Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: spyecial'naya_tyeoriya_otnosityel'nosti.htm)
Механика 4–мерного пространства. Принципы относительности

1.       Механика 4–мерного пространства. Принципы относительности

4–мерной механикой назовем механику, построенную в 4–мерном пространстве–времени с координатами (t, r1, r2, r3), где t – координата времени, ri – координаты геометрического пространства. В качестве математического аппарата должно применяться тензорное исчисление, а в качестве параметров, описывающих физическую систему – тензоры. Движение м.т. в таком пространстве определяется уравнением движения

ri = ri(t),

а движение сплошной материи, заполняющей пространство, уравнением

где ρ(t, rj)  – поле плотность материи,

vi(t, rj)  – поле скорости материи в пространстве–времени.

При построении 4–мерной механики будем исходить из равноправности 4–мерных координат (точнее, ее дифференциалов) и 4–импульса м.т. Это означает, что они при преобразованиях координат изменяются по одним и тем же формулам.

Классической галилеевой механикой мы назовем 4–мерную тензорную механику на основе группы галилеевых преобразований координат и тензоров (далее – ГПТК), а не классической ньютоновой, потому что она, несмотря на одни и те же принципы относительности, имеет существенные отличия от ньютоновой, хотя бы потому, что в ней не определена энергия м.т. Это связано с особенностями ГПТК в 4–мерном представлении.

Расширенной галилеевой механикой назовем механику, построенную в пространстве–времени, в которой согласованно преобразуются энергия–импульс и координаты пространства–времени в соответствии с расширенными преобразованиями координат и тензоров (РГПТК). Она является линейным расширением галилеевой механики. Областью ее определения являются только малые преобразования координат и импульса–энергии. При этом законы этой механики оказываются очень похожи на законы ньютоновой механики.

Релятивистская механика строится на основе специальной теории относительности (СТО) в пространстве–времени, в которой применяются лоренцевы преобразования координат и энергии–импульса. Является прямым, но уже не линейным, расширением галилеевой и расширенной галилеевой механик. Нелинейность проявляется в появлении нелинейного релятивистского множителя  в определении параметров материальной точки при преобразованиях координат и интегрировании от одного состояния до другого.

Есть разновидность релятивистской механики – СЭТ - Теория Стационарного Эфира. В нем используются преобразования Галилея с релятивистским коэффициентом. 

Основной вопрос, который возникает, когда сравниваются различные типы механик: в чем основная разница между ними? Ответ довольно простой: в свойствах эталонов, которые применяются для проведения измерений в них. А также в том, что только в СТО возможно полноценное применение тензорного исчисления, и с некоторыми сложностями – в ГТО.

Эталоны в галилеевой механике не изменяются при галилеевых преобразованиях координат, т.е. движущиеся и покоящиеся эталоны всегда можно сравнить, и их отношение не изменяется при любых ГПТК. Это связано с абсолютностью пространства и времени. То же самое относительно эталонов ньютоновой механики.

Эталоны расширенной галилеевой механики уже изменяют свое отношение друг к другу при изменении состояния движения, и две одинаковые на первый взгляд объекты будут отличаться в различных состояниях движения. Два одинаковых отрезка в состоянии покоя оказываются различными в состоянии взаимного движения: прямое их сравнение практически невозможно. Это связано с тем, что пространство и время оказываются зависимы друг от друга при преобразованиях, изменяющих состояние движения. То же самое относительно эталонов релятивистской механики.

Другой вопрос: реальны ли изменения метрических свойств предметов при изменении состояния движения? Ответ тоже достаточно простой: они так же реальны, как реальны изменения проекции геометрических отрезков прямых на произвольные оси. На самом деле объект в состоянии любого движения остается самим собой, не изменяется относительно себя: бескоординатное представление объекта является инвариантом. Изменяется только ее координатное представление, ее проекции на измерительные эталоны. Но от этого никуда не денешься: координатное представление с применением эталонов является способом описания, изучения объекта и анализа законов Природы.

Таким образом, принципы относительности определяют свойства эталонов, или, если быть точнее, наоборот, свойства измерительных эталонов определяют принципы относительности.

Обобщение механик.

Кроме типов механик, определенных выше, и соответствующих им эталонов, можно ввести в обиход понятие обобщенных (общих) механик. В определенных выше механиках соответствующие им пространства обладают соответствующими им свойствами однородности и изотропности. Например, обобщением СТО является ОТО (общая теория относительности). Его отличие от СТО, если не вдаваться в вопросы определения гравитационного поля, заключается в том, что локально пространство однородно и изотропно и соответствует СТО. Но глобально оно даже не евклидово, а риманово или псевдориманово. Для каждой из механик можно определить подобное расширение.

2.       Галилеева механика

4–мерная формулировка галилеевой механики заключается в том, что 4–ой координатой будет считаться координата времени t с индексом 0. Пространство представляет собой прямое произведение двух независимых (абсолютных) подпространств P1´P3 – 1–мерного "время" (P1) с координатным представлением t и 3–мерного "3–пространство" (P3 – далее мы ее будем называть просто "пространством") с координатным представлением (r1, r2, r3). Общим координатным представлением является представление в векторной форме (t, r1, r2, r3) или (t, ri) или обобщенной (qi),  Некоторые теории, рассматривающие пространство–время в 4–х измерениях, принимают координату t в вещественных числах, а координаты r – в мнимых числах.

Движение м.т. в этом пространстве происходит по некоторой траектории, параметризованной с помощью скалярного параметра u. С тем, чтобы движение любой м.т. можно было описать с помощью одного и того же параметра u, сам параметр u или дифференциал этого параметра du должны быть определены однозначно и инвариантно для всего пространства:

u = u(q, dq),

du = du(q, dq).

Линию движения, или траекторию, мы будем называть мировой линией, а параметр  u – параметром этой линии. Очень удобно во многих случаях в качестве параметра u принимать координату t, но ее надо каким–либо образом скаляризировать.

В силу абсолютности пространства и времени, в ней определены линейная метрика gi, непосредственно связанная с "временем", и биметрика gij, связанная с 3–пространствомнезависимы. Для построения тензорной механики в ней необходимо будет применять тензорное исчисление с ковариантными производными. Общая параметризация q в пространстве P1´P3 может быть упрощена до независимой параметризации по слоям t и r. При этом линейная метрика gi в евклидовом пространстве вырождается до простейшей: gi = (1, 0, 0, 0). Через нее определяется скалярный параметр  τ мировой линии

= gidt.

Есть различные принципы построения механики на этой основе – это классическая галилеева механика (КМГ) и классическая ньютонова механика (КМН). Галилеева и классическая 4–мерные механики строятся в 4–мерном пространстве–времени с линейной метрикой dτ, в частности с условием dτ = dt в одной из с.к., и 3–мерной биметрикой dl. Особенностью галилеева и ньютонова подходов является то, что в этом пространстве не определена обычная для СТО 4–метрика ds, и то, что в ней время и 3–пространство независимы. В КМН и КМГ пространство и время являются ортонормированными пространствами P1 и P3 по отдельности сами по себе: P1 = (t), P3 = (r1, r2, r3). В классической ньютоновой механике 4–я координата присутствует чисто формально, и рассматривать ее как тензорный элемент можно только в отдельных случаях. Это, скорее просто параметр, чем координата. В СТО пространство–время является пространством P4 = (t, r1, r2, r3), ортонормированным во всех 4–х измерениях, причем время нельзя отделить от 3–пространства, как в предыдущем случае. Ортонормированность координат позволяет не учитывать существование тензора связности пространства–времени и вместо ковариантных производных применять обычные частные производные и дифференцирование.

Группой допустимых преобразований координат КМН и КМГ является группа галилеевых преобразований координат и времени. В качестве метрики в них будут выступать два параметра: dτ – собственное время на мировой линии м.т., и dl – расстояние между двумя точками 3–пространства в одно и то же время. Они обладают свойством инвариантности относительно ГПТК, в отличие от СТО. В них определена обычная тензорная алгебра, за исключением понятия 4–мерного метрического тензора gij и операций поднятия–опускания индекса. Ковариантность или контравариантность индекса тензора определена заранее при ее определении.

На вопрос: являются ли сами координаты тензорами? – ответим так: с точки зрения тензорной алгебры координаты будут обладать тензорными свойствами только для косоугольной (в т.ч. ортонормированной) 4–мерной евклидовой с.о. с постоянно выделенной точкой начала отсчета координат, т.е. для преобразований без трансляции координат и времени. В общем случае нет.

1.1. Четырехмерное тензорное представление галилеевых координат времени и пространства и других параметров м.т.

Под 4–мерным представлением галилеевых координат и времени мы будем понимать определение обобщенной координаты точки с координатой ri в момент времени t: (t, r1, r2 , r3) = (q0, q1, q2, q3), где q0 соответствует координате t, qi: i Î {1, 2, 3}соответствует координате ri. В силу того, что это пространство типа P1´P3, невозможно ввести 4–метрику, через которое определяется операция поднятия–опускания индексов. Поэтому в этом 4–мерном пространстве невозможно пользоваться всеми возможностями тензорного исчисления.

Рассмотрим законы преобразования 4–векторов. Для контравариантных векторов:

(1.1)

где vi0 ~ vi(0) – скорость новой с.о. (обратите внимание на знак "–"!) в старой.

ωij – тензор поворота с.о.

Замечание: здесь и далее мы будем отличать элементы смешанных тензоров валентности 2 по порядку появления верхних и нижних индексов, как элементов матрицы: ωij и ωji – это разные элементы: первый индекс – номер строки, второй индекс – номер столбца. Хотя в тензорном исчислении это вроде бы один и тот же элемент: .

Элемент A0, соответствующий 4–му, временному, элементу вектора, при чисто галилеевых преобразованиях не изменяется:

A'0 = A0.

(1.2)

Пространственная часть контравариантного вектора при чисто галилеевых преобразованиях (ωij = d ij) получает изменение, зависящее от скорости и временной части исходного вектора:

A'i = Ai + vi0A0.

(1.3)

Матрица преобразования вектора скорости в (1.1) не является симметричной, как обычно принято для ортонормированных преобразований координат. Но этот недостаток в ГПТК неустраним: временная координата не должна изменяться. Но норма этого тензора равна 1, как и должно быть.

Аналогом ковариантного векторного поля является градиент произвольной скалярной функции grad j(q). Для ковариантных векторов, по аналогии с преобразованием градиента скалярной функции, формула преобразования будет следующей:

(1.4)

где +v0i ~ vi(0) – скорость новой с.о. (обратите внимание на знак "+"!) в старой. Здесь не изменяется пространственная часть ковариантного вектора:

A'i = Aj.

(1.5)

Но временная часть изменяется:

A'0 = A0 + v0i · Ai.

(1.6)

Если даже временная часть вектора A0 = A0 = 0, то после ГПТК он может получить ненулевое значение:

A'0 = A0 + v0iAi = v0iAi.

(1.7)

Здесь A0 соответствует 4–му, временному, элементу вектора, или частной производной j/t скалярного поля j(q), Aj соответствует пространственным элементам вектора, или частным производными j/rj скалярного поля j(q). Из этих преобразований видно, что классические векторы (и тензоры) вполне можно заменить их 4–мерными аналогами, в которых четвертая координата с индексом 0 будет соответствовать временному элементу тензора тензорного поля классического пространства–времени и даже более – предпочтительно применять 4–мерное представление тензоров.

Обратно, 4–тензоры в 3–мерном представлении будут представлены целым комплексом тензоров ранга 3 и 1, потому что 4–мерные элементы с индексом 0 теряют этот свой индекс и становятся элементами 3–мерного тензора с меньшим на количество нулевых индексов рангом. Например:

1) скаляр и тут и там будет скаляром;

2) 4–вектор раскладывается на псевдоскаляр и 3–мерный вектор;

3) 4–матрица раскладывается на псевдоскаляр, два 3–мерных вектора и одну 3–мерную матрицу и т.д. Но при ГПТК необходимо учитывать, что эти 3–мерные части  4–тензоров должны преобразовываться специальным образом, учитывающим их фактическую 4–мерность.

Рассмотрим преобразования 4–мерных координат и времени при ГПТК.

1. Трансляция координат и времени:

q' = qq0.

(1.8)

Это преобразование не является тензорным, потому что любой вектор q подобным преобразованием можно обнулить. Но при этом его дифференциал является тензором:

dq'i = dqi.

(1.8a)

Скорость и ускорение остаются без изменения и поэтому тоже обладают тензорными свойствами. Относительно этих преобразований временные элементы скорости v0 и ускорения w0 принимают тривиальные значения при параметризации траектории по координате t: v0 = dt/dτ = 1, w0 = d2t/dτ2 = 0.

v' = v,

w' = w.

(1.9)

2. Линейные преобразования пространственных координат, соответствующие ГПТК (в т.ч. повороту пространственных координат):

r'i = vijrj,

v'i = vijvj,

w' = vijwj.

(1.10)

Здесь vij – пространственные элементы тензора четырехмерного преобразования координат (ГПТК):

Из этих преобразований видим, что 4–мерная координата без трансляции координат, скорость и ускорение ведут себя как контравариантные тензоры. Детерминант этого тензора равен 1, поэтому это преобразование является нормированным, потому что при этом не изменяются никакие объемы пространства и времени. Причем:

vijvjk = δik = E.

В 3–мерном пространстве можно пользоваться тензорным исчислением с группой преобразований поворота и трансляции. Время t является одномерным тензорным пространством и по отношению к 3–пространству обладает скалярными свойствами. В 3–пространстве определена метрика "расстояние" между точками пространства dl:

(dl)2 = (dr1)2 +(dr2)2 +(dr2)2

(1.11)

или в тензорном виде:

(dl)2 = gij · dqi · dqj.

(1.12)

Для ортонормированного 3–пространства:

gij = dij = E.

Как следствие, для 3–мерных тензоров определена операция поднятия–опускания индексов, причем значения элементов контра– и ковариантных тензоров не отличаются (альтернатива – отличаются знаками):

Ai = gijAj = Ai.

