Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?


Механика 4 мерного пространства
Обозначения и сокращения
Пребразования евклидова пространства
Пребразования галилеева пространства
Метрики галилеева пространства
Симметрии в галилеевом пространстве
Преобразования галилеевых векторов
Преобразования галилеевых тензоров
Сопряженные векторы и волнове метрики галилеева пространства
Пространства механики
Механика и законы движения
Детерминизм, обратимость и инверсия осей координат
Галилеева механика
Три закона ньютона
Уравнение распространения волны
Слабые метрические поля
Классческая механика
Релятивизм классической механики
Четвёртое измерение в KM
Скалярное потенциальное поле
Скалярное поле сопротивления среды
Векторное потенциалное поле
Дорелятивиская механика ч1
Дорелятивиская механика ч2
Дорелятивистские преобразования векторов
Дорелятивистские преобразования тензоров
Интерпретация DRPTK для координат
Уравнение волны в пространстве RGM
Пространство SET
Лоренцевы преобразования

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: August 05 2019. -------
Ссылка на этот материал: preobrazovaniya-galileevyh-vektorov.htm)


В данной работе рассмотрены вопросы ортонормированного преобразования векторов 4-мерного галилеева пространства. Такими преобразованиями являются преобразования поворота и перехода в движущуюся систему координат. Даны формулы и матрицы этих преобразований.

Галилеевы преобразования векторов

Переход от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой, делали задолго до появления теории относительности. Естественным пространством для "переходов от одной системы координат к другой" является галилеево пространство. Именно оно является пространством классической механики. В данной работе сделан упор на 4-мерной интерпретации таких преобразований.

1.   Преобразования контравариантных векторных параметров

В тензорном 4–х мерном виде координаты и время ведут себя как контравариантные векторы и в общем случае (но при отсутствии смещений координат) преобразуются следующим образом:

q'i = gijqj,

(1.1)

где gij – тензор произвольного линейного преобразования. Галилеевы преобразования представляют только часть преобразований (1):

t' = t,

r'i = wijrj - vi0t,

(1.2)

где vi0векторный параметр галилеева преобразования, физически соответствующая скорости новой с.о. в старой,

wij – тензор ортонормированного поворота пространственного слоя новой с.о. в старой.

При смешанном матрично-тензорном (далее – матричном) способе представления тензоров вектор будет соответствовать матрице–столбцу, тензор 2–го ранга – квадратной матрице, где строки будут соответствовать 1–му индексу, столбцы – 2–му индексу. Матрица преобразования координат gij (1.2) будет определяться следующим выражением:

(2)

где vi0 ~ vi – скорость новой системы отсчета относительно старой. Здесь vi0, vi (а также далее еще vi(0)) численно соответствуют друг другу, поэтому в дальнейшем изложении мы в записях подобного вида будем иметь в виду, что при параметре vi (vj) по контексту может иметься еще ковариантный индекс со значением 0.

Таким образом, преобразование (1) координат с помощью тензора (2) можно записать в матричном виде:

=.

(3)

Из этих преобразований видно, что в координатах при наличий только галилеевых преобразований изменяется только ее пространственная часть, а временная часть не изменяется.

2.   Преобразования контравариантных векторных параметров

Векторными параметрами галилеева пространства являются кроме координат (с ограничением, описанным выше) также скорость и ускорение. Рассмотрим галилеевы преобразования скорости и ускорения в дифференциальной и тензорной формах.

Для скорости в дифференциальной форме имеем:

(4)

Отдельно заметим, что v0 = dt/dt º 1.

Уравнение (4) фактически описывает закон сложения (или вычитания?) скоростей. Применив 4–х мерные преобразования в тензорной форме к вектору скорости непосредственно, получим то же самое:

=

(5)

Кроме преобразования равномерного прямолинейного движения новой с.о. возможен также поворот системы координат. При отсутствии галилеевой составляющей преобразования координат и наличии только поворота пространственная часть вектора координаты, скорости и ускорения преобразуются как тензоры, а временная составляющая остается прежней. Например, для скорости:

=.

(6)

При наличии обеих видов преобразований результат будет следующий:

=

(7)

Для вектора ускорения аналогично. Для ускорения в дифференциальной форме имеем:

(8)

Заметим: w0 = d2t/dt2 = dv/dt º 0. Применим 4–х мерные преобразования в тензорной форме к вектору ускорения:

=

(9)

Из вида этих преобразований видно, что координата, скорость и ускорение при 4–х мерных галилеевых преобразованиях координат ведут себя одинаково – как контравариантные тензорные величины (векторы), и нет необходимости делить их на векторы разной природы при преобразованиях координат в четырехмерном виде, но при этом v0 º 1, w0 º 0.

Запишем в общем виде преобразования для произвольного контравариантного вектора галилеева пространства Ai:

=

(10)

В контравариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только пространственная часть вектора, временная часть не изменяется.

=

 

Если временная часть равна 0, то вектор только поворачивается  (9):

=.

