Теорема Нетер и законы сохранения в механике

1.    Теорема Нетер

Использованная литература:

Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика. Теория поля. Элементы квантовой механики: Учебн. пособие для вузов. – М.: Наука, 1977. – 496 с.

В 1918 г. Эмми Нётер была доказана теорема, из которой следует, что если некоторая система инвариантна относительно некоторого глобального преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина. Если группа содержит n параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование n законов сохранения. Теорема Нетер, доказанная ею во время участия в работе целой группы по проблемам общей теории относительности как бы побочно, стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившей особую междисциплинарную роль принципов симметрии при построении физической теории. Можно сказать, что теоретико-инвариантный подход, развитый в математике, суть которого состоит в систематическом применении групп симметрии к изучению конкретных геометрических объектов, так называемый эрлангенский принцип, проник в физику и определил целесообразность формулирования физических теорий на языке лагранжианов. То есть в основу построения теории должен быть положен лагранжев подход, или лагранжев формализм.

Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно десятипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов, от трех параметров вращения пространства и от трех параметров галилеева преобразования координат перехода в другую ИСО. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 10 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.

1.1.         Доказательство теоремы Нётер

Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа

.

(3.1)

Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида , а также и относительно более общих преобразований , включающих замену независимой переменной. Нас будут интересовать только те преобразования, при которых форма (3.1) не будет меняться.

Итак, будем считать, что мы ввели совокупность зависящих от одного параметра l преобразований L(l) обобщенных координат и времени

(3.2)

Пусть преобразования  такие, что

(3.3)

т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру l®0. Тогда

(3.4)

Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании – это разность значений q'_i(t') новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат q_i(t) в соответствующий момент старого времени, т.е.

(3.5)

Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы

(3.6)

зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты. Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение:

.

(3.7)

Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени

в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно.

Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа

(3.8)

причем

(3.9)

где  включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости.

Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашем преобразовании, – это и есть тот исключительный случай, который требуется условием теоремы, – т.е. чтобы было

(3.10)

где Т' – та же область интегрирования, что и Т во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в (13), получим

(3.11)

Выражаем в (3.11) d*L через dL из  (11) и учитывая соотношение  , переходя к интегрированию по t вместо t', получим:

(3.12)

Но

(3.13)

Найдем дифференциал

отсюда

(3.14)

Подставив (3.14) в (3.13), получим:

Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е.

Тогда имеем:  

(3.15)

Подставим полученное значение вариации функции Лагранжа в (15), имеем:

Из (3.7) выразим dq_i через d*q_i и dt:

                                                        

Тогда вариация действия

(3.16)

Мы должны потребовать равенства этой вариации нулю. В силу произвольности области интегрирования Т из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегрального выражения, т.е. мы приходим к тому, что необходимым и достаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (3.4) служит удовлетворение уравнения

а после замены dt и d*q_i, используя соотношения (3.4) и (3.5), имеем:

Окончательно получим необходимое условие:

Другими словами, из инвариантности действия относительно (3.4) мы получили то следствие, что величина

(3.18)

остается постоянной во времени. Это и есть точное утверждение теоремы Нётер.

1.2.         Теорема Нетер для поля

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. Для среды или поля, представляющих собой систему с бесконечным числом степеней свободы, роль обобщённых координат qⁱ играют такие величины, как смещение частицы, плотность, потенциал и т. п., зависящие в общем случае от координат х, у, z точек среды (поля) и от времени; поэтому для такой среды (поля) qⁱ = qⁱ(х,у,z,t). Характеристикой системы в этих случаях служит удельная (отнесённая к единице объёма) функция Лагранжа, или лагранжиан

и  уравнения Лагранжа-Эйлера для среды (поля) принимают вид

(3.19)

Уравнения (3.19) представляют собой систему уравнений в частных производных; число их равно числу величин qⁱ.

В связи с калибровочной инвариантностью уравнений Лагранжа-Эйлера для поля существует закон сохранения заряда. В связи с этим поток J через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток J через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

1.3.         Некоторые замечания относительно теоремы Нётер

1. Величина (3.18) еще не является динамической величиной – кроме обобщенных координат, скоростей и времени она зависит еще и от задающих преобразований функций . (3.18) станет динамическим законом только тогда, когда сами задающие (3.4) функции будут (помимо параметров) зависеть только от .

