-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: January 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: global'nyye-svojstva-prostranstva.htm)

Глобальные свойства пространства

Под физическими свойствами Пространства понимаются геометрические, материальные и силовые свойства ее. С физической точки зрения произвольным образом размеченное пространство не обладает никакими свойствами, кроме общетопологического свойства отделимости различных точек и топологического классификационного признака, потому что разметка сама по себе не обладает никакими инвариантными свойствами: координаты произвольны, и дифференциалы этих координат произвольны, и никакой полезной информации в них не может содержаться. Любые две связные точки тоже одинаковы. Хотя нет: разметка соответствует размерности пространства и ее топологическим константам, его свойствавм связности, однородности и изотропности. Разметка вещественными числами говорит о ее непрерывности, полноте и возможной метризуемости. Достаточно ли этих дискретных топологических свойств для описания ее физических параметров? Пожалуй нет. Они ничего не скажут о близости или далекости точек пространства, кроме их отделимости, локальной размерности и связности, об отличии в их свойствах.

При физическом рассмотрении необходимо иметь некоторое инвариантное описание пространства и его свойств. Топологическое пространство обладает топологическими инвариантными свойствами – дискретными особенностями, измеримыми (определенными) только в дискретно-количественном, дискретно-логическом или другом дискретном отношении. Инвариантным свойством пространства является свойство, не изменяющееся при преобразованиях координат пространства. Физически, несмотря на топологическую однородность и изотропность пространства, любые две точки и объемы реального физического пространства могут отличаться своими локальными свойствами. И это различие кроется не только в топологии.

Определение с.к., приведенное выше, преобразований с.к. друг в друга и его свойств, являются слишком общими. С точки зрения механики, изучающей законы движения материи под воздействием внешних сил, это имеет большое значение, потому что уравнения, описывающие движение, могут оказаться очень сложными. Естественно возникает вопрос об отыскании такого пространства, в которой законы Природы выглядели бы наиболее просто.

Выбор естественных систем отсчета базируется на постулатах пространства и времени, экспериментальных фактах, согласующихся с постулатами, ее фальсифицируемости и принципе "бритвы Оккама", отдающим предпочтение экспериментально доказуемым теориям с наиболее простым объяснением фактов.

1.  Аффинное и евклидово пространства. Декартова система координат

Одной из таких с.к. является аффинное пространство. В таком пространстве определены понятия различимых точек, параллельности прямых, плоскостей и т.д.,  параллельного переноса объектов. На прямой можно определить отношение "находится между" и на ней же можно определить свойство упорядочения, какая из двух точек находится дальше от третьей. Но в таком пространстве, кроме как на одномерной прямой, невозможно определить метрические отношения: на прямой можно определить операции последовательного откладывания заранее определенного отрезка этой же прямой и деления ее на любое целое число частей, и в предельном переходе – определить вещественное отношение двух отрезков на прямой и параллельных ей прямых. Через это отношение можно определить понятие координаты любой точки относительно некоторой выделенной точки, называемой O началом системы отсчета (координат) (см. рис. 2).

Метрические отношения между любыми отрезками можно определить в евклидовом пространстве. В ней же, кроме параллельности, можно определить понятия перпендикулярности и угла. А также можно определить декартову ортонормированную систему координат (см. рис. 2). Для определения координаты точки (см. рис. 2) в таком пространстве необходимо провести перпендикуляры к осям координат x, y, z и определить расстояние от начала координат O до точек пересечения этих перпендикуляров с осями координат, с учетом знаков. Для примера, координаты точки A будут равны (xA, yA, zA). Кроме такой записи координат точки, применяется и тензорная форма записи в виде (rA1, rA2, rA3).

 Декартова плоскость     

Рис. 3. Декартова с.к. на плоскости и в пространстве с взаимно ортогональными осями x, y и z. Ось x называется осью абсцисс, ось  y - осью ординат, ось z - осью аппликат. Для декартовой с.к. угол между осями координат равен 90°, для аффинного пространства не определен.

Особенностью декартовой с.к. является то, что контра- и ковариантные тензорные объекты в ней имеют одни и те же значения, т.е. верхние и нижние индексы не отличаются.

Декартова система координат отличается от общей с.к. наличием понятия "расстояние" между любыми двумя точками абсолютного пространства с наиболее простой для его вычисления формулой:

                                                                     

(3.1)

 
(dl)2 = ∑(dri)2.                                                                                            

Пространство с введенной таким образом метрикой является однородным и изотропным пространством. Свойства всех точек пространства одни и те же.