(1.13)

Но эта операция определена только для 3–слоя пространства. При ГПТК у элементов с индексом 0 появляется составляющая преобразования, зависящая от скорости с.о. Ее можно учесть при 4–мерном представлении тензоров.

В дальнейшем мы всегда будем производить выкладки помимо 3–х измерений и с точки зрения 4–х измерений и интерпретировать их соответствующим образом.

Под 4–мерной классической механикой мы будем понимать механику, построенную в ортонормированном 4–мерном пространстве–времени, в котором допустимы смещения, повороты с.о. и галилеевы преобразования координат и времени (далее ГПТК):

q'i = Vijqjq(0)i,

где – тензор ГПТК,

q(0)i – смещение начала координат новой с.о. относительно старой,

vi0 ~ vi(0) – скорость новой с.о. относительно старой,

ωij – тензор 3–мерного поворота новой с.о. относительно старой.

Геометрически в случае отсутствия поворотов и смещений координат это преобразование может быть пояснено рис.1:

Рис. 1. Преобразование координат и скорости м.т. в галилеевом пространстве. Скорость объекта, движущейся вдоль оси x в направлении увеличения x со скоростью v, с точки зрения движущегося со скоростью v0 галилеева наблюдателя будет иметь скорость: v’ = cv0.

Рассмотрим, как изменяются при ГПТК дифференциалы координат:

dt' = (t + dt)' – t' = (t + dt) – t = dt,

dr' = (r + dr)i' – r' = ((ri + dri + vi0dt) – (ri + vi0dt)) = dri.

Из этих формул видно, что дифференциалы времени и координат при галилеевом преобразовании не изменяются.

Отличие ГПТК ГМ от КМ в том, что в ней имеется 4 измерения и в принципе нет операции поднятия–опускания индексов, что присутствует в 3–мерной классической механике Ньютона, точнее, в ней верхние и нижние индексы не отличаются или как альтернатива значения с такими индексами отличаются знаками.

Для получения скалярных величин из тензорных необходимо иметь тензоры с сопряженными индексами. Из вышеприведенного мы имеем один такой тензор – тензор преобразования координат. Другими такими тензорами с ковариантными индексами являются все частные производные любых тензорных полей Ti....j с любой комбинацией верхних и нижних индексов: T i....j/ql = T i....j,l. Здесь запятая перед индексом l выступает в роли индикатора частной производной по индексу l. Примером получения ковариантного тензора подобным путем является получение ковариантного векторного поля из скалярного как его градиента. Пусть j – скалярная функция, j/q – его градиент. Тогда:

dj = j,0dt + j,idri = j,i · dqi.

Если имеется определенная траектория движения q(u), то полный дифференциал dj вдоль траектории будет равен:

dj = (j,0dt/du + j,idr/du) · du = (j,0v0 + j,ivi)du,

(1.14)

т.е. градиент dj скалярного поля j(q) обладает свойствами 4–тензора, причем градиент является ковариантным вектором, дифференциал dj – скаляром, а дифференциалы координат dq и "скорость" v = dr/du по параметру траектории – контравариантными векторами. По параметру t дифференциал dj запишется следующим образом:

dj = (j,0 + j,idr/dt)dt = (j,0 + j,ivi)dt.

В частности, таким ковариантным вектором является дифференциал универсального времени t: ∂u/∂qi = t,i = (1,0,0,0).

С 3–мерной точки зрения, градиент скалярной функции j(q) состоит из двух частей (полей): псевдоскалярного поля r(q), изменяющего знак при смене направления времени и свое значение при переходе к равномерно движущейся с.о., и векторного поля Ai(q), не изменяющего свое значение при переходе к равномерно движущейся с.о. Как следствие, при изучении физических явлений с 3–мерной точки зрения необходимо различать природу появляющегося в рассматриваемой физической теории скалярного поля – не является ли он частной производной по индексу 0 другой скалярной функции по времени (элемент вектора с индексом 0) или это истинный скаляр? Эти поля отличаются своим поведением при смене знака времени, наличием/отсутствием связанного с ними векторного поля и изменением своего значения при переходе в движущуюся с.о. Если это "скалярное" поле является такой "производной", то должно существовать еще и связанное с ним векторное поле, и наоборот, с векторным полем может быть связано некоторое "скалярное" поле. Если он является истинным скалярным полем, то у него не будет связанного с ним векторного поля и не будет меняться значение при смене направления времени и переходе в движущуюся с.о. Вполне возможно, что закон преобразования этого псевдотензора окажется не тензорным. Например, классические импульс и кинетическая энергия преобразуются совсем не тензорно – их можно обнулить соответствующим галилеевым преобразованием.

В свете вышесказанного сделаем некоторые замечания насчет роли параметра v(0) в уравнениях преобразования координат. Это зависит от роли параметра t в уравнениях.

Если параметр t участвует как независимый скалярный параметр, т.е. рассматривается 3–мерная механика, то роль v(0) – контравариантный вектор:

r'i = riv(0)it,

t' = t.

Если рассматривается 4–мерная механика, то роль v(0) ~ vi0 – пространственная часть тензора ГПТК:

(q'0, q'i) = (q0, qi) + (0, vi0q0).

В классической галилеевой механике нет аналогов векторным компонентам векторов скорости по направлению движения v0, импульса p0, ускорения w0, силы f0 или они тривиальны (при τ = t):

v0 = dt/dτ = 1,

p0 = m dt/dτ = m,

w0 = dv0/dτ = dv0/dτ = 0,

F0 = d(mv0)/dτ = dm/dτ = 0.

(1.15)

Хотя есть одно исключение, которое было рассмотрено в классической механике – реактивное движение. Но в этом случае с м.т. должен быть связан реактивный векторный параметр направления тяги (m, mu), что противоречит изотропности свойств м.т. Этот вариант заслуживает отдельного рассмотрения.

Основной принцип галилеевой механики (ГМ), или галилеева теория относительности (ГТО): законы механики одинаковы во всех с.о., полученных с помощью галилеевых преобразований координат. Это также означает, что тензорные параметры м.т. при ГПТК также должны преобразовываться в соответствии с ГПТК и м.т. не изменяет своей внутренней структуры. Даже при силовом характере перехода в новую ИСО это правило должно соблюдаться.

1.2. Кинематика м.т.

Основными параметрами м.т. будут его векторные 4–скорость Vi = dqi/dt = (v0, vi), 4–ускорение Wi = (w0, wi) = d2qi/dt2 и 4–сила взаимодействия с внешним миром Fi = (f0, fi). Галилеевы скорость и ускорение по индексу времени принимают вполне определенные постоянные значения: v0 = dt/dt = 1 и w0 = d2t/dt2 = 0. Следовательно, они не могут быть существенными параметрами м.т. и являться предметом изучения. Действительно, в контравариантных векторах с точки зрения ГПТК значимы только пространственные элементы векторов с индексами 1, 2 и 3, элементы с индексом 0 при ГПТК постоянны:

A'0 = A0,

A'i = Ai + vi0A0.

(2.1)

Это также значит, что не должны изменяться и временные элементы любых других контравариантных векторов. Поэтому о временных элементах контравариантных векторов при ГПТК можно забыть. С 3–мерной точки зрения элемент вектора с индексом 0 можно считать псевдоскаляром: псевдо – потому что элемент 4-вектора.

Но кроме контравариантных имеются и ковариантные векторы. В ковариантных векторах значимы только временные элементы вектора с индексом 0, элементы с индексом 1, 2, 3 при ГПТК постоянны:

A'i = VijAj,

(1.17)

где – тензор ГПТК,

v0j ~ v(0)j – скорость новой с.о. относительно старой,

wij – тензор 3–мерного поворота новой с.о. относительно старой.

Для временной и пространственной частей преобразованных ковариантных векторов имеем следующие соотношения:

A'0 = A0 + v(0)jAj,

A'i = Ai.

(1.17a)

 

Это также значит, что не должны изменяться пространственные элементы любых других ковариантных векторов. Поэтому о пространственных элементах ковариантных векторных параметров м.т. при ГПТК тоже можно забыть. С 3–мерной точки зрения элементы ковариантного вектора с не нулевыми индексами можно считать скалярными псевдовекторами. А для 4–мерной формулировки второго закона Ньютона необходимо, чтобы все координаты вошли в нее симметрично и значимо.

Следствием этих свойств векторов является то, что векторные параметры будут описаны полностью, только если заданы сразу оба типа параметров – и в контра–, и в ковариантном исполнении. Но это возможно не всегда. Например, как определить ковариантную скорость?

Скорость v0 = dt/dt в 4–мерном представлении является элементом тензора ранга 2 vij, а ускорение w0 = d2t/dt2 является элементом тензора ранга 3 wijk. Для избавления от подобного неудобства нам необходимо зафиксировать одну эталонную разметку времени пространства–времени и под производной по времени иметь ввиду именно это эталонное время. В галилеевом случае нормированного времени обозначим ее через τ:

τ = t,

dτ = dt.

Роль этого эталонного времени – универсальная скалярная функция координат и времени. Роль дифференциала времени dt в выражениях типа dt/dt: dt в знаменателе – это дифференциал по универсальному времени dτ, а в числителе – это дифференциал dt, соответствующий координате "время": dτ = dt. Далее τ и t мы часто будем отождествлять, с учетом замечания о dt в числителе и знаменателе. При таком допущении скорость и ускорение будут векторами.

Рассмотрим действие силы ускорения на скорость м.т. Под действием силы изменяется скорость м.т. Это значит, что действие внешней силы заключается в малом изменении значения вектора скорости dvi м.т. за время dt, а это есть некоторое малое преобразование скорости, называемое ускорением м.т. Это преобразование определяется тензором gij = E + Aij · dt:

.

(1.18)

Здесь E = dij – единичный тензор,

gij – тензор перевода скорости м.т. из начальной сопутствующей инерциальной в результирующую с.о.,

(A00, A0i) – поле ускорения, задающее малое ПТК, зависящее от скорости м.т. В КМН дает непосредственное изменение энергии м.т. (см. далее),

Ai0 ~ Ai – поле ускорения, задающее малое ПТК, не зависящее от скорости м.т. Назовем такое поле силовым полем ускорения. В КМН дает непосредственное изменение импульса м.т.

Aij – 3–тензор поля ускорения, задающее малое ПТК, зависящее от скорости м.т. Это тензор 3–поворота и деформации вектора скорости. Назовем такое поле вихревым полем ускорения.

Общим выражением действия внешней силы на м.т. будет малое изменение вектора скорости м.т. под действием тензора ускорения Aij:

.

(1.19)

Отсюда делаем обобщающий вывод: действие силы на м.т. заключается в непрерывном преобразовании тензорных параметров м.т., например, скорости. Ограничением на вид тензора Aij при ГПТК является неизменность временного элемента вектора скорости v0 = 1. Следствием этого ограничения при произвольной скорости движения м.т. является равенство нулю составляющих тензора ускорения A0j:

.

(1.20)

Для дифференциала dvi имеем:

dvi = (Ai0v0 + Aijvi )dt.

(1.21)

Это выражение при антисимметричном Aij в точности соответствуют некоторому малому ГПТК и оно есть тензор малого поворота вектора скорости. Такое поле ускорения назовем вихревым. С учетом того, что v0 = 1, имеем:

dvi = (Ai + Aijvj )dt,

wi = dvi/dτ = Ai + Aijvj = Ai + Aijvj.

где wi – ускорение м.т.

Из (1.19) – (1.21) можно сделать вывод, что тензор поля ускорения Aij с антисимметричной пространственной частью полностью соответствует тензору ГПТК. Она не содержит элементы с индексами A0j и пространственная часть тензора Aij антисимметрична.

Замечание: безусловная  антисимметричность всего тензора Aij из вышесказанного не следует.

Здесь необходимо отметить следующее: действие ускорения на м.т. заключается только в том, что изменяется модуль и направление скорости м.т. dr/dt. При этом действие силы на м.т. локально. Если м.т. представляет собой не вращающийся м.о., то действие однородной во всем пространстве силы, ответственной за изменение состояния движения м.о., будет эквивалентно локальному смещению без поворота на dr = vdt м.о. и общему повороту вектора скоростей в каждой отдельной точке м.о. При этом ориентация м.о. не изменится. В неоднородном поле м.о. получит поворот связанных с ним осей.

Рассмотрим действие ГПТК на тензор поля ускорения Aij. При ГПТК элементы смешанного тензора Aij при нулевых значениях элементов A0j, не изменяются, но при этом элементы Ai0 получают приращение δAi0 = Aimvm0:

,

(1.22)

 

 
где vm0 – тензор ГПТК.

Это говорит о том, что силовое поле Ai0 зависит от принятой базовой с.о. и состоит из двух частей – 1) силовой части Ai0 и 2) индуктированной ГПТК части δAi0. Причем отделить эти две части друг от друга невозможно. Существуют с.о., в которой локально силовую составляющую Ai0 можно уничтожить при наличии вихревой составляющей, но вихревая составляющая будет существовать во всех с.о.. Если вихревого поля нет, то в любой с.о. будет существовать только неизменное силовое поле Ai0 ~ Ai.

Полное ускорение, действующее на м.т., будет суммой двух ускорений – статической w' и вихревой w'':

wi = w'i + w''i.

Галилеево взаимодействие м.т. с полем Aij полностью определяется 6 элементами тензора – частью Ai0 (3 элемента) и антисимметричной пространственной частью этого же тензора (тоже 3 значимых элемента). Эти части независимы друг от друга, с точностью до индуктированного от Aij поля δAi0 при ГПТК. Локальное действие поля A на м.т. есть ГПТК – это изменение направления и значения скорости сопутствующей с.о.

