-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: January 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: topologiya-koordnnaty-ACO.htm)

Пространство и его топология. Система координат.

Геометрической основой для построения математических моделей Природы и физических процессов в ней в настоящее время являются евклидовы, точнее – метрические пространства Rn. Сама метрика определяется на вещественных числах. Отображения, определенные на Rn, и их характеристики получают при этом определенное физическое содержание. Наиболее важное свойство, которым наделяется пространство, будут аддитивные "пространственное расстояние" \(l = \int_a^b {dl}\) и "промежуток времени" \(t = \int_a^b {dt}\) между любыми ее двумя точками a и b. Очень важным свойством, которым наделяется физическое пространство, является ее локальная "евклидовость". Евклидовость в декартовых координатах определяется метрикой dl2 = dridrj. Отношение между "пространственным" и "временным", а также их отношение к "материальному, физическому" является предметом конкретной физической теории. Материальное тоже обладает свойством аддитивности: \(M = \int_V {\rho dV}\) . Здесь m – не обязательно масса, а некоторый сохраняющийся материальный тензорный параметр типа плотности: .

Наиболее распространенными взглядами на физическое содержание "пространства-времени-материи" являются наиболее противоположные взгляды.

1.      Первое – абсолютно пустое пространство. В нем самом нет ничего материального. Но оно является вместилищем материальных объектов или заполнено всепроникающим эфиром. Пространство, время и материя являются воедино связанными, но независимыми объектами физической теории.

2.      Второе - пространство, время и материя являются неразрывно связанными и взаимно зависимыми объектами физической теории.  

Но оба взгляда в конце концов сходятся в одном: физическое содержание и свойства наблюдаемого нами пространства-времени-материи определяются, во первых, ее общетопологическими свойствами – различимостью ее точек, трехмерностью ее "пространственной" и одномерностью ее "временной" измерений, а во вторых - геометрическими свойствами порядка (дискретность – непрерывность - полнота), вложенности вещества и материи в это пространство, близости (протяженность, длительность, интервал) и равенства. Современные теории проповедуют единство пространства-времени и материи-вещества: материя определяется через топологические и метрические свойства модельного пространства-времени, и, как следствие, пространство и время – это способ существования материи.

У нашего реального физического мира есть еще одно физическое свойство – ее так называемая "квантуемость". Она проявляется в том, что нет масштабной инвариантности физических законов: "маленькое что-то определенное в пространстве-времени-материи" не тождественно "большому тому же, что и в предыдущем случае". Непрерывное "пространство-время-материя" не обладает этим свойством: ее всегда можно изменить масштабно, при этом ее топология не изменится. Отсюда можно сделать вывод: физическое не непрерывно. Следовательно, физическое обладает свойствами дискретности. Возможно, нет ничего "бесконечного": ни бесконечно большого, ни бесконечно маленького ни в пространстве, ни во времени, ни в ее материальности. Все конечно, всему имеется предел. У всего есть начало, у всего есть конец.

Наиболее подходящим для анализа пространством в качестве модели нашей Вселенной являются метрические пространства конечной размерности и гильбертовы пространства, т.к. для них имеются мощные математические методы – дифференциальное и интегральное, тензорное и матричное исчисления, теория групп и алгебры Ли. Квантуемость в таких пространствах можно ввести вторичным квантованием линейных полей либо введением нелинейных полей, специальной дискретной топологической структурой модельного пространства и подбором их групповых свойств. Глобально такие пространства являются многомерными (в пределе - бесконечномерными) метризуемыми римановыми многообразиями, локально – евклидовыми пространствами. Простейшие случаи – ортонормированные евклидовы пространства, в частности, классической механики и СТО. Есть мнение, что Вселенная является компактным топологическим метрическим пространством.

Замечание. По отношению к понятию "метрика" необходимо различать "метрику" и "псевдометрику". Физики часто их не различают. В математике (в частности, топологии) это различение просто необходимо, т.к. они существенно отличаются друг от друга. Метрика предполагает, что между любыми двумя различимыми точками расстояние больше нуля, а в псевдометрике расстояние может быть и положительным, и отрицательным, и нулевым.

Но возможен и совершенно альтернативный "непрерывному числовому" "дискретный" подход – дискретное "пространство-время-материя" со связями в виде "графа состояний" с возможностью вторичной пространственно-временной метризации и материализации графа. Но оба подхода должны давать один и тот физический результат описания нашего Мира.

