-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: variacionnaya_myehanika_ryeshyeniya.htm)
Силовой и вариационный принципы в механике. Примеры использования

1.       Силовой и вариационный принципы в механике. Примеры использования

2.       Виды параметризации

Действие S для м.т. между двумя точками a и b определяется интегралом

(1.1)

Параметр m в этой формуле является весовым коэффициентом и он связан с тем, что действие для всей системы м.т. определяется аддитивно по каждому элементу. В КМН под m понимается масса м.т.

Параметр ds – дифференциал инвариантного действия для м.т. с единичной массой. Его значение не зависит от конкретной м.т., а зависит только от значений координаты q м.т. и дифференциала ее перемещения вдоль траектории dq:

ds = ds(q, dq).

(1.2)

При учете электростатического взаимодействия добавляется еще один аддитивный параметр – электрический заряд e.  В общем случае возможно существование наряду с электрическим и других видов зарядов. Действие при их наличии определяется аддитивно через интеграл

(1.3)

В принципе dsk могут быть независимыми друг от друга функциями. Это означает, что для различных зарядов пространство обладает различными метриками.

Т.к. метрика dsk являются вполне известными с точки зрения разрабатываемой теории функциями, то действие можно вполне определить через одну метрику ds и эффективную массу m'

.

(1.4)

По своему виду с математической точки зрения дифференциал ds определяет метрику пространства. Из его вида можно сделать вывод, что параметризация траектории (или метрика) может быть жесткой и мягкой.

Под жесткой параметризацией действия понимается параметризация действия для м.т., зависящая только от ее координаты:

s = s(q),

Ds(q2, q1) = s(q2) s(q1).

(1.5)

Жесткая параметризация действия с помощью параметра s определяет в пространстве глобальную одномерную (линейную) метрику - "время" t. Глобальное время отличается от координатного t тем, что глобальное время является скаляром, а координатное время является не скалярным параметром. В векторном пространстве координатное время при определенных условиях обладает векторными свойствами, а его дифференциал всегда является вектором.

Под мягкой параметризацией действия понимается параметризация действия для м.т., зависящая не только от ее координаты, но и линейно от направления и скорости движения. Мягкая параметризация действия с помощью параметра s определяет в пространстве  "собственное время" м.т. tc. Его называют также интервалом. Собственное время м.т. не является ни глобальным, ни координатным временем. Она – собственность траектории м.т. Но его дифференциал обладает скалярными свойствами.

Мягкая параметризация может быть линейной, билинейной и полилинейной. Линейная параметризация линейно зависит от разности координат двух точек и определяется выражением

ds = Aidqi,

 

где Ai – некоторое векторное поле. На практике часто бывает удобно выразить дифференциал dqi через скорость м.т. . Здесь под dt понимается некоторый скалярный дифференциал – разность скалярного параметра "время" между двумя точками q2 и q1:

dt(q) = t(q2) - t(q1): q2 - q1 = dq.

В частном случае, когда векторное поле Ai является градиентом некоторой скалярной функции, параметризация превращается в жесткую.

В качестве параметра t(q) могут выступать фактически любые скалярные функции. На практике в этом качестве выступает глобальное время t(q):

.

В галилеевом пространстве классической механики в качестве параметра t(q) используется временная координата t. Было бы правильнее использовать глобальное время t, т.к. временная координата не является скаляром. Но так уж повелось, что в галилеевом пространстве координата времени обладает инвариантными свойствами, пока не поменяется масштаб координаты "время".

Под билинейной параметризацией действия понимается параметризация действия для м.т., зависящая не только от ее координаты, но билинейно от направления и скорости движения. Частным случаем такой параметризации является действие с названием  "интервал" для м.т. в СТО:

ds2 = gijdqidqj = (1 - v2)dt2.

(1.7)

Этот способ параметризации действия используется во всех релятивистских физических теориях. В пространстве Минковского СТО в качестве параметра t(q) при определении скорости v почти исключительно используется билинейный интервал ds:

Тогда

ds2 = (1 - v2)dt2.

(1.7.2)

Недостатком его использования является зависимость его от траектории, т.е. его не глобальность. Но этот недостаток успешно преодолевается.

Под полилинейной параметризацией действия понимается параметризация действия для м.т., зависящая не только от ее координаты, но полилинейно от дифференциала координат вдоль траектории:

dsn = gij..kdqidqj.. dqk = gij..k vivjvk..dtn.

(1.8)

Его использование в конкретных физических теориях ограничено специальными случаями и альтернативными теориями.

В слоях одновременности жестко параметризованных пространств  возможно определение глобальной собственной метрики. При этом метрика может быть жесткой (скалярной), мягкой (векторной), билинейной (биметрической) и полилинейной. Введение скалярной метрики будет эквивалентно введению еще нескольких абсолютных координат. В принципе в n-мерном абсолютном подпространстве возможно ввести до n скалярных метрик, которые задают n независимых координат произвольной точки в n-мерных слоях одновременности пространств.

В мягко параметризованных пространствах (и абсолютных подпространствах) возможно определение локальной собственной метрики gij (lij). Поле gij в каждой точке каждого пространства определенаяется через тройку ортонормированных ковариантных векторов gki, определяющих координаты ортов текущей базовой системы координат в некоторой локальной ортонормированной базе.

gki gkj = gij.

(1.9)

В пространстве с абсолютным временем не определена метрика внутри слоя одновременности. Но она может быть определена независимо от глобальной метрики. С ее помощью определяется близость точек только внутри пространственных слоев одновременности пространства. А именно близость точек слоя абсолютного подпространства может определяется биметрикой lij(q):

dl2 = lij dri drj.

(1.10)

Но этот параметр никаким образом не сказывается на линейной метрике dτ.

Специфичность тензорного исчисления пространства c абсолютным временем определяется ее галилеевостью и отсутствием полномерного биметрического тензора. В связи с этим отсутствует операция поднятия-опускания индексов тензоров. Но возникает определенная свобода в выборе сопряженного тензора с опущенным (поднятым) индексом.

Встает вопрос: какой из систем отсчета можно применить в качестве базовой для изучения законов механики? Вопрос не простой, потому что ни одна из с.о. не имеет преимуществ перед другой. Все они равноправны. Выбор можно сделать на основе какого–то принципа. Например, на принципе однородности и изотропности пространства и времени, хотя бы в разумных масштабах или асимптотически на бесконечности. Таким пространством может быть евклидово пространство–время. Более того – в n–мерном абсолютном подпространстве определена наиболее простая ортонормированная n–метрика:

lij = dij

(1.11)

и соответствующее (n+1)-мерное расширение с абсолютным временем. Основанием для такого выбора является то, что в классической механике пространство и время считаются однородными и изотропными и соответствуют нашим интуитивным ощущениям.

Как следствие, в классической механике мы можем сделать вывод о возможности замены параметра τ на t, но при этом всегда необходимо иметь в виду, что τ – скаляр, а t – элемент вектора с индексом 0, и надо учитывать, в каком качестве употребляется параметр t в конкретном выражении. В общем случае в таком пространстве абсолютное время τ является линейной функцией от координаты времени:

τ = kt - t0,

dτ = kdt,

где k – масштабный метрический коэффициент,

t0 – смещение времени  начала точки отсчета времени.

Рассмотренные нами параметризации пространства дают нам локальную метрическую структуру пространства. В частности, линейная метрика Ai задает электромагнитную метрику пространства-времени ds = Aidqi, а билинейная метрика ds2 = gijdqidqj задает гравитационную метрику пространства-времени. Они входят в состав лагранжиана заряженной м.т.:

.

Полилинейные метрики пока не нашли свою нишу в физических теориях как метрический элемент пространства-времени. Но полилинейный элемент 4-го порядка присутствует в ней как плотность лагранжиана rL непрерывного материального поля:

dS = rL gijkl dqidqjdqkdql.

