º 0.

(7)

Во всех других случаях это не верно: в общем случае v00 ¹ 1, v0j ¹ 0. Это также значит, что скорость и ускорение в них определяются не как dqi/dt и d2qi/dt2, а через скалярный параметр t: Vi = dqi/dt и Wi = d2qi/dt2.Но эти отклонения настолько малы по отношению к скорости света c, что в области определения ГПТК в механике их можно не учитывать. Поэтому о временных элементах контравариантных векторов скорости и ускорения можно забыть. Но это не значит, что не должны учитываться временные элементы других контравариантных векторов.

В силу (5)(7) и замечания к ним в произвольном пространстве при малых скоростях в качестве параметра "время" τ можно продолжать применять (6). Роль этого эталонного времени – универсальная скалярная функция координат и времени. Роль дифференциала времени dt в выражениях типа dt/dt: dt в знаменателе – это дифференциал по универсальному времени dτ, а в числителе – это дифференциал dt, соответствующий координате "время": dτ = dt. Далее τ и t мы часто будем отождествлять, с учетом замечания о dt в числителе и знаменателе. При таком допущении координаты, скорость и ускорение будут векторами. Но с ограничениями по скорости.

3.    Законы движения м.т.

См. Л1. Механика и законы движения.

Конечно, координаты, скорость и ускорение м.т. являются важными параметрами. Но это только описание состояния  движения м.т., ее траектории. Для механики важно найти законы, которым подчиняются эти параметры во времени и пространстве. Наличие закона движения гарантирует единственность траектории движения при определенных начальных условиях при заданном законе. Математическим выражением законов движения и взаимодействия м.т. с другими м.т. (в т.ч. с силовыми полями)  являются дифференциальные уравнения типа

F(t, r, dr/dt, d2r/dt2, …) = 0.

Это дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Вид этих уравнений можно определить либо волевым образом как некоторое заранее заданное уравнение, либо вывести на основе каких-либо постулатов. В механике и теоретической физике обычно ограничиваются уравнениями максимум второго порядка.

4.    Тензорное силовое поле ускорения

Далее будем рассматривать частный, но достаточно общий, случай силового поля ускорения в ортонормированном пространстве. Здесь Ai – исходный векторный параметр, который изменяется под силовым действием тензорного поля Aij:

.

(8)

В общем случае элементы поля ускорения Aij могут быть любыми. Общим выражением действия внешней силы на м.т. будет малое изменение вектора скорости м.т. под действием обобщенного тензора ускорения Aij:

.

(9)

Здесь vi – скорость м.т.,

5.    Составные элементы тензорных силовых полей

(A00, A0i) ~ Ai : iÎ{1, 2, 3)} – сила ускорения, задающая малое преобразование элемента скорости с индексом 0. При этом при dt = dt должно выполняться равенство

dv0 = (A00, A0i) (v0, vi)dt = 0.

т.к. v0 = dt/dt º 1 = const. В этом случае с необходимостью должны быть равны 0 и элементы  A0i.

Член  A0i  определяет потенциальную векторную силу, задающую малое преобразование элемента скорости с индексом 0. Эта сила воздействует только на движущуюся м.т.:

dv0 = A0ividt

Ненулевые составляющие тензора A0j искажают классический смысл скорости v0 = dt/dt = 1 и ускорения w0 = d2t/dt2 = 0 м.т., делают их переменными, а это невозможно в галилеевой механике и почти невозможно в других механиках. Для определения возможности изменения этих составляющих необходимо, чтобы дифференциальные параметры м.т. определялись не через параметр времени dt, а через скалярный параметр τ: Vi = dt/dτ ¹ const. Отличие скорости Vi от галилеевой скорости (v0, vi) состоит в том, что они более полно отражают динамические параметры м.т., потому что в них имеется 4 независимых значимых параметра, определяющих параметры м.т., а в галилеевой скорости – только 3. Но это уже не ГМ: это означает, что координата времени зависима от пространственной координаты. Пространство уже не обязано быть галилеевым: происходит взаимное запутывание координат "время" и пространственных координат.

В общем случае, когда v0 = dt/dt ¹ 1, член A00 определяет "релятивизм" соответствующей механики.