1.  Топология пространства

Понятие окрестности – фундаментальное понятие топологии. Каждая точка топологического пространства обладает окрестностью. Окрестность точки – это любое подмножество пространства, содержащее эту точку в качестве внутренней. Точка считается внутренней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, принадлежащей этому подмножеству. Точка считается внешней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, не пересекающейся с этим подмножеством. Граничная точка подмножества – это точка, любая окрестность которой пересекается как с этим подмножеством, так и с его дополнением. Для всего топологического пространства можно определить (внешнюю?) границу, если ее можно вложить в некоторое объемлющее топологическое пространство той же размерности или определить предельную операцию, определяющую ее. При вложении топологического пространства в пространство большей размерности все исходное топологическое пространство становится граничной.

Бесконечная убывающая последовательность окрестностей – это последовательность окрестностей, где каждая следующая окрестность является подмножеством предыдущей. Свойство убывающей последовательности – иметь предельное подмножество. Свойство фундаментальной последовательности – иметь предельную точку: для любого значения диаметра d найдется элемент последовательности окрестностей, полностью принадлежащий окрестности этого диаметра. С этой точки зрения евклидово пространство обладает и не фундаментальными последовательностями. Любая точка риманова (в т.ч. и евклидова) пространства имеет фундаментальную последовательность, сходящуюся к ней, в силу своей однородности, хотя некоторые топологические пространства ее и не имеют. Так что решение этой топологической характеристики нашей Вселенной зависит от ее геометрии.

Связность означает, что любые две точки можно соединить непрерывной последовательностью преобразований, в частности - соединить непрерывной линией. Непрерывное преобразование означает, что существует множество преобразований, зависящих от непрерывного параметра u: u Î [umin, umax] такое, что малому изменению параметра u соответствует малое изменение координат преобразовываемой точки: limu'→u dq = q(u') – q(u) = 0. Свойство связности может говорить о возможности существования других несвязных с нашей Вселенных, недоступных нашему взору. О существовании других Вселенных мы можем узнать, только если они каким–либо образом будут связны с нашим пространством. Эта связь может быть топологической и информационной. Физически это означает о взаимодействии между ними. Топологическая связность осуществляется существованием непрерывной линии между точками пространства.

"Информационная связь" осуществляется через общую внешнюю границу этих несвязных Вселенных или другие общие особенности: состояние общей границы является общим достоянием. Общность границы определяется каким-либо биективным отображением "сшивания" их между собой с определением общих приграничных окрестностей. Заметим: невозможно провести непрерывную линию между двумя точками этих двух взаимно несвязных пространств. Включив общую границу в объединенную Вселенную, мы снова получим связную Вселенную, но большую, правда, уже с особенностью. Движение физических объектов через границу невозможно, но перенос информации возможен, т.к. свойства общей границы – общие. Поэтому доступная ГиперВселенная обязана быть связной хотя бы информационно.

Важным возможным свойством пространства (или подпространства) может быть то, что любые точки ее топологически эквивалентны. Это означает однородность и/или изотропность пространства. Однородность означает, что любые две точки пространства непрерывным преобразованием можно отобразить друг в друга. Изотропность означает, что любые две точки пространства непрерывным преобразованием можно переместить на любые две точки пространства, не считая тождественного, и наоборот. Также необходимо, чтобы пространство обладало свойством связности. Возможно, есть подобные свойства относительно любого количества точек пространства. Они называются симметриями непрерывных преобразований топологического пространства.

Кроме непрерывных симметрий, существуют и дискретные симметрии. Биективное преобразование топологического пространства  P:T1 ® T2 в себя называется дискретным, если преобразование P не является непрерывным преобразованием. Пример такого преобразования – отражение.

С точки зрения математики наша Вселенная обладает определенной топологией. Эта топология определяется в 4–мерном пространстве R4, полученном как прямое произведение 3–мерного и 1–мерного пространств R4 = R3×R1. В каждом из подпространств R3 и R1 по отдельности определены сильные метрики, где из r(a, b) = 0 следует a = b, а в общем 4-мерном пространстве R4 классической механики 4-метрика не определена – пространство и время абсолютны и независимы. Первая метрика является билинейной, а вторая – линейной. Причем пространства R3 и R1 однородны, изотропны и не компактны. Как альтернатива - в СТО, ОТО и подобных им теориях - определена только слабая билинейная (или псевдо-) 4-метрика: в каждой точке локально определено квадратично метризуемое псевдоевклидово пространство и имеется "информационный конус" - множество точек, удаленных от начальной точки на нулевое расстояние. Пространство R4 также однородно и изотропно, пространство СТО – не компактно, пространства ОТО и других теорий могут быть и компактными со сложной топологией.

