-------------------
|
Разделы механики и физики. Введение в физику. Фундаментальные константы. Обозначения и сокращения. Новые эталоны единиц измерения. Полезные ссылки. Литература. История механики и физики. Вариационные принципы. Вариационные принципы нётер. Виды функции лагранжа. Вариационная механика решения. Виды сплошной среды. Движение сплошной среды. Гидроаэромеханика. Движение волновое. Молекулярно кинетическая теория. Термодинамика. Эксперименты по STO. Электродинамика. Электричество. Электромагнетизм. КИНЕМАТИКА КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА МЕХАНИКА 4 МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА ПАРАДОКСЫ ФИЗИКИ ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ, ЭТАЛОН ГАЛИЛЕЕВО И ВОЛНОВОЕ ПРОСТРАНСТВА КЛАССИКА И НЕ ТОЛЬКО ФИЗИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФИР И ДРУГИЕ АЛЬТ-ТЕОРИИ ---Load files---
|
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке", Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик. Теорема Нетер и законы сохранения в механике 1. Теорема НетерИспользованная литература: Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика. Теория поля. Элементы квантовой механики: Учебн. пособие для вузов. – М.: Наука, 1977. – 496 с. В 1918 г. Эмми Нётер была доказана теорема, из которой следует, что если некоторая система инвариантна относительно некоторого глобального преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина. Если группа содержит n параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование n законов сохранения. Теорема Нетер, доказанная ею во время участия в работе целой группы по проблемам общей теории относительности как бы побочно, стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившей особую междисциплинарную роль принципов симметрии при построении физической теории. Можно сказать, что теоретико-инвариантный подход, развитый в математике, суть которого состоит в систематическом применении групп симметрии к изучению конкретных геометрических объектов, так называемый эрлангенский принцип, проник в физику и определил целесообразность формулирования физических теорий на языке лагранжианов. То есть в основу построения теории должен быть положен лагранжев подход, или лагранжев формализм. Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно десятипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов, от трех параметров вращения пространства и от трех параметров галилеева преобразования координат перехода в другую ИСО. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 10 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше. 1.1. Доказательство теоремы НётерРассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа
Форма уравнений
Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией
Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида Итак, будем считать, что мы ввели совокупность зависящих от одного параметра l преобразований L(l) обобщенных координат и времени
Пусть преобразования
т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру l®0. Тогда
Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании – это разность значений q'i(t') новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат qi(t) в соответствующий момент старого времени, т.е.
Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы
зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты. Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение:
Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени
в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно. Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа
причем
где Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашем преобразовании, – это и есть тот исключительный случай, который требуется условием теоремы, – т.е. чтобы было
где Т' – та же область интегрирования, что и Т во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в (13), получим
Выражаем в (3.11) d*L
через dL
из
Но
Найдем дифференциал
отсюда
Подставив (3.14) в (3.13), получим:
Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е.