Все с.к., оставляющие инвариантными выражение (3.1) для определения расстояния, составляют множество ортонормированных с.к. К преобразованиям координат, оставляющим эту форму инвариантной, относятся трансляции по вектору и повороты пространства, т.е. группа ортонормированных преобразований координат. Математически в общем случае эти преобразования записываются так:

(3.2)

 

 
r'i = rir0igij rj,

где ri – координата точки пространства,

r0i – вектор смещения новой с.о.,

gij – ортонормированный тензор поворота новой с.о.

2.  Галилеево пространство

Пространством, которым оперирует классическая механика, является евклидово 3-мерное пространство. Для описания движения объектов в ней применяется еще одна координата – координата времени. В этом обобщенном пространстве подпространство времени и обычное пространство являются взаимно абсолютными, и в них имеется две независимые метрики – линейная в подпространстве "время" dτ = dt, которую можно использовать инвариантно и для всего пространства, и билинейная для ее пространственной части, задаваемая формулой (3.1). Координата t  пространства-времени описывает фиксированное в момент времени t состояния физической системы, координата r – распределение фиксированного состояния физической системы в пространстве в момент времени t.

Если пространство представляет собой прямое произведение абсолютных пространств, например, 3-пространства и времени (как в нашем случае), то система координат может быть определена для каждого из них независимо, и любое преобразование координат (3.2), ортонормированное в каждом отдельном слое, будет задавать другую ортонормированную с.к. конкретного слоя. Каждый слой этого пространства метризуется независимо. Обобщенной билинейной метрики и, соответственно, операций поднятия-опускания индексов при применении тензорного исчисления в этом пространстве также не имеется. Задание операции свертки тензоров в таком пространстве может быть определена только по отношению к тензорам с заранее определенным положением индексов.

В данном случае, в силу отсутствия обобщенной метрики в отличие от метрики евклидова пространства, какой-либо связи между точками двух различных слоев 3-пространства, кроме принадлежности различным слоям и близости по значению координат, нет. В качестве альтернативы евклидову пространству с обобщенной метрикой определяются специальные галилеевы координаты и галилеевы преобразования координат – переход в движущуюся с.о. В таком пространстве к прямым, плоскостям и т.д. евклидова пространства каждого отдельного слоя добавляются новые прямые, которые интерпретируются как прямые в обобщенном пространстве, в которое включается координата "время". Уравнения новых прямых:

(3.3.2)

 

 

(3.3.1)

 

 
rir0j = vi (t t0): |vi| ≠ 0,

rir0j = 0: |vi| = 0,

и преобразований координат:

t' = tt0,

r'i = rir0jrij rjvi t,

где t и ri – временная и пространственная координаты точки пространства

t0 и r0i – смещения начала отсчета временной и пространственной координат новой с.о. относительно старой,

rij – тензор поворота новой с.о.,

vi – фактор "галилеевости" или вектор скорости движения новой с.о.

Свойства параллельности прямых при этом сохраняют свою силу, но понятие перпендикулярности может быть применимо только в 3-мерном подпространстве.

Пространства, в котором определены преобразования (3.3.2), называются галилеевыми пространствами (ГП), подчиняющимися галилеевой теории относительности – ГТО. Галилеевы пространства – это не евклидовы пространства, хотя в них есть много от евклидовых пространств. Более подробно механика ГТО рассмотрена в других частях. Далее словосочетание "Галилеевы преобразования координат" и "Галилеевы преобразования тензоров" будем писать через ГПТК.

Эти преобразования определяют определенную связь между слоями абсолютных 3-подпространств и эта связь определяется физическим! понятием ИСО (инерциальная с.о.). Через это понятие определяется свободное движение материальных объектов классической механики и оно является одним из основных ее понятий и основой для законов Ньютона.

В преобразованиях тензоров при ГПТК, в отличие от преобразования координат, отсутствуют члены, ответственные за смещение начала с.о. Для контравариантного вектора Ai это преобразование запишется так:

(3.4.1)

 

Для ковариантного вектора Ai :

(3.4.2)

 

Обратные преобразования получаются заменой скоростного параметра vi на обратное -vi со знаком "минус".