Глобально физическое пространство может быть достаточно сложно устроено в топологическом смысле и в нем возможно существование "туннелей" между удаленными точками пространства или между прошлым и будущим и даже возможно существование такой аномалии, как тождественность бесконечного прошлого и будущего – возврат времени через особенность, как в теории большого взрыва с инфляцией. Такая "туннель" может обладать зарядом, при этом ее "поле напряженности" будет замыкаться через эту "туннель" в другой пространственно-временной точке или бесконечности. Эта "туннель" может быть образована между любыми двумя, в т.ч. и "бесконечно удаленными", точками Пространства. В отображении этого пространства в евклидово пространство "туннели" будут проявляться в существовании точечных зарядов, элементарных частиц, скрытых и явных "струн" и их нелинейного взаимодействия. Наличие "туннеля" между прошлым и будущим говорит о процессах распада-синтеза элементарных частиц, а между пространственно-подобными соседними точками – о наличии сильной связи.

3.       Жесткая параметризация. Скалярное поле j(q)

Жесткая параметризация траектории однозначно определяет пространство с абсолютными временем и абсолютным подпространством. Абсолютное время определяется параметром t, а абсолютное пространство – слоем n-мерного подпространства с одним и тем же значением параметра t. В таком пространстве определены локальные преобразования координат типа смещений вдоль координат "время" и абсолютного подпространства, пространственные вращения абсолютного подпространства и переход в "движущуюся с.к.", что эквивалентно галилеевым преобразованиям координат.

1-метрика, несмотря на то, что определена только в одном измерении, имеет глобальный характер и определена для любых двух точек пространства, определяемый скалярным расстоянием между двумя слоями одновременности пространства. Расстояние между любыми точками внутри каждого слоя пространства при этом будет равно нулю.

3.1.             Скалярная метрика

В этом случае параметр действия s = τ(t, r) задается непосредственно для всего пространства в форме скалярной функции, т.е. является функциональным свойством пространства–времени, а не м.т. конкретно. Этот параметр задается однозначно, точнее, с точностью до произвольной константы, с тем, чтобы дифференциал dτ был инвариантом dq:

s = τ(q) + C,

(6.1)

Скалярная функция τ(t, r) однозначно определяет некоторую линейную метрику в пространстве, определяемую через ее градиент:

ds = = τ,0dt + τ,idri = (τ,0 + τ,ivi)dt,

где τ0 = τ/t, τi = τ/ri – частные производные функции (параметра) τ по координатам.

Параметр τ задает подпространство одновременных событий, или универсальное (абсолютное) время в точке пространства–времени и выступает в роли своеобразной метрики пространства, поэтому поле τ должно быть задано для всего пространства и только единожды. Скалярное поле τ является неотъемлемым свойством пространства–времени, так же, как метрика для метрического пространства.

Пусть (q, t) – рассматриваемое нами пространство–время с метрикой τ,i. Если τ,0 ¹ 0 ни в одной точке пространства, то можно выбрать новую с.о. таким образом, что t' = τ, r'i = ri. Тогда τ,0 = 1, τ,i = 0, и мы получим локально абсолютное пространство–время как прямое произведение независимых подпространств P4 = P1´P3. Это полностью соответствует пространству с абсолютным временем. Отличие в том, что 3–подпространство может быть не евклидовым.

В вариационной форме с такой скалярной метрикой можно связать действие:

dS = mdτ.

Полное действие вдоль произвольного пути между точками a и b определится по формуле

(6.2)

Этот интеграл не зависит от конкретного пути м.т., и любая траектория будет допустимой.

В силу вышесказанного, это пространство есть пространство никак не связанных между собой слоев 3–мерных подпространств с независимой внутренней параметризацией каждого слоя. В них даже близкие значения координат точек каждого слоя и точек соседних слоев ничего не говорят о связности (физической близости) этих точек. А нам необходимо физически связать точки пространства и различных слоев ее. Единственная возможная форма связи на данном этапе – это численная близость значений всех четырех координат. Таким образом в них может быть определено топологическое понятие окрестности точки, связанных близкими значениями координат точек одного слоя и близкими значениями координаты времени разных слоев 3–подпространств.

Связь точек различных слоев пространства между собой определена через скалярное поле τ(qi), дающая разность времен двух близких точек. Через нее определяется понятие "одновременность". Он определяет слои пространства с одинаковым временем. Если τ = t, то τ/qi = (1,0,0,0) = δi. Этот вектор инвариантен относительно преобразований координат внутри слоев одновременности пространства.

Связь точек внутри слоя одновременности определяется только топологическим отношением "окрестность" по близости значений координат. В классической механике ньютоновой (КМН) связь точек пространства определена через понятия галилеева пространства, ИСО и три закона Ньютона. Точки слоев одновременности пространства связаны метрикой lij.

С математической точки зрения, τ и t – просто две разные параметризации одновременности в пространстве–времени и не имеет смысла предпочесть один другому. Если в пространстве–времени существуют две параметризации одновременности, то они могут отличаться только некоторой взаимной функциональной связью:

τ = τ(t) или t = t(τ).

Для такого пространства:

rot τi = 0.

Вариационный принцип механики не может быть построен на использовании в качестве параметра действия скалярного параметра τ для минимизации интеграла S = ∫mdτ при постоянной массе, потому что он один и тот же для любой траектории между двумя определенными точками. Он инвариантен, поэтому м.т. может пройти в точку b из точки a в соответствии с принципом экстремума действия по любой траектории.

Вывод: жесткая параметризация сама по себе не способна определить какую–либо механику с участием м.т. Результативная механика на вариационном принципе может быть построена только при mconst или rot τi ¹ 0.

3.2.             Скалярное силовое поле в КМГ

Выше мы определили механику, построенную непосредственно в пространстве со скалярной метрикой. Мы выяснили, что эта метрика сама по себе не позволяет построить вариационную механику. Но кроме скалярной метрики, в этом пространстве могут быть заданы независимые "силовые" поля, взаимодействующие с м.т. через его заряды. Такими полями опять же может быть скалярное поле,ыть задано ейной метрики, в этом пространстве может ве с линейной метрикой.  зависящее опять же только от координаты м.т.:

u = u(q).

(6.3)

В форме второго закона Ньютона закон движения может быть определен уравнением:

Fi = eu,i.

(6.4)

где e – заряд м.т. Таким силовым воздействием на м.т., не зависящим от скорости, обладают электростатическое силы.

Действие вдоль траектории для заряженных м.т. с такими полями определяется в соответствии с выражением (1.4)

dS = mdt + edu.

(6.5)

Но операция поднятия индекса не определена для 4-мерных тензоров КМН и КМГ, поэтому для законности такой записи необходимо сделать некоторые допущения, например: 1) что численно они равны и 2) временная составляющая градиента не значима. Такие допущения принимаются в классической механике Ньютона трех измерений. В галилеевой механике это не законно, поэтому придется пользоваться только вариационной формой механики без операций поднятия-опускания индексов. При этом действие определяется выражением (1.4):

dS = mdτ + edu = d( + eu).

Через линейную метрику τ,i это же можно записать в виде

= (mt,iVi + eu,iVi)dτ = (mg,i + eu,i)Vidτ

(6.6)

Действие S состоит из двух частей – геометрической части mdτ  и силовой части edu. Предположим, что m и e заданы однозначно, что обычно выполняется для реальных физических объектов. Тогда объединением скаляров поле u для конкретной м.т. можно уничтожить:

Дифференциал dS' по мировой линии будет равен:

dS' = d(mτ + eu) = mdτ'.

Причем необходимо, чтобы выполнялось условие: .

Но эти выражения для действия для постоянных m и e при скалярности полей τ и u и нулевой вариации в конечных точках обладают общей нулевой вариацией, и любая траектория для любой м.т. будет удовлетворять принципу экстремального действия.