Тогда имеем:
Подставим полученное значение вариации функции Лагранжа в (15), имеем:
Из (3.7) выразим dqi через d*qi и dt: Тогда вариация действия
Мы должны потребовать равенства этой вариации нулю. В силу произвольности области интегрирования Т из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегрального выражения, т.е. мы приходим к тому, что необходимым и достаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (3.4) служит удовлетворение уравнения
а после замены dt и d*qi, используя соотношения (3.4) и (3.5), имеем:
Окончательно получим необходимое условие:
Другими словами, из инвариантности действия относительно (3.4) мы получили то следствие, что величина
остается постоянной во времени. Это и есть точное утверждение теоремы Нётер. 1.2. Теорема Нетер для поляТеорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. Для среды или поля, представляющих собой систему с бесконечным числом степеней свободы, роль обобщённых координат qi играют такие величины, как смещение частицы, плотность, потенциал и т. п., зависящие в общем случае от координат х, у, z точек среды (поля) и от времени; поэтому для такой среды (поля) qi = qi(х,у,z,t). Характеристикой системы в этих случаях служит удельная (отнесённая к единице объёма) функция Лагранжа, или лагранжиан
и уравнения Лагранжа-Эйлера для среды (поля) принимают вид
Уравнения (3.19) представляют собой систему уравнений в частных производных; число их равно числу величин qi. В связи с калибровочной инвариантностью уравнений Лагранжа-Эйлера для поля существует закон сохранения заряда. В связи с этим поток J через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток J через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса. 1.3. Некоторые замечания относительно теоремы Нётер1. Величина (3.18) еще не является динамической величиной – кроме
обобщенных координат, скоростей и времени она зависит еще и от задающих
преобразований функций 2. Обратим внимание на разный характер двух членов в (3.18). Первый из них включает саму функцию Лагранжа, поэтому обязательно перепутывает все степени свободы системы и поэтому может обладать самое большое асимптотической аддитивностью. Напротив, второй имеет явную форму суммы по отдельным степеням свободы. Таким образом, если преобразование, относительно которого действие инвариантно, затрагивает время, то мы можем надеяться на сохранение только асимптотически аддитивной величины, если же преобразование меняет лишь координаты, то сохраняться будет точно аддитивная величина. Таким образом, была сформулирована и доказана теорема Нётер. Существенно то, что теорема Нётер позволяет, при заданном виде функции Лагранжа, найти аддитивные интегралы движения в виде явных функций координат и скоростей, не интегрируя никаких уравнений, ведь в общем случае каждый из интегралов движения находится только интегрированием системы, число уравнений которой только на одно меньше полной системы уравнений движения. 2. Законы сохраненияЗаконы сохранения являются следствиями симметрии, существующих в реальном пространстве-времени. Закон сохранения энергии является следствием временной трансляционной симметрии — однородности времени. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы явно от времени не зависит, а зависит от координат и импульсов всех элементов, составляющих эту систему (которые зависят от времени). Несложными математическими преобразованиями можно показать, что это приводит к тому, что полная энергия системы в процессе движения остается неизменной. Закон сохранения импульса является следствием трансляционной инвариантности пространства (однородности пространства). Если потребовать, чтобы функция Лагранжа оставалась неизменной (инвариантной) при любом бесконечно малом переносе замкнутой системы в пространстве, то получим закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса является следствием симметрии относительно поворотов в пространстве, что свидетельствует об изотропности пространства. Законы сохранения
Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых классических замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметров вращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше. В силу равноправности всех ИСО должна существовать еще одна трехпараметрическая группа преобразований. Каких то особых законов сохранения в КМН здесь не получается, во первых, в силу не полной инвариантности лагранжиана КМН при замене ИСО, во вторых, лагранжиан м.т. строится уже с учетом всех этих симметрий, но все таки можно ее определить – закон сохранения равномерного прямолинейного движения ц.м. с.м.т. Всего получается 10 сохраняющихся параметра. 2.1. Закон сохранения энергии 3-мерной механикиНачнем применение теоремы Нётер к обсужденным выше универсальным
преобразованиям симметрии с рассмотрения сдвига во времени. Чтобы получить это
преобразование надо, очевидно, положить в общих форму Уравнение (3.17) превратится тогда в
Оно означает, что как следствие инвариантности действия относительно временного сдвига сохраняется динамическая величина
Эта величина называется энергией системы. Согласно замечанию 2 предыдущего раздела энергия асимптотически аддитивна, если, конечно, условию асимптотической аддитивности удовлетворяет функция Лагранжа. Замечание. Из теоремы Нётер следует, что если действие инвариантно относительно временного сдвига, то функция Лагранжа просто не может зависеть от времени явно. Последнее обстоятельство не самоочевидно, поскольку при сдвиге времени меняется не только функция Лагранжа, но и область интегрирования. Если функцию Лагранжа можно представить в виде (2.11) разности L = Т - U кинетической и потенциальной энергий, то для энергии получится
т. е. она представится в виде суммы кинетической и потенциальной энергии. В частности, энергия системы материальных точек в декартовых координатах в инерциальной системе отсчета получает вид
2.2. Закон сохранения импульсаНайдем теперь аддитивный закон сохранения,
вытекающий из однородности пространства, т. е. выберем в качестве
преобразования (3.4) пространственный сдвиг.