Член  Ai0: iÎ{1, 2, 3)}назовем потенциальным силовым полем ускорения. Причем эти элементы в точности равны A0i, т.к. элементы тензора преобразования имеют такое свойство. За счет этой силы изменяется скорость м.т.

dvi = (Ai0, Aij) (v0, vj)dt::{Aij = 0} = Ai0v0.

Это изменение скорости не зависит от самой скорости м.т. Про элемент A00 писали чуть выше.

Aij – 3–тензор силы ускорения, задающий малый скорости м.т. Это антисимметричный тензор 3–поворота вектора скорости м.т. Такое поле ускорения назовем вихревым. Ее можно уничтожить, выбрав с.к., в которой м.т. покоится. Но при этом с необходимостью изменится силовая часть поля ускорения.

Все это говорит о том, что силовое поле Aij зависит от принятой базовой с.о. и состоит из четырех частей –

1) релятивистской части A00,

2) статической силовой части Ai0,

3) потенциальной векторной силовой части A0j и

4) индуктированной поворотом вихревой части Aij.

Таким образом, полное ускорение, действующее на м.т., будет суммой трех видов ускорений – статической w 'p, векторной w'i и вихревой w'':

wi = w0 + wp + wi + w'i.

(12)

В галилеевом пространстве первые два вида "сил" отсутствуют в виду их тождественного равенства нулю.

Взаимодействие м.т. с полем Aij полностью определяется 7 элементами тензора – частью Ai0 (3 элемента), антисимметричной пространственной частью этого же тензора Aij (тоже 3 значимых элемента) и элементом A00. Но эти 7 элементов не независимы. Локальное действие поля A на м.т. есть изменение (преобразование) вектора скорости – это изменение направления и значения скорости сопутствующей с.о.

Отсюда делаем обобщающий вывод: действие силы на м.т. заключается в непрерывном преобразовании векторных и тензорных параметров м.т., например, скорости.

Для элементов с индексом 0 имеем:

(10)

Для элементов с ненулевым индексом имеем:

(11)

Это выражение при антисимметричном Aij в точности соответствуют некоторому малому преобразованию и оно есть тензор малого поворота вектора скорости. В 3-векторном виде это уравнение с учетом (10) и (11) запишется в виде

Здесь необходимо отметить следующее: действие ускорения на м.т. заключается только в том, что изменяется модуль и направление скорости м.т. dr/dt, а не самой с.к. При этом действие силы на м.т. локально. Если м.т. представляет собой м.о. c конечными размерами, то действие силового поля ускорения будет эквивалентно сумме инерциального смещения и вращения и дополнительного силового локального ускорения м.о. в каждой отдельной точке м.о. с сохранением ее структуры.

Обобщая все вышесказанное, по отношению к силовому полю ускорения Aij можно говорить как о напряженности силового поля ускорения. И это будет правильно.

Замечание 1: Рассмотрим пространственную (вихревую) часть Aij тензора ускорения (11) более подробно.

(13)

(14)

Результат выражения, (14) является выражением векторного произведения векторов A = (A1, A2, A3) и скорости (v1, v2, v3). Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки.

Замечание 2: векторное произведение (14) не является тензорной операцией, а является операцией векторной алгебры, где нет верхних и нижних  индексов.

Рассмотрим действие преобразований координат на тензор самого поля ускорения Aij (см. Преобразования дорелятивистских тензоров,):

(12)

где vm0 – тензор ПТК. Это уравнение говорит о том, что при преобразовании координат зависимо сложным образом изменяются как силовая, так и вихревая части поля ускорения. Можно сказать, что никаким преобразованием координат полностью уничтожить силовое поле ускорения невозможно. Даже локально в одной точке невозможно ее уничтожить: максимально, чего можно добиться – это обнулить силовую или вихревую части поля.

1)      Релятивистский член A00 тождественно  отсутствует только в галилеевом пространстве.

2)      Вихревую часть локально можно уничтожить переходом в покоящуюся с.о. Для этого необходимо решить уравнение (13):

(13)

Ясно, что этого необходимо, чтобы Aij = 0 или A00 = 0. Иначе необходимо решить это алгебраическое уравнение.  Вихревая часть не изменяется при преобразованиях только при A00 = 0, что означает отсутствие релятивизма. Это, в частности, осуществляется в галилеевом пространстве.