Это не стандартное преобразование тензорных полей – но оно тензорное. Смыслом введения потенциального поля u(q) является возможность введения зависимости "слоя одновременности" пространства от "заряда" м.т. Причем, возможно, можно будет ввести один общий фоновый евклидовый слой одновременности и отклонения от него для заряженных частиц. Даже если будет существовать один единственный дополнительный заряд, можно будет выделить некоторое однородное фоновое (евклидово) поле τ и функцию отклонения u от фонового. При этом время τ и поле u выступают по отдельности, но как составляющие некоторого общего скалярного поля  τ' = τm + ue, где τm – фоновое геометрическое время для незаряженного тела, ue - отклонение локального времени от фонового для заряженного тела.

Данная интерпретация не выводит нас за рамки тензорного исчисления, потому что преобразование (6.6) τ приводит к преобразованию заданного скалярного поля u. И у него есть интересная интерпретация.

Потенциальное поле u(q) определяет абсолютное отклонение течения скалярного фонового времени в пространстве с градиентной линейной метрикой в зависимости от ее заряда. Преобразованием координат эту скорость течения времени можно установить стандартным однородным ' = dt. Для наблюдателя реальным является именно слой одновременности событий, и он поэтому не заметит никакого скалярного поля.

У потенциального поля есть особенность при ds = 0. В этом случае локальная скорость течения времени в этой точке будет нулевой. И эту особенность невозможно устранить никаким преобразованием скалярных полей t и u. Единственный способ – удалить это множество точек. А это изменит топологический вид пространства, и он становится не эквивалентным евклидову. Но появляется возможность определения всюду определенных полей с источниками. Возможно, с точечными, и не только.

Замечание: скалярное поле u(q) не надо путать с временным элементом векторного поля A(q): ® A,0(q). Такой элемент часто обладает скалярными (точнее, псевдоскалярными) свойствами.

Предположим, что m ke. Тогда объединением скаляров действие по пространству и действие силы нельзя объединить в одной скалярной метрике. Но частично силовое скалярное поле можно перенести в скалярную метрику.

Вывод: жесткая параметризация и скалярное поле в ГМ не дают возможности определить вариационную механику.

Мы также можем сделать вывод о том, что имеется какая-то связь типа эквивалентности между скалярной метрикой пространства и скалярным силовым полем.

4.       Мягкая параметризация. Векторное поле Ai

В этом случае глобальное скалярное поле s(q) не определено, а определено только векторное поле мягкой параметризации Ai направления наиболее быстрого изменения s. Т.к. в вариационной механике поле определено с точностью до произвольного скалярного поля τ,  то и его включим в действие в виде mdτ. Фактически мягкая параметризация есть сумма жесткой и мягкой параметризации:

(8.1)

Здесь , в отличие от случая жесткой параметризации, когда = τ,idqi, определен более общим выражением dτ = gidqi, где gi может быть произвольным векторным полем.  Это поле обладает свойствами гравитационного поля. Для  евклидова пространства g0 = 1,  gi = 0 представляет собой элементы градиента скалярного поля t = t, определяющего направление времени. Учитывая, что g0 = 1 и gi = 0, имеем:

dS = (m + eAivi)dt.

Определение интервала ds в выражении dS = mds  при таком определении действия для м.т. становится неопределенным. Но надо ли ее определять? Думаю, что нет. Хотя … В качестве ds в таких случаях используется интервал mdt:

dS = mds  + eds*.

Здесь можно увидеть соответствие, или эквивалентность, между массой м.т. m и потенциальной энергией взаимодействия с внешним полем eAivi через заряд e. Можно даже сделать вывод, что эквивалентная (полная) масса m* м.т. во внешнем поле есть потенциальная энергия взаимодействия м.т. со всеми силовыми полями, в т.ч. с фоновым: m* = m + eAivi.

Но построенное на нем действие не будет чувствовать интервал жесткой параметризации mdt. Т.к. вариация не зависит от жесткой параметризации (g0, gi), то для интервала ds после замены S на S* можно записать:

dS* = eAividt.

(8.2)

Тогда

ds* = Aividt.

В последнем выражении поле Ai выступает в роли линейного метрического тензора пространства, и это поле должно быть задано для всего пространства и только единожды в отношении заряженных м.т. Оно не зависит от направления времени. Векторное поле Ai совместно с gi определяет локальное направление стрелы времени в текущей с.о. и является неотъемлемым свойством пространства–времени, так же, как биметрика для метрического пространства. Это будет несколько деформированное евклидово пространство–время с переменным ходом времени в каждой точке пространства–времени для заряда в зависимости от ее же заряда за счет составляющей поля A0 и некоторым локальным наклоном слоев одновременности пространства за счет пространственной составляющей поля Ai. Мы будем рассматривать фоновое пространство с единичной ортонормированной 3–метрикой в каждой точке и произвольным векторным полем Ai.

Векторное поле Ai определяет "векторное" отклонение метрики ds от евклидовой для заряженной м.т. Составляющая g0 коэффициента при члене mg0 при dt дает постоянную геометрическую составляющую вклада в действие для м.т. Ее вклад в действие соответствует лагранжиану жесткой параметризации. Он не дает вклада в вариацию действия вдоль мировой линии м.т. Для движущейся классической ньютоновой м.т. он должен отличаться от 1 и должен соответствовать составляющей +½mv2 классического лагранжиана м.т, потому что от него зависит составляющая mwi второго закона Ньютона после решения уравнения Лагранжа–Эйлера. В классической механике этот вклад есть кинетическая энергия м.т. В СТО – коэффициент динамической массы м.т. В ОТО он определяется через метрику: g0 ~ ds/dt. Они все соответствуют силам инерции. В ГТО этой составляющей нет: она тривиальна.

Поле Ai определяет малое отклонение собственного времени движения заряженной м.т. между двумя точками мировой линии по разным траекториям. При этом поле Ai не градиентно:

rot Ai ¹ 0.

Поле Ai определено с точностью до градиента произвольной скалярной функции координат и времени, потому что он не дает вклада в вариацию действия. Если поле Ai будет градиентным, то эта параметризация будет эквивалентна жесткому. Для такого пространства можно определить жесткую систему координат t = s. Если сравнить это выражение для действия с действием для электромагнитного поля, то видна полная аналогия: dS = –eAidqi.

Уравнение (8.1) говорит о том, что имеются еще силовые векторные поля, действие которых на геометрию пространства (интервал) зависит и от дополнительных параметров (зарядов) м.т. Это говорит о том, что две м.т. с одной и той же массой, но разными зарядами в одном и том же векторном силовом поле будут взаимодействовать с ним по разному и иметь различные мировые линии, которые соответствуют различным геодезическим. Но двух геодезических с общим направлением не существует. Это может говорить только о том, что геометрия пространства–времени должна быть более сложной и она относительна. Это также можно объяснить наличием двух (и более?) параллельных параметризации одновременности (метрики) пространства и отклонением его от жесткой – для массы и каждого заряда по отдельности. В качестве заряда e также могут выступать любые другие скалярные заряды ek м.т.: (индекс k – перечислительный, а не координатный индекс):

dS = ekAkidqi.

(8.5)

Существование нескольких полей Aki говорит о том, что существует базовое пространство и его расслоения по зарядам. Действие вдоль одной и той же линии движения может быть экстремальным для одной комбинаций зарядов и не экстремальным для других. Т.к. в то же время dS = m* · ds, то отсюда мы можем найти полную массу м.т.:

m* = dS/ds = ekAkiVi,

m* = ekAkiVi = ekAk = scalar.

Здесь m = scalar (не const!), потому что он представляет собой сумму произведений скалярных зарядов ek м.т. и скаляра от скалярного произведения силового поля Aki со скоростью Vi м.т.: AkiVi.

Интересной интерпретацией этих зарядов и полей является отождествление их с отклонениями текущей с.о. от ортонормированной по 4-м направлениям. Т.к. в 4–пространстве возможно существование только 4–х независимых векторов, то можно сделать предположение, что возможно существование только 4–х видов зарядов, все остальные будут линейными комбинациями этих 4–х зарядов. Предполагая однородность и изотропность пространственных координат, можно предположить, что заряды e1, e2, e3 можно объединить в один 3–мерный «векторный» заряд, а 4–й заряд будет независимым от них, а заряды e0, e1, e2, e3 – в один 4–мерный «векторный» заряд. Тогда Aki будет тензорным силовым полем, взаимодействующим с векторным зарядом ek, движущимся со скоростью Vi, причем не обязательно коллинеарными.