Насчет конечности или бесконечности (компактности) Вселенной идут споры, но для простого обывателя она бесконечна, однородна и изотропна. Из однородности и изотропности Вселенной следует, что она не имеет собственных особых точек, т.е. все ее точки – не граничные. Но это не значит, что у него не может быть предельных граничных точек. У нее, возможно, все же есть топологические особенности, например, существование границы в виде предельных (локальных выколотых и/или бесконечно удаленных) граничных точек различной формы, и от их топологии зависит конкретная глобальная топология Вселенной. Но присоединение этих предельных точек может нарушить или не нарушить свойство однородности и изотропности пространства, и это зависит от топологического способа такого присоединения. Другие типы особенностей – это аналоги односторонних и двусторонних ручек на плоскости, которые можно получить сшиванием нескольких граничных особенностей. Насчет связности – тоже вопрос. По теории Эйнштейна (ОТО) следует, что пространство-время может иметь конечный объем с определенным радиусом и кривизной, т.е. быть компактным связным топологическим пространством.

Определенный вклад в топологию могут внести материальные объекты Вселенной – элементарные частицы, потому что именно они могут оказаться топологическими объектами (особенностями) Вселенной типа выколотых точек. Это определит их дискретность.

Мощность нашего Пространства – континуум. Мощность возможных ее состояний может быть более чем континуум. Но так ли это? Наше Пространство может быть частью более мощного Пространства, и наоборот - более мощное Пространство может скрываться в каждой точке нашего Пространства.

2.  Система координат

Для математического описания происходящих в природе процессов необходимо выбрать подходящее непрерывное топологическое метризуемое пространство R размерности n, возможно не тривиальное и многослойное, которую обозначим через R(k)n, где n – общая размерность пространства, k – количество слоев, и ту или иную систему координат. Под системой координат (далее – с.к.) в общем случае понимают разметку пространства (в частности – пространства и времени) с помощью непрерывных числовых и дискретных (k–слои или k–карта) меток q(k)i, где каждой точке k–слоя пространства соответствует определенное множество (комбинация) n вещественных чисел: {qi}k = (q1, q2, …, qn)k. Эта разметка пространства называется системой координат, а комбинация n чисел каждой точки называется координатой этой точки пространства. Дискретные метки k образуют дискретные слои пространства. Различные слои взаимно не связны, но можно определить информационную связь  между ними. Точки разных дискретных слоев пространства могут быть связаны одинаковыми значениями координат: если координаты на различных слоях совпадают, то это – одна и та же многослойная точка многослойного пространства.

Основные требования к параметризации пространства:

1) топологическая близость и непрерывность параметризации точек с близкими координатами внутри каждой карты;

2) ее однозначность: любой точке пространства должен соответствовать только один числовой набор значений координат на одной из карт, и наоборот, этот набор значений координат может соответствовать только единственной точке пространства на каждой отдельной карте.

В предельно простейших случаях пространство Rn можно определить как прямое произведение n одномерных топологических пространств R1:

Rn: Rn = R1´´R1.

Замечание: Это верно в отношении евклидовых пространств. Если топология пространства сложная, то это верно только локально в ближайшей окрестности точки. Ближайшая окрестность – связная окрестность, не имеющая особенностей, эквивалентная открытому шару или параллелепипеду соответствующей размерности.

Простейшими также являются случаи, когда некоторые из пространств Ri являются циклическими. Такие пространства можно разместить на одной карте. Более сложными являются случаи, когда пространство размерности n является прямым произведением нескольких простейших базовых топологических подпространств меньшей размерности nj:

Rn = Rn1´´Rnj : Snj = n.

Размерность модельного пространства может быть реальной физической характеристикой пространства, а может быть просто удобной математической абстракцией. Если это математическая абстракция, то видимая, ощутимая нами размерность физического пространства будет меньше математической и реальное физическое пространство будет описываться только частью координат математического пространства или какой–то ее "браной" (струной, мембраной и т.д).

Замечание: в дальнейшем мы практически всегда под понятием "пространство" будем иметь в виду многомерное вещественно параметризованное метризуемое пространство с наведенной этими же числами (координата и метрика) топологией с базой открытых шаров или прямоугольников соответствующей размерности. Такая топология уже сама по себе накладывает на свойства пространства довольно сильные ограничения.

