Периодические симметрии в галилеевом пространстве

1. Первый тип симметрии – это симметрия, присущая скалярам. Скаляр при любых преобразованиях координат не изменяет своего значения. Ее можно отнести к непрерывным симметриям. В частности, тензоры преобразования координат и тензоров обладают свойствами:

1)      Их детерминант равен 1;

2)      Их след равен количеству строк тензора (или матрицы).

2. Если в пространстве существует периодическая структура или периодическая симметрия, то возможна дискретная симметрия. Если период пространственной симметрии равен q_p, то в ней существует  структура

Решениями этого уравнения являются периодические функции A_N(q):

Здесь A_N – амплитуда и начальная фаза периодической структуры, в общем случае комплексная. Для вещественной функции j_N(q) от выражения для ее расчета берется только ее вещественная часть.

N – порядок периодичности на периоде структуры,

  - координата вдоль задающего направление луча,

- координата поперек задающего направление луча.

3. Преобразования отражения/инверсии являются дискретными и не являются непрерывными преобразованиями координат, но эти преобразования можно провести непрерывным образом в более многомерном (минимум +1 единицу размерности на каждый абсолютный базис) пространстве.

По отношению к дискретным преобразованиям имеются четные и нечетные функции. Четные функции при инверсиях не изменяют своего знака, нечетные – изменяют знак на противоположный. Если инверсию обозначить через звездочку (*), то эти свойства можно записать так:

Имеется два решения этого уравнения:

j* = j - четная функция,

j* = -j - нечетная функция.

Примером четной функции является вещественный скаляр и тензоры четной валентности, нечетной – 3-вектор при полной пространственной инверсии и 4-вектор при полной инверсии, 3-вектор-скорость при инверсии времени. При частичной инверсии изменяются только соответствующие элементы вектора по правилам тензорного исчисления. Операции поднятия/опускания индекса тоже могут быть полностью либо частично определяться четными или нечетными функциями либо это может относиться к его элементам.

4. По отношению к непрерывному преобразованию поворота/вращения имеется интересная симметрия – при повороте на j =  360° функция не меняет своего значения.

Группа вращений составляет циклическую группу, в которую входят все целые числа N. Если при каждом цикле вращения в группе N функция изменяется в k_N раз, то имеем следующее выражение для неизменности функции при повороте на 360°:

Во множестве действительных функции имеется только две возможности: N = 1 и N = 2, которые задают множество четных и нечетных функций.

Но во множестве комплексных чисел имеется бесконечное множество возможностей для значений k_N количеству целых чисел. Это все числа типа e^2ip/N:

Решениями этого уравнения являются все периодические функции от угла поворота j в цилиндрических координатах

В частности, функции от комплексного переменного

N – порядок периодичности на периоде структуры,                 

A_N – амплитуда и начальная фаза периодической структуры,

 - угловая координата точки вдоль задающего направление луча,

r ⁱ – радиальная и продольная координаты точки вдоль оси луча в пространстве.