Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?


Механика 4 мерного пространства
Обозначения и сокращения
Пребразования евклидова пространства
Пребразования галилеева пространства
Метрики галилеева пространства
Симметрии в галилеевом пространстве
Преобразования галилеевых векторов
Преобразования галилеевых тензоров
Сопряженные векторы и волнове метрики галилеева пространства
Пространства механики
Механика и законы движения
Детерминизм, обратимость и инверсия осей координат
Галилеева механика
Три закона ньютона
Уравнение распространения волны
Слабые метрические поля
Классческая механика
Релятивизм классической механики
Четвёртое измерение в KM
Скалярное потенциальное поле
Скалярное поле сопротивления среды
Векторное потенциалное поле
Дорелятивиская механика ч1
Дорелятивиская механика ч2
Дорелятивистские преобразования векторов
Дорелятивистские преобразования тензоров
Интерпретация DRPTK для координат
Уравнение волны в пространстве RGM
Пространство SET
Лоренцевы преобразования

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 05 2019. -------
Ссылка на этот материал: galileeva-mehanika.htm)


  4–мерная галилеева механика

1.    Пространство-время

Под 4–мерной галилеевой механикой мы будем понимать механику, построенную в математическом тензорном ортонормированном 4–мерном галилеевом пространстве–времени, в котором допустимы смещения, повороты пространственных координат и галилеевы преобразования координат и времени (далее ГПТК):

q'i = Vij(qjq(0)j),

(1)

где q(0)i – смещение начала координат новой с.о. относительно старой,

Vij – тензор преобразования 4-мерного галилеева пространства

Обобщенный 4-мерный тензор Vij преобразований контравариантных векторов галилеева пространства (ГПТК) с совпадающими началами координат имеет следующий вид:

(2)

где vi0 ~ vi(0) – скорость новой с.о. относительно старой,

wij – тензор преобразования 3-мерного подпространства.

Геометрически в случае отсутствия поворотов и смещений координат в двухмерном представлении это преобразование может быть пояснено рис.1:

Рис. 1. Преобразование координат и скорости м.т. в галилеевом пространстве. Скорость объекта, движущейся вдоль оси x в направлении увеличения x со скоростью v, с точки зрения движущегося со скоростью v0 галилеева наблюдателя будет иметь скорость: v’ = cv0.

Основной принцип галилеевой механики (ГМ), или галилеева теория относительности (ГТО): законы механики одинаковы во всех с.о., полученных с помощью галилеевых преобразований координат. Это также означает, что 1) тензорные параметры м.т. при ГПТК также должны преобразовываться в соответствии с ГПТК и 2) м.т. не изменяет своей внутренней структуры. Даже при силовом характере перехода в новое состояние движения эти правила должны соблюдаться.

2.    Кинематика

Первым и самым важным является определение материальной точки (или объекта) и его отношение с пространством-временем. Под материальной точкой (или объектом) понимается особенность в 3-мерном подпространстве в каждый момент времени, выделяющая ее среди других однородных точек (или областей) 3-пространства в каждый момент времени. Причем так, что каждому значению 1-мерной координаты времени должно соответствовать единственное значение 3-мерной координаты. В математическом координатном представлении эта особенность проявляется в задании материальной точке некоторого многомерного числового значения, называемого "координатами" м.т. в пространстве-времени.

ri = ri(t).

Множество всех таких точек в пространстве-времени представляет собой непрерывную линию, которая называется траекторией или мировой линией.

Основными параметрами м.т., кроме ее положения, будут также ее векторные 4–скорость Vi = dqi/dt = (v0, vi), 4–ускорение (или сила ускорения) Wi = (w0, wi) = d2qi/dt2. Галилеевы скорость и ускорение по индексу времени принимают вполне определенные постоянные значения: v0 = dt/dt = 1 и w0 = d2t/dt2 = 0. Следовательно, они не могут быть существенными c точки зрения кинематики параметрами м.т. и являться предметом изучения. Действительно, в контравариантных векторах с точки зрения ГПТК значимы только пространственные элементы векторов с индексами 1, 2 и 3, элементы с индексом 0 при ГПТК постоянны:

A'0 = A0,

A'i = Ai - vi0A0.

(3)

Это также значит, что не должны изменяться и временные элементы любых других контравариантных векторов. Поэтому о временных элементах контравариантных векторов при ГПТК можно забыть. С 3–мерной точки зрения элемент вектора с индексом 0 можно считать скаляром, но псевдо – потому что это элемент 4-вектора.

