-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: December 05 2017. -------
Ссылка на этот материал: algoritm_postroyeniya_giperchisyel.htm)
Алгоритм построения таблицы умножения гиперкомплексных чисел

1         Алгоритм построения таблицы умножения гиперкомплексных чисел

Обычно операция умножения задается таблицей умножения базисных элементов гиперкомплексные числа {1, e1, e2, … en}, в результате чего получается опять же базисный элемент, но другой. Пример такой таблицы, задающей таблицу умножения кватернионов:

´

1

e1

e2

e3

1

1

e1

e2

e3

e1

e1

1

e3

e2

e2

e2

e3

1

e1

e3

e3

e2

e1

1

Рис. 1. Пример таблицы умножения по форме 1 гиперкомплексных чисел размерности 4.

На подавляющем большинстве определений гиперкомплексного числа принято, что на диагонали стоят единицы с соответствующим знаком или нуль: "+1" говорит о "гиперболичности" соответствующей координаты, "–1" – о его "эллиптичности" ("комплексности"),  "±0" говорит о "параболичности" ("дуальности"), причем в большинстве интересных реализаций квадрат мнимой единицы гиперкомплексного числа равен именно "–1".

Первые две строки и два столбца полной таблицы умножения повторяют друг друга. На остальных местах стоят "мнимые единицы"  алгебры со знаком "+" или "–" или нули из множества {+1, –1, ±0}.. При этом на любой строке не могут находиться одинаковые базисные единицы, кроме дуальных нулей. Также и для произвольного столбца. При упрощенном представлении таблицы умножения (форма 2) верхняя строка и левый столбец можно и не показывать, представляя их заполненными единицами алгебры в одном предопределенном порядке, например, в порядке возрастания индекса мнимой единицы:

1

e1

e2

e3

e1

1

e3

e2

e2

e3

1

e1

e3

e2

e1

1

Рис. 2. Пример упрощенной (форма 2) таблицы умножения гиперкомплексных чисел размерности 4.

Существует еще более упрощенное представление таблицы умножения - форма 3, в котором представлены только результаты умножения мнимых единиц в порядке возрастания индекса мнимой единицы:

1

e3

e2

e3

1

e1

e2

e1

1

Рис. 3. Пример упрощенной таблицы умножения по форме 2 гиперкомплексных чисел размерности 4.

В связи с неопределенностью упорядочения базисных единиц в таблице умножения возникает вопрос об эквивалентности различных таблиц умножения. Эквивалентными считаются таблицы, которые согласованной перестановкой строк и столбцов таблицы с одновременным переименованием базисных элементов в соответствии с новой упорядоченностью базисных единиц можно сделать одинаковыми. Такая эквивалентность выделяет во множестве таблиц умножения некоторый класс изоморфных таблиц умножения. За представителя класса можно принять таблицу, которая имеет минимальное численное представление при чтении значений элементов таблицы слева направо - сверху вниз, полученное при переименовании базисных единиц множеством целых положительных чисел, при этом вещественное число будет иметь представление "1" (или "01" при размерности более 9 и т.д.), все остальные мнимые единицы – с помощью последовательных целых чисел от 2 до n.

Кроме таблиц умножения, при определении результата умножения мнимых единиц может применяться какой–либо принцип, например, метод удвоения Кэли или принципы симметрии – однородности, изотропности. Тогда таблица умножения будет вторичной, подчиненной принципу. Возможны и другие принципы, основанные на свойствах получаемой алгебры, основанной на кольцах или более жестко – телах. Пример – числа Клиффорда, определенные через базовые геометрические объекты n–мерного векторного пространства.

В принципе нет никаких запретов на то, чтобы в результате умножения двух базисных элементов получилось какоето другое произвольное гиперкомплексное число, не обязательно базисное. Но при этом желательно, чтобы числа, стоящие в ячейках таблицы умножения, по любой строке и столбцу были взаимно независимы и более того – взаимно ортогональны с единичной нормой. Вопрос о независимости и норме – отдельные вопросы. Также желательно, чтобы эта таблица умножения обладала какойто симметрией.

