-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: January 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: tenzornyye-svojstva-parametrov.htm)

1.  Тензорные свойства

1.1       Тензоры и скаляры. Скалярное произведение, площадь и объем

В математике и физике широко пользуются тензорным исчислением, в которой понятия "скаляр", "вектор" и "тензор" являются широко употребляемыми объектами. При этом необходимо помнить, что тензоры сами по себе определены в линейном векторном пространстве или в конкретной точке произвольного метрического пространства. Примером линейного векторного пространства является евклидово пространство. В ней тензоры, определенные в произвольной точке, являются сравнимыми. Тензоры, определенные в соседней точке произвольного риманова пространства, уже являются другими, не сравнимыми тензорами. Для применения тензорного исчисления в произвольном римановом (в т.ч. в пространстве с криволинейной с.к.) необходимо пользоваться более сложной математикой с применением псевдотензоров аффинной связности пространства, а сравнивать тензоры можно лишь в ближайшей ее окрестности.

Под понятием "скаляр" понимается параметр, не меняющий своего значения при преобразованиях координат, но изменяющий свое значение от точки к точке.

Под понятием "скалярная функция" обычно понимается одномерная функция координат пространства. Но это не является абсолютным ограничением для нее: под скалярами можно понимать и многомерные математические объекты, в частности, векторы, матрицы, определенные в другом, независимом от рассматриваемого пространстве. Их можно назвать тензорными скалярами. Единственное требование – их неизменяемость при преобразованиях координат. В качестве скаляров могут применяться тензоры дополнительного абсолютного пространства. Пример – несколько скалярных функций как многомерная скалярная функция.

Схожее понятие – "константа". Но константа в рамках рассматриваемой теории не является функцией координат и вообще ни от чего не зависит. Но … Она может менять свое значение от теории к теории, от одного варианта ее к другой. Пример константы в математике – число π = 3.1415…, или постоянная Планка в физике h – постоянная Планка, равная 6,63…×10-34 Дж×с. Или еще пример – масса рассматриваемого в задаче м.о. Число π вообще ни от чего не зависит. Постоянная Планка и масса м.о. зависят от применяемой системы единиц измерения, как и любая другая не скалярная физическая константа с не пустой единицей измерения.

"Тензор" отличается от скаляра тем, что изменяет свое значение не только от точки к точке, но и вполне определенным образом при преобразованиях координат. Можно, конечно, придумать и другие объекты, которые при преобразованиях координат изменяются также вполне определенным и логически непротиворечивым и обоснованным, но уже не тензорным, образом.

Под понятием "тензор" обычно понимаются объекты типа "вектор", "матрица", другие многоиндексные объекты произвольной валентности с размерностью, равной размерности n рассматриваемого пространства. Валентность – это количество индексов при элементах тензора:

T = Ti..jk..n,

где i .. j, m .. n – индексы тензора,

n – последовательный номер последнего индекса n,

Ti..jm..n - компоненты или элементы тензора.

Как видно, тензоры записываются с использованием верхних и нижних индексов. Верхние индексы называются контравариантными индексами, нижние – ковариантными.

Кроме понятия "валентность" применяется также понятие "ранг" тензора. Ранг тензора определяется двумя целыми числами, определяющими соответственно количество контра- и ковариантных индексов тензора, например, для предыдущего случая Rang(T) = (nj, nn), где nj - количество контравариантных индексов тензора T, nl - количество ковариантных индексов тензора T. Тогда валентность Val(T) определяется как сумма этих параметров тензора.

Тензор полностью определяется значениями своих элементов. Их количество равно nk, где k – размерность, n – валентность тензора. В некоторых теориях максимальная валентность тензоров также ограничивается размерностью пространства. Если валентность тензоров ограничена размерностью пространства, то числа Клиффорда являются одним из претендентов на полное функциональное определение структуры тензорных параметров. Числа Клиффорда представляют собой алгебру, определенную на всех тензорах пространства c валентностью от 0 до k.