3.  Преобразования координат

Система координат является всего лишь вспомогательным средством для описания модельного пространства. Само пространство существует независимо от того, есть ли на ней какая-либо разметка. Никакая исходная разметка не имеет никаких преимуществ перед любой другой допустимой, т.е. все с.к. равноправны и не существует какой–то выделенной с.к. Система координат, полученная путем другой произвольной (но допустимой) параметризации точек пространства равноправна с исходной. Соответственно, законы Природы должны описываться ковариантно во всех допустимых с.о. Между различными параметризациями пространства существует взаимно однозначное соответствие

q'i = Fi(qn):nÎ{0..N}

в области использованных значений координат. Такие соответствия называются преобразованиями координат.

Множество допустимых преобразований координат определяется группой движений пространства, лежащей в основе применяемой физической теории. Для целей математического анализа необходимо, чтобы свойства функции преобразования координат пространства q'i = Fi(qj) в области своего определения описывались непрерывными дифференцируемыми функциями от q такими, что их функциональный детерминант |Fij|, где Fij = Fi/qj, нигде не обращался в нуль, для обеспечения взаимно однозначного соответствия между двумя наборами координатных меток.

Множество всех (любых!) преобразований координат пространства обладает свойствами группы, называемой группой общих преобразований координат. Часто на множество преобразований координат накладываются ограничения. Если эти допустимые преобразования в свою очередь образуют некоторую группу, то эта группа называется группой преобразований пространства. Наиболее естественным ограничением является биективная непрерывность и однозначность такого преобразования. Группа непрерывных преобразований координат обладает одним свойством: окрестность любой точки должна преобразовываться в окрестность этой же или другой точки. Т.е. свойство быть окрестностью точки является инвариантным свойством относительно допустимых преобразований координат. Есть и более общие группы преобразований координат, не оставляющие свойство быть окрестностью инвариантом, но они скорее всего не имеют отношения к физике.

Есть два типа групп преобразований, и любое другое преобразование может быть их композицией. Первая группа – это группа произвольных непрерывных преобразований координат, или (непрерывная) группа движений (группа Ли). Особенность ее – непрерывным движением пространства любую точку (или несколько произвольных точек) с координатами q первоначальной разметки можно совместить с любой другой связной с ним точкой q' пространства. Вторая группа – это дискретная группа движений пространства. Она обычно связана с топологическими (или функциональными) особенностями и симметриями пространства и ее можно идентифицировать с (дискретной) группой преобразований пространства. Преобразование отражения относится к этой группе. К этой же группе можно отнести преобразования между изоморфными несвязными подпространствами (слоями k) и особенностями пространства с их взаимной заменой.

Для топологической эквивалентности пространств необходимо и достаточно, чтобы существовало непрерывное взаимно–однозначное соответствие между всеми точками этих пространств и их окрестностями.

4.  Абсолютные пространства

Замечание: абсолютное пространство (АП) – это не абсолютная система отсчета (АСО). См. далее.

Понятие абсолютного пространства (и абсолютного времени) появилось еще у Ньютона. Основной постулат ньютоновой механики заключается в том, что возможно определение единого времени для всего пространства и единого пространства, а значит и определение расстояний и движения тел относительно системы координат. А.Эйнштейн в статье "Механика Ньютона и ее влияние на формирование теоретической физики" писал: "Основные принципы Ньютона были с логической точки зрения столь удовлетворительными, что импульс к их обновлению мог возникнуть только под влиянием опыта". И еще... "Хотя всюду заметно стремление Ньютона представить свою систему как необходимо вытекающую из опыта и вводить как можно меньше понятий, не связанных непосредственно с опытом, он тем не менее вводит понятие абсолютного пространства и абсолютного времени".... "Именно в этом пункте Ньютон особенно последователен".... "Ньютон понимал, что его законы могут иметь смысл только если пространство обладает физической реальностью в той же мере, как материальные точки и расстояния между ними".

После создания Максвеллом теории электромагнетизма, после того, как возникла новая физическая концепция поля, в котором взаимодействие передается с конечной скоростью (скоростью света в вакууме) возникли диктуемые опытом побудительные причины для изменения основных взглядов на пространство и время.