Прежде всего (если пользоваться инерциальной системой отсчета) такое
преобразование не затрагивает времени, следовательно,
Величина
называется импульсом о-ой материальной точки. Поэтому мы получаем, что вектор
называемый импульсом системы материальных точек, сохраняет во время движения постоянное значение. Если, как для системы материальных точек в декартовых' координатах, функция Лагранжа имеет специальный вид (7),то
Подчеркнем, что (4.13) дает определение импульсов только для частного случая; общим определением служит формула (4.11). Формула (4.13) не будет справедливой, например, при наличии магнитных взаимодействий. С помощью введенного понятия импульса материальной точки можно записать уравнения Лагранжа — Эйлера в декартовых координатах как
называется силой, действующей на а-ю материальную точку. Так записанные уравнения называются уравнениями движения в форме Ньютона. Суммируя эти уравнения по всем материальным точкам, получим, что в силу закона сохранения импульса: SFa = 0 - в замкнутой системе сумма сил равна нулю. Для двух частиц это дает F1 = -F2 - третий закон Ньютона. При использовании для описания системы произвольных обобщенных координат удобно ввести по аналогии названия "обобщенные импульсы" и "обобщенные силы":
(хотя эти «импульсы» и не имеют, конечно, никакого отношения ни к сдвигам, ни — вообще говоря — к каким бы то ни было законам сохранения), с помощью которых уравнения движения записываются в "квазиньютоновой" форме 2.3. Закон сохранения момента импульсаЧтобы найти аддитивную
величину, сохраняющуюся в силу изотропии пространства, опять удобно
работать в декартовой системе координат; тогда, как легко сообразить,
бесконечно малый поворот (в отличие от конечных вращений) можно
параметризовать, выбирая в качестве параметра
Теорема Нётер будет тогда утверждать, что
Векторную величину
называют моментом материальной точки. Таким образом теорема Нётер учит нас, что из инвариантности относительно пространственных поворотов следует сохранение вектора
называемого моментом системы. Поскольку сдвиги и повороты пространства суть преобразования, не затрагивающие времени, импульс и момент не только асимптотически, но и точно аддитивны — они и получились у нас в выражениях (4.13) и (4.24) прямо как суммы по частицам. Замечание. Надо, однако, сказать, что эта аддитивность — если только функция Лагранжа не имеет специального вида (2.11) — имеет несколько формальный характер. Дело в том, что хотя импульс (4.13) и представляется в виде суммы импульсов отдельных частиц, но каждый из этих последних может, вообще говоря, зависеть не только от скорости "своей" частицы, но и от "чужих" скоростей (и координат). То же справедливо и для момента. 2.4. Закон сохранения относительно ГПКПри рассмотрении в
предыдущих трех параграфах следствий, которые можно извлечь из инвариантности
описания Во-вторых, для того специального класса динамических систем, которые описываются функциями Лагранжа типа (3.11), инвариантность уравнений относительно преобразований Галилея вообще не ведет ни к каким новым следствиям. Дело в том, что при преобразовании Галилея, как уже отмечалось при обсуждении преобразования энергии, второй член в выражении (2.11) вовсе не испытывает никаких изменений, и все сводится к изменению кинетической энергии, которая при выполнении допущения (2.11) есть просто сумма кинетических энергий отдельных материальных точек системы. А вид кинетической энергии одной свободной материальной точки как раз и устанавливался исходя из требования максимально допустимого изменения при преобразовании Галилея — т. е. изменения на полную производную. Таким образом требование инвариантности уравнений движения уже учтено в специальной форме (2.11) функции Лагранжа, и те следствия, которые были получены с использованием этой формы в предыдущем параграфе, фактически уже основывались на этой инвариантности. Если проследить внимательно рассуждения предыдущего параграфа с этой точки зрения, то можно заметить, что это касалось в первую очередь закона преобразования импульса при переходе от одной инерциальной системы к другой и основанного на нем утверждения о равномерном и прямолинейном движении центра инерции; как мы сейчас увидим, как раз эти утверждения и являются собственно следствиями галилеевой инвариантности уравнений движения. Рассмотрим замкнутую механическую систему, описываемую в некоторой инерциальной системе отсчета К функцией Лагранжа L(ra, va), не имеющей частного вида (2.11). В другой инерциальной системе K', связанной с K (пусть — бесконечно-малым) преобразованием Галилея (1.33), (1.34), та же механическая система будет описываться функцией Лагранжа L(r'a, v'a) (с той же функциональной зависимостью!). Требование галилеевой инвариантности уравнений движения рассматриваемой системы означает, что эти две функции Лагранжа должны различаться не более чем на полную производную некоторой функции Ф только координат, но не скоростей:
Мы написали здесь где Ф — новая (векторная) функция опять только от координат. С другой стороны, приращения координат и скоростей частиц системы при бесконечно-малом преобразовании составляют и, следовательно
Таким образом требование (*) галилеевой инвариантности приводит к тому, что должно (при произвольных малых V0) выполняться равенство: Воспользовавшись здесь произвольностью V0 и вспоминая (общее!) определение импульсов отдельных частиц и полного импульса, заключаем отсюда о необходимости выполнения условия т. е.
