Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?


Механика 4 мерного пространства
Обозначения и сокращения
Пребразования евклидова пространства
Пребразования галилеева пространства
Метрики галилеева пространства
Симметрии в галилеевом пространстве
Преобразования галилеевых векторов
Преобразования галилеевых тензоров
Сопряженные векторы и волнове метрики галилеева пространства
Пространства механики
Механика и законы движения
Детерминизм, обратимость и инверсия осей координат
Галилеева механика
Три закона ньютона
Уравнение распространения волны
Слабые метрические поля
Классческая механика
Релятивизм классической механики
Четвёртое измерение в KM
Скалярное потенциальное поле
Скалярное поле сопротивления среды
Векторное потенциалное поле
Дорелятивиская механика ч1
Дорелятивиская механика ч2
Дорелятивистские преобразования векторов
Дорелятивистские преобразования тензоров
Интерпретация DRPTK для координат
Уравнение волны в пространстве RGM
Пространство SET
Лоренцевы преобразования

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 05 2019. -------
Ссылка на этот материал: lorencevy-preobrazovaniya.htm)


1.  Группа лоренцевых преобразований СТО

1.1. Вывод релятивистских формул СТО

Если внимательно приглядеться к формулам РГПТК, то можно увидеть аналогию: действие силы на энергию–импульс м.т. есть малый ортогональный гиперболический поворот вектора энергии–импульса в плоскости (t, r). Если это так, то импульс м.т. в пространстве энергия–импульс может принимать только определенные значения, определяемые некоторой 3–поверхностью в 4–пространстве. Эта поверхность должна определяться скалярным радиусом, соответствующим первоначальной скалярной длине покоящегося вектора энергии–импульса.

Для определения этого скаляра рассмотрим исходное уравнение (3.4). Рассмотрим изменения квадратов энергии Kt2 и импульса Kr2 м.т. под действием силы. Для энергии (если не различать верхние и нижние индексы):

d(Kt2) = d((P0)2) = 2P0dP0 + (dv0)2 → 2P0dP0.

(4.1a)

Для импульса:

d(Kr2) = d((pi)2) = 2pidpi + (dvi)2 → 2pidpi,

d(Kr2) = 2pidpi = 2mvidpi.

(4.1b)

Но в классической механике vidpi = dP0, тогда:

d(Kr2) = 2mdP0.

Это выражение будет равно (4.1a), если выполняется условие: m = P0 = K:

2P0dP0 = 2mdP0.

Это условие говорит о том, что масса м.т. должна быть динамической (переменной), с такой же зависимостью от скорости, как и P0. Такую массу можно обозначить через m0.

Другое решение осуществляется, если энергия м.т. не зависит от скорости м.т.: dP0 = 0, а это выполняется при постоянных произвольных m и P0 для м.т., как в ГПТК. Больше никаких других условий к m и P0 не накладывается.

Зависимость K(v) пока не определена, но в любом случае зависимости импульса от скорости p = Kv. При таком условии при движении под действием силы у м.т. будет сохраняться равенство:

dKt2 = dKr2,

Kt2 = dKr2 + C2.

(4.1)

Следствием ее будет скалярность выражения:

Kt2dKr2 = C2,

P2 = (P0)2 – (pi)2 = C2 = m2.

(4.2a)

где m – скалярная масса м.т.

Замечание. В физике до сих пор ведутся споры об истинной массе м.т.: это скалярная масса m или временная часть 4–мерного импульса–энергии м.т. m0 = P02? А.Эйнштейн, Р.Фейнман и другие чаще всего  употребляли в качестве "массы" скалярную массу. Поэтому в знаменитом уравнении А.Эйнштейна E0 = mc2 стоит  именно скалярная масса, а E0 – это энергия покоя м.т. В состоянии движения уравнение баланса энергии и импульса м.т. записывается следующим образом: E2 = p2c2 + m2c4 (см. (4.2)  Но в физике часто за разными интерпретациями одних и тех же понятий стоит одна и та же физика, только с разных точек зрения. В силу одинаковых математических уравнений, лежащих в их основе. В своей нобелевской лекции Фейнман пишет: "Множество разных физических идей может описывать одну и ту же физическую реальность". 

