Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: January 14 2018. -------
Ссылка на этот материал: variacionnyye_principy.htm)
Силовой и вариационный принципы в механике

1.       Вариационные принципы в механике. Обобщенная 4–мерная механика

Можно сказать, что вся физика заключена в уравнениях движения: они обобщают экспериментальные данные. Есть два подхода к анализу законов движения м.т. и составлению уравнения ее движения. Первый подход заключается непосредственно в применении трех законов классической механики Ньютона и написаний уравнений движения через них, обычно в форме второго закона Ньютона, законов сохранения и граничных условий.

Другой подход заключается в составлении уравнений Лагранжа-Эйлера с использованием лагранжиана L или в форме уравнений Гамильтона к гамильтоновой функции H (энергии) системы. Этот метод называется вариационным. Вариационный метод - это лишь универсальный способ получать некоторые величины (а конкретно - инварианты симметрий лагранжиана), которые напрямую из уравнений движения получать трудно. Функционал действия ничего, кроме уравнений движения, не содержит.

Всякое равенство вида  называется интегралом движения. Для замкнутой системы с n степенями свободы всего существует 2n - 1 независимых интегралов движения. Одна из степеней вычитается в силу однородности координаты времени. Еще три степени могут быть вычтены в силу однородности пространства, и еще дополнительно 3 параметра – в силу ее изотропности, в зависимости от наличия таких симметрии в условии задачи.

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).

Функция Лагранжа является основным математическим инструментом при построении базисной теории механистической исследовательской программы — аналитической механики. Формы лагранжианов при описании различных явлений природы, в том числе и таких, которые не объясняются законами классической механики, разумеется, разные. Однако единым является сам подход к решению проблем. Дело в том, что в теоретической физике были сформулированы законы сохранения для некоторых физических величин: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса, закон движзакон сохранения электрического заряда. Число законов сохранения в связи с развитием квантовой физики и физики элементарных частиц в нашем столетии стало еще больше. Возникает вопрос, как найти общую основу для записи как уравнений движения (скажем, законов Ньютона или уравнений Максвелла), так и сохраняющихся во времени величин. Оказалось, что такой основой является использование лагранжева формализма.

С одной стороны, использование лагранжиана и принципа наименьшего действия в классической механике позволяет получить уравнения Эйлера - Лагранжа, связь которых с законами Ньютона хорошо известна. Уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана классического электромагнитного поля оказываются уравнениями Максвелла. То есть использование лагранжиана в теории позволяет задавать и описывать динамику рассматриваемых систем. Однако лагранжиан обладает еще одной важной особенностью: он строится таким образом, что для данной конкретной теории оказывается инвариантным (неизменным) относительно преобразований, соответствующих конкретному рассматриваемому в данной теории абстрактному пространству, следствием чего и являются законы сохранения.

1.1.  Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что зако­ны даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой си­стемы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наи­более просто.

По отношению к произвольной системе отсчета пространство является не однородным и не изотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими те­лами, то, тем не менее, его различные положения в простран­стве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны. То же  самое относится в  общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т. е. его различные мо­менты неэквивалентными. Усложнение, которое вносили бы та­кие свойства пространства и времени в описание механических явлений, — очевидно. Даже самое простейшее движение – свободное движение невзаимодействующей м.т. – окажется зависимым от его координат и скорости. Так, например, свободное (т. е. не под­вергающееся внешним воздействиям) тело не могло бы по­коиться: если скорость тела в некоторый момент времени и рав­на нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором направлении.

Оказывается, однако, что почти всегда можно найти такую си­стему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время - однородным. Такая си­стема называется инерциалъной. В ней, в частности, свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в по­кое неограниченно долго.

Из однородности, изотропности пространства и времени следуют законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и равномерного прямолинейного движения центра масс консервативной с.м.т. Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное с инвариантностью описания механической системы относительно некоторой группы преобразований времени и координат. Существует теорема Нётер, утверждающая, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит n параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование n законов сохранения.