2. Обратим внимание на разный характер двух членов в (3.18). Первый из них включает саму функцию Лагранжа, поэтому обязательно перепутывает все степени свободы системы и поэтому может обладать самое большое асимптотической аддитивностью. Напротив, второй имеет явную форму суммы по отдельным степеням свободы. Таким образом, если преобразование, относительно которого действие инвариантно, затрагивает время, то мы можем надеяться на сохранение только асимптотически аддитивной величины, если же преобразование меняет лишь координаты, то сохраняться будет точно аддитивная величина.

Таким образом, была сформулирована и доказана теорема Нётер. Существенно то, что теорема Нётер позволяет, при заданном виде функции Лагранжа, найти аддитивные интегралы движения в виде явных функций координат и скоростей, не интегрируя никаких уравнений, ведь в общем случае каждый из интегралов движения находится только интегрированием системы, число уравнений которой только на одно меньше полной системы уравнений движения.

2.    Законы сохранения

Законы сохранения являются следствиями симметрии, существующих в реальном пространстве-времени. Закон сохранения энергии является следствием временной трансляционной симметрии — однородности времени. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы явно от времени не зависит, а зависит от координат и импульсов всех элементов, составляющих эту систему (которые зависят от времени). Несложными математическими преобразованиями можно показать, что это приводит к тому, что полная энергия системы в процессе движения остается неизменной. Закон сохранения импульса является следствием трансляционной инвариантности пространства (однородности пространства). Если потребовать, чтобы функция Лагранжа оставалась неизменной (инвариантной) при любом бесконечно малом переносе замкнутой системы в пространстве, то получим закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса является следствием симметрии относительно поворотов в пространстве, что свидетельствует об изотропности пространства.

Законы сохранения

Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых классических замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметров вращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.

В силу равноправности всех ИСО должна существовать еще одна трехпараметрическая группа преобразований. Каких то особых законов сохранения в КМН здесь не получается, во первых, в силу не полной инвариантности лагранжиана КМН при замене ИСО, во вторых, лагранжиан м.т. строится уже с учетом всех этих симметрий, но все таки можно ее определить – закон сохранения равномерного прямолинейного движения ц.м. с.м.т. Всего получается 10 сохраняющихся параметра.

2.1.         Закон сохранения энергии 3-мерной механики

Начнем применение теоремы Нётер к обсужденным выше универсальным преобразованиям симметрии с рассмотрения сдвига во времени. Чтобы получить это преобразование надо, очевидно, положить в общих формулах  (3.4) , т. е. считать δt за независимый  постоянный параметр преобразования,  а δ*q_i положить равными нулю.

Уравнение (3.17) превратится тогда в

(4.1)

Оно означает, что как следствие инвариантности действия относительно временного сдвига сохраняется динамическая величина

(4.2)

Эта величина называется энергией системы. Согласно замеча­нию 2 предыдущего раздела энергия асимптотически аддитивна, если, конечно, условию асимптотической аддитивности удовлет­воряет функция Лагранжа.

Замечание. Из теоремы Нётер следует, что если действие инвариантно относи­тельно временного сдвига, то функция Лагранжа просто не может зависеть от времени явно. Последнее обстоятельство не самоочевидно, поскольку при сдвиге времени меняется не только функция Лагранжа, но и область инте­грирования.

Если функцию Лагранжа можно представить в виде (2.11) разности L = Т - U кинетической и потенциальной энергий, то для энергии получится

(4.3)

т. е. она представится в виде суммы кинетической и потенциаль­ной энергии. В частности, энергия системы материальных точек в декартовых координатах в инерциальной системе отсчета по­лучает вид

(4.4)

2.2.         Закон сохранения импульса

Найдем теперь аддитивный закон сохранения, вытекающий из однородности пространства, т. е. выберем в качестве преобразования (3.4) пространственный сдвиг. Прежде всего (если пользоваться инерциальной системой от­счета) такое преобразование не затрагивает времени, следова­тельно, и первые члены в (3.17) пропадут. Что же ка­сается вариаций координат, то ясно, что проще всего они запи­шутся, если использовать для описания системы материальных точек их декартовы координаты - тогда бесконечно малый па­раллельный сдвиг сведется к преобразованию всех радиус-век­торов точек системы одинаковым образом: r_a ® r'_a = r_a + l где l — постоянный вектор; . Поэтому уравнение (3.17) при­мет в этом случае вид

Величина

(4.11)

называется импульсом о-ой материальной точки. Поэтому мы получаем, что вектор

(4.12)

называемый импульсом системы материальных точек, сохраняет во время движения постоянное значение.

Если, как для системы материальных точек в декартовых' координатах, функция Лагранжа имеет специальный вид (7),то

pa = mava и P = S mava.

