-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: January 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: krivolinejnyye-sistemy-koordinat.htm)

Криволинейные системы координат

Кроме пространств с декартовой с.к. и расстоянием, существуют и другие достаточно простые и для некоторых задач очень полезные с.к. Такими являются косоугольные, полярные, цилиндрические и сферические с.к. В их основе лежит ортонормированное 3-мерное евклидово пространство. За исключением косоугольных, они все ортогональные. Но, несмотря на свою ортогональность, это все же пространства с криволинейными с.к. и являются объектами римановой геометрии. Геометрия такого пространства определяется полевой метрической функцией gij:

ds2 = gij dqi dqj = dqi dqi.

Риманово пространство в общем случае не является плоским. Например, сфера при любой наложенной на нее с.к. является римановым и в каждой своей точке имеет глобальный радиус кривизны. Ее нельзя изометрически отобразить на плоскость, но ее можно отобразить в 3-мерное евклидово пространство.

Можно назвать следующие достаточно простые криволинейные двумерные с.к.: параболические, гиперболические, эллиптические, бицентрические, биангулярные, заданные на евклидовом плоском пространстве. На их основе можно определить евклидовы трехмерные цилиндрические и круговые смешанные с.к.

Кроме ортогональных, имеются и другие с.к. Не ортогональные системы криволинейных координат, кроме косоугольной, мы рас­сматривать не будем.

Сразу сделаем важное замечание: тензорное исчисление в криволинейном пространстве определено как для риманова пространства, с применением псевдотензора аффинной связности. Но условности формы записи являются общими. Такими условностями являются форма записи индексов, записи координат точки, частных производных по координатам и др. Изменяются некоторые определения – производных и параллельного переноса.

В физике кроме трех однородных координат используется еще одна координата – координата времени t, и соответственно, вместо евклидовых пространств используются псевдоевклидовые пространства. От евклидовых они отличаются тем, что среди диагональных элементов тензора метрики появляется элемент с отрицательным значением, соответствующий координате времени с индексом 0: g00 < 0. В силу абсолютности координаты времени в классической физике 1-мерная координата "время" обычно принимается как равномерная  в метрическом отношении координата.

С добавлением координаты времени, по отношению к пространству и времени криволинейные с.к. можно разделить на три класса – статические, динамические и произвольные. Статические криволинейные с.к. не изменяют своих свойств во времени, время при этом является однородной координатой Пространства. Динамические с.к. изменяют свои геометрические свойства и во времени. Среди динамических можно выделить равномерно движущиеся и вращающиеся с.к. и равноускоренные с.к.

В произвольных с.к. может изменяться и масштаб времени в зависимости от точки пространства. В классической физике, в силу абсолютности координаты времени, координата времени не акцентируется как равноправная с пространственными. Но в релятивистской физике координата времени является равноправной с пространственными с индексом 0 (или 4 – на выбор авторов).

Через понятие криволинейных с.к. и ее обобщение – риманово пространство - определяется свободное движение материальных объектов механики общей теории относительности (ОТО). Именно оно и является одним из основных понятий общей теории относительности Эйнштейна и основой для ее законов.

1.  Общие положения

До сих пор положение точки в пространстве мы опре­деляли ее координатами х = ОX = (x1, x2, x3) относитель­но некоторого неподвижного ортонормированного базиса (e1, e2, e3) с началом в точке О, причем числа x1, x2, x3 являлись пря­моугольными декартовыми координатами точки X. Во многих случаях бывает полезно определять положение точки в пространстве не тремя декартовыми координатами x1, x2, x3, а какими-нибудь тремя другими числами u1, u2, u3 которые более тесно связаны с рассматриваемой задачей. Именно этот переход позволяет определить понятие криволинейной с.к.

Будем предполагать, что отображение (x1, x2, x3) ® (u1, u2, u3) взаимно однозначно. Таким образом определенные новые координаты называются криволинейными координатами точки X. Поскольку всякой точке X соответствуют координаты xi и ui, то каждая из этих координат являются функциями от значений координат в другой с.к.:

(1)

 
xi = xi(u1, u2, u3) ): i Î{1,2,3}

ui = ui(x1, x2, x3): i Î{1,2,3}.

В общем случае к этому преобразованию можно предъявить только одно условие: ее биективную однозначность в области определения координат xi и ui. Криволинейность предполагает не общие (произвольные) преобразования координат, а достаточно гладкие:

1)      исходная с.к. {x1, x2, x3} должна быть метризованной, иначе нечего говорить о ее линейности;

2)      гладкой, что предполагает ее непрерывность: близкие точки имеют близкие координаты, кроме, возможно некоторых "граничных" точек;

3)      функция метрики также должна быть гладкой, непрерывной, кроме, возможно некоторых "граничных" точек.