Ненулевые составляющие тензора A0j искажают классический смысл скорости v0 = dt/dt = 1 и ускорения w0 = d2t/dt2 = 0 м.т., делают их переменными, а это невозможно в галилеевой механике. Для определения возможности изменения этих составляющих необходимо, чтобы дифференциальные параметры м.т. определялись не через параметр времени dt, а через скалярный параметр τ: Vi = dt/dτ ¹ const. Отличие скорости Vi от галилеевой скорости (v0, vi) состоит в том, что они более полно отражают динамические параметры м.т., потому что в них имеется 4 независимых значимых параметра, определяющих параметры м.т., а в галилеевой скорости – только 3. Но это уже не ГМ: это означает, что скорость течения времени не постоянная и Пространство уже не обязано быть галилеевым.

Рассмотрим, чему соответствует каждая составляющая тензора ускорения.

Смешанная часть тензора ускорения Ai0 воздействует на м.т. независимо от ее скорости. Пространственная часть тензора Aij в общем случае состоит из двух частей – симметричной A(+)ij и антисимметричной A(–)ij. Антисимметричная часть соответствует повороту направления вектора скорости и не изменяет ее абсолютного значения. При таких взаимодействиях новое состояние м.т. всегда можно получить некоторым ГПТК.

Остальные составляющие тензора ускорения – ненулевая часть A0j и симметричная часть ее пространственной составляющей A(+)ij воздействуют на параметры м.т. таким образом, что они не соответствуют никакому ГПТК. А это противоречит ГТО.

Ненулевая часть A0j воздействует на составляющую скорости v0, но эта составляющая при ГПТК не может измениться. Следовательно, A0j = 0. Ненулевая составляющая A0j возможна только в том случае, если dt ¹ dτ. А это соответствует изменению скорости течения собственного времени для м.т. и зависимости ее от направления движения в текущей с.о. Это возможно в случае общей формы линейной метрики τ, но невозможно для галилеева пространства–времени.

Симметричная часть тензора ускорения A(+)ij в отношении м.т. вполне возможна и законна. Но это тоже не галилеево взаимодействие с полем. Таким характером обладают силы трения. С точки зрения преобразований векторов это соответствует деформации векторного поля возможных скоростей м.т. по главным направлениям тензора деформации. По отношению к м.т. это значит: 1) диагональные элементы ответственны за силы сопротивления или разгона; 2) угловые элементы – за сопротивление по одной из диагоналей и разгон по другой диагонали в плоскости, соответствующей паре индексов элемента тензора. В общем случае это соответствует линейным по скорости силам сопротивления или разгона по главным направления A(k)j тензора деформации A(+)ij. Такая система векторов является решением соответствующего матричного уравнения (Aijl(k)dij)A(k)j = 0 в одной из с.о. Тогда:

Aij = AkiAkj,

wi = AkiAkjvj.

где k – скалярный индекс.

Aki = Akj – в текущей с.о. Замечание "в одной из с.о. " говорит о том, что поле Aki задается в одной из возможных систем отсчета.

ВЫВОДЫ. С точки зрения галилеевой механики:

1). Галилеево преобразование координат и времени не связано с изменением их масштабов, т.е. они не подвергаются ни сокращению, ни растяжению.

2) Временные части контравариантных векторов, в т.ч. векторов v0 и w0, p0 и f0, а также пространственные части ковариантных векторов, не изменяются при ГПТК и галилеевом силовом воздействии на м.т. Это очень сильное ограничение, оно определяется математикой ГПТК, а также условием dt = dτ.

3). Галилеево поле ускорения Aij определяет собой малое изменение (ГПТК) скорости м.т.

4). Возможно существование только двух видов полей ускорения – силовой Ai0 и антисимметричный вихревой Aij

wi = Ai0 + Aijvj

при отсутствии у м.т. каких либо других параметров для взаимодействия с полем, кроме факта наличия м.т. и состояния ее движения.

5). При ГПТК силовая часть поля Ai0 получает индуктированную полем Aij добавку +Aimvm0. Пространственная часть поля Aij остается неизменной.

6) Наличие не галилеевых сил (ненулевое поле A0j и симметричное Aij), а также зависимость силовых полей от координаты для любых сил, говорит о том, что ГТО и ГПТК не может определять все многообразие сил Природы. Наличие других сил может говорить о том, что происходит изменение геометрии пространства–времени в евклидовом пространстве, соответствующее силовым полям. Все это не исключает наличие дополнительных не геометрических (во всяком случае не 4-мерных и/или заряженных) сил.

1.3. Динамика м.т. Законы Ньютона в галилеевой механике

Основными параметрами м.т. в динамике являются его масса (заряд), скорость и импульс, ускорение и сила, а также внешнее тензорное силовое поле в форме ее напряженности. Скалярная масса, заряд, скорость, ускорение м.т. и напряженность внешнего поля объединяются в 4–мерные параметры м.т. Скорость и ускорение определены ранее. Импульс, сила и ток определяются следующим образом:

– импульс:

Pi = (p0, pi) = m(v0, vi) = mVi.

(1.23)

 

 
ток:

Ji = (j0, ji) = e(v0, vi) = eVi.

(1.24)

        сила (m = const):

Fi = (f0, fi) = dPi/dt = mWi.

(1.25)

Законы Ньютона остаются в галилеевой механике без изменений.

Первый закон Ньютона и понятие инерциальной с.о.:

Fi = 0 → Wi = 0 & Vi = const.

(1.26a)

Второй закон Ньютона – кинематическое действие силы:

Fi = mWi.

(1.26b)

Третий закон Ньютона для замкнутой системы:

Fnm= – Fmn.

(1.26c)

Но инвариантное определение 4–мерной формулировки второго закона Ньютона с дополнительной координатой t встречается с определенными трудностями, потому что в нее пространственные координаты и время входят не равноправно:

Fi = dPi/dt = mWi,

dPi = mWidt.

(1.26)

В них dt входит в знаменатель, а dr не входят. Было бы правильней, чтобы в это выражение для силы входили производные и по другим, пространственным, координатам:

Fi = Fi(dPi/dqj).

Наиболее просто зависимость такого рода может быть выведена из следующего инвариантного выражения:

dPi = Pij · dqj = PijVj.

(1.27)

Тогда:

Fi = dPi/dqj · dqj/ = Fij dqj/ = Fij Vj.

(1.28)

Здесь Vj = dqj/dτ – скорость м.т. Все, что говорилось о силовом поле ускорения Aij ранее, можно сказать и о силовом поле Fij, в предположении, что m = const.

В выражении второго закона Ньютона (1.26) необходимо понимать разницу между левой и правой частями уравнения. Правая часть уравнения определяет реакцию (ускорение) м.о. на действие внешней силы, а левая часть – расшифровывает эту внешнюю силу к конкретной ситуации. Эта разница определяет возможность существования различных видов сил и зарядов м.о., определяющих чувствительность к воздействию этой силы. На практике это выражается в том, что разные м.т. с одной и той же массой неодинаково реагируют на одно и то же внешнее силовое поле и получают различные ускорения в ней. Оказывается, что это различие определяется различными константами взаимодействия м.т. с силовыми полями: сила взаимодействия определяется зарядами м.т., а ускорение – массой м.т., в соответствии со вторым законом Ньютона:

Fi = mWi = e(k)E(k)i + e(k)E(k)ij Vj + …

(1.29)

где k – индекс заряда и ранг тензора поля напряженности

e(k)k–ый заряд м.т. (в т.ч. и масса m),

Ei, Eij – напряженности силового поля;

Jj = eVj – ток заряда м.т.;

В (1.29) поле Ei выступает как силовое тензорное поле напряженности, взаимодействующее с м.т. через заряд ek. Хотя поле Eij связано с динамикой движения м.т., но при этом ограничение на вид тензора Eij остается таким же, как для поля ускорения Aij, если предположить, что масса и заряд м.т. являются константами. Но если предположить, что масса м.т. или импульс p0 может изменяться, то ограничение на вид тензора силового поля Eij снимается.

В галилеевой механике с переопределением силы можно определить скалярное выражение, аналогичное работе в классической механике Ньютона A:

dA = giFijdqj.

gi – ковариантное векторное поле, аналог галилеевой 4–метрики, определяющее локальное абсолютное время, для галилеевого пространства gi = δi = (1,0,0,0). С учетом этого работу можно записать так:

dA = g0F0jdqj = Fjdqj.

Но в галилеевой механике dA тождественно равна нулю. В ГПТК не определяется работа силы и энергия м.т. и соответственно нет закона сохранения энергии, потому что не определены (или тривиальны) ковариантные скорость и импульс, ускорение и сила, ковариантные элементы векторов с ненулевыми индексами и контравариантные элементы векторов с индексом 0.

1.4. Преобразование скорости при ГПТК

При переходе в равномерно движущуюся с.о. ее скорость преобразуется следующим образом:

(1.30)

Из этого преобразования видно, что при выполнении ГПТК скорости м.т. и новой системы отсчета просто складываются, и новая скорость м.т. будет равна:

v' = vv0.

Это уравнение называется законом сложения скоростей при ГПТК и она применима по отношению к м.т. и с.с., рассматриваемой как состоящей из отдельных элементарных материальных галилеевых объектов. При движении м.т. параллельно ГПТК происходит простое складывание скоростей с соответствующими знаками, а при движении м.т. в перпендикулярном к v0 направлении происходит векторное сложение скоростей с применением закона Пифагора к модулю его скорости: . Найдем угол движения м.т. φ:

sin φ =  v0/v.

(1.31)

Выполним сразу два преобразования галилея – v'ik и v''kj:

v'''ij = v'ikv''kj,

(1.32)

Из этих преобразований видно, что при выполнении сразу двух преобразований скорости систем отсчета опять же просто векторно складываются, и новая скорость м.т. будет равна:

v''' = v – (v' + v''i).

Из этих уравнений видно, что уравнения ГПТК ковариантны относительно смены с.о. для движущейся м.т.

1.5. Уравнение волны в пространстве ГМ

Отдельным широко распространенным типом движения в любом пространстве является волновое движение, характеризующееся некоторой амплитудой A, частотой w колебаний параметра волны и скоростью c движения волны. Рассмотрим уравнение волнового движения скалярной волны вдоль оси x:

A = sinw(tx/c).

(1.33)

Такое движение можно назвать движением волны. Рассмотрим, как изменяется уравнение движения этой волны при галилеевых преобразованиях координат.

1) Сделаем ГПТК со скоростью v в направлении y, перпендикулярном направлению движения волны и посмотрим, что получится:

t = t',

y = y' + vt',

x = x'.

Уравнение волны относительно новой с.о.:

A' = sinw[t' – x'/c] º sinw[tx/c].

(1.34)

Из этого уравнения видно, что поперечная к направлению движения волна не изменяет своей формы: ни эффекта Доплера, ни аберрации не наблюдается. Как фронт волны располагался вдоль оси y и распространялся вдоль оси x, так и продолжает располагаться и распространяться. В уравнение распространения монохроматической волны скорость с.о, перпендикулярная к направлению распространения, не входит. Это также значит, что если волна распространяется в с.с., то для волны безразлично, движется эта среда в направлении оси y или нет. С помощью такой волны невозможно детектировать перпендикулярное к направлению распространения фронта волны движение.

Это также означает, что линейная волна не является галилеевым объектом: она не получает какого–либо параметра, зависящего от поперечной к направлению распространения фронта волны скорости с.о.

Но этот вывод об отсутствии аберрации, конечно, не означает, что эффект аберрации вовсе отсутствует. Потому что это полностью противоречит наблюдаемому косому направлению следов падающих перпендикулярно капелек дождя на стекле движущегося транспортного средства (1.31). Он лишь означает, что фронт волны (именно фронт волны) как был коллинеарным к направлениию движения, так и остался таким же. Но это так, и в этом заключается большая разница между корпускулярным и волновым движениями материи (см. рис. 2a). И для узкого луча света эффект аберрации будет присутствовать в классическом варианте.

 

Рис. 2. Распространение волны при галилеевых преобразованиях координат, перпендикулярных направлению распространения волны: a) в исходной, "покоящейся" с.о., b) в с.о., движущейся со скоростью v в направлении оси y. Линия AA соответствует движущейся с той же скоростью щели на пути прохождения волны.

Но если абстрагироваться от волнового описания процесса распространения волны монохроматической волны, заполняющей все пространство, и выделить (материализовать) с помощью щели достаточно широкий по сравнению с длиной волны кусок фронта волны (см. рис. 2b), то можно видеть, что он распространяется вполне по законам, согласующимся с галилеевыми преобразованиями. Кусочек фронта волны будет двигаться как стержень, движущийся перпендикулярно самому себе и одновременно в направлении, противоположной направлению  движения новой с.о., и иметь скорость c'i = civi. Но какова скорость v? Чисто из наблюдения за фронтом волны до щели эту скорость определить невозможно: она может быть произвольной. И направление движения этого кусочка волны может быть произвольным, в частности, как на рис. 2b после щели AA. Но это направление должно соответствовать скорости движения щели вдоль оси y по отношению к среде, в которой распространяется волна. В данной интерпретации можно сказать, что существует эффект поперечной аберрации: tgφ = v/c (см. рис. 2b). Но этот угол относится не к направлению фронта волны, а к направлению луча волны, прошедшей через щель.

2) Сделаем ГПТК со скоростью v в направлении движения волны и посмотрим, что получится:

t = t',

x = x' + vt'.

Уравнение волны относительно новой с.о.:

A' = sinw[t' – (x' + vt')/c] =

= sinw[t' – vt'/c – x'/c] = sinw[t'(1 – v/c) – x'/c] =

= sinw(1 – v/c) [t' – x'/(cv)].

(1.35)

С другой стороны, при движении новой с.о. в другую сторону уравнение волны будет:

A' = sinw[t' – (x' – vt')/c] =

= sinw(1 + v/c) [t' – x'/(c + v)].

(1.35b)

Эти уравнения движения волны говорят о том, что при продольном ГПТК:

1) изменится скорость движения волны вдоль оси x': c' = c ± v,

2) круговая частота волны изменится: w' = w(1± v/c),

3) длина волны не изменяется.

Эти изменения называются эффектом Доплера и соответствуют классическому эффекту Доплера распространения волнового процесса.   