3)      Потенциальную силовую часть поля ускорения локально можно уничтожить подбором новой с.к., решив линейное алгебраическое уравнение

(14)

4)      Потенциальную векторную часть поля ускорения локально можно уничтожить подбором новой с.к., решив линейное алгебраическое уравнение

(15)

В галилеевом пространстве (14, 15) удовлетворяются автоматически.

6.    Динамика м.т. Законы Ньютона в галилеевой механике

Основными параметрами м.т. в динамике являются его масса (заряд), скорость и импульс, ускорение и сила, а также внешнее тензорное силовое поле в форме ее напряженности. Скалярная масса, заряд, скорость, ускорение м.т. и напряженность внешнего поля объединяются в 4–мерные параметры м.т. Скорость и ускорение определены ранее. Импульс, сила и ток определяются следующим образом:

– импульс:

Pi = (p0, pi) = m(v0, vi) = mVi,

P0 = m = const.

(30)

 

 
ток:

Ji = (j0, ji) = e(v0, vi) = eVi,

J0 = e.

(31)

        сила (m = const):

Fi = (f0, fi) = dPi/dt = mWi.

(32)

Законы Ньютона остаются в галилеевой механике без изменений.

Первый закон Ньютона и понятие инерциальной с.о.:

Fi = 0 → Wi = 0 & Vi = const.

(32а)

Второй закон Ньютона – кинематическое действие силы:

Fi = mWi, W0 = 0.

(32b)

Третий закон Ньютона для замкнутой системы:

Fnm= – Fmn.

(32c)

Но инвариантное определение 4–мерной формулировки второго закона Ньютона с дополнительной координатой t встречается с определенными трудностями, потому что в нее пространственные координаты и время входят не равноправно:

Fi = dPi/dt = mWi,

dPi = mWidt.

(33)

В них dt входит в знаменатель, а dr не входят. Было бы правильней, чтобы в это выражение для силы входили производные и по другим, пространственным, координатам:

Fi = Fi(dPi/dqj).

Наиболее просто зависимость такого рода может быть выведена из следующего инвариантного выражения:

dPi = Pij · dqj = PijVjdt.

(34)

Тогда:

Fi = dPi/dqj · dqj/dt = Fijdqj/dt = FijVj,

F0j = 0.

(35)

Здесь Vj = dqj/dτ – скорость м.т. Все, что говорилось о силовом поле ускорения Aij ранее, можно сказать и о силовом поле Fij, в предположении, что m = const.

В выражении второго закона Ньютона (32b) необходимо понимать разницу между левой и правой частями уравнения. Правая часть уравнения определяет реакцию (ускорение) м.т. на действие внешней силы, а левая часть – расшифровывает эту внешнюю силу к конкретной ситуации. Эта разница определяет возможность существования различных видов сил и зарядов м.т., определяющих чувствительность к воздействию этой силы. На практике это выражается в том, что разные м.т. с одной и той же массой неодинаково реагируют на одно и то же внешнее силовое поле и получают различные ускорения в ней. Оказывается, что это различие определяется различными константами взаимодействия м.т. с силовыми полями: сила взаимодействия определяется зарядами м.т., а ускорение – массой м.т., в соответствии со вторым законом Ньютона:

Fi = mWi = e(k)E(k)i + e(k)E(k)ij Vj + …

(36)

где k – индекс заряда и ранг тензора поля напряженности

e(k)k–ый заряд м.т. (в т.ч. и масса m),

Ei, Eij – напряженности силового поля;

Jj = eVj – ток заряда м.т.;

В (36) поле Ei выступает как силовое тензорное поле напряженности, взаимодействующее с м.т. через заряд ek. Хотя поле Eij связано с динамикой движения м.т., но при этом ограничение на вид тензора Eij остается таким же, как для поля ускорения Aij, если предположить, что масса и заряд м.т. являются константами. Но если предположить, что масса м.т. или импульс p0 может изменяться, то ограничение на вид тензора силового поля Eij снимается.

Ссылка на этот материал: dorelyativiskaya-mehanika-ch2.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 42 / 2 =

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 02 ч 58 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:1 V:1 N:11
Уникальных посетителей за текущие сутки: 1 Просмотров: 1 Этой страницы (всего): 11