Это и есть тот закон сохранения, выполнение которого следует из требования инвариантности относительно преобразований Галилея. 2.5. Уточнение функции Лагранжа м.т.На первый взгляд кажется,
что закон сохранения (4.25) содержит очень мало информации, — ведь вид входящей в
сохраняющуюся комбинацию функции Ф(ra) совершенно произволен. Тем не менее
оказывается, что из него можно извлечь довольно существенные физические
следствия. Вспомним, что входящий в левую часть (4.25)
полный импульс сам тоже должен сохраняться для замкнутой системы:
Но функция Ф есть функция только координат, поэтому ее частные производные, стоящие в качестве коэффициентов при скоростях в сумме по частицам, также суть функции только координат, но не скоростей. Следовательно, правая часть (4.26) есть однородная линейная функция скоростей; значит, то же должно быть и для левой части. Итак, Импульс замкнутой системы есть, как следствие инвариантности относительно преобразований Галилея, линейная однородная функция скоростей всех материальных точек системы. Для одной материальной точки мы получаем отсюда одним интегрированием по скорости выражение для функции Лагранжа, которое раньше мы получили рассуждениями. В самом деле, для одной материальной точки в силу линейности и однородности где т(r) - пока произвольная функция единственного радиус-вектора г. Интегрируя, получаем отсюда где L(т) опять может пока быть произвольной функцией r. Поэтому уравнениями Лагранжа-Эйлера для нашей системы будут Но в силу однородности пространства импульс
р должен сохраняться, т. е. должно быть т. е. обе произвольные функции оказываются константами. Вторую из них в функции Лагранжа можно просто отбросить, и мы приходим к что в точности совпадает с нашей старой формулой. 2.6. Уточнение функции Лагранжа с.м.т.Вернемся теперь к общему случаю N материальных точек и сравним полные импульсы в системе К и К'. По общему определению они будут равны Но функции Лагранжа в этих двух системах отсчета, отличаются на полную производную по времени произвольной функции координат и времени. Поэтому: в силу (4.25) Итак, импульсы в системах К и К' связаны соотношением
в котором тензор
Подчеркнем, что использованные до сих пор соображения ни в коей мере не требуют, чтобы его компоненты были постоянными, они с равным правом могут оказаться произвольными функциями координат (но не скоростей!). Мы видим, что полученное соотношение весьма существенно отличается от найденного ранее для специальных функций Лагранжа вида (2.11) соотношения (17.1) и что рассматриваемые нами сейчас общие системы могут обладать весьма парадоксальными свойствами. Вместо скалярной массы у них появляется тензор масс, который к тому же может зависеть от координат, импульс может не совпадать по направлению со скоростью и т.д. Дело в том, что пока мы использовали еще не все физические требования, которые следует предъявлять к описанию системы материальных точек. Как уже отмечалось, кроме требований инвариантности относительно преобразований Галилея в широком смысле, следует еще наложить на функцию Лагранжа требование асимптотической аддитивности (1.23). Будем считать, что
энергия системы достаточно велика (вид функции Лагранжа не зависит от
численного значения энергии), чтобы для достаточно большого момента времени Т
все материальные точки системы разошлись бы сколь угодно далеко друг от
друга. Тогда в момент времени Т и при больших временах в силу
асимптотической аддитивности в функции Лагранжа системы будут существенны только члены, отвечающие свободному движению составляющих ее материальных точек, которые
образуют комбинацию (2.3). Следовательно,