3.  Псевдоевклидово пространство

Кроме евклидова и галилеева пространств, широко применяется и псевдоевклидово пространство или пространство Минковского. От галилеева пространства она отличается тем, что псевдоевклидово пространство не обладает свойством абсолютности. В выражение (3.1) для расстояния между близкими точками некоторые члены входят с отрицательными знаками. Вместо символа расстояния l в этом случае применяется символ s, а координаты r – символ q:

(3.5)

 
(ds)2 = ∑±(dqi)2

Особенностью псевдоевклидового пространства является то, что элементы контра- и ковариантных тензорных объектов в ней имеют одни и те же значения, но могут отличаться знаками, в соответствии с сигнатурой нормы (или расстояния): dqi ~ ±dqi.

В псевдоевклидовом пространстве остаются в силе понятия параллельности и перпендикулярности, как и в евклидовом пространстве. Но имеются специфические особенности в силе ее "псевдо"евклидовости.

Пространство с так введенной метрикой также является однородным пространством. Но с изотропностью тут имеются некоторые особенности: в таком пространстве можно выделить два типа координатных осей – с положительно определенной метрикой:

{qi}1: Σ(dsi)2 > 0,

и с отрицательно определенной метрикой:

{qi}2: Σ(dsi)2 < 0,

и три выделенные области направлений с различными знаками квадрата расстояния:

S1: (ds)2 > 0 – времениподобные направления,

S2: (ds)2 < 0 – пространственноподобные направления,

S3: (ds)2 = 0 – изотропные направления.

При преобразованиях координат не рекомендуется заменять разные типы координатных направлений, потому что замена значений координат разных типов приводит к изменению сигнатуры метрической формы и нарушению ее инвариантной формы.

Реально в механике и физике такое пространство применяется как пространство релятивистской механики – пространство Минковского, или псевдоевклидово пространство с метрикой

(3.5)

 
ds2 = dt2 – (dri)2

Преобразованиями координат в таком пространстве являются общие преобразования координат Пуанкаре (смещения, повороты, переход в движущуюся с.к.) и лоренцевы преобразования координат и тензоров (далее – ЛПКТ).

Также, как и в классической механике, эти преобразования определяют определенную связь между точками пространства Минковского и эта связь определяется физическим понятием ИСО (инерциальная с.о.). Через это понятие определяется свободное движение материальных объектов релятивистской механики и оно является одним из основных ее понятий и основой для построения релятивистской механики в СТО Эйнштейна.

4.  Циклические (тороидальные) пространства

Вышеприведенные в качестве примера пространства (евклидово, галилеево  и псевдоевклидово) обладают свойством неограниченности или бесконечности в любом направлении. Это все - "линейные аффинные" пространства. Они обладают метрическим свойством "быть плоскими" и топологическим свойством: любую замкнутую линию можно стянуть в точку. Но они не являются компактными в топологическом смысле и в них можно ввести предельно удаленные (граничные) точки, что в принципе нарушает ее симметрию. Предельно удаленные точки можно вводить различными не эквивалентными способами, сшивая их различными способами и получая открытые и компактные (циклические, ограниченные) пространства. Но, т.к. метрика задается локально, такой же "правильной" плоской метрикой могут обладать и другие метризуемые топологические пространства.

В принципе на любое пространство с наложенной на нее координатной сеткой можно тривиально наложить метрику по формуле (3.1). Но среди них есть наиболее простые.

Такими простыми плоскими пространствами могут быть "циклические" пространства. Циклические пространства могут быть цилиндрическими и тороидальными. Цилиндрические пространства отличаются тем, что некоторые координаты являются ограниченными (или периодическими). Ограниченность координаты означает, что существует координатная ось xi такая, что ее значения могут располагаться только в определенном промежутке:   xi Î [x(0)i .. x(1)i], причем граничные точки отождествляются. Периодичность означает,  т.е. две точки x(1)i и x(2) будут тождественны, если разность координат между ними равна одному периоду цикличности или их целому количеству. Тороидальность означает, что не менее двух координатных осей циклические. Примерами являются одномерная окружность, двумерные цилиндр, тороид, лист Мебиуса, бутылка Клейна и их многомерные аналоги (цилиндры, тороиды, бутылки…), а также множество их взаимных прямых произведений.

Замечание: сфера не является цилиндрическим или тороидальным пространством. Топологически цикличность получается сшиванием противоположных граничных точек метрически ограниченного пространства типа "многомерный параллелепипед" в разных направлениях совмещения.

На них можно определить локально евклидовые с.к., но глобально их нельзя отобразить биективно в евклидово пространство: некоторые из осей координат становятся  циклическими. Локальная метрика в них вполне евклидова (или псевдоевклидова):

(4.1)

 
(dl)2 = ∑±(dri)2

Поэтому они локально однородны и изотропны и вполне евклидовы. Но глобально эти пространства уже не изотропны: не любые направления (прямые) эквивалентны, существуют замкнутые в окружность (циклические) направления. Кроме того, прямые разных направлений могут пересекаться не в одной точке.