(4.13)

Подчеркнем, что (4.13) дает определение импульсов только для частного случая; общим определением служит формула (4.11). Формула (4.13) не будет справедливой, например, при наличии магнитных взаимодействий.

С помощью введенного понятия импульса материаль­ной точки можно записать уравнения Лагранжа — Эйлера в де­картовых координатах как

,

называется силой, действующей на а-ю материальную точку. Так записанные уравнения называются уравнениями движения в форме Ньютона.

Суммируя эти уравнения по всем материальным точкам, по­лучим, что в силу закона сохранения импульса:

SF_a = 0

- в замкнутой системе сумма сил равна нулю. Для двух ча­стиц это дает F₁ = -F₂ - третий закон Ньютона.

При использовании для описания системы произволь­ных обобщенных координат удобно ввести по аналогии названия "обобщенные импульсы" и "обобщенные силы":

и

(4.14)

 (хотя эти «импульсы» и не имеют, конечно, никакого отношения ни к сдвигам, ни — вообще говоря — к каким бы то ни было за­конам сохранения), с помощью которых уравнения движения записываются в "квазиньютоновой" форме

2.3.         Закон сохранения момента импульса

Чтобы найти аддитивную величину, сохра­няющуюся в силу изотропии пространства, опять удобно рабо­тать в декартовой системе координат; тогда, как легко сообра­зить, бесконечно малый поворот (в отличие от конечных вра­щений) можно параметризовать, выбирая в качестве параметра  составляющие бесконечно малого вектора  направленного по оси вращения по правилу правого винта, и записывая преобра­зование (3.4) как

(4.21)

Теорема Нётер будет тогда утверждать, что

(4.22)

Векторную величину

(4.23)

называют моментом материальной точки. Таким образом тео­рема Нётер учит нас, что из инвариантности относительно пространственных поворотов следует сохранение вектора

(4.24)

называемого моментом системы.

Поскольку сдвиги и повороты пространства суть преобразо­вания, не затрагивающие времени, импульс и момент не только асимптотически, но и точно аддитивны — они и получились у нас в выражениях (4.13) и (4.24) прямо как суммы по частицам.

Замечание. Надо, однако, сказать, что эта аддитивность — если только функция Лагранжа не имеет специального вида (2.11) — имеет несколько фор­мальный характер. Дело в том, что хотя импульс (4.13) и представляется в виде суммы импульсов отдельных частиц, но каждый из этих послед­них может, вообще говоря, зависеть не только от скорости "своей" частицы, но и от "чужих" скоростей (и координат). То же справедливо и для мо­мента.

2.4.         Закон сохранения относительно ГПК

При рассмотрении в предыдущих трех параграфах след­ствий,   которые   можно   извлечь  из  инвариантности  описания замкнутой механической системы относительно определенных непрерывных преобразований, были обойдены молчанием пре­образования Галилея в узком смысле (1.33), (1.34). Причина этого была двоякой. Во-первых, хотя уравнения движения и инвариантны относительно таких преобразований, но функция Лагранжа - а, следовательно, и действие — не обладает, этим свойством. Поэтому общая техника получения зако­нов сохранения, содержащаяся в теоремах Нётер, не может быть приложена к этому случаю.

Во-вторых, для того специального класса динамических си­стем, которые описываются функциями Лагранжа типа  (3.11), ин­вариантность уравнений относительно преобразований Галилея вообще не ведет ни к каким новым следствиям. Дело в том, что при преобразовании Галилея, как уже отмечалось при обсужде­нии преобразования энергии, второй член в выражении (2.11) вовсе не испытывает никаких изменений, и все сводится к изменению кинетической энергии, которая при выполнении допущения  (2.11) есть просто сумма кинетических энергий отдельных материаль­ных точек системы. А вид кинетической энергии одной свободной материальной точки как раз и устанавливался исходя из требования максимально допустимого изменения при преобра­зовании Галилея — т. е. изменения на полную производную.

Таким образом требование инвариантности уравнений дви­жения уже учтено в специальной форме (2.11) функции Лагранжа, и те следствия, которые были получены с использованием этой формы в предыдущем параграфе, фактически уже основыва­лись на этой инвариантности. Если проследить внимательно рас­суждения предыдущего параграфа с этой точки зрения, то можно заметить, что это касалось в первую очередь закона пре­образования импульса при переходе от одной инерциальной си­стемы к другой и основанного на нем утверждения о равномер­ном и прямолинейном движении центра инерции; как мы сейчас увидим, как раз эти утверждения и являются собственно следствиями  галилеевой инвариантности уравнений движения.