Зная свойства симметрии пространства, мы можем сделать некоторые заключения о виде функции Лагранжа свободно движущейся материальной точки в инерциальной системе отсчета. Однородность простран­ства и времени означает, что эта функция не может содержать явным образом ни радиус-вектора r точки, ни времени t, т. е. L является функцией лишь от скорости v. В силу же изотропии пространства функция Лагранжа не может зависеть также и от направления вектора v, так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т. е. от квадрата  v2:

L = L(v2).

(1.31)

Ввиду    независимости    функции    Лагранжа    от координаты   r,   имеем  ,   и потому уравнения Лагранжа имеют вид

(1.32)

откуда . Но поскольку  является функцией только от скорости, то отсюда следует, что и v = const.

Таким образом, мы приходим к выводу, что в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с по­стоянной по величине и направлению скоростью. Это утвержде­ние составляет содержание так называемого закона инерции.

Если наряду с имеющейся у нас инерциальной системой от­счета мы введем другую систему, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного дви­жения по отношению к этой новой системе будут теми же, что и по отношению к первоначальной: свободное движение снова будет происходить с постоянной скоростью.

Опыт показывает, однако, что не только законы свободного движения будут одинаковыми в этих системах, но что они бу­дут и во всех других механических отношениях полностью эквивалентными. Таким образом, существует не одна, а беско­нечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание так называемого принципа относительности Гали­лея - одного из важнейших принципов механики.

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исклю­чительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу ко­торых именно эти системы должны, как правило, использовать­ся при изучении механических явлений. Везде в дальнейшем, где обратное не оговорено особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.

Полная механическая эквивалентность всего бесчисленного множества таких систем показывает в то же время, что не су­ществует никакой одной «абсолютной» системы отсчета, кото­рую можно было бы предпочесть другим системам.

Координаты r и r' одной и той же точки в двух различных инерциальных системах отсчета К а К', из которых вторая движется относи­тельно первой со скоростью v, связаны друг с другом соот­ношением

r = r' + vt + r0.

(1.33)

При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих системах отсчета:

t = t'.

(1.34)

Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе представлений классической механики.

Формулы (1.33), (1.34) называют преобразованием Галилея. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений движения механики по отношению к этому преобразованию.

1.2.  Выбор параметра действия s и лагранжиан

Первый способ решения задачи о движении м.т. практически применяется в классической механике с тремя законами Ньютона. В ней все довольно наглядно и понятно. Это – чистые уравнения движения, основой которых являются второй и третий законы Ньютона.

Кроме классического определения механики через законы Ньютона имеется еще одно направление построения механики – вариационный через понятие "действие". Этот подход применяется очень широко в теоретической механике и физике и формулируется с применением теоремы о минимальности действия S на траектории движения м.т. между конечными точками a и b мировой линии м.т. Действие есть некоторый интеграл по мировой линии м.т. от точки a до точки b:

.

(1.1)

Здесь L – лагранжиан для действия (скалярный параметр),

ds – инвариантный (скалярный) интервал для дифференциала dq: ds = ds(q, dq).

По принципу минимального действия м.т. между двумя точками a и b движется по траектории, на которой минимизируется этот интеграл – действие S (можно сформулировать это и по другому – интеграл S на траектории получает экстремальное значение – минимум или максимум. Дело соглашения и интерпретации). Этот интеграл очень похож на собственное время движения м.т. по траектории: действительно, в СТО и ОТО м.т. движется между двумя точками по траектории, на которой минимизируется (получает экстремум) полный интервал его движения. Этот интервал соответствует собственному времени м.т.

Требование принципа наименьшего действия приводит к уравнениям Лагранжа–Эйлера:

(1.2)

Основное требование к инвариантам s или ds – они должны быть тензорными скалярными объектами со свойством аддитивной линейности интервала. Пусть имеются три бесконечно близкие точки a, b и c:. Тогда линейность интервала на траектории означает, что выполняется условие:

ds(a,b,c) = ds(a, b) + ds(b, c).

(1.3)

Это означает, что действие на любой линии между двумя точками a и b определяется интегралом (1.1).

Такие величины задаются для всего пространства–времени однозначно и только единожды для некоторой с.о. Они являются свойством пространства–времени. В противном случае мы не смогли бы ничего проанализировать на их основе.