Это наводит на мысль о том, что импульс P является вектором, и выражение (4.2а) является скалярным квадратом вектора импульса. Для придания этой величине правильного тензорного вида ее необходимо записать несколько в другом виде:

P2 = gijPiPj = m2gijViVj = m2.

(4.2)

где gij задается псевдоевклидовым ортонормированным метрическим тензором:

(4.3)

Появление этого метрического тензора автоматически включает в математику этой механики операцию опускания–поднятия индексов тензоров. Найдем зависимость K от скорости. Для этого решим уравнение (4.2a):

K2p2 = m2,

K2(1 – v2) = m2,

.

(4.4)

К этой же зависимости энергии от скорости можно прийти и непосредственным интегрированием уравнения:

dP = d(Kv),

dK = v·dP = v·d(Kv).

Решим ее:

dP = d(Kv) → P = Kv,

dK = v(v dK+K dv),

dKv2dK = vKdv,

dK(1 – v2) = Kdv2),

Это решение соответствует преобразованиям векторов в СТО. Следствием данной особенности является принцип ограниченности скорости м.т. Это значит, что если скорость м.т. меньше или больше c, то она никогда не сможет перейти через этот рубеж на другой.

Для малых значений скоростей эту энергию можно приближенно записать в виде:

K = m + ½mv2.

что соответствует КМН и РГМ с точностью до константы. Особенностью данной зависимости энергии от скорости является наличие недопустимого значения скорости движения м.т, равное "c".

Этому условию теоретически могут удовлетворять две физические системы отсчета (далее с.о.) – это абсолютная (АСО) и инерциальная (ИСО) с.о. Первая с.о. – это АСО – выделенная с.о., в которой любая м.т. может двигаться со скоростью не более максимальной. В движущихся относительно нее с.о. (ДСО) скорость будет ограничена значением c' = cv, где c – ограничение скорости в выделенной АСО, c' – ограничение скорости в ДСО, v – скорость движения ДСО относительно АСО. Для этого необходимо, чтобы м.т. имела волновую природу. Для движения такой м.т. в АСО должны быть постулированы:

1) принцип существования АСО,

2) принцип существования максимальной ограничительной скорости в АСО,

3) принцип волнового характера движения м.о. в АСО.

Эти принципы возможно осуществить в галилеевой механике. Но здесь имеется большая трудность – 1) волны не взаимодействуют между собой, они линейны и 2) как совместить произвольную (но ограниченную) скорость м.т. и постоянную скорость волны?

Вторая соответствует ИСО СТО, в которой постулированы:

1) принцип относительности с.о.,

2) принцип независимости максимальной ограничительной скорости от состояния движения ИСО,

3) принцип эквивалентности массы и энергии.

Эти принципы осуществляются в релятивистской механике СТО. Но и здесь имеются те же проблемы – дискретность м.т. и волновая природа его движения.

В принципе эти две с.о. могут мирно сосуществовать. Например, возьмем покоящуюся жидкость и волновые движения в ней. Сама жидкость в с.о., в которой она покоится, соответствует АСО, скорость звуковых волн для стороннего наблюдателя будет равна одному и тому же значению в любом направлении в АСО. Если смотреть на распространение волн в жидкости из с точки зрения ДСО, то она будет удовлетворять уравнению c' = cv. Но можно смотреть на волновое движение с точки зрения этих же волн, применяя волновые эталоны. Тогда описание этого волнового движения будет полностью соответствовать ИСО СТО, но в отношении звуковых волн. Причем в этой ИСО невозможно определить движение фоновой среды, как в СТО невозможно определить наличие так называемого "эфира". Очень похоже на принцип корпускулярно–волнового дуализма в специфической интерпретации: корпускулярность – это классические механики, волны – это релятивистская механика СТО.

Это также позволяет однозначно определить 4–тензор Лоренцева преобразования с.к. как ортонормированную матрицу с единичным детерминантом. При отсутствии поворотов 3–пространства преобразование 4–координат можно записать так:

r^' = r^.