Рассмотрим замкнутую механическую систему, описываемую в некоторой инерциальной системе отсчета К функцией Лагранжа L(r_a, v_a), не имеющей частного вида (2.11). В другой инерциальной системе K', связанной с K (пусть — бесконечно-малым) преобразованием Галилея (1.33), (1.34), та же меха­ническая система будет описываться функцией Лагранжа L(r'_a, v'_a) (с той же функциональной зависимостью!).

Требование галилеевой инвариантности уравнений движения рассматри­ваемой системы означает, что эти две функции Лагранжа должны разли­чаться не более чем на полную производную некоторой функции Ф только координат, но не скоростей:

Мы написали здесь , поскольку функция Ф должна, конечно, зависеть от параметра преобразования   (4), причем так, что            — в системе К никакой добавочной функции нет.  Поэтому, разлагая Ф в ряд по V₀ и оставляя только первый член, можем записать ее как

где Ф — новая (векторная) функция опять только от координат.

С другой  стороны,  приращения  координат  и скоростей  частиц  системы при бесконечно-малом преобразовании составляют

и, следовательно

.

Таким образом требование (*) галилеевой инвариантности приводит к тому, что должно (при произвольных малых V₀) выполняться равенство:

Воспользовавшись здесь произвольностью V₀ и вспоминая   (общее!)   опреде­ление  импульсов отдельных частиц и полного импульса, заключаем отсюда о необходимости выполнения условия

т. е.

(4.25)

Это и есть тот закон сохранения, выполнение которого следует из требования инвариантности относительно преобразований Галилея.

2.5.         Уточнение функции Лагранжа м.т.

На первый взгляд кажется, что закон сохранения (4.25) содержит очень мало информации, — ведь вид входящей в сохраняющуюся комбинацию функции Ф(r_a) совершенно произволен.  Тем  не менее  оказывается, что из него можно извлечь довольно существенные физические следствия. Вспомним, что входящий в левую часть  (4.25) полный импульс сам тоже должен сохраняться для замкнутой системы:  Воспользовавшись этим обстоятельством при выполнении дифференцирования в первом из равенств (4.25), мы получим из него, что

(4.26)

Но функция Ф есть функция только координат, поэтому ее частные произ­водные, стоящие в качестве коэффициентов при скоростях в сумме по части­цам, также суть функции только координат, но не скоростей. Следовательно, правая часть (4.26) есть однородная линейная функция скоростей; значит, то же должно быть и для левой части. Итак,

Импульс замкнутой системы есть, как следствие инвариантности относи­тельно преобразований Галилея, линейная однородная функция скоростей всех материальных точек системы.

Для одной материальной точки мы получаем отсюда одним интегрированием по скорости выражение для функции Лагранжа, которое раньше мы получили рассуждениями. В самом деле, для одной материальной точки в силу линейности и одно­родности

где т(r) - пока произвольная функция единственного радиус-вектора г. Ин­тегрируя, получаем отсюда

где L(т) опять может пока быть произвольной функцией r. Поэтому уравне­ниями Лагранжа-Эйлера для нашей системы будут

Но в силу однородности пространства импульс р должен сохраняться, т. е. должно быть , откуда благодаря произвольности v² следует

т. е.  обе  произвольные  функции  оказываются  константами.   Вторую  из   них в функции Лагранжа можно просто отбросить, и мы приходим к

что в точности совпадает с нашей старой формулой.

2.6.         Уточнение функции Лагранжа с.м.т.

Вернемся теперь к общему случаю N материальных точек и сравним полные импульсы в системе К и К'. По общему определению они будут равны

Но функции Лагранжа в этих двух системах отсчета, отличаются на полную производную по времени произвольной функции координат и времени.  Поэтому:

в силу (4.25)

Итак, импульсы в системах К и К' связаны соотношением

(4.31)

в   котором  тензор  который  можно назвать  «тензором  масс»  системы, определяется как

(4.32)

Подчеркнем, что использованные до сих пор соображения ни в коей мере не требуют, чтобы его компоненты были постоянными, они с равным правом могут оказаться произвольными функциями координат  (но не скоростей!).

Мы видим, что полученное соотношение весьма существенно отличается от найденного ранее для специальных функций Лагранжа вида (2.11) соотно­шения (17.1) и что рассматриваемые нами сейчас общие системы могут об­ладать весьма парадоксальными свойствами. Вместо скалярной массы у них появляется тензор масс, который к тому же может зависеть от координат, импульс может не совпадать по направлению со скоростью и т.д. Дело в том, что пока мы использовали еще не все физические тре­бования, которые следует предъявлять к описанию системы материальных точек. Как уже отмечалось, кроме требований инвариантности относи­тельно преобразований Галилея в широком смысле, следует еще наложить на функцию Лагранжа требование асимптотической аддитивности  (1.23).