(11)

Если временная часть вектора нулевая и нет поворота с.о., то при любой скорости новой с.о. вектор вообще не изменяется:

(12)

3.   Преобразования ковариантных векторных параметров

Для получения этой формулы в качестве примера рассмотрим, как ведет себя градиентное поле A = ∂φ(x,t)/∂q = {∂φ/∂t, ∂φ/∂x} при галилеевых преобразованиях системы координат. Пусть новая система координат движется в направлении оси x со скоростью vx. Тогда:

(13)

т.е. пространственная часть градиентного поля не меняется. Для временной составляющей:

(14)

т.е. временная часть градиентного поля изменяется. В векторной форме формула преобразования градиента скалярной функции будет следующей:

(15)

В тензорно-матричном виде это запишем в виде:

(16)

При наличии еще и поворота с.о.:

(17)

Матрица преобразования gi j (16) и (17) отличается от случая преобразования контравариантных векторов тем, что она подверглась диагональному переворачиванию с изменением знаков элементов g0j: с -vj0 поменялась на + v0j. Это соответствует поднятию ковариантных и опусканию контравариантных индексов соответствующего тензора: при этой операции временные элементы с индексом 0 не изменяют своего знака, а с пространственными индексами изменяют свой знак.

Обобщая формулу преобразования градиента скалярной функции на любые вектора, имеем:

(18)

В ковариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только временная часть вектора, пространственная часть не изменяется. Если пространственная часть равна 0, то вектор не изменяется:

(19)

Элементы gij и gij тензора также численно совпадают между собой. Это связано с тем, что вектора Ai и Ai должны поворачиваться в одну и ту же сторону, с тем, чтобы их скалярное произведение было равно единице.

4.   Некоторые следствия и выводы по галилеевым преобразованиям векторов

Преобразование контравариантного вектора Ai осуществляется по формуле:

(20)

Преобразование ковариантного вектора Bi осуществляется по формуле:

.

(21)

1. Из анализа выражения преобразований векторов видно, что в ковариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только временная часть вектора At, пространственная часть Ar не изменяется. Если пространственная часть равна 0, то вектор не изменяется. В контравариантном векторе при наличий только галилеевых преобразований изменяется только пространственная часть вектора, временная часть не изменяется. Если временная часть равна 0, то вектор не изменяется.

2. Из этих выражений также видно, что значения ковариантного и контравариантного векторов классической механики должны отличаться друг от друга своими значениями, потому что преобразуются по разным выражениям с разными знаками приращения при разных частях выражения. В результате таких преобразований даже можно обнулить временную часть ковариантного вектора и пространственную часть контравариантного вектора, но нельзя обнулить весь вектор.

3. Рассмотрим скалярные произведения каждой из частей преобразованных векторов A'i и B'j:

A'i = (A0 + v0iAi, Ai),

B'j = (B0, Bi - vi0B0).

Произведение временных частей:

A'0B'0 = (A0 + v0iAi)B0 = A0B0 + v0iAiB0.

(22.1)

Для пространственной части:

A'iB'i = Ai(Bi - vi0B0) = AiBi - Aivi0B0.

(22.2)

Найдем сумму этих частей и сравним ее с произведением AB:

A'B' =

= ((A0 + Ajv0j)B0 + Aj(Bj – B0v0j)) =

= (A0B0 + Ajv0jB0 + Aj Bj – Ajv0 jB0) =

= (A0B0 + Aj Bj)=

= A'0B'0 + A'iB'i.

(22)

т.е. для любых двух векторов Ai и Bi их прямое "скалярное" произведение является инвариантом при галилеевых преобразованиях. Это следовало ожидать из тензорных свойств векторов и тензорного характера галилеевых преобразований координат (см. далее). Это верно также при любых значениях метрического тензора классической механики, потому что оно относится непосредственно к любым контравариантным и ковариантным векторам.

Из него невозможно сделать какие либо выводы относительно 4–метрики пространства: формулы (22) не используют какую либо определенную метрику 4-мерного галилеева пространства.

5.   Сопряженные векторы

Соответствующие друг другу контравариантный и ковариантный векторы называются сопряженными. Именно через сопряженные векторы определяется скалярное произведение векторов:

A×B = AiBi.

В галилеевом пространстве такое скалярное произведение двух векторов можно определить в соответствии с формулами (22).

В тензорной алгебре сопряженный вектор может быть получен операцией опускания индексов для контравариантных и операцией поднятия индексов для ковариантных векторов. Операция поднятия-опускания индексов осуществляется с помощью невырожденного, а в ортонормированном метрическом пространстве еще и диагонального метрического тензора gij и gij:

gijAj = Aj – опускание индекса,

gijAj = Aj – поднятие индекса.

Но в галилеевом пространстве такого тензора не имеется. Следовательно, невозможно стандартно определить сопряженные вектора.

Ссылка на этот материал: preobrazovaniya-galileevyh-vektorov.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "двенадцать" / "один" =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 49 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25