Для дальнейшего изучения абсолютного пространства надо ввести понятие "слой пространства". Пусть у нас имеется пространство Rn = Rn1´Rn2: n1 + n2 = n с разметками q{1} и q{2}. Базовые подпространства Rn1 и Rn2 будут дополняющими друг для друга базовыми подпространствами пространства Rn. Тогда слой пространства – это подпространство пространства с определенными значениями координат по дополняющему подпространству. Один из слоев можно определить как базу расслоения. Пространство можно разложить на слои как по базовому подпространству Rn1, так по базовому подпространству Rn2. Т.к. пространство Rn можно определить через произведение подпространств Rn1 и Rn2 многими способами, то и разделение пространства на слои можно реализовать многими способами. Слои пространства обладают следующими очевидными свойствами:

1)      все пространство покрывается множеством всех слоев пространства;

2)      слои пространства не пересекаются между собой;

3)      слои пространства изоморфны;

4)      каждый слой пространства параметризуется независимо, но с сохранением непрерывности: близкие точки имеют и близкие координаты, т.е. задана определенная топология близости (базовых окрестностей) по значению координат на каждом слое. Непрерывность параметризации между слоями сохраняется по наведенной топологии базовых окрестностей базовых подпространств.

Но не все пространства обладают всеми этими свойствами. Среди них – только простейшие, полученные как прямое произведение нескольких пространств Rn = Rn1´´Rn2. Например, сферу невозможно разделить на изоморфные слои "по широте" без риска потерять точку. Поэтому сфера не является АП. Но сфера может быть слоем АП. Круг – тоже потенциально элементарный кирпичик АП.

Теперь ближе к абсолютным пространствам. Понятие абсолютного пространства –вполне математическое понятие, и конечно,  очень понятное физическое понятие. В ней вводится множество преобразований координат (или параметризация) с определенными свойствами "абсолютности".

Различные пространства могут отличаться друг от друга своими особенностями в отношении к допустимым преобразованиям координатной параметризации. Одно из них – разложение на абсолютные базовые подпространства. Абсолютность означает, что если две точки q1 и q2 принадлежат одному и тому же слою Rni(q), то и при любых допустимых! преобразованиях пространства эти точки будут принадлежать одному и тому же слою.

Рассмотрим также и вопрос о топологии на этом расслоенном пространстве. Этот вопрос ставится в связи с тем, что каждый слой общего пространства Rn может быть параметризован независимо. Свойство независимой параметризации каждого слоя подпространства означает отсутствие какой–либо связи между точками различных слоев пространства, даже топологической. А нам необходимо эту связь иметь.

Множества слоев Rni параметризованы с помощью координат точек дополняющего подпространства. Параметризация точек q = {qi} каждого абсолютного слоя каждого подпространства Rni производится независимо, но с учетом свойства непрерывности координат точек окрестности.

Тривиальную топологическую связь мы обеспечим требованием близкой параметризации близких точек: любой открытый многомерный координатный прямоугольник является окрестностью пространства. Предположим, что исходные пространства Rni являются топологическими. Прямое произведение этих пространств не наводит автоматически определенную топологию в конечном пространстве Rn, потому что никто нигде никогда не прописал единственного способа распространения понятия "окрестность" на все полученное пространство: оно имеется только для исходных подпространств. Но есть достаточно простой способ определения такой топологии с помощью определения базы. Для этого заметим, что в каждом из базовых пространств уже определены открытые окрестности. Тогда базой окрестностей общего пространства назовем множество O:

On = {On1 ´´ Onj },

где On – окрестность общего пространства,

On1 ´´ Onj – прямое произведение окрестностей составляющих пространств.

Определенная таким образом топология есть стандартная топология в вещественно параметризованном многомерном пространстве размерности n. Точки с близкими значениями координат близких слоев пространства будут считаться при этом близкими. Частным случаем такой базы является база "параллелепипедов", определенная через прямое произведение отрезков (x1n, x2n) по каждой координатной оси.