Скорости v0 = dt/dt и vi = dri/dt в 4–мерном представлении является элементом тензора ранга 2 vij, а ускорения w0 = d2t/dt2 и wi = d2ri/dt2 является элементом тензора ранга 3 wijk. Для избавления от подобного неудобства нам необходимо зафиксировать одну эталонную разметку времени пространства–времени и под производной по времени иметь ввиду именно это эталонное время. В галилеевом случае нормированного времени обозначим ее через τ:

τ = t,

dτ = dt.

(4)

Роль этого эталонного времени – универсальная скалярная функция координат и времени. Роль дифференциала времени dt в выражениях типа dt/dt: dt в знаменателе – это дифференциал по универсальному времени dτ, а в числителе – это дифференциал dt, соответствующий координате "время": dτ = dt. Далее τ и t мы часто будем отождествлять, с учетом замечания о dt в числителе и знаменателе. При таком допущении координаты, скорость и ускорение будут векторами.

3.    Законы движения м.т.

(См. также Механика и законы движения)

Конечно, координаты, скорость и ускорение м.т. являются важными параметрами. Но это только описание состояния  движения м.т., ее траектории. Для механики важно найти законы, которым подчиняются эти параметры во времени и пространстве. Наличие закона движения гарантирует единственность траектории движения при определенных начальных условиях при заданном законе. Математическим выражением законов движения и взаимодействия м.т. с другими м.т. (в т.ч. с силовыми полями)  являются дифференциальные уравнения типа

F(t, r, dr/dt, d2r/dt2, …) = 0.

Это дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Вид этих уравнений можно определить либо волевым образом как некоторое заранее заданное уравнение, либо вывести на основе каких-либо постулатов, либо на основе анализа опытных данных. В механике и теоретической физике обычно ограничиваются уравнениями максимум второго порядка.

4.    Определение ИСО и первый закон Ньютона

Самым важным и простым постулатом механики является следующий постулат или закон движения: при отсутствии взаимодействия м.т. движется прямолинейно и равномерно или покоится:

v = dr/dt = const,

w = 0.

Это определение соответствует первому закону Ньютона и пространством этого постулата является галилеево пространство-время.

Имеются некоторые особенности применения этого закона:

1)      Пространство-время должно быть как минимум аффинным пространством. Через нее определяется понятие инерциальной с.о. (ИСО): с.о., в которой все невзаимодействующие м.т. движутся прямолинейно и равномерно или покоятся, является ИСО.

2)      Более того: при отсутствии взаимодействия в ИСО  любая м.т. не только движется прямолинейно и равномерно, но с ней можно связать ИСО. ИСО определяет не вращающуюся с.о. (локальный аналог принципа Маха).

3)      Для изолированной или единственной м.т. в пространстве-времени с произвольной разметкой всегда можно сказать, что она покоится в собственной с.о. Для нее всегда можно найти и другие с.о., в которой эта м.т. будет двигаться прямолинейно и равномерно. Поэтому необходимо 1) сделать оговорку к закону: необходимо предполагать потенциальную неединственность м.т.;  2) оговорить применимость закона ко всем потенциальным м.т. одновременно; 3) оговорить метричность пространства-времени и 4) это также оправдывает потенциальную связанность с.о. с материальным телом (телами) отсчета. Это напоминает некий аналог принципа Маха.

4)      Пространство может быть римановым пространством с определением прямой линии как линии минимальной длины между любыми двумя ее точками. Если риманово пространство плоское, то ее можно отобразить к предыдущему случаю. В общем случае ИСО не может быть определено.

5.    Взаимодействие: сила и ускорение

Из предыдущего можно сделать вывод: если отсутствие взаимодействия определяется отсутствием ускорения в ИСО, то взаимодействие определяется наличием ускорения в ней. В механике взаимодействие определяется через "силу взаимодействия", по аналогии взаимодействие м.т. с чем-то внешним через ускорение назовем "силой ускорения" или просто "сила".

"Сила ускорения" ("силы" – по аналогии с классической механикой) воздействует на скорость м.т. Под действием этой силы появляется ускорение и изменяется скорость м.т. Из этого следует, что действие внешней ускоряющей силы заключается в малом изменении значения вектора скорости dVi м.т. за время dt, а это есть некоторое малое преобразование скорости, называемое ускорением м.т. Это соответствует второму закону Ньютона:

dvi = Aidt.