для достаточно больших времен тензор
где как и в (4.24) Однако полный импульс системы материальных точек должен сохраняться как в системе отсчета К, так и в К', Р = const, Р' = const, т. е. в последнем равенстве все величины, кроме М, не зависят от времени. Следовательно, то же равенство должно иметь место в любой момент времени, т. е. должно быть
и
Подчеркнем еще раз, что это восстановление простых формул произошло только как следствие асимптотической аддитивности, свойства, которое, как и правильное поведение при преобразованиях Галилея, изначально присуще функциям Лагранжа ранее рассматривавшегося класса (2.11). Второе замечание, которое
полезно здесь сделать, состоит в том, что отмеченное постоянство относится
только к полной массе. До суммирования отдельные производные Дальнейшие рассуждения
идут так же, как и в предыдущем параграфе. Определяем скорость V системы как целого условием (15.1)
как
обнаруживаем, что точка с радиус-вектором Таким образом выясняется
физический смысл входящей в (4.25) или (4.26) величины Подчеркнем, что равенства (4.35) являются теперь единственным определением радиус-вектора центра инерции; фигурировавшее в (16) определение R как взвешенного (с массами) среднего радиус-векторов всех точек системы теперь, вообще говоря, не обязано иметь место. 3. Законы сохранения 4-мерной механики3.1. Закон сохранения тензора энергия-импульса
3.2. Закон сохранения тензора момента энергии-импульса
3.3. Закон сохранения заряда (или тока)
3.4. Законы сохранения в микромиреВ дополнение к законам сохранения, действующим в макромире, в физике микромира были обнаружены новые законы сохранения, позволяющие объяснить наблюдаемые экспериментальные закономерности. Законы сохранения играют важную роль в понимании механизмов взаимодействия частиц, их образования и распада. Законы сохранения определяют правила отбора, согласно которым процессы с частицами, приводящие к нарушению законов сохранения, могут происходить в определенных типах взаимодействий. Законы сохранения являются результатом обобщения экспериментальных наблюдений. Часть из них была открыта в результате того, что реакции или распады, разрешенные всеми ранее известными законами сохранения, не наблюдались или оказывались сильно подавленными. Так были открыты законы сохранения барионного, лептонных зарядов, странности, чарма и др. Законы сохранения зарядов связаны с симметрией физических законов относительно преобразований симметрии, описывающих частицы. Информация о том, какие величины сохраняются в различных взаимодействиях, приведена в таблице. Знак «+» («–») показывает, что данная величина сохраняется (не сохраняется). В аддитивных законах сохраняется сумма величин, в мультипликативных законах - произведение величин, которые могут быть равны +1 или –1. Используя законы сохранения легко показать, какие частицы должны быть стабильными, а какие должны неизбежно распадаться. Можно также предсказать, как должны распадаться нестабильные частицы. Законы сохранения
В результате действия законов сохранения, протон и антипротон должны быть стабильными частицами, т.к. являются самыми легкими частицами, имеющими соответственно барионные заряды B = 1 и B = –1. Стабильными частицами являются также электрон и позитрон, т.к. это самые легкие частицы, имеющие соответственно электрический заряд Q = –1 и Q = 1. Нейтрино и антинейтрино также являются стабильными частицами, т.к. это самые легкие носители лептонных зарядов Le, Lμ, Lτ.
- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - - ---Load files---
|
Время переоткрытия сайта 18 ч 34 м по Гр. Календарь на МАРТ месяц 2018 г.
---Load files---
|
U:15 V:16 N:643 |