В свете этого массу можно определить как заряд e0 или более привычно через m0 или даже m:

(8.6)

где ek – векторный заряд м.т., являющиеся весами в дифференциале действия 4–х ортогональных направлений в пространстве–времени для м.т: один – временной вес и три – пространственных веса

Aki – силовые поля, определяющие ковариантные образы некоторой локальной ортонормированной с.о. в текущей, точнее, ее отклонение от евклидовой. Поля Aki определены с точностью до произвольных параметризации локальных отклонений от фоновой евклидовой с.о.,

e0 = m0 = mгравитационный заряд или масса и гравитационный векторный потенциал,

e1 = e и A1i электрический заряд и электрический векторный потенциал.

В общем случае время мировой линии будет зависеть от траектории движения и свойств (зарядов) м.т. При наличии поля Ai нельзя определить плоскости одновременности однозначно, как в случае жесткой параметризации. Поэтому придется ввести некоторое глобальное базовое пространство–время. Назовем его "фоновое пространство", в котором определяется подпространство одновременности как подпространство с постоянной координатой глобального времени. Это пространство асимптотически соответствует пространству, которое мы рассмотрели чуть выше. Оно евклидово, в ней нет изначально силовых полей и соответственно материи. Ей соответствует действие dS = m0dt.

4.1.             Векторное силовое поле Ai – вариационный подход

В форме, пригодной для вариационной механики:

dS = mds + eAidqi =

= mds + eAiVids =

= (m + eAiVi)ds.

(8.11)

где ds – метрический интервал. В случае наличия еще и гравитационного поля, взаимодействующего с массой m м.т., имеем:

dS = (m + mGiVi + eAiVi)ds.

(8.12)

где Gi – напряженность гравитационного поля.

Слагаемые m + mGiVi в этом выражении можно объединить. Но это наложит на гравитационное поле обязанность не быть слабым полем и состоять из двух частей – сильной постоянной части δi = (1,0,0,0), определяющей фоновое евклидово пространство и слабой части Gi, определяющей собственно силовое гравитационное поле:

G'i = δi + Gi,

dS = (mG'i + eAi)Vids =

= m(G'i + e/m · Ai)Vids =

= m(G'i + e/m · Ai)dqi,

(8.13)

Ограничением на векторное силовое поле является то, что оно должно быть определено с точностью до градиента скалярного потенциального поля с прежними значениями на границах вариации. Из этого ограничения следует, что частью поля δi можно пренебречь в силу его градиентности. Из этого ограничения также следует, что если поля Gi и Ai или их сумма Gi + e/m · Ai являются градиентными полями, то эти силовые поля тоже можно заменить на скалярные силовые поля g(q) и u(q). Тогда:

Gi = g,i(q) и Ai = ui(q).

Для такого поля:

dS = (mGi + eAi)dqi = mdg + edu.

вариация градиентного поля равна нулю. Это случай предыдущего пункта.

Сильное поле Gi, равное -δi и нейтрализующее метрику евклидова пространства δi, определяет предельную структуру пространства, и оно накладывает несимметричное ограничение на силовое поле:

Такое силовое поле не может быть линейным. Но эту нелинейность надо специальным образом непротиворечиво реализовать, потому что оно из (8.13) естественным образом не следует – нет явных ограничений на величину полей G и A.

С точки зрения математического формализма предыдущие формулы можно выразить следующими отличающимися интерпретацией вариантами:

,

.

(8.14)

Первое выражение говорит о том, что действие силового поля заключается в изменении эффективной массы м.т. без изменения метрики, а второе – в изменении метрики без изменения массы м.т. Более правильным в этом случае, пожалуй, будет первая интерпретация, при условии что мы не будем корректировать метрику пространства-времени в окрестности точки вдоль траектории. Это верно и с точки зрения наблюдателя. Наблюдатель описывает движение м.т. с точки зрения использования метрики, которую можно считать достаточно постоянной в пределах собственной окрестности и не зависящей от наличия или отсутствия этой м.т., включающей и окрестность м.т. и интерполированной на ее окрестность. Даже если собственная метрика окрестности м.т. сильно отличается от метрики наблюдателя, наблюдатель может этого и не заметить, потому что движение м.т. происходит на фоне более глобальной метрики наблюдателя. Для наблюдения отклонения локальной метрики м.т. он должен поставить эксперимент специальным образом, чтобы это заметить.

С другой стороны, более фундаментальным является изменение метрики пространства и локальная метрика окрестности м.т. должна учитываться. К тому же мы приняли, что масса неизменна. Но это встречается с определенного рода трудностями. В выражениях (8.11)(8.14) локальная метрика будет зависеть еще и от заряда м.т., т.е. для различных м.т. с одной и той же массой, но с различающимися зарядами, будет различной в одной и той же точке пространства. Возможно ли это? Если метрика пространства определена однозначно, независимо от наличия или отсутствия м.т., то нет. С другой стороны, м.т. создает свое поле, и зависимость метрики от наличия м.т. может быть и оправдана. Но, опять же, эта метрика будет зависеть сразу от двух параметров – и массы, и заряда – и опять получаем неоднозначность.

Таким образом, общий вывод: взаимодействие м.т. с полем с точки зрения вариации действия может быть объяснено как изменением эффективной массы м.т., так и изменением локальной метрики. Первая точка зрения – физическая, вторая – геометрическая. Конкретный выбор зависит от физической интерпретации математической модели теории. Но формально они эквивалентны.

4.2.             Вариация действия векторного поля Ai на м.т.

Решим уравнения Лагранжа–Эйлера для заряженной материальной точки при L = e(Aivi + j):

Здесь φ ~ A0. Множитель e в этом уравнении можно сократить:

(8.21)

Это означает, что последующее верно для любого заряженного тела. Так как Aj и j  не зависят от vi, то

и

(8.22)

Для правой половины уравнения (8.21)

.

Поэтому окончательно имеем:

(8.23)

Перенесем правую часть влево:

[vi(Ai,jAj,i)] + (Aj,0 - j, j) = 0 .

(8.24)

 

Левая часть этого уравнения дает точное выражение электромагнитной силы, причем она тождественно равна нулю. А это возможно для любого vi только при выполнении условия

что является условием градиентности поля (j, Ai), что соответствует жесткой параметризации. Уравнения движения м.т. здесь фактически не имеется. Этого следовало ожидать уже в силу того, что в лагранжиан L = e(Aivi + φ) классическая кинетическая энергия м.т. не входит.

Необходимо отметить, что здесь не учитывается лагранжиан самого силового поля и поля, создаваемого м.т., т.е. нет уравнений поля.

Вывод. Каких либо противоречий в данной формулировке взаимодействия м.т. со скалярным и 3-мерным векторным полем не имеется, как нет и самого взаимодействия.

4.3.             3-мерная КМН и векторное поле

Модифицируем лагранжиан, приравняв ее классической + действие для векторного поля Ai, включив в нее часть классического лагранжиана, ответственного за кинетическую энергию:

L = ½mv2 + e(Aivi + φ).

(8.41)

Здесь составляющая ½mv2 учитывает вклад кинетической энергии в действие м.т.

Сделаем некоторые предположения относительно индексов. Будем считать, что пространство–время евклидово и галилеевы преобразования не выполняются. Классическая 3-мерная ньютонова механика накладывает на индексы следующие ограничения:

vi ~ vi,

v2 = vivi ~ (vi)2,

wi ~ wi,

Ai ~ Ai,

Fi ~ Fi,

(8.42)

 

и вообще верхние и нижние индексы тензоров можно не различать. Этот выбор диктуется евклидовостью 3-мерного пространства.