Существенное топологическое отличие их от евклидовых пространств то, что в них не любую замкнутую линию можно стянуть  в точку или другую замкнутую же линию. Существуют целые семейства эквивалентных замкнутых стягиваемых друг в друга линий с целочисленным (от нуля и более, возможно направленным) параметром "цикличности", или количества оборотов вокруг условной "оси намотки". В таких пространствах по "компактным" измерениям возможно существование только циклических полевых функций.

5.  Римановы пространства

Мы рассмотрели наиболее просто описываемые через координаты типы пространств – плоские пространства. Но есть большое количество метрических или метризуемых пространств, на которые невозможно наложить координатную сетку так, что метрика везде будет одна и та же. Примером такого пространства является сфера. Подобные пространства называются римановыми. Да и пространства с постоянной метрикой являются частными случаями римановой. Топология таких пространств очень разнообразна, гораздо разнообразней по сравнению с плоскими. Многие такие пространства можно получить из более простых топологическими операциями как их прямые суммы. Прямая сумма двух пространств есть сшивка двух пространств по двум совмещаемым их границам. Сшивка двух пространств иногда эквивалентна простому изъятию некоторого замкнутого подмножества из некоторого пространства.

Существует всего два вида пространств размерности 1. Это 1) ограниченный или не ограниченный открытый отрезок и 2) замкнутая линия. В операции сшивки замкнутая линия выступает как нулевой элемент.

Сшивка пространств размерности два может происходить только по замкнутой линии с удалением подпространства с одной из ее сторон, если линия имеет две стороны. В наиболее простом случае удаляемая сторона эквивалентна замкнутому кругу или полусфере как нулевому элементу операции сшивки.

Например, сшивка  любого пространства со сферой есть исходное пространство в любом случае. Сфера с этой точки зрения является "нулем". "Единичными" подпространствами для сшивки являются плоскость, тор (плоскость с двухсторонней ручкой), бутылка Клейна (лист Мебиуса или плоскость с односторонней ручкой).

Сшивка двух плоскостей есть цилиндр. Она эквивалентна вырезанию из плоскости замкнутого круга. Сшивка с плоскостью всегда эквивалентна удалению некоторого "круга" и увеличению количества дырок пространства на единицу.

Сшивка тора с любым пространством прибавляет ее число Эйлера (количество ручек) на единицу.

Областью сшивки двух пространств размерности 3 могут выступать любые их изоморфные двумерные границы. Сшивка может происходит двумя способами по количеству сторон границы.

Полезность рассмотрения не аффинных пространств в том, что позволяет непротиворечивым образом внести в теорию источники поля - элементарные частицы – как топологическая особенность пространства. Элементарная частица – это некоторое минимальное не тривиальное не "нулевое" подпространство с особой топологией, связанное со всеми остальными через "сшивку" как через окно (с этой точки зрения все топологическое пространство само по себе уже является одной элементарной частицей). В аффинных пространствах источники поля не могут существовать без принятия дополнительных предположений типа существования особых точек или объектов типа "материальной точки" как источника поля. Сингулярная точка заменяется сшивкой с таким сшивочным пространством, в которой линии поля не замыкаются в точке.

Например, элементарную материальную точку можно определить как "сшивочное" подпространство, эквивалентное топологически богатому пространству над сферой. С этой точки зрения, сама м.т. и ее дополнение (пространство над ним) топологически эквивалентины. С другой стороны, м.т. в любом пространстве можно интерпретировать как топологически менее богатую выколотую точку в ней. Еще один топологически эквивалентный вариант интерпретации материальной точки – 3-мерный цилиндр с одной осью. Варианты: предельные точки этих структур могут обладать разной топологической структурой.

Подозреваю, что эти топологические структуры не могут быть получены как решение ни одной физической теории, а могут быть только заданы как некие граничные условия соответствующей задачи, точно также, как решением сферически симметричных  решений уравнений ОТО не является черная дыра – она является только решением уравнений ОТО в пространстве с соответствующей топологией типа "выколотой точки". Внешняя граница этого пространства может существовать, а может быть сшита со структурой "выколотой точки".

Ссылка на этот материал: global'nyye-svojstva-prostranstva.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 15 / "пятнадцать" =

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 04 ч 18 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:2
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 2