5.  Метрика в абсолютном пространстве

На каждом из слоев подпространств Rni можно определить метрику (я не буду здесь давать определение метрики), но она действительна только в пределах слоя (т.е. при фиксированных значениях координат по дополняющим подпространствам). Действительно, для любых двух точек на разных слоях этого подпространства можно подобрать систему координат таким образом, что эти "слоевые" координаты будут совпадать и разность координат для этих точек на разных слоях будет равна нулю, т.е нарушается тензорное свойство неравенства нулю ненулевого "вектора координаты" в любой системе отсчета. Несмотря на непрерывность координатной параметризации пространства. Но в пределах слоя две различные точки никаким биективным преобразованием невозможно совместить. Следовательно, в ней можно определить тензоры. Это же доказывает то, что не может быть определена общая операция поднятия и опускания индексов тензоров для взаимно абсолютных подпространств, т.е. общая метрика не определена. Это означает, что нельзя преобразовывать пространство по плоскостям, не являющимся слоями отдельных подпространств. Следовательно, для изучения таких пространств невозможно использовать тензорное исчисление в полном объеме. Отсюда так же следует, что каждое подпространство должно иметь свой собственный набор эталонов (про эталоны смотри отдельную статью). К тому же необходимо иметь способ переноса эталонов из слоя в слой. Примеры – пространства классической ньютоновой и галилеевой механик, в которых определены независимые эталоны длины и времени. Противоположность – пространства СТО и ОТО, в которых эталоны времени и длины связаны скоростью света.

Наличие абсолютных подпространств приводит к некоторому переопределению свойств топологической однородности и изотропности. Пространство однородно, но изотропно только в пределах слоя абсолютного подпространства Rn, причем однородна и изотропна только та часть пространства, которая имеет одинаковые знаки диагональных элементов (сигнатуру) метрического тензора gii и путать при преобразованиях координаты с различными знаками диагональных элементов gii не следует, т.е. непрерывным преобразованием координат совместить две пары точек, разделенные времени– и пространственно–подобными интервалами, нельзя. Разница между этими координатами такая же, как между вещественными и мнимыми числами.

6.  Разделение пространства на абсолютные

Для абсолютного пространства, определенного как прямое произведение подпространств с общей параметризацией координат, не учитывающей наличие абсолютных подпространств, встает вопрос о разделении общего вектора по абсолютным подпространствам. Решение этого вопроса можно выполнить двумя способами:

1–й способ. Не применять общую параметризацию координат изначально, т.е. сразу считать подпространства разделенными друг от друга по условию. Это хороший, кардинальный способ. Есть все основания для этого. Тогда, если из абсолютных подпространств можно выделить главный, базовый, соответствующий нашему зримому и ощущаемому пространству–времени, то все остальные подпространства можно будет интерпретировать как многомерный образ точки выделенного пространства–времени с топологическими и групповыми свойствами дополнительного подпространства, т.е. любая точка базового пространства будет подпространством всех дополнительных измерений.

2–й способ. В любой точке обобщенного пространства определяется некоторое тензорное поле (линейное преобразование) Gnij: i,j Î{1..n}, через которое определяются проекции единичных векторов координатных осей Anj пространства (и составляющих ее абсолютных подпространств) на координатные оси абсолютного пространства через единичные координатные векторы текущей разметки:

(1.12)

 
Anj =  Gnij ej,

Преобразование Gnij не может быть произвольным, а должно быть производной от функции обобщенного преобразования координат q'j = f j(q), производящего разделение абсолютных подпространств друг от друга:

(1.13)

 
Gnij = f'n,j

Здесь ni выделяет группу координатных осей, пронумерованных через индексы i выделяемого n–го абсолютного подпространства, j нумерует измерения всего пространства. Gij и Aj определены не однозначно, а с точностью до произвольных непрерывных преобразований координат в слоях абсолютных подпространств. В структуре Aj элементы вектора, принадлежащие отдельным абсолютным подпространствам, подбором тензора Gnij могут быть расположены последовательно в количестве, равном размерности абсолютного подпространства (условие не обязательное). После этого мы приходим к первому случаю. Для определения дифференциала координат dq' можно написать в соответствии с (1.12) уравнение:

(1.14)

 
dq'i = Gnij dqj.

Если условия (1.13 – 1.14) на Gij соответствуют условию градиентности

Gnij,kGnik,j = 0,

(1.15)

 
то можно проинтегрировать эти уравнения и получить явную новую параметризацию координат пространства (одну из возможных) с разделением их по координатам абсолютных подпространств:

Свобода в определении Gnij соответствует неоднозначности параметризации q'ni. При отсутствии условия градиентности невозможно определить однозначно параметризацию, соответствующую разделению пространства по абсолютным базовым подпространствам.

 

Ссылка на этот материал: topologiya-koordnnaty-ACO.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 20 to increase on "один" equally:

---Load files---
Сегодня - 24_10_2019
Время переоткрытия сайта 04 ч 35 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 2 24 25 26 27
28 29 30 31 1 2 3
(10 231)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:2
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 2