Посмотрим, каким будет решение уравнения Лагранжа–Эйлера для этого лагранжиана для м.т. с массой m = const и зарядом e = const. Решим уравнение Лагранжа–Эйлера для этого случая:

(8.43)

Вычислим частную производную по скорости кинетической добавки левой части уравнения (8.43):

(8.44)

а для векторной составляющей:

(8.45)

Вычислим частную производную по координатам кинетической добавки в правой части уравнения (8.43):

mv2),j = ½m(vi,jvi + vivi,j) = mvivi,j = 0,

(см. замечание к 8.23), а для векторной составляющей (см. 8.23):

(Aivi + j),j = viAi,j + j,j.

Окончательно имеем:

,

.

В результате, после переноса полевых составляющих уравнения вправо, имеем:

(8.46)

 

Часть силы evi(Ai,jAj,i) носит название гироскопической силы. За его счет м.т. может получить только нормальное ускорение, без изменения модуля скорости. За счет силы e(j,jAj,0) м.т. может изменить как направление, так и модуль скорости.

Эта форма уравнения очень напоминает уравнение электромагнитного взаимодействия заряженной м.т. с электромагнитным полем после замены (j,jAj,0) на Ej и (Ai,jAj,i) на Hij:

Fj = e(Ej + viHij).

(8.47)

В векторной форме при постоянной массе, с учетом (8.42), это запишется так:

mw = e(E + v×H).

Это выражение для силы в точности соответствует электромагнитной силе, действующей на м.т. Необходимо отметить, что масса и заряд м.т. здесь приняты постоянными и не учитывается изменение меры инерции м.т. с изменением ее скорости. Также необходимо отметить, что здесь также не учитывается и лагранжиан самого силового поля и поля, создаваемого м.т., т.е. нет уравнений поля.

В силу отмеченного, есть существенное отличие взаимодействия этого силового поля с м.т., которая кроется в чисто "классической" зависимости лагранжиана от скорости м.т. В результате уравнение (8.46) не накладывает каких-либо ограничений на скорость м.т. Действие силы, точнее, ускорение м.т. остается конечным даже при бесконечном увеличении скорости. Действительно, пусть Ai, = const, m = const. Тогда значение ускорения м.т. не зависит от самой м.т., а зависит только от напряженности j,j:

Этот вывод не изменится, даже если мы рассмотрим более общее поле напряженности Ej = (j,jAj,0).

Вывод: мягкая параметризация совместно с кинетической энергией ½mv2 дает 2–й закон Ньютона для м.т. в электромагнитном поле в классическом приближении малых скоростей. Каких либо внутренних противоречий в данной формулировке взаимодействия м.т. со скалярным и 3-мерным векторным полями не имеется.

Классический лагранжиан противоречит релятивистскому принципу ограничения скорости м.т. скоростью света. Но это есть вывод с точки зрения классической механики с классическим лагранжианом м.т. в векторном электрическом поле.

4.4.             4-мерная КМГ и векторное поле

Классический лагранжиан КМН м.т. в с.о. наблюдателя определяется по формуле

L = ½mv2.

(8.31)

В 4-мерной форме в галилеевом пространстве лагранжиан L выражается похоже, но несколько по другому, чем (8.31), с учетом положения индексов:

L = ½mV2 = ½m(v0v0 + vivi) = ½m(10v0 +vivi) ~ ½mv0 + ½mvivi.

(8.33)

При ГПТК (без вращения) с параметром V = (V0, Vi) = (1, Vi): по тензорным законам 4-мерного галилеева пространства скорость v преобразуется по формулам

(8.34)

Замечание. 1. Было бы более правильно вместо векторного параметра Vi ГПТК использовать тензорный параметр Vi j:

включающий в себя еще и тензор поворота новой с.о. Но в данном рассмотрении я ограничиваюсь случаем без поворота с.о. А это позволяет пользоваться 3-мерным векторным параметром (V0, Vi) ~ (1, vi0) скорости новой с.о. К тому же, в конце концов окажется, что ГПТК не является тензором преобразования координат и тензоров пространства КМН.

2. скорость v должна определяться не как dr/dt, а dr/dt. Но в галилеевом пространстве t ~ t, и поэтому большой разницы между ними нет.

При ГПТК (без вращения) по тензорным законам 4-мерного галилеева пространства лагранжиан L (8.33) преобразуется по формуле

L' = ½m((vi - Vi)vi + (v0 + vi Vi) =

= ½m(vivi - Vivi + v0 + vi Vi) =

= ½m(vivi + v0).

(8.35.1)

Как видно, значение L не изменилось. Этого следовало ожидать, т.к. лагранжиан является скаляром. В новой с.о. лагранжиан имеет ту же инвариантную уравнению (8.33) форму:

L' = ½m((vi - Vi)vi + (v0 + vi Vi) =

= ½m(v'iv'i + v'0).

(8.35.2)

Какое следствие для механики можно вывести из этого лагранжиана? В уравнении (8.33) имеются два свободных члена, значения которых никаким образом не выводятся из состояния рассматриваемой м.т. в галилеевом пространстве. Это v'i и v'0. Но несмотря на это, их можно принять любыми и даже переменными, зависящими от координаты. Т.е. взять их как полевые функции, как свойство пространства:

vi ~ Ai(q),

v0 ~ A0 = φ(q).

Поле (φ, Ai) обладает определенными относительно ГПТК свойствами. При произвольных ГПТК (без вращения) поле Ai не изменяется, но поле φ изменяется:

A'i = Ai,

j' = A'0 = A0 + AiVi.

Теперь, с учетом только что сказанного, можно выписать инвариантную формулу для определения L в произвольной с.о.

L = ½m(viAi + φ).

(8.36)

Решение уравнения Лагранжа этого типа мы рассмотрели ранее.

Вывод. Несмотря на то, что мы начинали строить лагранжиан м.т. в галилеевом пространстве в классической квадратичной форме L = ½mv2, в результате мы получили линейный лагранжиан, соответствующий векторному потенциальному полю, рассмотренному в предыдущем параграфе, при малых значениях скорости v, но с коэффициентом ½ при φ. Это существенная, неустранимая разница, в связи с чем можно сделать вывод, что галилеева тензорная механика с векторным потенциалом не соответствует классической механике.  

4.5.             4-мерная КМН и векторное поле

Вопрос: соответствует ли пространство классической механики галилееву пространству? С первого взгляда, вроде бы и соответствует. Действительно, при ГПТК с параметром преобразования V координаты (t, r) и скорость v с большой точностью преобразуются по тензорным законам 4-мерного галилеева пространства:

(8.31)

что соответствует ГПТК галилеева пространства. Необходимо отметить, что здесь скорости v и V значительно меньше скорости света, и при нормализованной к единице скорости света |v| << 1.

С другой стороны, в любой ИСО классический лагранжиан L и действие S для м.т определяются по формулам

L = ½mv2 + mj,

dS = Ldt.

(8.32)

Если принять, что S = S', dt' = dt, то L = const.

Несколько слов о роли параметра j. j - это некоторый параметр, который может иметь скалярную или псевдоскалярную природу. В КМН это потенциальная энергия м.т. Его роль двойственна, как и роль dt. О ней речь будет позже.

Если иметь в виду, что v2 = vivi, то необходимо констатировать, что в классической механике в любой с.о., в т.ч. и движущейся, vi ~ vi, что уже противоречит законам преобразования векторов в галилеевом пространстве, в котором вообще нет правил для опускания индексов. Такому соответствию отвечает преобразование ковариантных элементов вектора по тому же закону, что и контравариантных:

Закон преобразования произвольных векторов A пространства КМН по аналогии будет определяться формулой

А все это еще раз говорит о том, что пространство КМН не галилеево.

Попробуем вывести инвариантный вид лагранжиана L в 4-мерном пространстве КМН. При ГПТК ньютонов лагранжиан L при скалярном j преобразуется по формуле

L'' = ½m(v'2 + j) = ½m((v – V)2 + j).

Из (8.32) при ПТК L не должен изменяться: L = L'. Посмотрим, так ли это.