Процесс распространения монохроматической волны не является единственным случаем распространения волнового процесса. Кроме этого, можно рассмотреть процесс распространения волны от движущегося и покоящегося излучателей волновых процессов. Разница в процессах будет заключаться в том, что источник будет излучать волны определенной, постоянной частоты, и задача будет заключаться в выводе соответствующих формул движения волнового процесса.

Вопрос: соответствует или противоречит это принципу относительности? Если считать, что волна является таким же объектом, что и м.т. и мы можем получать информацию о его состоянии с бесконечной скоростью, то соответствует. Т.е. эта волна является классическим галилеевым объектом, движущимся со скоростью  c - v.

С другой стороны, эта волна может иметь только вполне определенную скорость в определенном направлении движения в произвольной с.о. и эта скорость однозначно определяется ГПТК. Это означает, что в пространстве существует выделенная с.о. относительно которой скорость волны будет симметрична по всем направлениям. С этой точки зрения волна не является классическим объектом – она не может иметь произвольную скорость движения в произвольной ИСО. Принцип относительности не соблюдается.

Как следствие, мы получаем, что в каждой точке должна существовать роза скоростей волны и одна выделенная относительно этой розы с.о., что–то типа абсолютной с.о. (АСО), в которой скорость распространения волны не зависит от направления. Волна не является классическим объектом и пространство для него обладает свойствами АСО и в любой с.о. для него должно существовать векторное поле скоростей связанной с ней АСО или фоновой с.с.

Выводы:

1) М.т. и с.с. являются классическим объектами галилеевой механики.

2) В ГМ отсутствуют операции поднятия–опускания индексов тензоров. Как следствие, в ней невозможно определить ковариантные дифференциалы координат, скорость и импульс м.т., ускорение.

3) ГПТК является ковариантной теорией пространства и времени, но не может быть принята как полноценная теория пространства и времени, потому что основной существенный параметр  механики – кинетическая энергия и работа – в ней не определены.

4) Волновое движение в галилеевом пространстве не является классическим движением объектов галилеевой механики: скорость распространения волнового процесса не может быть произвольной в конкретной с.о. Она по своему определению A = sinw(tx/c) может быть введена только в пространстве со свойствами АСО, или на фоне некоторого "эфира". Аналогом такого волнового движения является распространение звуковой волны в с.с

5) При этом наблюдается классический эффект Допплера,

6) но не имеется аберрации, что противоречит классической волновой теории Гюйгенса. Но имеется механическая аберрация отклонения луча света щелью, например, диафрагмой телескопа. При этом направление движения волны не совпадает с направлением движения фронта волны.

7) При движении монохроматической волны в с.с. классической механики возможна потеря информации о перпендикулярных к направлению распространения фронта волны составляющих скорости с.с. Для нее существенна только продольная к направлению распространения фронта волны скорость движения среды. Очень похоже на некую форму калибровочной инвариантности.

8) В силу того, что не вся информация о сопутствующей с.с. теряется, можно в любом случае восстановить параметры с.с. и АСО, сопутствующей волновым процессам, в опытах со щелями (лучами).

1.6. Отражение волны

1.7. Стоячая волна и резонатор

 

3.       Классическая механика Ньютона

Принципы ньютоновой классической механики практически те же, что и принципы галилеевой механики: однородность и изотропность пространства, однородность времени, их взаимная независимость, существование ИСО. В отличие от галилеевой механики, классическая механика Ньютона строится в 3–мерном пространстве (r1, r2, r3), движение в которой описывается через параметр "время" t: r = r(t). 4–мерное тензорное представление может иметь место, но ограниченное. При галилеевых преобразованиях координат имеют место 4–мерные тензорные преобразования параметров движения м.о – координат, времени, скорости и ускорения, но энергия и работа преобразуются не тензорно.

Еще одним, и очень существенным, отличием ньютоновой механики является наличие у ее объектов особого параметра – энергии. В галилеевой механике ее роль выполняет не изменяющаяся, постоянная масса объекта.

1.1. Представление параметров движения КМН

Основными параметрами м.т., также как и в галилеевой, будут его скалярная масса m, векторные 4–скорость Vi = dqi/dt = (v0, vi), 4–ускорение Wi = (w0, wi) = d2qi/dt2 и 4–сила взаимодействия с внешним миром Fi = (f0, fi). Галилеевы скорость и ускорение по индексу времени принимают вполне определенные постоянные значения: v0 = dt/dt = 1 и w0 = d2t/dt2 = 0. Но в КМН появляются еще три "скалярных" энергетических параметра – 1) кинетическая энергия dK = mvdv, 2) потенциальная энергия U = U(t, r, v) и 3) работа силы на участке траектории dA = Fdr. Причем они появляются так, что совместно с другими параметрами м.т. становятся зависимыми: изменение одних (векторных) параметров диктует зависимое изменение других ("скалярных", энергетических) параметров м.т.

Ньютонова механика (КМ) не соответствует классической галилеевой механике (ГМ) хотя бы потому, что она 3–мерна и в КМ существуют интегральные "скалярные" не тензорные параметры – энергия и работа:

dK = mvidvi ~ mvidvi ≠ 0,

dA = fidri  ~ fidri ≠ 0

(2.1)

 (в КМН vi ~ vi) и их 4–мерных векторных аналогов. Причина – формальное существование еще одной координаты, специфической, независимой, со скалярными свойствами – это 4–я координата "время". Причем введение этой координаты в классическую механику связано с потерей метрического тензора и операции поднятия–опускания индексов тензоров. В КМ "время" – это даже не координата, а какой то образ, философская категория.

При переходе в движущуюся с.о. "скалярные" параметры  классической механики изменяются, потому что они являются псевдоскалярами в 3–мерном представлении. Необходимо сделать важное замечание – в классической и галилеевой механике масса m (и везде в этом параграфе) является скалярным параметром. В классической механике выражение (2.1) вполне законно, потому что численно dvi ~ dvidri ~ dri хотя бы в одной из с.о., точнее, в каждой из них в отдельности. Но в галилеевой механике нет ковариантных векторов dvi и dri и к тому же законы их преобразования совершенно различные и не сопряжены друг с другом. Если бы они были, то это была бы совсем другая механика. Поэтому такое выражение в 4–мерном галилеевом пространстве не законно.

Если мы проинтегрируем дифференциал энергии (2.1) при постоянной массе, то получим полную энергию м.т. в полном согласии с определением кинетической энергией м.т. классической механики:

K = ∫dK = ∫mvidvi = mvidvi = md(v)2 = ∆(½mv2)|ab.

(2.2)

Для импульса мы получим решение:

pi = ∫mdvi = mdvi = mvi.

Если мы проинтегрируем дифференциал работы, то получим полную работу м.т. в полном согласии с работой силы на участке траектории:

A = ∫dA = ∫fdr|ab.

(2.3)

Если f(r) является градиентом скалярной функции, то получим, что работа равна разности потенциальной энергии м.т. в силовом потенциальном поле:

A = ∫dA = ∫ f dr = mΔφ|ab.

1.2. Уравнение волны в классической механике

При распространении волны инвариантом остается скорость распространения возмущений свойств среды или пространства, чьей функцией является амплитуда волны, обозначаемая через A(t, r). При распространении звуковой волны таким свойством является отклонение A ~ dr достаточно малых (точечных) объемов с.с. (воздуха, жидкости, …) относительно точки равновесия. Колебания струны определяются перпендикулярными отклонениями каждой ее точки A ~ dj относительно положения покоя. Электромагнитные колебания определяются изменениями напряженности взаимно перпендикулярных электрического  и магнитного  полей. Общим для процессов волнового движения является перенос импульса и энергии в соседние участки пространства (среды) по причине отсутствия равновесия между ними:

где P –  плотность энергии/импульса среды,

k – коэффициент переноса среды.

За счет переноса импульса–энергии происходит и перенос связанных с ними материи и других ее параметров. Это уравнение очень похоже на уравнение диффузионного движения.

В с.о., покоящейся относительно однородной изотропной среды, волны распространяются с одной и той же скоростью в любом направлении. В таких средах направление распространения волны совпадает с перпендикуляром к фронту волны. Фронтом волны называется поверхность одной и той же фазы. Эта скорость и называется скоростью распространения волны. Обозначим эту скорость через c. Она равна фазовой скорости волны. Кроме фазовой скорости различают еще и групповую скорость cg. Групповая скорость в неоднородной усиливающей среде может и превышать скорость c. И эта скорость определяется скоростью распространения огибающей короткого волнового пакета.

Я не называю скорость распространения волны скоростью движения волны, потому что это не совсем соответствует действительности – именно распространяется возмущение свойств пространства–времени или несущей волну среды, а не движение чего либо. Если можно говорить о каком–либо движении, то только о колебательном движении несущей волну среды.

Уравнение распространения скалярной волны A с частотой колебаний w в КМН полностью совпадает с движением волны КМГ (см. п. 1.5).

Распространение протяженной пространственной волны в с.с. ньютоновой классической механики совпадает с распространением ее в галилеевой механике.

Но при рассмотрении электромагнитной волны появляются отклонения от законов распространения волн в галилеевых с.о., описанных выше.

4.       Расширенная галилеева механика

В представленной выше галилеевой механике нет места работе силы и энергии м.т. Есть много несущественных элементов тензоров. Поэтому ГПТК и галилеева механика на ее основе не может быть основой 4–мерной классической механики. Она не учитывает квадратичный по скорости м.т. параметр – кинетическую энергию. При очень малых скоростях это действительно так. Но она не учитывает и линейный по перемещению параметр – работу. Т.е. она не учитывает никакие энергетические параметры. А это в классической механике является основным наряду с импульсом м.т. Для устранения этого дефекта в качестве ГПТК необходимо применить какой–то другой механизм, отличный от него. Следствием ее непременно будет изменчивость контравариантных элементов векторов с индексом 0, в том числе импульса p0 м.т., которую мы определим как энергию м.т. Такой механикой является расширенная галилеева механика – РГМ. В классической механике Ньютона именно это и является правильным.

1.3. Малые преобразования параметров 4–мерной расширенной галилеевой механики

Основными параметрами м.т., также как и в галилеевой, будут его скалярная масса m, векторные 4–скорость Vi = dqi/dt = (v0, vi), 4–ускорение Wi = (w0, wi) = d2qi/dt2 и 4–сила взаимодействия с внешним миром Fi = (f0, fi). Галилеевы скорость и ускорение по индексу времени принимают вполне определенные постоянные значения: v0 = dt/dt = 1 и w0 = d2t/dt2 = 0. Но в КМН появляются еще три "скалярных" энергетических параметра – 1) кинетическая dK = mvdv, 2) имеются энергия dU = dU(t, r, v) и 3) работа силы на участке траектории dA = Fdr. Причем они появляются так, что они совместно с другими параметрами м.т. становятся зависимыми: изменение одних элементов (векторных) параметров диктует зависимое изменение других ("скалярных", энергетических) параметров м.т.

В 4–мерном представлении аналоги этих скаляров являются элементами вектора импульса м.т. Например, работы силы на участке траектории:

(3.1)

В галилеевой механике им соответствуют дифференциалы, которые тождественно равны 0:

(3.2)

где v0j ≡ 0 – первая строка тензора малого преобразования скорости м.т., полученная малым ГПТК или действием ускорения на м.т. dv0j = w0jdt.

Но мы попробуем определить 4–тензорную механику, более близкую к ньютоновой, чем выше определенная 4–мерная галилеева. За основу такой тензорной механики возьмем уравнение классической механики:

dK = mvidvi ~ mvidvi ≠ 0,

dA = fidri  ~ fidri ≠ 0.

(3.3)

В 4–мерном представлении аналоги этих скаляров являются элементами вектора импульса м.т.:

(3.4)

т.е. можно сделать вывод, что энергия является элементом вектора импульса с индексом 0.

Как определить dp0? Можно определить в качестве силы, ответственной за это, пока не работающий элемент силы F0, тем более, что мы определили их формальное соответствие – (3.3), (3.4):

(3.5)

А т.к. в классической механике сила, изменяющая импульс, равна силе, производящей работу, то:

F0i = Fi0.

Учтя все это, мы можем определить малые преобразования энергии и импульса м.т. под действием силы:

dP0 = F0iVidt,

dPi = Fi0V0dt.

(3.6)

Из этих выражений видно, что малые преобразования перепутывают пространственные и временные элементы 4–тензоров. Следовательно, при принятии этих преобразований мы не можем говорить о независимости пространственных и временных элементов тензоров (в т.ч. и координат), что постулируется и в классической, и в галилеевой механиках. Это также заставляет использовать вместо малых букв в обозначении импульса большие буквы.

Полная энергия и импульс м.т. после малого преобразования импульса под действием силы будут определяться выражениями:

P'0 = P0 + F0iVidt,

P'i = Pi + Fi0V0dt.

(3.6*)

 

Из этих формул мы видим, что группа малых преобразований импульса совпадает с группой силовых полей классической механики. Группа ГПТК в отношении к м.т. не соответствует группе силовых полей классической механики.

Поделив (3.6*)  на m, мы получим закон малого изменения удельной энергии и скорости м.т.:

V'0 = V0 + w0iVidt = V0 + Vidv0i,

V'i = Vi + wi0V0dt = Vi + V0dvi0.

(3.7)

Здесь dv0i и dvi0 выступают в роли тензора малого преобразования скорости м.т. Это и есть расширенная группа малых галилеевых преобразований тензоров и силовых полей – РГПТК. Мы можем распространить ее и на малые преобразования координат пространства:

t' = tdv0i · r,

r' = rdvi0 · t.

(3.8)

Если экстраполируем преобразования (3.7), то можем распространить ее действие на любые векторы нашего пространства для любых, не только малых, значений элементов преобразований. И тогда (см. рис. 3):

t' = tv0i · r,

r' = rvi0 · t.

(3.8a)

Но правомерно ли это? Скорее всего, нет, потому что мы не можем просто экстраполировать это уравнение, а надо решить ее методами дифференциального исчисления. Но для достаточно малых скоростей оно будет верно.