Параметр ds является универсальным дифференциалом собственного времени мировой линии движения м.т., задаваемой произвольной скалярной функцией координат и времени. Параметр s обладает направленностью: движение происходит только в направлении ее возрастания. В силу его сонаправленности с направлением классического времени t, он является возрастающей функцией во времени: ds/dt > 0. В квантовой механике может быть и не так.

Параметр "время" является координатной размерностью, через которую совместно с пространственной координатой определяется точка пространства на мировой линии м.т. s. Возможны следующие варианты определения s:

s = s(q); q = q(s).

ds = ds(q,dq) = si dqi,

ds2 = ds2(q,dq) = gij dqi dqj.

dsn = dsn(q,dq) = gij..n dqi dqj dqn.

(1.4)

 

Соответственно возможны четыре схемы параметризации: 1) жесткая – см. (1.4.1), 2) мягкая – см. (1.4.2), 3) метрическая – см. (1.4.3) и 4) полиметрическая – см. (1.4.4). Четвертая практически применяется только в форме, определяющей численно объем пространственной области,  тесно связанной с метрической формой. Это обычно четырехмерный объем dV = ρdxdydzdt, где  ρ – плотность пространства. Обратная операция – q(s), dq(s, ds) – определяет конкретную мировую линию м.т. Мировая линия определена не однозначно и зависит от начальных условий.

Отличия классического и вариационного принципов:

- в классическом ньютоном подходе определяется закон изменения контравариантного вектора – силы – от 3-мерных контравариантного вектора скорости м.т. vi = dri/dt и контравариантного по одному индексу внешнего силового поля напряженности Eijk, в соответствии со вторым законом Ньютона в соответствующей интерпретации:

Fi = eu,i  (при условии u,i = u,i),   

Fi = eEi,

Fi = eEijVj,

Fi = eEij..kVjVk.

(1.5)

 

где e – заряд или параметр (константа, скаляр, …) взаимодействия с внешним полем,

Внешнее поле Eijk может быть любой комбинацией произвольных тензорных полей, не нарушающей тензорный характер силы Fi. От может быть как самостоятельным полем, так и частной производной по времени или по координатам от другого тензорного поля. В классической механике сила F0, соответствующая индексу координаты времени, игнорируется, потому что ей физически ничего не соответствует. С какой-то натяжкой ей можно привести в соответствие мощность силы.

- в вариационном подходе минимизируется скалярный параметр – действие S: dS = Lds, через 4-мерные ковариантные тензорные поля напряженности Eik:

Vi = dqi/ds,

dS = edu(q) = eu,idqi = eu,iVids,

dS = eEidqi = eEiVids,

dS2 = eEijdqidqj = eEijViVjds2,

dSn = eEi..kdqidqk = eEi..jViVjdsn.

(1.6)

Возможны много других вариантов для силы и действия, в т.ч. их линейными и нелинейными, но тензорными, комбинациями.

Частным случаем лагранжиана является его равенство массе м.т. Тогда

.

Здесь m – инвариантная масса,

В классической галилеевой механике все происходит в рамках тензорного исчисления. Но в ней имеются свои особенности, связанные с отсутствием полноценного 4-мерного тензорного исчисления, точнее, операции поднятия-опускания индексов. Это связано с применением галилеева пространства. Но действие определяется в соответствии с (1.6).

В классической ньютоновой механике также возможен вариационный подход к выводу законов движения м.т. Но проблемы почти те же - отсутствие полноценного 4-мерного тензорного исчисления, точнее, операции поднятия-опускания индексов, связанное с применением того же галилеева пространства. Поэтому в КМН приходится пользоваться 3-мерным тензорным исчислением. При этом при переходе в движущуюся ИСО параметры системы преобразуются особым, не тензорным способом. Действие определяется по формуле

dS = m(du + ½vidri ).

Использовать в качестве параметра вариации действия интервал ds неудобно, потому что при вариации действия в общем случае изменяются и границы параметра действия sa и sb. Поэтому удобнее вместо параметра s использовать координату t или другой не варьируемый интервал как параметр мировой линии:

.