Для любого тензора определены операции покомпонентного сложения, прямого и скалярного произведений тензоров. Сложение есть прямое поэлементное сложение элементов тензора с одинаковыми индексами, при этом ранг тензора не изменяется. Прямое произведение есть простое поэлементное умножение тензоров, при котором общий ранг получившегося тензора будет равен сумме рангов участвующих в произведении тензоров, а индекс элемента конечного тензора – перечислению индексов участвующих в произведении элементов тензоров в порядке их участия в произведении. Скалярное произведение есть свертка по смешанным индексам тензора или участвующих в произведении тензоров. Для двух векторов A и B это произведение записывается так:

(2.1а)

 
A × B = Ai × Bi = A0 B0 + A1 B1 +…+ An Bn .

Понятия скаляр и тензор, определенные выше, являются относительными. По отношению к одним пространствам объект может быть скаляром, по отношению к другим – тензором. Например, если в пространстве определены абсолютные подпространства, то объекты одного из них по отношению к другим будут скалярами, а по отношению к самому себе – тензором.

Разница между верхними и нижними индексами проявляется при преобразованиях координат и базовых векторов аффинного пространства. Эта операция в тензорном анализе занимает ведущее место и для контравариантного вектора Ai определена с помощью уравнений:

Это уравнение является линейным выражением новых координат вектора A'i в новой системе базовых векторов, gij – тензор или матрица линейного преобразования. Для произвольного контравариантного тензора Aij..k эти преобразования необходимо применить к каждому индексу исходного тензора:

A'ij..h = gikgjl...ghmAkl...m.

Для ковариантного вектора формулы преобразования определяется уравнением:

Тензоры обладают замечательным свойством – если некоторый тензор (или его свертка) имеет нулевое значение, то при любых преобразованиях координат это его свойство сохраняется. В частности, если существует операция свертки вектора и векторное поле обладает всюду нулевой нормой, то при любых преобразованиях координат оно будет обладать этим свойством. По этому признаку векторные поля можно разделить на два типа – 1) вещественные (или конвективные – если речь идет о скорости) – при ненулевой норме и 2) волновые - при нулевой норме. У вещественного векторного поля локальным преобразованием координат все пространственные элементы можно обнулить, у волнового – невозможно. Для волнового вектора это означает его полное обнуление, что невозможно. У вещественного векторного поля локальным преобразованием координат временной элемент невозможно обнулить, потому что обычно на величину нормы накладывается ограничение на ее положительную определенность.

Для тензоров ортонормированного евклидова пространства нет необходимости различать верхние и нижние индексы и скалярное произведение можно определить для одного, например нижнего, индекса. При этом перед каждым членом свертки необходимо поставить знак "+" или "–", называемый сигнатурой нормы вектора пространства:

A × B =

(2.1б)

 
 Ai × Bi = ±A0 B0 ± A1 B1 ±…± An Bn..

1.2       Метрика

В общем случае для определения скалярного произведения определяется метрический тензор gij либо непосредственно (2.2), либо способом, выраженным формулами (2.6) – (2.8), через которую определяется операция поднятия–опускания индексов:

(2.2)

 
Ai = gij Aj.

и уже через нее определяется скалярное произведение – свертка вектора с самим собой (с обобщением – произвольного тензора по паре смешанных индексов):

(2.3)

 
Ai Ai = Ai (gij Aj) = Ai (gij Aj) = gij Ai Aj.

и свертка дифференциала по координатам – квадрат интервала или расстояния:

(2.5)

 

(2.4)

 
ds2 = dqi dqi = gij dqi dqj.

Свойством метрического тензора является ее ортогональность самому себе:

gijgjk = dik .

Отсюда следует, что gij и gij – взаимно обратные матрицы.

Особенностью метрического тензора физического пространства-времени является то, что она должна иметь определенную сигнатуру – последовательность знаков "+" и "–" диагональных элементов, что должно быть видно в знаках ее диагональных элементов. Эта сигнатура соответствует сигнатуре нормы вектора ортонормированного пространства Минковского:

(2.5)

 

Координатные оси с положительной сигнатурой метрики называются
времениподобными, с отрицательной – пространственноподобными осями.

Замечание. Здесь и далее условимся, при применении тензорного исчисления в аффинном пространстве, тензоры Tij..kl.. и другие тензоры, кроме метрического gij, в т.ч. скаляры, в отличие от дифференциала dqi и некоторых других операторов, считать функциями координат qi аффинного пространства, или тензорными полями:

Tij..kl.. = Tij..kl..(q).