Это преобразование координат существенно только в направлении движения новой с.о. Если направить одну из осей координат r|| в направлении движения новой с.о., то в перпендикулярном к ней направлении координата не изменяется:

r||' = (r||vi0 · t)

r^' = r^

Рис. 3. Преобразования координат расширенной группы галилеевых преобразований координат

 

Эта группа не соответствует ни ГМ, ни КМ. И еще один существенный недостаток данных преобразований – они определены для малых преобразований тензоров от текущего состояния м.т. С их помощью невозможно определить тензор преобразований для произвольных значений скорости новой с.о. Для этого надо проинтегрировать соответствующие малые преобразования по скорости от va до vb. Этим мы займемся далее. К тому же про эти преобразования мы не можем сказать, являются ли они ортонормированными или нет. На первый взгляд – нет. Детерминант матрицы преобразования не равен единице. Но у нас пока нет и условий ортогональности пространственной и временной осей координат. Возникают вопросы и относительно обратного преобразования координат.

Рассмотрим преобразование, обратное к прямому преобразованию координат (3.8). После решения обратной задачи по прямой, имеем следующий результат:

t = (t' + vx'/c2)/(1– (v/c)2),

x = (x' + vt')/(1– (v/c)2).

В силу принципа ковариантности уравнений движения обратное преобразование должно было бы иметь принципиально тот же вид, что и прямое. В нашем случае обратное преобразование не ковариантно прямому преобразованию. Но здесь мы имеем опять же только второй порядок малости различия в ковариантности этих уравнений.

Напрашиваются вопросы: что означают новые координаты t' и r' прямого преобразования координат? Тем более, как соотнести обратное преобразование координат с прямым? 

С координатой r' вроде бы все ясно – это расстояние от некоторой точки A до оси t' движущейся с.о. Это преобразование совпадает с галилеевыми преобразованиями координат и классической, и галилеевой механик.

Но что такое новое значение времени t'? По своей форме выражение t' = t vx/c2 говорит о каком–то запаздывании отсчета времени в точке с координатой (t, x) исходной с.о. по сравнению с движущейся с.о. Это запаздывание ∆t равно

t = – vx/c2 = – v/c · x/c = v* · x*.

где v – скорость движущейся с.о.,

t и x – время и координата точки A,

c – некий скоростной параметр пространства–времени, или универсальная скорость – скорость распространения информации.

v* – нормированная (относительная) по этому параметру скорость (без единицы измерения) движущейся с.о.,

x* – нормированная координата в единицах времени и она означает время, необходимое для прохождения лучом света расстояния от начала координат до точки A.

Как можно объяснить это запаздывание? Попробуем сделать это. Для этого посмотрим, как можно вообще разметить координаты.

Первый способ – с точки зрения абсолютного наблюдателя с помощью часов и линейки. При этом способе ни длина линейки, ни скорость хода часов не зависят от их движения. Поэтому преобразования координат полностью совпадают с ГПТК и никакого запаздывания нет.

Второй способ не опирается на абсолютные линейку и часы. Этот способ основан на процессе распространения волны со скоростью c. При этом время определяется как количество осцилляций некоторого стандартного волнового процесса, а расстояние – через количество осцилляций между двумя точками пространства. При этом масштаб осей координат остается неизменным, хотя бы в первом приближении.

Волна обычно распространяется на фоне сплошной среды и материализуется (т.е. фиксируется) как колебание какого–то параметра среды с определенной амплитудой и частотой. Предположим, что волна распространяется вдоль оси x по закону A = sin w(tx/c). Предположим, что существует некоторый наблюдатель, который способен измерить параметры волны в каждой точке пространства и времени и пользуется результатами этих измерений для производства измерений координаты и времени определенным выше способом. Вопрос: способен ли он определить состояние своего движения на основе наблюдения распространения волны? На основании измерения только неизменной амплитуды и фазы волны (и частоты), т.е. количества осцилляций между двумя точками, он не может определить состояние своего движения относительно среды.

Он, конечно, может воспользоваться эффектом Доплера, но кто ему скажет, кто из двух наблюдателей является привилегированным? Ведь и второй наблюдатель тоже будет наблюдать этот же эффект по отношению к сигналам, отправленным первым. Это верно как при распространении волны в сплошной среде, так и при принятии баллистической теории распространения волны.

Если бы волна  взаимодействовала со средой путем изменения своих параметров при распространении, то он мог бы косвенно определить свое состояние движения.  Но и этих изменений нет – линейная волна распространяется свободно без взаимодействия со своей основой (с.с, эфиром, Пространством).

Можно предположить, что он мог бы определить разницу в скорости распространения волны по разным направлениям. Но и это неправильно – он бы в любом направлении получил одну и ту же скорость, потому что эти измерения пришлось бы сравнивать с другой, но такой же волной. Следовательно, в любом состоянии движения в любом направлении в собственной с.о. он получит одну и ту же скорость распространения.

Поэтому приходим к следующим выводам относительно волны:

3.       Нет никаких способов измерить собственную скорость движения волны относительно среды распространения (пространства).

4.       Скорость распространения волны не зависит от состояния движения наблюдателя и направления распространения волны.

5.       Масштаб координатных осей движущейся и покоящейся с.о. одинаковый.

Эти принципы будут отправными положениями для дальнейших рассуждений.

Рассмотрим рис. 4.

Рис. 4. Схема для определения координаты времени t' движущейся  системы отсчета при РГПТК.

Здесь t и t' – временные оси покоящейся и движущейся с.о.,
x и x' – пространственные оси покоящейся и движущейся с.о.,
O' – начало координат движущейся с.о.,
O0OO0+  – фронт движущейся волны света в покоящейся с.о.,
β = v/c – скорость движущейся с.о.

Фронт движущейся волны света в покоящейся с.о. в момент времени t определяется линией OO+. Множество точек фронта волны света в любой момент времени определяется линией O0OO0+, причем эта линия должна оставаться инвариантной. Следовательно, множество точек фронта волны света в любой момент времени и для движущейся с.о. O' должен определяться той же линией. При принятии галилеевой механики фронт волны движущейся с.о. определяется этой же линией, но это не может удовлетворить нас, потому что в этом случае можно определить скорость абсолютного движения по разнице правой и левой координат фронта волны. При принятии баллистической теории фронт волны будет определяться линией O–''O+''. Но и это не верно, по двум причинам: 1) распространение света не зависит от источника и 2) фронт волны не находится на линии O0OO0+. Пришли к выводу, что простые, лежащие на поверхности объяснения не подходят. Но у нас есть принцип постоянства скорости света и неизменность масштаба. Из этих принципов можно вывести, что 1) длина предполагаемой линии O–'O+' не должна измениться, и 2) эта линия должна проходить через начало координат O' и 3) концы этой линии должны находиться на линии O0OO0+. Этому с точностью до второго порядка малости соответствует единственная линия – это нарисованная синим цветом линия O–'O+', составляющая с осью Ox некоторый угол, равный β. Зная этот угол, можно найти новую нормированную координату времени: t' = tvx, или в реальных единицах: t' = tvx/c2.

Теперь более пристально посмотрим на изменение импульса dPi м.т. (3.6). Мы видим, что F0i = Fi0 – тензор силы является симметричным при наличии нулевого индекса и допускает наличие до 4–х независимых элементов во временной части тензора. Это общий член F00 и три пространственных члена F01 = F10, F02 = F20 и F03 = F30. При этом:

– сила F0j относится к силам, непосредственно изменяющим кинетическую энергию м.т. без изменения ее состояния движения – прямая работа внешней силы;

– сила Fj0 относится к силам, непосредственно изменяющим импульс (и скорость движения) м.т. независимо от ее скорости. Эта сила не изменяет энергию м.т.

А это все возможно, только если масса м.т. изменяется.

Элемент силы F00 соответствует прямому изменению энергии м.т. независимо от скорости и без наличия пространственной части силы. Наличие такой силы возможно, например, передача тепловой (фоновой?) энергии или потенциальная энергия. Это соответствует локальному неравновесному состоянию м.т. с пространством (полем, вакуумом?) и, соответственно, наличию потока энергии от поля к м.т. (или наоборот) без изменения ее состояния движения. Но мы будем считать, что м.т. не изменяет своих собственных параметров в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е. он всегда находится в равновесии с внешним полем: F00 = 0.

1.4. Материальная точка и РГПТК

При переходе в равномерно движущуюся с.к. ее скорость преобразуется следующим образом:

(3.10)

Это преобразование отличается от преобразования ГПТК тем, что кроме пространственной скорости vi изменяется и "скорость" по временной координате: появляется дополнительная составляющая второго порядка малости +v0jvj. Но ведь dt' = dt, и вроде бы скорость dt'/dt' = dt/dt = 1. Но это изменение имеет второй порядок малости и при малых скоростях не существененен, хотя и заставляет задуматься: что–то здесь не так. При этом пространственная скорость преобразуется также, как и при ГПТК.

Выполним сразу два расширенных галилеевых преобразования к скорости м.т. – v'ij и v''ij:

Применим ее к движущейся со скоростью vi м.т.

(3.11)

Из этих преобразований видно, что при выполнении сразу двух преобразований к скорости м.т. изменяется не только временная составляющая скорости м.т., но изменяется и обычная скорость довольно сложным образом – скорость м.т. и систем отсчета не просто складываются, а появляется дополнительная составляющая второго +v'i0v''0j и третьего порядка малости +v'i0v''0jvj. Даже для случая взаимно обратных преобразований v' = –v'' имеем:

Сравним уравнения преобразования координат (3.10) и (3.11). Эти два уравнения дают одно и то же преобразование координат, только первое дает однократное применение преобразования координат, второе – двукратное. Но от этого форма их не должна измениться, в силу принципа относительности и ковариантности законов механики. А здесь явно видно, что они отличаются: в первом случае скорости просто складываются, во втором появляется дополнительная составляющая. Все это говорит о том, что РГПТК не может быть принята как окончательная версия новой механики на основе преобразований РГПТК, но это – шаг в нужном направлении. Этот недостаток устраняется лоренцевыми преобразованиями координат и времени.

1.5. Уравнение волны в пространстве РГМ

Как и в предыдущей части, рассмотрим уравнение одномерного волнового движения скалярной волны, предполагая, что координаты преобразуются в соответствии с РГПТК:

A = sinw(tx/c).

(3.12)

Это уравнение соответствует движению волны с частотой w со скоростью движения с вдоль положительного направления координатной оси x.

Хочу особо отметить: это то же самое пространство и та же самая волна, что и в части 2.4, только для его изучения используется другая с.о. с другими эталонами и свойствами.

1) Сделаем РГПТК со скоростью v в направлении y, перпендикулярном направлению движения волны:

t = t' + vy'/c2,

y = y' + vt',

x = x'.

(3.13)

и посмотрим, что получится. Уравнение волны относительно новой с.о.:

A' = sinw[t' + vy'/c2x'/c] =

= sinw[t' + (v/c · y'– x')/c].

(3.14)

Из этого уравнения видно, что поперечная к направлению движения волна не изменяет своей частоты и скорости, но наблюдается аберрация в направлении движения волны. Найдем уравнение фронта волны:

y' – x' = 0,

v/c · y' = x'.

(3.14a)

Найдем угол аберрации волнового движения φ:

tg φ = y'/x' = v/c.

(3.14b)

Это выражение полностью соответствует наблюдаемому косому направлению следов падающих перпендикулярно капелек дождя на стекле движущегося транспортного средства, только в данном случае скорость капелек дождя соответствует скорости движения волны.

Но в данном случае это не механический эффект, как в ГПТК, а фундаментальное свойство пространства. Это также означает, что линейная волна, распространяющаяся перпендикулярно к направлению движения с.о., является галилеевым объектом. Но это соответствие не полное: 1) скорость распространения волны остается постоянной и равной с. 2) она не получает какого–либо параметра, зависящего от скорости с.о., кроме угла аберрации, соответствующего закону сложения скоростей.

2) Сделаем РГПТК со скоростью v в направлении движения волны и посмотрим, что получится:

t = t' + vx'/c2,

x = x' + vt'.

(3.15)

Уравнение волны относительно новой с.о.:

A' = sinw[t' + vx'/c2 – (x' + vt')/c] =

= sinw[t' – vt'/c + vx'/c2x'/c] =

= sinw[t'(1 – v/c) – x'/c·(1 – v/c)] =

= sin[w(1 – v/c)(t' – x'/c)] =

= sinw'(t' – x'/c).

(3.15a)

При движении новой с.о. в другую сторону уравнение волны будет:

A' = sinw[t' – vx'/c2 – (x' – vt')/c] =

= sinw[(1 + v/c)(t' + x'/c)] =

= sinw'(t' + x'/c).

(3.15b)

Эти уравнения волны говорят о том, что

1) уравнение волны осталось ковариантным относительно перехода в новую с.о.,

2) скорость движения волны вдоль оси x' не изменился: c' = c,

3) но круговая частота волны изменилась: w' = w(1± v/c),

Это изменение называется эффектом Доплера и соответствует классическому эффекту Доплера классической волны. Из этого уравнения также видно, что форма уравнения волны (она осталась симметричной) и скорость ее распространения от перехода в новую систему координат не изменились, т.е. она ковариантна относительно РГПТК, изменилась только частота волны в соответствии с эффектом Доплера. Для только что рассмотренной волны также не существует аномалий распространения ее через щель: направление распространения соответствует фронту волны.

Вопрос: является ли эта волна классическим объектом типа м.т.? Нет. Эта волна с преобразованиями координат РГПТК не является классическим или галилеевым объектом. У него свои особые свойства.

Выводы:

1) РГПТК в части экстраполяции на любые скорости и взятия обратного преобразования не является ковариантной. Но при малых скоростях по сравнению со скоростью света c она верна с точностью до второго порядка малости. Как полноценная теория пространства, времени и механики движения материи она не годится.