В классической механике дифференциал действия для м.т. на участке мировой линии определяется именно так:

dS = Ldt

(1.7)

где L – лагранжиан м.т. В этом выражении он выступает как плотность собственного времени (динамическая масса) м.т.

Есть еще один способ определения действия в случае линейной зависимости ds от dq:

dS = mds = ms,idqi.

Заменив s/qi = s,i на векторное поле gi, получим выражение действия для линейной метрики в пространстве:

dS = mgidqi = mgiVidt,

L = mgiVi.

Это выражение для действия очень похоже на действие ЭМП на м.т.

1.3.  Уравнение Лагранжа–Эйлера

Использованная литература:

А.С.Компанеец. Курс теоретической физики. Том 1. Элементарные законы. Учебн. пособие для вузов. – М.: Просвещение, 1972. – 511 с.

Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа

(1.11)

Пусть также дано действие для системы S:

(1.12)

Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида q'i = fi(qj, t), а также и относительно более общих преобразований

q'i = fi(qj, t), t' = f(t),

(1.13)

включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при таком изменении любые изменения, в соответствии с законами преобразования и геометрии соответствующего пространства. Принцип минимальности действия от этого, конечно, не изменится, но усложняется конечное уравнение.

Действие S для истинной траектории системы имеет экстремум; это свойство не может зависеть от выбора координат, так как выра­жает известный физический закон. Будем теперь варьировать S, но не по декартовым координатам, а по обобщенным. Так как последние независимы, то такое же свойство имеют и их вариа­ции. Имеем:

(1.14)

Пользуясь тем, что знаки варьирования и дифференцирова­ния переставляются, запишем:

(1.15)

Проинтегрируем полную производную по времени и подставим пределы. Но на пределах вариации координат обращаются в нуль, так что останется следующее равенство:

(1.16)

Вариации взаимно независимы и произвольны. Положим сна­чала все dqα, кроме dq1, равными нулю. Тогда в равенстве (2.6) останется только первое слагаемое в сумме по α:

(1.17)

Воспользуемся теперь произвольностью вариации dq1. Пред­положим, что величина в скобках, на которую множится dq1, изменяет некоторым образом знак и абсолютное значение, но не равна нулю на интервале интегрирования. Выберем теперь dq1 так, чтобы оно везде было того же знака, что и выражение в квадратных скобках. Тогда подынтегральная величина окажется положительной, так что dS не может быть равно нулю. Следова­тельно, чтобы принцип Гамильтона выполнялся, с необходимостью должно обращаться  в нуль выражение,   которое   умножается на dq1. Повторяя то же рассуждение для произвольного dqα, находим:

(1.18)

Это и есть уравнения движения, написанные для обобщенных координат. Система уравнений (2.8) называется уравнениями Лагранжа.

Если число степеней свободы системы n, то для интегрирова­ния уравнений Лагранжа, имеющих второй порядок по времени, требуется задать 2n начальных условий: n обобщенных координат и столько же обобщенных скоростей в момент времени t0. Тогда каждая обобщенная координата выразится как функция времени, начальных скоростей и начальных координат:

(1.19)

Дифференцируя эти равенства по времени, получаем и обобщен­ные скорости в их зависимости от тех же величин:

(1.20)

Исключая отсюда все начальные значения координат и скоро­стей, т. е. решая уравнения (2.9) и (2.10) относительно начальных координат и скоростей, получим 2n уравнений вида

(1.21)

Такие функции координат и скоростей системы, которые во время движения остаются постоянными, называются интегралами движения. В правой части они могут иметь любые постоянные, не обязательно начальные координаты и скорости. Отыскание интег­ралов движения и составляет задачу механики.

Уравнение Лагранжа-Эйлера есть другая форма записи второго закона Ньютона. Действительно, левая часть уравнения (1.18) для классического лагранжиана с потенциальным полем L = ½mv2 U соответствует левой части уравнения второго закона Ньютона (силе или ускорению), часть L/vi соответствует импульсу pi м.т., правая часть уравнения – внешней силе Fi = L,i, = U,i, действующей на м.т. в потенциальном поле. После подстановки имеем:

dpi/dt = Fi.

(1.22)

Некоторые замечания по уравнению Лагранжа.