Постоянный метрический тензор, в отличие от других, обладает особым свойством во всем аффинном пространстве. Только в этом случае частные производные любого порядка тензорных полей обладают тензорными свойствами. Это связано с особой объединяющей ролью метрического тензора. В противном случае необходимо будет пользоваться тензорным анализом в римановом пространстве.

Через свертку тензоров для произвольно размеченного пространства можно определить понятия "одновременность", "локальное время", "собственное время", "расстояние" и "интервал", а также другие скалярные параметры. Например, линейный геометрический параметр вдоль произвольного направления может быть определен через метрический тензор gij:

ds2 = gijdqidqj .

Линейный геометрический параметр может быть определен и через векторное поле Vi:

dt = Vidqi .

или с использованием метрического тензора:

dt = Vigijdqj .

Для элементарного объема пространства, построенного на элементах дифференциала всех осей координат dq1,…dqn, определяется его объем. Объем определяется через полностью антисимметричный тензор ранга n Vin:

(2.10a)

 

 
dnV= Vindq1 · … · dqn .

Это определение объема является инвариантным скаляром. С другой стороны, этот же объем можно определить по формуле

(2.10б)

 

 
dnV= gdq1 · … · dqn ,

где g = |gij| - детерминант метрического тензора. Функция g называется скалярной плотностью пространства в текущей с.к.

Кроме скалярного полного объема можно определить ориентированные объемы меньшей, чем полная, размерности. В качестве таких параметров, определяющих свойства пространства, определяются понятия "площадь элемента плоскости" Sij, "объем элемента пространства" Vijk, "объем элемента пространства–времени" Vijkl и другие тензоры более высокого ранга Vil вплоть до максимального, равного размерности пространства, построенные на векторах Ai · … · Bl:

(2.11)

 

 
V = VilAi · … · Bl .

При этом валентность тензора Vil должна быть равна размерности пространства. Еще одно его свойство – антисимметричность по любой паре индексов. А также тесная связь с метрическим тензором (см. Алгебра Клиффорда как кандидата в источник формулы (2.11)).

Несмотря на независимое определение этих параметров, они в конце концов являются производными от метрического тензора через понятия "проекция вектора на вектор" (скалярное произведение) и "высота вектора над ориентированным объемом меньшей размерности" (для второго вектора – высота, для третьего вектора в 3-мерном пространстве – векторное произведение и т.д.).

1.3       Тензорное поле. Частные и ковариантные производные

Все, что мы определили выше, применимо к тензору в одной точке произвольного риманова пространства или тензорному полю во всех точках евклидова (аффинного) пространства с постоянной метрикой. Для тензорного поля векторного евклидова (аффинного) пространства можно определить ее частную производную обычным образом. При этом этот объект становится обычным тензорным объектом с одним дополнительным ковариантным индексом, обычно отделенным от других запятой. Например, градиент векторной функции Ai равен:

В случае произвольного риманова пространства градиент тензорной функции уже не будет являться тензором. Это связано с тем, что при перемещении вектора в римановом пространстве параллельно самому себе изменяются локальные значения его элементов. Для учета таких эффектов в пространстве с произвольной разметкой определяются тензоры связности пространства Гijk. Другое их название – символы Кристоффеля.

Тензоры связности дают информацию о параллельности векторов (и вообще равенстве тензоров) в двух близких точках пространства (через параллельный перенос векторов) и с их использованием определяются ковариантные производные тензоров:

(2.9)

 
Ai;j = Ai,j - Гijk Ak ,

Ai;j = Ai,j + Гkij Ak .

Изменение вектора Ai при параллельном переносе на элементарном участке dqj определяется по формуле

dAi = -Гijk Akdqj.

Из этой формулы видно, что тензор Гikl симметричен по нижним индексам. Сам тензор Гijk при известной метрике определяется по формуле

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что преобразуются не как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене координат x1, x2, … xn на y1, y2, … xn, базисные векторы преобразуются ковариантно:

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

Штрих означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля преобразуются не как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Из определения символа Кристоффеля можно заметить, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Через параллельный перенос можно определить метрику на геодезических линиях пространства, но нельзя сравнить длины векторов на разных геодезических. Для этого необходим метрический тензор или какая-либо другая инвариантная процедура, которые позволяют поворачивать вектор до любого направления.

 

Ссылка на этот материал: tenzornyye-svojstva-parametrov.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "двенадцать" plus "тринадцать" =

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 04 ч 19 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:2
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 2