2) Волновое движение в расширенном галилеевом пространстве не является классическим движением объектов галилеевой механики, хотя и частично сохраняет их свойства:

а) при поперечном направлении распространения волны наблюдается эффект аберрации, имеющий классическую величину и не имеется щелевых аномалий;

б) при продольном направлении распространения волны наблюдается классический эффект Доплера;

в) скорость распространения волны остается постоянной, что не соответствует классическому галилееву закону сложения скоростей. Но при этом уравнение распространения волны остается ковариантной в новой с.о.

1.6. Отражение волны

1.7. Стоячая волна и резонатор

5.       Группа лоренцевых преобразований СТО

1.8. Вывод релятивистских формул СТО

Если внимательно приглядеться к формулам РГПТК, то можно увидеть аналогию: действие силы на энергию–импульс м.т. есть малый ортогональный гиперболический поворот вектора энергии–импульса в плоскости (t, r). Если это так, то импульс м.т. в пространстве энергия–импульс может принимать только определенные значения, определяемые некоторой 3–поверхностью в 4–пространстве. Эта поверхность должна определяться скалярным радиусом, соответствующим первоначальной скалярной длине покоящегося вектора энергии–импульса.

Для определения этого скаляра рассмотрим исходное уравнение (3.4). Рассмотрим изменения квадратов энергии Kt2 и импульса Kr2 м.т. под действием силы. Для энергии (если не различать верхние и нижние индексы):

d(Kt2) = d((P0)2) = 2P0dP0 + (dv0)2 → 2P0dP0.

(4.1a)

Для импульса:

d(Kr2) = d((pi)2) = 2pidpi + (dvi)2 → 2pidpi,

d(Kr2) = 2pidpi = 2mvidpi.

(4.1b)

Но в классической механике vidpi = dP0, тогда:

d(Kr2) = 2mdP0.

Это выражение будет равно (4.1a), если выполняется условие: m = P0 = K:

2P0dP0 = 2mdP0.

Это условие говорит о том, что масса м.т. должна быть динамической (переменной), с такой же зависимостью от скорости, как и P0. Такую массу можно обозначить через m0.

Другое решение осуществляется, если энергия м.т. не зависит от скорости м.т.: dP0 = 0, а это выполняется при постоянных произвольных m и P0 для м.т., как в ГПТК. Больше никаких других условий к m и P0 не накладывается.

Зависимость K(v) пока не определена, но в любом случае зависимости импульса от скорости p = Kv. При таком условии при движении под действием силы у м.т. будет сохраняться равенство:

dKt2 = dKr2,

Kt2 = dKr2 + C2.

(4.1)

Следствием ее будет скалярность выражения:

Kt2dKr2 = C2,

P2 = (P0)2 – (pi)2 = C2 = m2.

(4.2a)

где m – скалярная масса м.т.

Замечание. В физике до сих пор ведутся споры об истинной массе м.т.: это скалярная масса m или временная часть 4–мерного импульса–энергии м.т. m0 = P02? А.Эйнштейн, Р.Фейнман и другие чаще всего  употребляли в качестве "массы" скалярную массу. Поэтому в знаменитом уравнении А.Эйнштейна E0 = mc2 стоит  именно скалярная масса, а E0 – это энергия покоя м.т. В состоянии движения уравнение баланса энергии и импульса м.т. записывается следующим образом: E2 = p2c2 + m2c4 (см. (4.2)  Но в физике часто за разными интерпретациями одних и тех же понятий стоит одна и та же физика, только с разных точек зрения. В силу одинаковых математических уравнений, лежащих в их основе. В своей нобелевской лекции Фейнман пишет: "Множество разных физических идей может описывать одну и ту же физическую реальность". 

Это наводит на мысль о том, что импульс P является вектором, и выражение (4.2а) является скалярным квадратом вектора импульса. Для придания этой величине правильного тензорного вида ее необходимо записать несколько в другом виде:

P2 = gijPiPj = m2gijViVj = m2.

(4.2)

где gij задается псевдоевклидовым ортонормированным метрическим тензором:

(4.3)

Появление этого метрического тензора автоматически включает в математику этой механики операцию опускания–поднятия индексов тензоров. Найдем зависимость K от скорости. Для этого решим уравнение (4.2a):

K2p2 = m2,

K2(1 – v2) = m2,

.

(4.4)

К этой же зависимости энергии от скорости можно прийти и непосредственным интегрированием уравнения:

dP = d(Kv),

dK = v·dP = v·d(Kv).

Решим ее:

dP = d(Kv) → P = Kv,

dK = v(v dK+K dv),

dKv2dK = vKdv,

dK(1 – v2) = Kdv2),

Это решение соответствует преобразованиям векторов в СТО. Следствием данной особенности является принцип ограниченности скорости м.т. Это значит, что если скорость м.т. меньше или больше c, то она никогда не сможет перейти через этот рубеж на другой.

Для малых значений скоростей эту энергию можно приближенно записать в виде:

K = m + ½mv2.

что соответствует КМН и РГМ с точностью до константы. Особенностью данной зависимости энергии от скорости является наличие недопустимого значения скорости движения м.т, равное "c".

Этому условию теоретически могут удовлетворять две физические системы отсчета (далее с.о.) – это абсолютная (АСО) и инерциальная (ИСО) с.о. Первая с.о. – это АСО – выделенная с.о., в которой любая м.т. может двигаться со скоростью не более максимальной. В движущихся относительно нее с.о. (ДСО) скорость будет ограничена значением c' = cv, где c – ограничение скорости в выделенной АСО, c' – ограничение скорости в ДСО, v – скорость движения ДСО относительно АСО. Для этого необходимо, чтобы м.т. имела волновую природу. Для движения такой м.т. в АСО должны быть постулированы:

1) принцип существования АСО,

2) принцип существования максимальной ограничительной скорости в АСО,

3) принцип волнового характера движения м.о. в АСО.

Эти принципы возможно осуществить в галилеевой механике. Но здесь имеется большая трудность – 1) волны не взаимодействуют между собой, они линейны и 2) как совместить произвольную (но ограниченную) скорость м.т. и постоянную скорость волны?

Вторая соответствует ИСО СТО, в которой постулированы:

1) принцип относительности с.о.,

2) принцип независимости максимальной ограничительной скорости от состояния движения ИСО,

3) принцип эквивалентности массы и энергии.

Эти принципы осуществляются в релятивистской механике СТО. Но и здесь имеются те же проблемы – дискретность м.т. и волновая природа его движения.

В принципе эти две с.о. могут мирно сосуществовать. Например, возьмем покоящуюся жидкость и волновые движения в ней. Сама жидкость в с.о., в которой она покоится, соответствует АСО, скорость звуковых волн для стороннего наблюдателя будет равна одному и тому же значению в любом направлении в АСО. Если смотреть на распространение волн в жидкости из с точки зрения ДСО, то она будет удовлетворять уравнению c' = cv. Но можно смотреть на волновое движение с точки зрения этих же волн, применяя волновые эталоны. Тогда описание этого волнового движения будет полностью соответствовать ИСО СТО, но в отношении звуковых волн. Причем в этой ИСО невозможно определить движение фоновой среды, как в СТО невозможно определить наличие так называемого "эфира". Очень похоже на принцип корпускулярно–волнового дуализма в специфической интерпретации: корпускулярность – это классические механики, волны – это релятивистская механика СТО.

Это также позволяет однозначно определить 4–тензор Лоренцева преобразования с.к. как ортонормированную матрицу с единичным детерминантом. При отсутствии поворотов 3–пространства преобразование 4–координат можно записать так:

r^' = r^.

(4.5)

где v – скорость движущейся с.о.,

r|| и r^ – параллельная и перпендикулярная к v составляющие координаты м.т.,

Здесь индекс || означает направление, параллельное к вектору v, а индекс ^ – направления, перпендикулярные к вектору v преобразования с.о.

Выпишем тензор преобразования Лоренца для плоскости (t, x), соответствующий (4.5):

(4.6)

Здесь коэффициент  называется коэффициентом релятивизма и обозначается через β.

Выведем зависимость изменения скорости v||' и v^' м.т. по времени dr'/dt':

(4.7)

(4.8)

Если v|| = 0 – т.е. м.т. двигалась только перпендикулярно направлению движения новой с.о., со скоростью v, то

v||' = v,

v^' = β · v^.

Найдем отклонение угла движения м.т. в новой с.о.:

sin φ = v||'/ v^' = v/(β · v^).

Для м.т., движущейся со скоростью v^ = c этот угол будет равен

sin φ = v/().

(4.9)

Это значение отличается от классического релятивистским коэффициентом β.

В этой механике определяется еще один интересный инвариант – ds:

ds2 = c2dt2dr2 = (c2v2)dt2,

.

(4.10)

При малых скоростях этот интервал равен изменению времени между событиями. 4–мерные скорость и импульс м.т. определяются именно с использованием этого параметра:

V = dq/ds,

P = mV.

РГПТК по (3.8а) после интегрирования соответствует группе гиперболических преобразований координат, точно соответствующей группе Лоренца. Следовательно, механика по РГПТК эквивалентна СТО. На рис. 3 показана схема для определения новых координат в штрихованной с.о. по (4.5), (4.6).

Рис. 3. Группа Лоренцевых преобразований координат. Определение новых координат точки А заключается в определении длины отрезков OB'' = t' и OC'' = x'. В первоначальной с.о. координаты (t, x) точки А определяются координатами точек B и C: ta = tb, xa = xc. В новой штрихованной с.о. координаты (t', x') точки А определяются координатами точек B' и C': t'a = t'b, x'a = x'c. Численные значения этих координат определяются не длинами отрезков C'A и B'A, а длинами отрезков C''A и B''A. Это связано с тем, что Лоренцевым преобразованиям соответствуют гиперболические преобразования координат, при котором реальная евклидова длина отрезков новых координат становится больше их гиперболических длин, и на бумаге невозможно отобразить новые координаты в соответствии с их гиперболической длиной. Длины lt и lx соответствуют новым координатам при РГПТК, соответствующих Лоренцевым при малых значениях скорости новой с.о.

В классической механике импульс материальной точки (далее м.т.) определяется выражением p = mv, а кинетическая энергия K выражением K = ½mv2. При этом постулируется неизменность массы от скорости м.т. Никаких ограничений по скорости не имеется. Релятивизм в классической механике появляется при предположении об эквивалентности массы и энергии (в частности, кинетической) м.т. или инерционности полной энергии м.т. Импульс м.т. в обоих случаях определяется одинаково: p = mv.

Обратная к прямому преобразованию координат матрица получается из прямой простой заменой знака скорости v0j и vi0 преобразования: v'0j = –v0j и v'i0 = –vi0. Это говорит о ковариантности выражений для преобразований координат. Рассмотрим, чему равно произведение двух преобразований.

v'''ij = v'ikv''kj;

Для упрощения задачи будем считать, что имеется только одна пространственная координата и индексы i, j, k принимают одно единственное значение, поэтому от их явной записи можно отказаться:

(4.11)

Здесь , . Если в качестве двух преобразований примем взаимно обратные: v' = –v'', то в результате получим тождественное преобразование: v''' = 0.

1.9. Инвариант СТО в классической механике

При распространении волны в АСО, связанной со средой ее распространения, остается инвариантом уравнение движения фронта волны:

 dtk/c dr = 0,

cdtkdr = 0,

|k| = 1.

(4.12)

 

где k – единичный вектор направления распространения волны,

c – абсолютное значение скорости распространения волны в АСО.

Это уравнение зависимо от направления распространения волны. Вдоль направления распространения луча волны выполняется условие

c2dt2dr2 = 0.

(4.13)

 

В СТО эта величина называется интервалом. Такой интервал соответствует метрике классического 4–мерного пространства–времени в АСО

(4.14)

Назовем ее волновой метрикой пространства. Она отличается от классической 3+1–мерной двойной метрики галилеева пространства

dl2 = dridri = –(dri)2,

dt = dt

(4.15)

своей 4–мерностью. Это – псевдоевклидова метрика.

Более общей формой распространения волнового фронта является ее эллиптическая форма. Уравнение движения такой волны описывается уравнением

c2dt2lijdridrj = 0,

(4.16)

где lij – метрика 3-пространства.

При галилеевых преобразованиях координат эти простые формы уравнения движения фронта волны нарушаются в силу нарушения изотропии пространства–времени относительно АСО, связанной со средой распространения волны. Скорость движения (внимание: координатная!) фронта волны, удовлетворяющего этому уравнению, будет зависеть от направления ее распространения. Если наша с.о. движется относительно среды со скоростью v, то  уравнением движения фронта волны может быть уравнение

(c – kv)dtkdr = 0,

c'dtkdr = 0,

|k| = 1.

(4.17)

Здесь в уравнении движения скорость c' распространения волны в рассматриваемом направлении движения является истинной скоростью распространения волны. Такому уравнению соответствует следующий интервал волновой метрики классического 4–мерного пространства–времени

(4.19)

Эта метрика не соответствует римановой метрике, потому что она зависит не только от скорости с.о. наблюдателя, но и от направления распространения фронта волны c' и приводит к не изотропной финслеровой метрике.

Следующим уравнением движения волнового фронта, который можно получить перегруппировкой слагаемых уравнения (4.17), является уравнение

cdtk(dr + vdt) = 0.

Изотропным уравнением движения классической волны в этом случае является уравнение

c2dt2k2(dr+ vdt)2 = 0.

(4.20)

Расшифруем его, учтя, что k2 = 1:

c2dt2dr22vdtdr – (vdt)2 =

= (c2v2)dt2dr22vdtdr  = 0.

(4.21)

Такой интервал соответствует волновой метрике классического 4–мерного пространства–времени

(4.22)

Обе эти метрики не ортонормированные, но одинаково правильные. Для теоретических целей можно принять за основу любую из них. Необходимо отметить, что эти метрики соответствуют волновому движению с точки зрения галилеева наблюдателя. В этом ее существенная разница от метрик, применяемых в СТО и ОТО, в которых используется точка зрения волнового наблюдателя. Но опять же они одинаково правильные и не противоречат друг другу. Просто различные точки зрения, и для сравнения результатов их надо приводить к одной точке зрения, соответствующей реальному наблюдателю и его измерительным средствам. Реальным наблюдателем является, конечно, наблюдатель СТО или ОТО.