1. В уравнение Лагранжа входит не сама функция Лагранжа, а ее производные. Поэтому добавление к функции Лагранжа постоянной величины  L = L' + const, не изменит уравнение Лагранжа. Следовательно, функция Лагранжа определена лишь с точностью до постоянного слагаемого. Это также означает, что начало отсчета потенциальной энергии, которая входит в функцию Лагранжа L = T - U, можно выбрать по-разному, исходя из удобства.

2. Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической системы на произвольную постоянную само по себе не отра­жается на уравнениях движения.

Отсюда, казалось бы, могла вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа различных изолированных механических систем могли бы умно­жаться на любые различные постоянные. Свойство аддитивно­сти устраняет (см. п. 5) эту неопределенность, — оно допускает лишь од­новременное умножение лагранжевых функций всех систем на одинаковую постоянную.

3. Функция Лагранжа определена лишь с точностью до полной производной от произвольной функции координат и времени. Рас­смотрим две функции L'(q, v, t) и L(q, v, t), отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функции координат и времени F(q, t):

.

(1.24)

Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (1.11) связаны соотношением

(1.25)

т. е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие dS' = 0 совпадает   с   условием dS = 0,   и   вид   уравнений   движения остается неизменным.

4. Следствием трех предыдущих замечаний является то, что и любая линейная комбинация этих преобразований не отра­жается на уравнениях движения.

.

 

Это также означает, что преобразование системы координат должно привести именно к этим же самым изменениям формы лагранжиана. И даже более: в системе K можно пользоваться лагранжианом, определенным в другой допустимой с.к. K'.

5. Среди всех интегралов движения особое значение имеют аддитивные или асимптотически аддитивные интегралы движения, для которых существует специальное название – законы сохранения. Если рассмотреть две системы, находящиеся очень далеко друг от друга, то физически очевидно, что процессы в одной системе совсем никак не должны влиять на движение другой. Поскольку, с другой стороны ничто не мешает нам рассматривать две такие системы как две части, I  и II, единой общей системы, то мы приходим к условию асимптотической аддитивности, который заключается в следующем: если некоторая система (I + II) разделяется на две подсистемы таким образом, что минимум расстояния между материальными точками разных подсистем rI,II ®¥, то ее функция Лагранжа распадается на сумму функций Лагранжа обеих подсистем:

(1.23)

Действительно, Пусть L1 = L1(q, v, t), L2 = L2(q', v', t'), причем обобщенные координаты (q, v, t) и (q', v', t') не пересекаются. Тогда уравнение Лагранжа распадается на два независимых уравнения:

(1.24)

Этот свойство асимптотической аддитивности функции Лагранжа говорит о том, что уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы.

2.       Гамильтониан

 

2.1.  Уравнение Гамильтона-Якоби

 

3.       Теорема Нетер

Использованная литература:

Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика. Теория поля. Элементы квантовой механики: Учебн. пособие для вузов. – М.: Наука, 1977. – 496 с.

В 1918 г. Эмми Нётер была доказана теорема, из которой следует, что если некоторая система инвариантна относительно некоторого глобального преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина. Если группа содержит n параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование n законов сохранения. Теорема Нетер, доказанная ею во время участия в работе целевой группы по проблемам общей теории относительности как бы побочно, стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившей особую междисциплинарную роль принципов симметрии при построении физической теории. Можно сказать, что теоретико-инвариантный подход, развитый в математике, суть которого состоит в систематическом применении групп симметрии к изучению конкретных геометрических объектов, так называемый эрлангенский принцип, проник в физику и определил целесообразность формулирования физических теорий на языке лагранжианов. То есть в основу построения теории должен быть положен лагранжев подход, или лагранжев формализм.

Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно десятипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, трех параметров пространственных сдвигов, трех параметров вращения пространства и трех параметров галилеева преобразования координат перехода в другую ИСО. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 10 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.

 

 

Ссылка на этот материал: variacionnyye_principy.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 60 to divide on 20 =

---Load files---
Сегодня - 18_08_2019
Время переоткрытия сайта 17 ч 51 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:14 V:25
Уникальных посетителей: 14 Просмотров: 25