L'' = ½m((vV)2 + j) =

= mv2 vV + ½V2 + j) =

= mv2 + j) – m( vV  ½V2) =

 = L + DL.

Из этого уравнения видно, что лагранжиан в исходной форме изменился на величину DL = m(vV ½V2) Для сохранения значения лагранжиана L' следует компенсировать это изменение:

L' = L'' DL = L'' + m(vV ½V2).

Эта формула выражает закон преобразования лагранжиана L при ПТК КМН. Приведем ее в штрихованную с.о.:

(8.33)

В этом уравнении нельзя пренебречь квадратичным членом ½V2, потому что он имеет тот же порядок малости, что и член ½v'2 – очень важный элемент КМН.

Как видно, инвариантность исходной формы лагранжиана теряется. Но можно принять, что эта форма лагранжиана является новой, более общей формой представления лагранжиана м.т. в произвольной ИСО.

Изучая уравнение (8.33), также можно сделать вывод, что форму лагранжиана можно оставить и прежней. Но для этого необходимо принять, что параметр j является не скаляром, а параметром м.т. с индексом 0, изменяющимся при ПТК КМН (смене с.о.) по закону:

j' = j + vV + ½V2.

(8.34)

Тогда

L' = mv'2 + j').

(8.35)

и форма лагранжиана останется инвариантной. Как следствие, учитывая, что при ГПТК КМН контра- и ковариантные элементы тензоров преобразуются одинаково, можно предположить, что этот закон преобразования верен независимо от положения индекса.

Таким образом, мы получили следующие законы преобразования координат КМН (независимо от положения индекса):

(8.31)

и векторов:

(8.36)

Из формул (8.31) и (8.32) видно, что координаты пространства КМН и элементы вектора преобразуются по различным законам. В таком виде они не составляют тензорное пространство. Но они должны преобразовываться одинаково, т.е. тензорно. Логическим следствием такой ситуации должен быть отказ от преобразования координаты времени и скорости с индексом 0 в соответствии с формулами преобразований ГПТК (8.31) или потенциал в соответствии с (8.36). Вторая возможность практически реализована в  КМН. Если следовать первой возможности, то координата t должна преобразовываться подобно векторному параметру j с нулевым индексом:

(8.37)

что, конечно, не соответствует ГПТК, в которой t' = t. Принятие такого закона преобразования нулевого элемента вектора координаты должно изменять само определение понятия времени, который перестает быть абсолютом: dt' ¹ dt.

Вывод: закон преобразования ковариантных элементов вектора скорости 4-мерной КМН говорит о том, что пространство КМН не галилеево. Более того, оно и не совсем тензорное.

Имеется определенное сходство уравнений ПТК КМН (8.36) и (8.37) с преобразованиями Лоренца (ПЛ). Временной элемент A0 вектора преобразуется в соответствии с ПЛ по формуле (с точностью до малых второго порядка)

(8.39.1)

Пространственный элемент Ai того же вектора преобразуется по формуле

(8.39.2)

Эта формула не совпадает с формулой (8.36.2) из-за того, что время в наших расчетах предполагалась абсолютной. Запишем эти более точные формулы более компактно:

(8.40)

Если бы в формуле (8.34) отсутствовал квадратичный член, что соответствует бесконечно малому ГПТК, он бы соответствовал ГПТК ковариантного временного элемента вектора

j' = j + vV.

(8.41)

Этому преобразованию соответствует закон преобразования векторов

(8.42)

Соответственно, формулы преобразования координат и скорости были бы следующие:

(8.43)

(8.44)

что, конечно, не соответствует ГПТК, но полностью соответствуют расширенному галилееву закону преобразования координат и тензоров (РГПТК).

Замечание. Последовательное применение бесконечно малых ГПТК до конечного результата, соответствующего V, приводит в точности к ПЛ.

4.6.             Вариация векторного поля 4-мерной КМН

Лагранжиан в форме (8.33) в произвольной ИСО позволяет сделать предположение, что параметр V может быть функцией координат пространства: V = A(r, t). Поэтому займемся решением уравнения движения с лагранжианом (8.33). Лагранжиан L м.т. классической механики ньютона в 4-мерной форме представляется в виде

L = mv2 + vA + ½A2 + j).

(8.34)

В этой форме лагранжиана, как и раньше, присутствует скалярный потенциал j. Особенностью этого лагранжиана по сравнению с предыдущими является дополнительный член ½A2.

При выводе уравнений движения будем использовать соотношения пространства КМН:

vi ~ vi,

v2 = vivi ~ (vi)2,

(8.35)

 

(соотоветственно и для Ai), которые не соответствуют ГПТК. Но формула преобразования координат и скорости

dt = dt',

r'i = r iv0it,

v'i = v iAi

(8.36)

 

вполне соответствуют ГПТК.

Посмотрим, к чему приведет решение уравнения Лагранжа–Эйлера для этого лагранжиана. Решим уравнение Лагранжа–Эйлера:

(8.37)

Вычислим частную производную по скорости кинетической добавки в левой части уравнения (8.35):

(8.38)

а для векторной составляющей (см. 8.35):

(8.39)

Вычислим частную производную кинетической добавки в правой части уравнения (8.37):

v2),j = ½(vi,jvi + vivi,j) = vivi,j = 0,

(см. замечание к 8.23), а для векторной составляющей:

(viAi + ½A2 + j),j = (viAi,j + Aivi,j ) + AiAi,j + j,j.

Но часть Aivi,j в этом уравнении тождественно равна нулю, т.к. vi,j = 0 (принцип независимой вариации скорости). Поэтому

(Aivi + ½A2 + j),j = viAi,j + AiAi,j + j,j.

Окончательно имеем:



В результате, после переноса полевых составляющих уравнения вправо, имеем:



Этот закон движения отличается от предыдущего дополнительным нелинейным членом AiAi,j.

Выводы. Векторное поле (φ, Vi) эквивалентно заданию в пространстве некоторого поля скоростей. Можно подумать, что это поле скоростей определяет некоторую АСО. Но это не так. Это поле скоростей не может определять какую-то преимущественную (абсолютную) с.к., потому что в отношении к м.т. оно определено с точностью до градиента произвольной скалярной функции, в число которых входит постоянное поле, эквивалентное просто другой ИСО. Для определения АСО необходима зависимость от (vV)2.

При ГПТК временной элемент j векторного поля (φ, Vi) преобразуется по специальному закону. А временной элемент 4-вектора скорости v не изменяется: . Причем это соотношение невозможно изменить. Еще одним 4-векторным параметром м.т. является ее импульс

Pi = (p0, pi) = m(1, vi) = (m, mvi).

В ней тоже временной элемент m не изменяется. По логике, они должны бы преобразовываться по одному и тому закону – как 4-векторы. Это противоречие является недостатком данной теории взаимодействия м.т. с векторным силовым полем: нарушается его 4-мерный тензорный характер.

5.       Метрическая параметризация

Два предыдущих случая с линейной метрикой и действием приводят к выводу, что механику можно построить только с добавочным кинетическим членом, зависящим от массы и скорости м.т. В классическом случае им является член ½mv2. Но есть еще один способ получения такой добавки, а именно в определении действия через квадратичный метрический тензор gij. В этом случае скалярное поле s(q) не определено, не определено и поле Gi как линейная метрика собственного времени, а определен только "интервал" или "длина" произвольного вектора через метрический тензор gij:

=.

(9.1)

Можно сразу отметить, что тензор gij симметричен относительно главной диагонали.

Если отклонение метрики δgij бесконечно мало отличается от единичного тензора: gij = E + δgij, то формулу для действия (точнее, ее отличие от СТО-шного) можно записать так:

δds2 = ½δgijViVj =

= ½ (δg00v0v0 + δg0jv0vj + δgi0viv0 + δgijvivj)dt.

(9.2)

Определим малые отклонения метрики δgij через новую тензорную функцию Gij:

δds2 = GijViVjdt = ½ (G00v0v0 + {G0jv0vj + Gi0viv0} + Gijvivj)dt .