Т.к. значение скорости v0 может быть только постоянным и равным 1 (единице), то значение A0 может быть только нулем. Это малое преобразование может определяться многими  способами.

6.    Тензорное силовое поле

Общим выражением действия внешней силы на м.т. будет малое изменение вектора скорости м.т. под действием обобщенного тензора ускорения Aij:  

(5)

В общем случае элементы поля ускорения Aij могут быть любыми. Далее будем рассматривать частный случай метрического силового поля ускорения .

(6)

Здесь (A00, A0i) ~ Ai – сила ускорения, задающая малое ГПТК элементов скорости с индексом 0. Как известно, эта скорость постоянна и равна 1, следовательно,  эти элементы должны быть равны 0.

(A00, Ai0) – сила ускорения, задающее малое ГПТК. Про член A00 мы написали выше. Член  Ai0: iÎ{1, 2, 3)}назовем силовым полем ускорения. За счет этой силы изменяется скорость м.т.

Aij – 3–тензор силы ускорения, задающий малый поворот с.о. Это антисимметричный тензор 3–поворота вектора скорости. Такое поле ускорения назовем вихревым.

Отсюда делаем обобщающий вывод: действие силы на м.т. заключается в непрерывном преобразовании векторных и тензорных параметров м.т., например, скорости.

(8)

Ограничением на вид тензора Aij при ГПТК является неизменность временного элемента вектора скорости v0 = 1. Следствием этого ограничения при произвольной скорости движения м.т. является равенство нулю составляющих тензора ускорения A0j:

Это выражение при антисимметричном Aij в точности соответствуют некоторому малому ГПТК и оно есть тензор малого поворота вектора скорости. С учетом того, что v0 = 1, имеем:

dvi = (Ai + Aijvj )dt,

wi = dvi/dτ = Ai + Aijvj.

(9)

где wi – ускорение м.т.

Здесь необходимо отметить следующее: действие ускорения на м.т. заключается только в том, что изменяется модуль и направление скорости м.т. dr/dt, а не самой с.к. При этом действие силы на м.т. локально. Если м.т. представляет собой м.о. c конечными размерами, то действие однородной во всем пространстве силы, будет эквивалентно локальному смещению м.о. без поворота на dr = vdt и общему повороту вектора скоростей в каждой отдельной точке м.о. При этом ориентация м.о. не изменится. В неоднородном поле м.о. может получить поворот связанных с ним осей.

С другой стороны, действие силы можно отождествить с преобразованием с.к. во времени, т.е. нахождением в неинерциальной с.о.

Заметим: сила, действующая на м.т., имеет не только "векторную" (Ai), но и ответственную за поворот "антисимметричную тензорную" (Aij) часть.

Это говорит о том, что силовое поле Ai0 зависит от принятой базовой с.о. и состоит из двух частей – 1) векторной силовой части Ai0 и 2) индуктированной поворотом вихревой части Aij. Таким образом, полное ускорение, действующее на м.т., будет суммой двух ускорений – статической w' и вихревой w'':

wi = w'i + w''i.

(10)

Галилеево взаимодействие м.т. с полем Aij полностью определяется 6 элементами тензора – частью Ai0 (3 элемента) и антисимметричной пространственной частью этого же тензора (тоже 3 значимых элемента). Локальное действие поля A на м.т. есть ГПТК – это изменение направления и значения скорости сопутствующей с.о.

Ненулевые составляющие тензора A0j искажают классический смысл скорости v0 = dt/dt = 1 и ускорения w0 = d2t/dt2 = 0 м.т., делают их переменными, а это невозможно в галилеевой механике. Для определения возможности изменения этих составляющих необходимо, чтобы дифференциальные параметры м.т. определялись не через параметр времени dt, а через скалярный параметр τ: Vi = dt/dτ ¹ const. Отличие скорости Vi от галилеевой скорости (v0, vi) состоит в том, что они более полно отражают динамические параметры м.т., потому что в них имеется 4 независимых значимых параметра, определяющих параметры м.т., а в галилеевой скорости – только 3. Но это уже не ГМ: это означает, что скорость течения времени не постоянно и Пространство уже не обязано быть галилеевым.

Рассмотрим действие ГПТК на тензор самого поля ускорения Aij. При ГПТК элементы смешанного тензора Aij при нулевых значениях элементов A0j, не изменяются, но при этом элементы Ai0 получают приращение δAi0 = Aimvm0 (см. Преобразования-галилеевых-тензоров.htm):

(11)

где vm0 – тензор ГПТК. Это уравнение говорит о том, что векторную часть поля ускорения локально можно уничтожить подбором новой с.к., но вихревую часть уничтожить невозможно.