Будем считать, что энергия системы достаточно велика (вид функции Лагранжа не зависит от численного значения энергии), чтобы для достаточно большого момента времени Т все материальные точки системы разошлись бы сколь угодно далеко друг от друга. Тогда в момент времени Т и при боль­ших временах в силу асимптотической аддитивности в функции Лагранжа системы будут существенны только члены, отвечающие свободному движению составляющих ее материальных точек, которые образуют комбинацию (2.3). Следовательно, для достаточно больших времен тензорпримет вид

 

где как и в (4.24) Но тогда соотношение (4.31) примет (опять для больших времен) форму для

Однако полный импульс системы материальных точек должен сохранять­ся как в системе отсчета К, так и в К', Р = const, Р' = const, т. е. в по­следнем равенстве все величины, кроме М, не зависят от времени. Следова­тельно, то же равенство должно иметь место в любой момент времени, т. е. должно быть

(20)

(4.33)

и

(21b)

(4.34)

Подчеркнем еще раз, что это восстановление простых формул произошло только как следствие асимптотической аддитивности, свой­ства, которое, как и правильное поведение при преобразованиях Галилея, изна­чально присуще функциям Лагранжа ранее рассматривавшегося класса (2.11).

Второе замечание, которое полезно здесь сделать, состоит в том, что отмеченное постоянство относится только к полной массе. До суммирования отдельные производныемогут произвольным образом зависеть не только от координат, но и от скоростей.

Дальнейшие рассуждения идут так же, как и в предыдущем параграфе. Определяем скорость V системы как целого условием (15.1) каки, интегрируя это равенство

(16а)

(4.35)

обнаруживаем, что точка с радиус-вектором  движется прямолинейно и равномерно.

Таким образом выясняется физический смысл входящей в (4.25) или (4.26) величины — будучи поделенной на полную массу, она дает нам радиус-вектор центра инерции системы.

Подчеркнем, что равенства (4.35) являются теперь единственным опреде­лением радиус-вектора центра инерции; фигурировавшее в (16) определе­ние R как взвешенного (с массами) среднего радиус-векторов всех точек си­стемы теперь, вообще говоря, не обязано иметь место.

3.    Законы сохранения 4-мерной механики

3.1.         Закон сохранения тензора энергия-импульса

 

3.2.         Закон сохранения тензора момента энергии-импульса

 

3.3.         Закон сохранения заряда (или тока)

 

3.4.         Законы сохранения в микромире

В дополнение к законам сохранения, действующим в макромире, в физике микромира были обнаружены новые законы сохранения, позволяющие объяснить наблюдаемые экспериментальные закономерности. Законы сохранения играют важную роль в понимании механизмов взаимодействия частиц, их образования и распада. Законы сохранения определяют правила отбора, согласно которым процессы с частицами, приво­дя­щие к нарушению законов сохранения, могут происходить в определенных типах взаимодействий.

Законы сохранения являются результатом обобщения эксперименталь­ных наблюдений. Часть из них была открыта в результате того, что реакции или распады, разрешенные всеми ранее известными законами сохранения, не наблюдались или оказывались сильно подавленными. Так были открыты законы сохранения барионного, лептонных зарядов, странности, чарма и др. Законы сохранения зарядов связаны с симметрией физических законов относительно преобразований симметрии, описывающих частицы.

Информация о том, какие величины сохраняются в различных взаимодействиях, приведена в таблице. Знак «+» («–») показывает, что данная величина сохраняется (не сохраняется). В аддитивных законах сохраняется сумма величин, в мультипликативных законах - произведение величин, которые могут быть равны +1 или –1. Используя законы сохранения легко показать, какие частицы должны быть стабильными, а какие должны неизбежно распадаться. Можно также предсказать, как должны распадаться нестабильные частицы.

Законы сохранения

В результате действия законов сохранения, протон и антипротон должны быть стабильными частицами, т.к. являются самыми легкими частицами, имеющими соответственно барионные заряды B = 1 и B = –1. Стабильными частицами являются также электрон и позитрон, т.к. это самые легкие частицы, имеющие соответственно электрический заряд Q = –1 и Q = 1. Нейтрино и антинейтрино также являются стабильными частицами, т.к. это самые легкие носители лептонных зарядов Le, Lμ, Lτ.