Метрика (4.22) не соответствует изотропной метрике СТО, потому что в ней имеется не изотропная слагаемая 2vdtdr.  Но она отличается от метрики первого случая тем, что зависит от скорости с.о. наблюдателя, но не зависит от направления вектора распространения фронта волны c'. Из него следует, что элементы метрики с индексами g0j и gi0 соответствуют скорости движения некоторой галилеевой с.о. в абсолютной с.о. Этот вывод можно распространить и в СТО и ОТО с уточнением о ненаблюдаемости его реального движения, но возможного присутствия метрического эффекта от этого движения при его пространственной неравномерности.

Эту метрику можно ортонормировать переходом в другую с.о. Во первых, можно перейти в исходную с.о. АСО. Но это нам не интересно. Нам необходимо получить ортонормированную метрику именно при этой скорости движения новой с.о. формально это можно сделать композицией двух преобразований – возвратом в исходную АСО с помощью обратного галилеева преобразования и затем применения преобразования Лоренца. Первым преобразованием мы переходим в исходную ортонормированную с.о., а вторым – опять в ортонормированную, но уже релятивистскую, с.о. СТО.

1.10.        Уравнение волны в пространстве СТО

Как и в предыдущих частях, рассмотрим уравнение одномерного волнового движения скалярной волны, предполагая, что координаты преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца:

A = sinw(tx/c).

(4.23)

Это уравнение соответствует движению волны с частотой w со скоростью с вдоль положительного направления движения координатной оси x.

Хочу и здесь особо отметить: это то же самое пространство и та же самая волна, что и в частях 2.4 и 3.3, только для его изучения используется другая с.о. с другими эталонами и свойствами.

1) Сделаем преобразование Лоренца со скоростью v в направлении y, перпендикулярном направлению движения волны и посмотрим, что получится:

t = (t' + vy'/c2)/b,

y = (y' + vt')/b,

x = x'.

(4.24)

Здесь b = Ö(1–v2/c2).

Уравнение волны относительно новой с.о.:

A = sin w[(t' + vy'/c2)/bx'/c] =

= sin w/b [t' + vy'/c2bx'/c].

(4.25)

Из этого уравнения видно, что поперечная к направлению движения волна изменяет свою частоту и, вдобавок, наблюдается аберрация в направлении движения волны и релятивистская добавка к нему. Скорость волны при этом не изменяется. Найдем уравнение фронта волны для t' = 0:

v/c · y' – bx' = 0,

v/c · y' = bx'.

(4.26)

Найдем угол аберрации волнового движения φ:

tg φ = y'/x' = (1/b)(v/c) = v/bc.

(4.27)

Это выражение полностью соответствует наблюдаемому косому направлению следов падающих перпендикулярно капелек дождя на стекле движущегося транспортного средства, с учетом релятивистского эффекта Допплера, только в данном случае скорость капелек дождя соответствует скорости движения волны. Это также означает, что линейная волна, распространяющаяся перпендикулярно к направлению движения с.о., является релятивистским объектом: она не получает какого–либо параметра, зависящего от скорости с.о., кроме угла аберрации, соответствующего закону сложения скоростей. И даже скорость распространения волны остается постоянной и равной с.

2) Сделаем преобразование Лоренца со скоростью v в направлении движения волны и посмотрим, что получится:

t = (t' + vx'/c2)/b,

x = (x' + vt')/b.

(4.28)

Уравнение волны относительно новой с.о.:

A' = sin w[t' + vx'/c2 – (x' + vt')/c]/b =

= sin w[t' – vt'/c + vx'/c2x'/c]/b =

= sin w[t'(1 – v/c) – x'/c · (1 – v/c)]/b =

= sin [w(1 – v/c)/b · (t' – x'/c)]/b =

= sinw'(t' – x'/c)/b.

(4.29)

Это уравнение волны говорит о том, что

1) уравнение волны осталось ковариантным относительно перехода в новую с.о.,

2) скорость движения волны вдоль оси x' не изменится: c' = c и

3) круговая частота волны изменится: w' = w(1± v/c)/b, причем это изменение отличается от предыдущих случаев на релятивистский коэффициент 1/b.

Это изменение называется эффектом Доплера и соответствует классическому эффекту Доплера по изменению частоты волны только при малых значениях скорости. Релятивистский коэффициент в эффекте Допплера принципиально отличает преобразования СТО от галилеевых (ГПТК, РГПТК), потому что в ней имеется именно этот релятивистский эффект.

Из этого уравнения также видно, что форма уравнения волны от перехода в новую систему координат не изменилась, т.е. она инвариантна относительно РГПТК, изменилась только частота волны в соответствии с релятивистским эффектом Доплера. Это противоречит нашей интуиции, но это так.

Вопрос: является ли волна СТО классическим релятивистским объектом типа м.т.? Да. Мы получили полную эквивалентность между волной и классическим объектом – м.т.

Вывод: и волна, и "волновая" м.т. с лоренцевыми преобразованиями координат являются классическими релятивистскими объектами.

1.11.        Отражение волны

1.12.        Стоячая волна и резонатор

6.       Группа преоволна бразований координат в СЭТ

(Использован материал от А.М.Чепик,).

СЭТ – Теория Стационарного Эфира - физическая теория пространства и времени, базирующаяся на преобразованиях координат, учитывающий релятивистский коэффициент :

(4.22)

Существенным для СЭТ является метод синхронизации, приводящий к свойству абсолютной одновременности. Согласно Г. Малыкину (об этом впервые написал Л.И. Мандельштам, 1934 г., предложив два метода): синхронизация внутри системы отсчёта с помощью бесконечно большой фазовой скорости светового сигнала, и синхронизация внешняя – для часов в одной ИСО по часам в другой ИСО.  Следствием этого является формула (4.22.1).

Фактически преобразования координат в СЭТ – это преобразования Галилея с масштабным коэффициентом g.

Принципов относительности как таковых нет, но есть постулаты.

Постулаты СЭТ: пространство, время, синхронизация

Пространство в СЭТ (называемое Абсолютным) полагается линейным 3-мерным Евклидовым R3 (единицы измерения в нем определяются стандартным стержнем), а время - линейным одномерным R1, единица измерения времени задаётся неким стандартным циклическим процессом. Время и пространство в СЭТ независимы. Часто удобно рассматривать Пространство СЭТ в виде произведения указанных линейных пространств R3 × R1 = R4.

Первый постулат СЭТ задаёт свойство существования выделенной (Абсолютной) инерциальной системы отсчёта (АСО) в пространстве R3, заполненном неподвижным изотропным однородным эфиром, в котором скорость распространения волн света постоянна при отсутствии какого-либо влияния на них со стороны различных полей:

1.      В АСО скорость света в вакууме изотропна.

Второй постулат СЭТ фактически вводит сокращение эталонов времени и длины в движущейся ИСО:

2.      В любой ИСО в вакууме время движения светового сигнала по замкнутому неподвижному (в ИСО) линейному контуру не зависит от положения этого контура.

Третий постулат СЭТ постулирует не симметричность преобразований координат между ИСО, в т.ч. и с АСО как выделенной ИСО:

3.      Преобразования координат СЭТ (преобразования Игла) не составляют группу (отсутствие свойства группы преобразований СЭТ),

но является алгебраической структурой. Для непротиворечивости законов преобразования координат из одной с.о. в другую вполне достаточно замкнутости операции последовательного преобразования координат φ(a®b)*φ(b®c) = φ(a®c), где a,b,с – системы отсчёта. Методы тензорного исчисления использовать невозможно.

Основные результаты:

1) отсутствие аберрации для монохроматической волны, заполняющей все пространство (см. парадокс Мокану: в СТО имеет место, в СЭТ – не имеет места). Но: аберрация имеется для луча света и объектов конечных размеров; 

2) эффект Допплера соответствует СТО;

3) отрицательный результат опыта Майкельсона-Морли, что тоже соответствует СТО;

4) возможно выделить АСО и измерить одностороннюю скорость света.

1.13.        Уравнение волны в пространстве СЭТ

Как и в предыдущих частях, рассмотрим уравнение одномерного волнового движения скалярной волны, предполагая, что координаты преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца:

A = sinw(tx/c).

(4.23)

Это уравнение соответствует движению волны с частотой w со скоростью с вдоль положительного направления движения координатной оси x.

Хочу и здесь особо отметить: это то же самое пространство и та же самая волна, что и в частях 2.4 и 3.3, только для его изучения используется другая с.о. с другими эталонами и свойствами.

1) Сделаем преобразование Лоренца со скоростью v в направлении y, перпендикулярном направлению движения волны и посмотрим, что получится:

t = t'/b,

y = (y' + vt')/b,

x = x'.

(4.24)

Здесь b = Ö(1–v2/c2).

Уравнение волны относительно новой с.о.:

A = sin w[t'/bx'/c] =

= sin w/b [t' – bx'/c].

(4.25)

Из этого уравнения видно, что поперечная к направлению движения волна изменяет свою частоту и, вдобавок, наблюдается аберрация в направлении движения волны и релятивистская добавка к нему. Скорость волны при этом не изменяется. Найдем уравнение фронта волны для t' = 0:

bx' = 0 ® x' = 0.

(4.26)

Из этого результата видно, что аберрация должна отсутствовать.

Но этот вывод, конечно, не означает, что аберрация вовсе отсутствует. Он лишь означает, что фронт волны как был перпендикулярным, так и остался таким же. Но для узкого луча света эффект аберрации будет присутствовать.

Но отсюда же видно, в эффект Доплера для поперечной волны должен наблюдаться, но только с релятивистским коэффициентом:

A = sin (wt'/bwx'/c).

(4.27)

Это также означает, что линейная волна, распространяющаяся перпендикулярно к направлению движения с.о., является релятивистским объектом. Скорость распространения волны остается постоянной и равной с.

2) Сделаем преобразование Лоренца со скоростью v в направлении движения волны и посмотрим, что получится:

t = t'/b,

x = (x' + vt')/b.

(4.28)

Уравнение волны относительно новой с.о.:

A' = sin w[t' – (x' + vt')/c]/b =

= sin w[t' – vt'/c – x'/c]/b =

= sin w[t'(1 – v/c) – x'/c)]/b =

= sinw'(t' – x'/(c – v))/b.

(4.29)

Это уравнение волны говорит о том, что

1) уравнение волны не осталось инвариантным относительно перехода в новую с.о.,

2) скорость движения волны вдоль оси x' изменится: c' = cv и

3) круговая частота волны изменится: w' = w(1± v/c)/b, причем это изменение отличается от классического на релятивистский коэффициент 1/b. Причем это изменение соответствует СТО.

Это изменение называется эффектом Доплера и соответствует классическому эффекту Доплера по изменению частоты волны только при малых значениях скорости. Релятивистский коэффициент в эффекте Допплера принципиально отличает преобразования СЭТ от галилеевых (ГПТК, РГПТК), потому что в ней имеется именно этот релятивистский эффект.

Выводы. 1. Волна в СЭТ не является классическим галилеевым объектом, в силу наличия в ней эффекта Доплера с релятивистским коэффициентом.

2. Скорость света в СЭТ анизотропна и зависит от направления движения и выбора изотропной с.о. (АСО?). Скорость света определяется точно так же, как и при галилеевых преобразованиях координат.

1.14.        Отражение волны

1.15.        Стоячая волна и резонатор

7.       Принцип эквивалентности ОТО

Рассмотрев различные принципы относительности, мы могли заметить, что волновое движение является особым видом движения. Волновое движение не подчиняется галилееву принципу относительности: из уравнений движения волны видно, что для нее характерна абсолютность движения. И в ньютоновой механике проявляется то же свойство. Но в расширенной галилеевой и релятивистской механике он становится полноправным объектом, подчиняющимся принципам относительности. Это связано с тем, что сами эти принципы связаны с волновым характером движения материи, имеющей предельную скорость движения.

Но в этих принципах ни слова не говорится о том, как волна взаимодействует с материей. При движении волны в вакууме, в соответствии с законами оптики и релятивистской механикой, волна движется прямолинейно и равномерно, ни с чем не взаимодействуя. Это же следует и из законов электродинамики: свободное электромагнитное поле можно разложить на бесконечное множество суперпозиционирующих между собой составляющих, каждая из которых распространяется независимо. Можно даже предположить, что ЭМВ (или ее составляющая) всегда определяет некоторое ИСО.

Взаимодействие электромагнитной волны возможно только с материей, на которой он рассеивается (переизлучается) или поглощается. Но даже в этом случае не просматривается никакой динамики взаимодействия ЭМ волны: переизлученная волна движется равномерно и прямолинейно в новом направлении с той же скоростью, подчиняясь волновому уравнению. Единственные принципы, которому подчиняется ЭМВ: 1) скорость распространения постоянна и равна c и 2) распространение волны можно рассматривать как цепочку переизлучений в каждой точке пространства-времени, в которой он окажется. В соответствии с этим проявляются стандартные оптические эффекты: дифракция и интерференция. Даже суммарное электромагнитное поле от с.м.т. рассчитывается именно по принципу суперпозиции отдельных ее составляющих от этой системы по всему пространству-времени и полностью определяется распределением заряженной материи с точностью до свободного ЭМП.

Изменение скорости распространения волны происходит только при движении ЭМВ в более плотной оптической среде. Но это не является фундаментальным эффектом, потому что оно не распространяется на другие виды взаимодействий. И даже для ЭМВ проявляется эффект дисперсии.

Так как же может взаимодействовать ЭМП с материей? Какой же принцип можно определить для такого взаимодействия? Электродинамика такое взаимодействие не определяет.