Суть криволинейности заключается в том, что произвольный вектор, перенесенный параллельно самому себе в другую точку пространства, будет иметь другие координаты. А в декартовой с.к. координаты вектора при этом не изменяются. Для определения операции параллельного переноса в них уже будет применяться более сложная процедура, которая использует понятия метрического тензора и/или псевдотензора метрической связности. В общем случае эти пространства невозможно отобразить на евклидово пространство с декартовой с.к. с сохранением метрических отношений.

Как известно из курса математического анализа, для того чтобы соотношения (1) были разрешимы относительно xi и ui,, т. е. чтобы из них можно было вывести формулу (2), необходимо и достаточно, чтобы якобиан

(2)

 
был отличен от нуля.  Точно так же должен быть отличен от нуля и определитель

(3)

 

В дальнейшем будем всюду предполагать неравенство нулю этих определителей и считать функции (1), опре­деляющие связь между декартовыми и криволинейными коор­динатами точки X, по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемыми.

Выясним геометрический смысл криволинейных координат. Рассмотрим уравнение

(4)

 
u1(x1, x2, x3) = C1,

где C1 = const. Из алгебры известно, такое уравнение в пространстве определяет поверхность, причем форма этой поверхности не обязана быть плоской. При различных значениях C1 полу­чаем некоторое семейство поверхностей. Аналогично уравнения

u2(x1, x2, x3) = C2,

u3(x1, x2, x3) = C3,

являются уравнениями двух других семейств поверхностей. Если точка X имеет координаты (u1, u2, u3), то это означает, что она лежит на пересечении трех поверхностей, взя­тых по одной из каждого семейства (рис. 2). Указанное выше отличие от нуля определителя является гарантией того, что три поверхности из разных семейств пересекаются в одной и только в одной точке.

Рис. 2

Назовем поверхности указанных трех семейств координатными поверх­ностями.

Если рассмотреть по­парное пересечение по­верхностей разных се­мейств, то получим коор­динатные линии. Через каждую точку X проходят три координатные линии. Вдоль координатной линии, которая является пересечением, u2-по­верхности и u3-поверхности, изменяется лишь координата u1, а u2 и u3 остаются постоянными. Эту координатную линию будем называть линией u1. Аналогично определяются координатные линии u2 и u3. Легко видеть, что координатные линии будут, вообще говоря, кривыми линиями. Отсюда и происходит название «криволинейные координаты».

Найдем векторы, касательные к координатным линиям криволинейной системы координат, проходящим через неко­торую точку X. Параметрические уравнения координатных линии ui, которые проходят через точку X0(u(0)i), записываются в виде

(6)

 

(5)

 

Как известно из курса анализа, касатель­ными векторами к координатным линиям ui в точке X0 будут вектора исходного базиса

который мы обозначим через x(0)ji. Отсюда легко показать неравенство нулю определителя, стоящего в правой части соотношения (2), которое равносильно линейной независимости векторов x(0)ji, x(0)ji, x(0)ji для любого j.

Криволинейная с.к. (1), полученная на основе декартовой, является только частным случаем множества криволинейных с.к. Еще более частными случаями являются криволинейные с.к. только с диагональными элементами в метрическом тензоре Такие  криволинейные с.к. называются ортогональными. Рассмотрим несколько примеров криволинейных ортогональных систем координат.

2.  Косоугольная с.к.

Косоугольная с.к. не является ортогональной, но она является одной из простейших криволинейных систем координат. Она отличается от декартовой тем, что оси координат в ней расположены не под прямым углом друг к другу. Ее тоже можно рассматривать как частный случай криволинейной системы координат. Координатными поверх­ностями здесь служат плоскости, параллельные координатным плоскостям (x1-поверхно­сти — плоскости, параллель­ные плоскости x2Ox3: x1 = const, и т. д.). Координатными линиями служат прямые линии, параллель­ные осям координат (напри­мер, координатные линии x1 — прямые линии, удовлетворяющие условию xi = 0: (i Î {1..n}) & (i ¹ 1), и т. д.).

Метрический тензор такого пространства не диагональный и даже не единичный, но симметричный. В ней учитываются как неортогональность координатных линий, так и их коэффициент растяжения. Для 3-мерного пространства метрический тензор имеет вид:

(8)

 

(7)

 

где ki – метрические коэффициенты для осевых линий косоугольной с.к. (коэффициенты Ламе). Метрические коэффициенты не зависят от координат.

Зная коэффициент растяжения координатных линий косоугольной с.к. (диагональные элементы метрического тензора), можно легко определить коэффициенты Ламе ki осевых линий с.к. Затем по значениям смешанных метрических коэффициентов и предположения о положительности коэффициентов ki, мы можем определить и углы между осями координат. При положительности смешанных коэффициентов мы имеем тупоугольную с.к.: для всех углов j: 0 ≤ j(xi, xj) ≤ π/2. При отрицательности всех смешанных коэффициентов мы имеем остроугольную с.к.: для всех углов j: π/2 ≤ j(xi, xj) ≤ π. В остальных случаях необходимо проанализировать тип угла между соответствующими осями координат.