(9.2.1)

Теперь можно определить отклонение линейного элемента ds в первом приближении:

δds = ½GijViVjdt =G00v0v0 + ½(G0i v0vi + Gj0·vjv0) + ½Gijvivj)dt.

(9.2.2)

Сделаем замену G00v0v0 = G, (G i 0 + G0i)v0 = Gi , учитывая, что v0 =1:

δds =  (½G + Givi + ½Giivivj)dt.

(9.2.3)

Из этой формулы видно, что в трехмерном пространстве в первом приближении риманова метрика определяет три 3-мерных тензорных поля – скалярное G, векторное Gi и симметричное тензорное Gij. полное действие в первом приближении будет равно:

ds = ((1 + ½G + Givi + ½Gijvivj) – ½v2)dt.

(9.2.4)

Если игнорировать их существование (все Gij = 0), то полное действие равно:

ds = (1 – ½v2),

(9.2.5)

что полностью соответствует классической ньютоновой механике. Но игнорировать не получится: в классической механике имеет значение квадрат скорости ½v2, поэтому члены Givi + Gijvivj могут оказаться существенными.

Роль добавочных полей следующая:

1) Первым приближением будет наличие только скалярного поля G, эквивалентного потенциальному полю:

G = -j = ½g00.

Это поле соответствует изменению локальной скорости течения времени в исходной метрике пространства.

2) Следующее приближение – наличие векторного потенциального поля G0i, соответствующего локальному направлению течения времени. Оно определяет локальную окрестность одновременных точек. Совместно с полем G мы получаем 4-мерное гравитационное векторное потенциальное поле, аналогичное электромагнитному.

3) Симметричный член ½Gijvivi – соответствует корректировке классического выражения кинетической энергии м.т. в некоторой косоугольной с.к. С этой точки зрения тензор Gij по форме напоминает локальный тензор деформации пространства.

Тензорное метрическое поле gij является неотъемлемым свойством пространства–времени. Эта параметризация соответствует СТО и ОТО, а также другим теориям, основанным на метрических свойствах пространства–времени. В каждой точке пространства можно определить 4 единичных ортогональных векторных направления, и длина любого вектора будет определяться по правилу Пифагора как корень квадратный из суммы квадратов проекций этого вектора на эти четыре единичных направления. Случаи 1 и 2 будут являться предельными случаями метрической параметризации при условии, что из 4–х единичных векторов определен только один вектор – вектор направления времени. Но несмотря на этот предельный переход, эти случаи совершенно различны и отличаются также, как число 1 отличается от числа 0. В этом смысле число 1 не отличается от числа 0,0000001 ничем, кроме только своего значения.

 

6.       Классическая механика и потенциальное поле

Запрета на построение вариационной классической ньютоновой механики в галилеевом пространстве не имеется. В ней, в отличие от галилеевой механики, действие определяется не только линейной метрикой через скалярное потенциальное поле, но еще и через квадрат скорости:

L = KU = ½mv2U,

(7.1)

где K – кинетическая энергия м.т.

U – в теории тяготения Ньютона это потенциальная энергия м.т. относительно бесконечно удаленной точки:

U = mu,

(7.2)

где u – скалярное потенциальное поле. В теории тяготения Ньютона это потенциальная энергия пробного тела массой 1 ед. относительно бесконечно удаленной точки.

Эта форма лагранжиана не соответствует ни одному из показанных в (1.4) и (1.5) форм. К тому же он не обладает скалярными свойствами относительно ГПТК и строится не в 4-мерном, а в 3-пространстве и является не вполне тензорной.

Классическая м.т. с массой m, в качестве которой может выступать и заряд e, в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона, создает вокруг себя потенциальное поле:

U = –mg/r,

(7.3)

где g – коэффициент пропорциональности, или гравитационная постоянная. В общем случае зависит от вида силового поля.

Если следовать законам сохранения классической механики, то L представляет собой сумму кинетической энергии м.т. и энергии внешнего поля "м.т. + энергия поля": L = Km + Ef, причем без потенциальной энергии м.т. Действительно, по закону сохранения энергии полная энергия системы не изменяется, а если энергия м.т. равна K + U в потенциальном поле, то энергия поля (точнее, ее изменение) будет равна –U, и тогда лагранжиан системы L = K - U действительно  есть сумма кинетической энергии K м.т. и энергии поля –U. В исходный лагранжиан потенциальная энергия м.т. –U фактически введена для компенсации изменения энергии системы без рассмотрения поля в качестве еще одного материального объекта взаимодействия:

L = Km + Kf.

Математическая сторона вопроса от этого не изменится, а физический смысл – изменится. А это значит, что лагранжиан есть временной элемент полного импульса системы "м.т. + поле" (или энергия), а действие – интеграл по ней. В этой форме время и энергия выступают в роли некоторых независимых скалярных объектов, время и пространство разделяются. Переход к действию в виде dS = mVdq позволяет применять 4–мерное тензорное исчисление, пространство и время объединяются.

Силовое действие поля u на пробную м.т. определяется напряженностью силового поля Er:

(7.4)

Посмотрим, к чему приведет уравнение Лагранжа–Эйлера для классического лагранжиана заряженной м.т. в потенциальном поле:

L = ½mvivieu.

(7.5)

Для этого предположим, что vi = vi, vi2 = vivi = vi2, wi = wi,. Это предположение довольно искусственное и неверно для галилеевой механики, потому что в ней пространственные элементы ковариантных векторов не изменяются. Но она полностью соответствует классической механике с 3-метрикой. Тем не менее решим уравнение Лагранжа–Эйлера при этом предположении:

т.к. то окончательно имеем:

(7.6)

Отсюда получаем уравнение движения в потенциальном поле для м.т. с постоянной массой и зарядом:

(7.7)

Если m = const, то:

mwi = eEi.

В СТО (и в ОТО тоже):

dS = –mds.

Отсюда в случае СТО и отсутствии внешнего поля следует:

(7.8)

В первом приближении это можно записать так:

L = – m(1 – ½v2) = ½mv2m.

(7.9)

Отличие (7.9) от (7.8) заключается в области определения лагранжиана. В (7.8) область допустимых значений скорости |v| £ 1, а в (7.9) областью допустимых значений являются все значения скорости. Если ограничить область допустимых значений условием dτ/dt ³ 0, то получим |v| £ Ö2. Но встанет проблема естественной математической формулировки этого ограничения, такой же естественной, как в выражении  областью вещественности ее значения.

Вывод: жесткая параметризация совместно с потенциальной u и кинетической энергиями м.т. ½mv2 определяет классичекую ньютонову механику и дает второй закон Ньютона в потенциальном поле.

6.1.          Уравнения движения в неинерциальной системе отсчета

До сих пор мы рассматривали механическое движение в инерциальных системах отсчета, в которых функция Лагранжа для одной частицы во внешнем поле имеет вид

image003

(7.11)

и соответственно уравнение движения

image004.

(7.12)

Здесь мы отмечаем индексом «0» величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета.

Однако на практике чаще встречаются неинерциальные системы отсчета, которые в большей или меньшей мере отличаются от инерциальной. Так система, связанная с Землей, является неинерциальной, и считать ее приближенно инерциальной можно не для любой задачи. В некоторых случаях удобно пользоваться неинерциальными системами. Например, находясь на Земле и рассматривая движение тел относительно Земли, удобнее учесть неинерциальность Земли, нежели пользоваться инерциальной гелиоцентрической системой отсчета, в которой Земля движется довольно сложно. Поэтому займемся вопросом о том, как выглядит уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета.

Будем исходить из принципа наименьшего действия, который применим как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета. При этом остаются в силе в неинерциальных системах уравнения Лагранжа

image005.

(7.13)

Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (7.11). Для нахождения функции Лагранжа произведем соответствующие преобразования функции Лагранжа в неинерциальную систему отсчета. Это преобразование произведем в два приема. Сначала рассмотрим систему отсчета K', которая движется относительно инерциальной системы  K0 поступательно со скоростью V(t), являющейся функцией времени. Скорости частицы относительно K0 и K' систем связаны соотношением

image010.