Такой принцип можно определить. И этот принцип кроется в существовании гравитационного поля. Это – принцип эквивалентности неинерциальной с.о. и гравитационного поля. Он проявляется, например, в том, что в свободно падающей в гравитационном поле лаборатории невозможно определить, существует гравитационное поле или нет. В ней все будет происходить так, как будто бы никакого ускоренного движения не существует. А в неинерциальной с.о. свет должен изменять параметры своего движения: направление и скорость, так же, как и свободно движущаяся м.т. Это и очевидно: в криволинейной и ускоренной с.о. прямые линии обязаны искривляться. Как ни парадоксально, но в качестве НСО в гравитационном поле Солнца выступает вся наша Солнечная система, которую мы традиционно считаем ИСО: именно в ней лучи света движутся по искривленной траектории.

И это относится не только к объектам ньютоновой механики, но и к объектам волновой механики. И этот принцип приводит к фундаментальным следствиям, которые относятся к общей теорией относительности.

1.16.        Гравитационное поле и скорость света

Свет, распространяющийся в соответствии с волновым уравнением и принципами относительности в однородных и изотропных пространствах, может распространяться только прямолинейно и иметь только одно единственное значение скорости.

Рассмотрим движение волны света в свободно падающем в гравитационном поле лифте. 

Предположим, что мы рассматриваем движение узкого пучка света, движущегося перпендикулярно направлению падения лифта. Если не принять никаких дополнительных предположений (с т.з. КМ), то мы должны заметить, что этот луч в лифте должен распространяться по криволинейной траектории (см. рис. 11). И даже более того: мы должны заметить, что фронт волны располагается не перпендикулярно направлению движения луча. Следовательно, из этого опыта мы можем получить информацию о наличии гравитационного поля.

С т.з. внешнего инерциального наблюдателя луч света должен распространяться прямолинейно и равномерно в его с.о., и он никаких нарушений законов распространения волновых процессов не должен заметить.

Рис. 11. Схема движения луча света в падающем в гравитационном поле с ускорением  лифте. Траектория луча света дана в с.о. лифта. Показаны также фронты положения луча в разное время.

Похожие эффекты мы должны получить из наблюдения распространения луча света, движущегося соосно направлению падения лифта. Луч света, испущенный из верхней точки лифта в нижнюю, в соответствии с эффектом Доплера, должен уменьшить свою частоту, а при движении вверх – увеличить. По величине этих эффектов можно было бы судить о гравитационном поле.

Но все это противоречит принципу эквивалентности: судить о наличии гравитационного поля на опытах в свободно падающем лифте невозможно. В соответствии с принципом эквивалентности, с точки зрения лаборанта внутри лифта луч света в лифте должен распространяться прямолинейно и равномерно перпендикулярно своему фронту со скоростью света c. А луч света для внешнего инерциального наблюдателя как раз и должен изменять свои параметры. Но как это возможно?

Рассмотрим оба случая отдельно для малых скоростей v << c.

1.17.        Падение луча света в направлении движения лифта

По принципу эквивалентности при падении на высоту Dh = h1 - h2 в лифте ничего не должно измениться: ни размеры лифта, ни частота, ни скорость света. С точки зрения КМ должны измениться частота и скорость распространения света, причем в обоих направлениях – сверху вниз и снизу вверх, в соответствии с эффектом Доплера.

В соответствии с релятивистской механикой, должны проявиться еще и релятивистские эффекты: сокращение расстояний и замедление времени.

Рассмотрим лифт, падающий в однородном гравитационном поле со скоростью v и ускорением g с высоты h1 до h2. В лифте создан вертикальный луч электромагнитной волны частотой ω'.

В соответствии с КМ скорость света в лифте будет равна

c' = c - v.

Частота света в ИСО лифта:

Эти параметры света определяются в галилеевой с.о., связанной локально с лифтом. В соответствии с принципом эквивалентности эти эффекты не должны наблюдаться: ω = ω'. Это возможно, если коэффициент при ω в предыдущей формуле равен 1. Но это возможно только в том случае, если кроме коэффициента  присутствует еще один, гравитационный коэффициент, обратный ему. А это возможно, только если изменится ход времени в с.о. лифта:

Для вертикального луча света соответственно имеем другие соотношения, потому что его частота должна увеличиться в соответствии с эффектом Доплера:

c' = c + v,

Эти два случая классической механики противоречат друг другу и поэтому не могут использоваться для расчета гравитационных эффектов. Эффект имеется, он правильный, но этот эффект чисто классический доплеровский, зависящий только от скорости, а не гравитационного потенциала.

Рассмотрим другой случай.

В евклидовом пространстве свет распространяется только прямолинейно и равномерно, не испытывая какого-либо взаимодействия с чем бы то ни было, кроме заряженных объектов. Но это не может быть правильно. Если принять принцип относительности и к распространению ЭМВ, то в гравитационном поле волна тоже должна падать. В том же известном космическом корабле (или свободно падающем лифте) этот принцип заключается в том, что по отношению к кораблю волна не изменяет своих параметров, но может изменить свои свойства по отношению к пространству в целом. В частности, рассмотрим падение волн в том же направлении. Тогда при падении на высоту h скорость лифта изменится на величину

Если волна света при этом не изменит своих параметров (частота, скорость), то мы получим частоту

Но этого изменения частоты по принципу эквивалентности не должно быть. Следовательно, частота падающего в гравитационном поле света должна увеличиться на эту же величину:

Тогда полное изменение частоты света будет нулевым.

 

 

 

******************

Рассмотрим стоячую волну, организованную в лифте, с т.з. классической механики. волна распространяется в обе стороны, отражаясь от стенок.

 

 

 

 

Лифт при падении получит дополнительную скорость

v' = v + g Dt.

Скорость света при этом изменится еще на определенную величину:

c' = c - v' = c (v + g Dt).

В соответствии с эффектом Доплера изменится частота ЭМВ:

В соответствии с принципом эквивалентности не должны наблюдаться эти эффекты: ω = ω'. Это возможно, если коэффициент при ω в предыдущей формуле равен 1:

Решим ее. Для этого должно выполняться условие

В лифте создана вертикальная стоячая электромагнитная волна частотой ω.

1.18.        Движение луча света перпендикулярно направлению движения лифта

8.       Релятивизм классической механики

Далее в этой части мы рассмотрим различные виды релятивизма, вытекающие из различных зависимостей инертности энергии.  

Попробуем определить 4–тензорную механику, приняв в качестве дополнительного принципа принцип инерционности энергии. Здесь возможны четыре способа для определения зависимости P, dP, K и dK от массы и скорости:

 

 

 

Таблица 1.

энергия не обладает инерцией:

1. dE = mvdv

p = mv

m = const

(5.1)

энергия обладает инерцией:

2. dE = vdp

3. dE = pdv

4. dE = ½d(pv)

p = mv

E ~ K ~ m

m ≠ const.

 

Рассмотрим, как изменяются импульс и энергия м.т. при изменении скорости м.т. в различных релятивистских случаях. Т.к. в этих случаях речь идет о полной энергии м.т., то вместо кинетической энергии K будем пользоваться обозначением полной энергии E. Уравнения (5.1) более подробно с несколько другими обозначениями расписаны в таблице 1.

Классический случай – это уравнение (5.1.1). В релятивистских случаях это уравнение можно записать тремя способами, и они все согласуются с классическим случаем при постоянной массе. Это уравнения (5.1.2) – (5.1.4). Далее проанализируем каждый из них.

Первая(нулевая) строка в этой таблице соответствует зависимости импульса от массы и кинетической энергии, а остальные – кинетической энергии от массы и изменения скорости:

 

 

 

Таблица 2.

 

 

Энергия

не обладает инерцией:

m = const

Энергия

обладает инерцией и импульсом:

dK = d(mc2)

 

 

 

1

2

 

dp

0.

dp = mdv Û p = mv

dp = d(Kv) =

= Kdv + vdK Û p = Kv

при Kv = 0 = m

(5.2)

dK

1.

dK = 0

K = m = const

(галилеева механика)

 

2.

dK = p dv = m vdv = mdv2)

K = m(1 + ½v2)

(соответствует классической механике)

dK = Kvdv

K = m exp(v2/2)

(не соответствует практике?)

 

3.

dK = v dp = m vdv = mdv2)

K = m(1 + ½v2)

(эквивалентна классической)

dK = v dp = v d(Kv) = v (Kdv +vdK)

K = m/√(1 – v2)

(расшир. галилеева механика

и релятивистская механика СТО, п. 9)

 

4.

dK = ½d(vp) = ½md(v2) = mvdv

(эквивалентна классической)

dK = ½d(vKv) = dKv2)

= ½v2 dK + vKdv

K = m/√(1 – ½v2)

(не соответствует практике?)

 

1.19.        Классический случай

Рассмотрим, как изменяются импульс и энергия м.т. при изменении скорости м.т. В классическом случае m = const и из (5.1.1) имеем:

P' = p + dp = p + mdv,

K' = K + v dp = K + mvdv.

Изменение импульса и энергии будет следующим:

dp = mdv,

dK = mvdv.

(5.3)

При этом масса м.т., в силу своей неизменности, может стоять как за пределами дифференциала, так и внутри его. Система уравнений (5.1) легко решается:

p = mv + p(v=0),

K = ½mv2 + K(v=0).

(5.4)

В силу изотропности пространства импульс в состоянии покоя м.т. p(v=0) = 0. В отношении кинетической энергии K(v=0) ничего определенного сказать нельзя. В классической механике принимается K(v=0) = 0. В релятивистском случае можно предположить его линейную зависимость от массы м.т. из предположения, что энергия системы м.т. должна быть аддитивна и равна сумме энергии отдельных м.т.:

K0 = E0 = mc2.

(5.5)

где c2 – некоторая константа связи между массой и энергией в состоянии покоя м.т. Никакой связи параметров "m0" и "с" с их значениями в знаменитой формуле Эйнштейна здесь не предполагается. Это просто коэффициент, очень похожий на коэффициент в той знаменитой формуле.

1.20.        Стандартный релятивистский случай: dE = vdp

dE = v · dp = v · d(mv); m ≠ const.

Подставим вместо m значение из уравнения (5.5):

dE = v · d(E/с2v) = v/c · d(Ev/c).

Заменим v/c на коэффициент релятивизма β:

dE = β d(Eβ).

(5.6)

Решим это дифференциальное уравнение:

dE = β(Edβ + βdE),

dE – β2dE = βEdβ,

(1 – β2)dE= E d(½β2),

dE/E = d(½β2)/(1 – β2),

lnE = ln(1/√(1 – β2)) + lnC,

E = C/√(1 – β2).

При β = 0 E(β=0) = C. Сравнив ее с уравнением (5.4), свободный член C решения уравнения (5.5) можем приравнять mc2. Тогда:

E = m0c2/√(1 – β2).

(5.7)

Для массы имеем выражение:

m = m0/√(1 – β2).

(5.8)

1.21.        Второй релятивистский случай: dE = pdv

dE = p · dv = mv · dv = m · vdv,

dE = E/c2 · vdv.

(5.9)

Проинтегрируем ее:

1/E · dE = 1/c2 · vdv,

ln E = ½v2/c2 + ln C,

E = C exp(½v2/c2).

При v = 0 E(β=0) = C. Сравнив ее с уравнением (5.4), свободный член C решения уравнения (5.8) можем приравнять m0c2. Тогда:

E = m0c2exp(½v2/c2).

(5.10)

Для массы имеем выражение:

m = m0exp(½v2/c2).

(5.11)

При v = c энергия м.т. будет иметь значение E = m0c2exp(½) ≈ 1,6 m0c2. Ограничения по скорости не имеется. С такой зависимостью энергии от скорости, так же как и в классическом случае, нельзя построить 4–мерную тензорную механику типа СТО или ОТО. Но в АСО возможно.

Это решение для E нельзя считать правильным, потому что несмотря на то, что в пределе β → 0 оно соответствует классической кинетической энергии, но не соответствует экспериментальным данным о зависимости массы как функции скорости.

1.22.        Третий релятивистский случай: dE =1/2d(vp)

dE = dpv).

(5.12)

Решим ее:

dE = dmv2) = dmc2 · v2/c2) =

= d(E · ½v2/c2) = d(E · ½β 2),

dE = ½dE β2 + ½E dβ2,

dE – ½dE β2 = ½E dβ2,

dE (1 – ½β2) = ½E dβ2,

1/E · dE = ½/(1 – ½β2) d2),

ln E = – ln(1 – ½β2) + ln C,

E = C/(1 – ½β2).

При v = 0 E(β=0) = C. Сравнив ее с уравнением (5.3), свободный член C решения уравнения (5.11) можем приравнять m0c2. Тогда:

E = m0c2/(1 – ½β2).

(5.13)

Для массы имеем выражение:

m = m0/(1 – ½β2).

(5.14)

Это решение для E тоже нельзя считать правильным, потому что несмотря на то, что в пределе β → 0 оно соответствует классической кинетической энергии, но не соответствует экспериментальным данным о зависимости массы как функции скорости.

Вывод:

Ни галилеева механика, ни расширенная галилеева механика, ни Лоренцева (эквивалентная СТО), ни другая из таблицы, не соответствуют классической ньютоновой механике. В галилеевой механике пространство и время независимы, но в ней нет энергии и работы. В расширенной галилеевой и лоренцевой механике (СТО) есть и энергия, и работа, и правильная зависимость кинетической энергии от скорости при малых значениях скоростей, но формулы преобразования энергии и импульса в ней предполагают как следствие зависимость временных элементов любых тензоров от скорости движущейся с.о. или м.т. И только при малых скоростях они асимптотически соответствуют друг другу. Следовательно, группа классической механики не соответствует ни одной (тензорной) механике, основанной на 4–мерных ПТК. Она соответствует только оригинальной группе галилеевых преобразований классической механики в 3–мерном пространстве + независимое скалярное время t в качестве параметра мировой линии м.т. Механика Ньютона находится посередине между галилеевой механикой и СТО (и другими), оптимально сочетая в себе их недостатки и преимущества для случая малых скоростей.

 

 

Ссылка на этот материал: spyecial'naya_tyeoriya_otnosityel'nosti.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 48 to divide on 1 equally:

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 17 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25