Т.к. произвольное метрическое пространство можно локально приблизить касательным косоугольным пространством той же размерности с той же метрикой, мы можем определить метрические параметры локальной с.к. для бесконечно малой окрестности любой точки любого пространства.

В декартовой косоугольной системе координат {x,y,z}: Gkij ≡ 0, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.

3.  Полярная с.к.

Полярная с.к. определяется на двумерной плоскости. Преобразования координат из евклидовой в полярную осуществляются с помощью уравнений

Например, на следующем рис. 3 точка A с координатами (xA, yA) получает новые координаты (jA, rA), где rA – расстояние от начала координат, jA – угол поворота линии OA от оси абсцисс x:

Рис. 3. Полярная система координат.

Координата r может принимать только положительные значения, координата j - значения от 0 до 2π.

Обратные преобразования координат получаются системой уравнений

(9)

 

Неоднозначность определения угла j снимается учетом знака при координате y: при положительном значении угол выбирается в пределах от 0 до π, при отрицательном - от π до 2π.

Метрика пространства с полярной с.к. определяется матрицей:

(10)

 

Символы Кристоффеля , а все остальные равны нулю.

4.  Цилиндрическая с.к.

применяется в трехмерном евклидовом пространстве. При этом одна из ее плоскостей, например, определяемая осями x1 и x2, параметризуется в полярной с.к, а все остальные точки пространства получают координату, равную расстоянию от этой плоскости до нее. Координатные оси цилиндрической с.к. обычно обозначаются как r, j и z. О.д.з. координат r и j и решение проблемы неоднозначности угла j те же, что и для полярной с.к., о.д.з. координаты z от -¥ до +¥. Координата j точек, принадлежащих оси z, неопределенна, и ей можно приписать любое значение.

Легко видеть, что координаты r, j и z связаны с прямоугольными декартовыми координатами x1, x2, x3 точки М соотношениями

(12)

 

(11)

 

и, обратно,

Определитель  в этом случае будет вычисляться следующим образом:

(14)

 

(13)

 

Отсюда ясно, что этот определитель отличен от нуля всюду, за исключением прямой r = 0, которая совпадает с осью z. На этой прямой нарушается взаимная однозначность соответствия между точками и их цилиндри­ческими координатами.

Координатными поверхностями в цилиндрической системе координат служат: r-поверхностями — круговые цилиндры с общей осью z, j-поверхностями — полуплоскости, ограниченные осью j, z-поверхностями — плоскости, параллельные плоскости r и j, Название "цилиндрическая система координат" как раз и объясняется тем, что среди ее координатных поверхностей имеются цилиндрические поверхности.

Метрика пространства с цилиндрической с.к. определяется матрицей:

В цилиндрической системе координат {r, j, z}: . Остальные равны нулю.

5.  Сферическая с.к.

Для определения сферических координат зададим три числа r, q и j, определяющие положение точки М в пространстве, следующим образом:

Рис. 4.

r — расстояние от начала координат О до точки М,

q — угол между вектором e3 и радиусом-вектором точки М,

j — угол между положительным направлением оси e1 и проекцией радиуса-век­тора точки М на плоскость Oe1e2 (рис. 4).

Эти три числа называются сферическими координатами точки М. Нетрудно видеть, что сферическая с.к. очень похожа на с.к. на географических картах поверхности Земли (см. рис. 24). Действительно, углы (π/2 - q) и j — это географические широта и долгота точки М на сфере с центром в точке М и радиусом ОМ.

Координата r может принимать только положительные значения, координата j - значения от 0 до 2π, координата q (от северного до южного полюса) - от 0 до π. Проблема неоднозначности угла при прямом преобразовании решается с учетом знаков значений декартовых координат точки.

Легко установить связь между сферическими и прямо­угольными декартовыми координатами точки:

(17)

 

(16)

 

(15)

 

и, обратно,

Определитель  в этом случае будет равен . Также, как и в цилиндрической с.к., координата j точек, имеющих координату y = 0 или π, неопределенна, и ей можно приписать любое значение. Он обращается в нуль только при значениях координаты q = 0, в точках которой нарушается взаимная однозначность соответствия между декартовыми и сферическими координатами.

Метрика пространства со сферической с.к. определяется матрицей:

В сферической системе координат {r, q, f}: G122 = -r, G133 = -rsin2q,  G121 = G112 = G113 = G131 = 1/r, G233 = -rcosqsinq , G323 = G332 = ctgq. Остальные равны нулю.

 

Ссылка на этот материал: krivolinejnyye-sistemy-koordinat.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 23 вычесть 6 =

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 05 ч 19 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:3
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 3