(7.14)

Подставим (9.4) в выражение для функции Лагранжа (7.11) и получим

image011

(7.15)

Но величина image012есть функция времени и она может быть представлена как полная производная по времени t от некоторой функции и поэтому может быть опущена. Далее, используя скорость image014частицы в K' системе, преобразуем член

image015.

 

Снова опустив полную производную по времени, получим функцию Лагранжа в виде

image016

(7.16)

где image017- ускорение поступательного движения системы отсчета K'.

Используя функцию Лагранжа (7.16), составим уравнение Лагранжа

image018

(7.17)

Мы видим, что ускоренное поступательное движение системы отсчета привело к появлению в уравнении движения некоторой силы, равной произведению массы на ускорение, но направленной в противоположную этому ускорению сторону.

Теперь введем еще одну систему отсчета K, которая имеет общее с системой K' начало, но дополнительно к поступательному движению еще включает вращение системы относительно K' с угловой скоростью W. Эта система K по отношению к исходной инерциальной системе K0 совершает как поступательное, так и вращательное движение.

Скорость v частицы относительно системы K' складывается из ее скорости v относительно K и скорости WW ее вращения вместе с системой K:

image026

(7.18)

Подставим (7.18) в функцию Лагранжа (7.16) и получим

image027

(7.19)

Это есть общий вид функции Лагранжа в произвольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что вращение системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена особого вида – линейного по скорости частицы.

Используя эту функцию Лагранжа, составим уравнение Лагранжа. Для вычисления производных, входящих в уравнение Лагранжа, выпишем полный дифференциал функции Лагранжа

image028.

Преобразуем слагаемые:

image029,

image030.

Собирая члены, содержащие dv и dr , найдем

image033

image034image001

Подставив это в уравнение Лагранжа и используя соотношение

image035,

получим уравнение движения

image036

(7.20)

Мы видим, что силы инерции, обусловлены вращением системы отсчета, слагаются из 3 частей.

Сила image037- связана с неравномерностью вращения, а две другие происходят и при равномерном вращении. Сила

image038

(7.21)

называется силой Кориолиса, а сила

image039

(7.22)

называется центробежной силой. Она находится в плоскости, проходящей через r и W, перпендикулярно к оси вращения и направлена в сторону от оси. По величине она равна image041, где ρ - расстояние частицы от оси вращения.

image043

Рис.9.1. Направление центробежной силы

Рассмотрим особый случай равномерного вращения системы координат, не имеющей поступательного ускорения. Положив image044 и W = 0, получим функцию Лагранжа

image046

(7.23)

и уравнение движения

image047

(7.24)

Вычислим полную энергию частицы в этом случае. Используя определение импульса

image048

(7.25)

и подставив в выражение для энергии

image049

(7.26)

получим энергию движения частицы во вращающейся системе отсчета

image050

(7.27)

Обратим внимание, что в полную энергию не дают вклад силы Кориолиса, дают вклад только центробежные силы, уменьшая общую энергию.

Таким образом, уравнение движения в неинерциальной системе принимает форму второго закона Ньютона (7.24), только появились дополнительные силы Кориолиса (7.21) и центробежные силы (7.22). Эти силы пропорциональны массе тела, т.е. связаны с инертностью тела. Поэтому их называют силами инерции. Особенность сил инерции в том, что они не являются результатом действия каких-либо материальных тел или полей на рассматриваемое тело, а являются прямым результатом неинерциальности системы отсчета.

Теперь рассмотрим вопрос, как меняется полная энергия при переходе из инерциальной системы во вращающуюся систему отсчета. Скорость v частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью v0 относительно инерциальной системы K0 посредством соотношения

image054

(7.28)

В инерциальной системе K0 полная энергия частицы равна

image055

(7.29)

Рассмотрим обратное (7.28) преобразование скоростей

image056

и подставим это преобразование скоростей в выражение энергии во вращающейся системе (7.27)

image057

image058.

Преобразуем слагаемое

image059,

где воспользовались определением image060 момента импульса в инерциальной системе. Следовательно,

image061

(7.30)

Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Ее можно сравнить с формулой

image062

для преобразования энергии при переходе к равномерно поступательно двигающейся системе отсчета.

6.2.         Принцип эквивалентности. Состояние невесомости

Силы инерции, действующие на материальную точку в неинерциальных системах отсчета, по своим проявлениям не отличаются от сил, действующих в гравитационном поле. Гравитационные силы так же пропорциональны массе тела, как и инерциальные силы. Но здесь речь идет по существу о различных массах, которые определяются из разных законов. В законе всемирного тяготения мы имеем гравитационную массу, которая вызывает силу тяготения, а во втором законе Ньютона - инертную массу, определяющую ускорение при действии на тело заданной силы. При принятом выборе единиц достигается равенство гравитационной и инертной масс тела. Равенство этих масс не следует из каких-либо положений механики, а доказано многими экспериментами, проведенными все большей точностью.

Важнейшим следствием равенства гравитационной и инертной масс является равенство ускорений для всех тел в данной точке гравитационного поля. В самом деле, в ранее полученном уравнении движения тела (7.17) в системе отсчета, движущейся с ускорением W(t),

image064

(7.31)

гравитационное поле Земли c массой M

image066

(7.32)

создает силу тяготения

image067,

приложенную к телу с массой m. Здесь image069image070- гравитационная постоянная,

image071- ускорение свободного падения.

Отметим, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела, т.е. оно одинаково для всех тел, находящихся в данной точке гравитационного поля. Следовательно, из (7.31) имеем выражение для ускорения тела в неинерциальной системе

image072

(7.33)

которое так же не зависит от массы тела и одинаково для всех тел с разными массами, но находящие в одной и той же точке поля. Мало того, можно подобрать такую неинерциальную систему отсчета, которая обеспечит w = 0, т.е. g - W = 0 силы тяготения компенсируются силами инерции. Таким образом, можно сказать, что силы тяготения в небольшой области пространства по своим действиям тождественны действию сил инерции в ускоренной системе отсчета. Такое положение приводит к утверждению о неразличимости сил инерции и сил тяготения. Это утверждение носит название принципа эквивалентности.

На этом принципе эквивалентности основана общая теория относительности (ОТО), в которой гравитационному полю сопоставляется неинерциальная система отсчета и равноправными считаются все системы отсчета, а не только неинерциальные. В неинерциальных системах отсчета геометрия пространства отклоняется от евклидовой.

В школьном курсе физики силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору, называют весом тела. Таким образом, вес тела и сила тяжести – две разные силы, приложенные к разным телам. Если тело находится в покое вблизи поверхности Земли, то эти силы равны. Поэтому существует определение веса тела. Весом тела называют численную величину силы тяжести, действующей на тело, находящееся вблизи поверхности Земли. Своеобразное состояние тела в неинерциальной системе, при котором ускорение (7.23) равно нулю w = 0, т.е. отсутствуют силы, действующие на опору, носит название невесомости.

Теперь рассмотрим движение тела в неинерциальной системе, связанной с искусственным спутником Земли как телом отсчета. Будем считать, что двигатели выключены, и сопротивление разреженных слоев атмосферы пренебрежимо мало. Тогда уравнение движения тела в этой системе описывается уравнением, рассмотренным ранее (7.24)

image047.

Будем считать, что тело покоится в этой системе v = 0, а система движется по инерции image076по круговой орбите с радиусом r, тогда имеем

image078

(7.34)

или, переходя к скорости image079, получим первую космическую скорость

image080

(7.35)

где image081является ускорением свободного падения на поверхности Земли.

 

Ссылка на этот материал: variacionnaya_myehanika_ryeshyeniya.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "двенадцать" делить на 12 =

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 03 ч 49 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:1 V:1 N:20
Уникальных посетителей за текущие сутки: 1 Просмотров: 1 Этой страницы (всего): 20