(4.5)

где v – скорость движущейся с.о.,

r|| и r^ – параллельная и перпендикулярная к v составляющие координаты м.т.,

Здесь индекс || означает направление, параллельное к вектору v, а индекс ^ – направления, перпендикулярные к вектору v преобразования с.о.

Выпишем тензор преобразования Лоренца для плоскости (t, x), соответствующий (4.5):

(4.6)

Здесь коэффициент  называется коэффициентом релятивизма и обозначается через β.

Выведем зависимость изменения скорости v||' и v^' м.т. по времени dr'/dt':

(4.7)

(4.8)

Если v|| = 0 – т.е. м.т. двигалась только перпендикулярно направлению движения новой с.о., со скоростью v, то

v||' = v,

v^' = β · v^.

Найдем отклонение угла движения м.т. в новой с.о.:

sin φ = v||'/ v^' = v/(β · v^).

Для м.т., движущейся со скоростью v^ = c этот угол будет равен

sin φ = v/().

(4.9)

Это значение отличается от классического релятивистским коэффициентом β.

В этой механике определяется еще один интересный инвариант – ds:

ds2 = c2dt2dr2 = (c2v2)dt2,

.

(4.10)

При малых скоростях этот интервал равен изменению времени между событиями. 4–мерные скорость и импульс м.т. определяются именно с использованием этого параметра:

V = dq/ds,

P = mV.

РГПТК по (3.8а) после интегрирования соответствует группе гиперболических преобразований координат, точно соответствующей группе Лоренца. Следовательно, механика по РГПТК эквивалентна СТО. На рис. 3 показана схема для определения новых координат в штрихованной с.о. по (4.5), (4.6).

Рис. 3. Группа Лоренцевых преобразований координат. Определение новых координат точки А заключается в определении длины отрезков OB'' = t' и OC'' = x'. В первоначальной с.о. координаты (t, x) точки А определяются координатами точек B и C: ta = tb, xa = xc. В новой штрихованной с.о. координаты (t', x') точки А определяются координатами точек B' и C': t'a = t'b, x'a = x'c. Численные значения этих координат определяются не длинами отрезков C'A и B'A, а длинами отрезков C''A и B''A. Это связано с тем, что Лоренцевым преобразованиям соответствуют гиперболические преобразования координат, при котором реальная евклидова длина отрезков новых координат становится больше их гиперболических длин, и на бумаге невозможно отобразить новые координаты в соответствии с их гиперболической длиной. Длины lt и lx соответствуют новым координатам при РГПТК, соответствующих Лоренцевым при малых значениях скорости новой с.о.

В классической механике импульс материальной точки (далее м.т.) определяется выражением p = mv, а кинетическая энергия K выражением K = ½mv2. При этом постулируется неизменность массы от скорости м.т. Никаких ограничений по скорости не имеется. Релятивизм в классической механике появляется при предположении об эквивалентности массы и энергии (в частности, кинетической) м.т. или инерционности полной энергии м.т. Импульс м.т. в обоих случаях определяется одинаково: p = mv.

Обратная к прямому преобразованию координат матрица получается из прямой простой заменой знака скорости v0j и vi0 преобразования: v'0j = –v0j и v'i0 = –vi0. Это говорит о ковариантности выражений для преобразований координат. Рассмотрим, чему равно произведение двух преобразований.

v'''ij = v'ikv''kj;

Для упрощения задачи будем считать, что имеется только одна пространственная координата и индексы i, j, k принимают одно единственное значение, поэтому от их явной записи можно отказаться:

(4.11)

Здесь , . Если в качестве двух преобразований примем взаимно обратные: v' = –v'', то в результате получим тождественное преобразование: v''' = 0.

1.2. Инвариант СТО в классической механике

При распространении волны в АСО, связанной со средой ее распространения, остается инвариантом уравнение движения фронта волны:

 dtk/c dr = 0,

cdtkdr = 0,

|k| = 1.

(4.12)

 

где k – единичный вектор направления распространения волны,

c – абсолютное значение скорости распространения волны в АСО.

Это уравнение зависимо от направления распространения волны. Вдоль направления распространения луча волны выполняется условие

c2dt2dr2 = 0.