О чем это говорит? А вот о чем.

Сначала предположим, что мы находимся в с.о., в которой наша пробная м.т. находится в состоянии движения со скоростью vj. В присутствии вихревой и невихревой составляющей внешнего поля ускорения на м.т. действуют обе силы (см. 9):

dvi = (Ai + Aijvj )dt,

wi = dvi/dτ = Ai + Aijvj.

(9)

При переходе в с.о., в которой м.т. покоится, вихревая составляющая поля ускорения исчезает:

Aijvj  ® (A'ijv': v' = 0) = Aij×0' = 0.

Но сила взаимодействия с полем в соответствии с принципом относительности не должна измениться. Куда исчезла сила? А она в соответствии с (11) ушла в невихревую составляющую поля взаимодействия:

A'i0 = (Ai0 + Aijvj0).

По отношению к силовому полю ускорения Aij можно говорить как о напряженности тензорного силового поля.

Рассмотрим, чему соответствует каждая составляющая тензора ускорения.

Смешанная часть тензора ускорения Ai0 воздействует на м.т. независимо от ее скорости. Пространственная часть тензора Aij в общем случае состоит из двух частей – симметричной A(+)ij и антисимметричной A(–)ij. Антисимметричная часть соответствует повороту направления вектора скорости и не изменяет ее абсолютного значения. При таких взаимодействиях новое состояние м.т. всегда можно получить некоторым ГПТК.

Остальные возможные составляющие тензора ускорения – ненулевая часть A0j и симметричная часть ее пространственной составляющей A(+)ij воздействуют на параметры м.т. таким образом, что они не соответствуют никакому ГПТК. А это противоречит принятому нами принципу: м.т. при взаимодействиях подвергается только ГПТК.

Ненулевая часть A0j воздействует на составляющую скорости v0, но эта составляющая при ГПТК не может измениться. Следовательно, A0j = 0. Ненулевая составляющая A0j возможна только в том случае, если dt ¹ dτ. А это соответствует изменению скорости течения собственного времени для м.т. и зависимости ее от направления движения в текущей с.о. А это возможно только в случае общей формы линейной метрики τ, но невозможно для галилеева пространства–времени.

Рассмотрим вихревую часть тензора ускорения более подробно.

(12)

(13)

Результат выражения, (13) является выражением векторного произведения векторов A = (A1, A2, A3) и скорости (v1, v2, v3). Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки.

Замечание: векторное произведение (13) не является тензорной операцией, а является операцией векторной алгебры, где нет верхних и нижних  индексов.

7.    ВЫВОДЫ.

С точки зрения галилеевой механики:

1). Галилеево преобразование координат и времени не связано с изменением их масштабов, т.е. они не подвергаются ни сокращению, ни растяжению, ни какой-либо другой деформации (см. рис.1).

2) Временные части контравариантных векторов, в т.ч. векторов v0 и w0, а также пространственные части ковариантных векторов, не изменяются при ГПТК и галилеевом силовом воздействии на м.т. Это очень сильное ограничение, оно определяется математикой ГПТК, а также условием dt = dτ.

3). Галилеево поле 4-ускорения Aij определяет собой малое изменение (ГПТК) скорости м.т. Возможно существование только двух видов полей 3-ускорения (составные части 4-ускорения) – силовой Ai0 и антисимметричный вихревой Aij

wi = Ai0 + Aijvj

(13)

при отсутствии у м.т. каких либо других параметров для взаимодействия с полем, кроме факта наличия м.т. и состояния ее движения.

4). При ГПТК силовая часть поля Ai0 получает индуктированную вихревым полем Aij добавку +Aimvm0. Пространственная часть напряженности поля Aij при этом остается неизменной, но в силу изменения скорости м.т. сама действующая  "сила" изменяется и может обнулиться.

5) Возможное наличие не галилеевых сил (ненулевые поля A00, A0j и симметричное Aij), а также зависимость силовых полей от координаты для любых сил, говорит о том, что ГТО и ГПТК не может определять все многообразие сил Природы. Наличие других сил может говорить о том, что происходит изменение геометрии пространства–времени в евклидовом пространстве, соответствующее этим силовым полям. Все это не исключает наличие дополнительных не геометрических (во всяком случае не 4-мерных и/или заряженных) сил.

Ссылка на этот материал: galileeva-mehanika.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 61 вычесть 12 =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 17 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25