(4.13)

 

В СТО эта величина называется интервалом. Такой интервал соответствует метрике классического 4–мерного пространства–времени в АСО

(4.14)

Назовем ее волновой метрикой пространства. Она отличается от классической 3+1–мерной двойной метрики галилеева пространства

dl2 = dridri = –(dri)2,

dt = dt

(4.15)

своей 4–мерностью. Это – псевдоевклидова метрика.

Более общей формой распространения волнового фронта является ее эллиптическая форма. Уравнение движения такой волны описывается уравнением

c2dt2lijdridrj = 0,

(4.16)

где lij – метрика 3-пространства.

При галилеевых преобразованиях координат эти простые формы уравнения движения фронта волны нарушаются в силу нарушения изотропии пространства–времени относительно АСО, связанной со средой распространения волны. Скорость движения (внимание: координатная!) фронта волны, удовлетворяющего этому уравнению, будет зависеть от направления ее распространения. Если наша с.о. движется относительно среды со скоростью v, то  уравнением движения фронта волны может быть уравнение

(ckv)dtkdr = 0,

c'dtkdr = 0,

|k| = 1.

(4.17)

Здесь в уравнении движения скорость c' распространения волны в рассматриваемом направлении движения является истинной скоростью распространения волны. Такому уравнению соответствует следующий интервал волновой метрики классического 4–мерного пространства–времени

(4.19)

Эта метрика не соответствует римановой метрике, потому что она зависит не только от скорости с.о. наблюдателя, но и от направления распространения фронта волны c' и приводит к не изотропной финслеровой метрике.

Следующим уравнением движения волнового фронта, который можно получить перегруппировкой слагаемых уравнения (4.17), является уравнение

cdtk(dr + vdt) = 0.

Изотропным уравнением движения классической волны в этом случае является уравнение

c2dt2k2(dr+ vdt)2 = 0.

(4.20)

Расшифруем его, учтя, что k2 = 1:

c2dt2dr22vdtdr – (vdt)2 =

= (c2v2)dt2dr22vdtdr  = 0.

(4.21)

Такой интервал соответствует волновой метрике классического 4–мерного пространства–времени

(4.22)

Обе эти метрики не ортонормированные, но одинаково правильные. Для теоретических целей можно принять за основу любую из них. Необходимо отметить, что эти метрики соответствуют волновому движению с точки зрения галилеева наблюдателя. В этом ее существенная разница от метрик, применяемых в СТО и ОТО, в которых используется точка зрения волнового наблюдателя. Но опять же они одинаково правильные и не противоречат друг другу. Просто различные точки зрения, и для сравнения результатов их надо приводить к одной точке зрения, соответствующей реальному наблюдателю и его измерительным средствам. Реальным наблюдателем является, конечно, наблюдатель СТО или ОТО.

Метрика (4.22) не соответствует изотропной метрике СТО, потому что в ней имеется не изотропная слагаемая 2vdtdr.  Но она отличается от метрики первого случая тем, что зависит от скорости с.о. наблюдателя, но не зависит от направления вектора распространения фронта волны c'. Из него следует, что элементы метрики с индексами g0j и gi0 соответствуют скорости движения некоторой галилеевой с.о. в абсолютной с.о. Этот вывод можно распространить и в СТО и ОТО с уточнением о ненаблюдаемости его реального движения, но возможного присутствия метрического эффекта от этого движения при его пространственной неравномерности.

Эту метрику можно ортонормировать переходом в другую с.о. Во первых, можно перейти в исходную с.о. АСО. Но это нам не интересно. Нам необходимо получить ортонормированную метрику именно при этой скорости движения новой с.о. формально это можно сделать композицией двух преобразований – возвратом в исходную АСО с помощью обратного галилеева преобразования и затем применения преобразования Лоренца. Первым преобразованием мы переходим в исходную ортонормированную с.о., а вторым – опять в ортонормированную, но уже релятивистскую, с.о. СТО.

Ссылка на этот материал: lorencevy-preobrazovaniya.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 52 to divide on 13 =

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 28 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6