2         Построение базисной таблицы умножения гиперкомплексных чисел

Условие эквивалентности, поставленное выше, является очень сильным, необходимым и достаточным условием. Несмотря на то, что число базисных единиц равно n, на самом деле в таблице будут присутствовать 2n различных элементов результата произведения мнимых единиц, в т.ч. и со знаками "–", что очень сильно усложняет практическое решение вопроса эквивалентности. Оно также очень сильно усложнит поиск всех не эквивалентных таблиц. С этой целью можно расширить класс эквивалентности до необходимого условия, заменив в таблице умножения все знаки "–" на "+", и уже затем решать вопрос окончательной эквивалентности. Эта новая таблица умножения будет эквивалентна таблице умножения гиперболических чисел со всеми положительными знаками произведений базисных единиц между собой типа ei · ej = ek. Попробуем построить алгоритм построения "минимального" класса таблиц для таких гиперкомплексных чисел.

Имеется метод построения в лоб – строятся все возможные таблицы умножения и все они проверяются на эквивалентность. Но этот метод не продуктивен в силу наличия слишком большого количества таблиц умножения даже при размерности8 и более. Необходимо как-то оптимизировать процесс выявления таких таблиц. Вот один из возможных алгоритмов, хотя он не гарантирует построение минимального "класса представителей" таблиц умножения конкретной размерности, но значительно сокращает ее.

1)   Во первых, необходимо выбрать размерность гиперкомплексного числа, т.к. для эквивалентности необходимо равенство их размерностей.

2)   Выберем третью форму таблицы умножения. Это возможно, т.к. любую таблицу умножения можно привести к ней.

3)   Первая строка и первый столбец (для этой формы таблицы умножения) должны быть заполнены последовательными числами от 1 до n (см. таблицу), т.к. произведение любой мнимой единицы на вещественную единицу не меняет ее. Именно числами, потому что мы мнимые единицы ei будем представлять ее индексом.

4)   На диагонали должны стоять единицы, ибо квадрат любой мнимой единицы гиперболического числа равен плюс единице.

5)   Первые две строки всегда представляют собой некоторую перестановку. Эти перестановки всегда можно упорядочить таким образом, что любая замкнутая перестановка будет занимать несколько соседних ячеек.  Затем эту перестановку можно перенумеровать в возрастающем порядке. Из всех таких перестановок свойством минимальности обладают перестановки, идущие друг  за другом в порядке возрастания периода.

6)   Каждый внутренний цикл упорядочим таким образом, что внутри периода вторая строка будет представлять собой первую строку, смещенную назад на один элемент, а первый элемент ее перемещен в конец периода. Например, такой (рис. 4):

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

1

4

3

6

5

8

9

7

3

 

1

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

5

 

 

 

1

 

 

 

 

6

 

 

 

 

1

 

 

 

7

 

 

 

 

 

1

 

 

8

 

 

 

 

 

 

1

 

9

 

 

 

 

 

 

 

1

Рис. 4. Пример таблицы умножения после шестого шага. Здесь имеется 4 цикла с порядками 2, 2, 2 и 3. Нарушение именно такой, возрастающей, структуры циклов не допускаются.

7)   Для построения остальных элементов какого либо простого способа не имеется. Тривиальный способ – в лоб: применить способ построения таблицы без дальнейшей оптимизации применением свойства не повторяемости значений ячеек таблицы одновременно по горизонтали и вертикали. А именно, последовательным заполнением элементов таблицы допустимыми значениями слева направо – сверху вниз с проверкой этого свойства на каждом шаге по заполненным ячейкам с возвратом с промежуточной позиции при попадании в тупик И так до самого конца таблицы. В конце можно проверить ассоциативность, коммутативность и другие свойства полученной таблицы, а также ее минимальность.

Замечание: здесь (и далее) ассоциативность проверяется только относительно множества самих мнимых единиц, а не всего множества возможных гиперчисел. Может оказаться, что все множество гиперчисел обладает более слабой ассоциативностью, но никак не более сильной.

Этот способ гарантирует построение следующей таблицы умножения, но не гарантирует ее минимальность. К тому же он опять же слишком трудоемок уже для размерности 6 и более. Необходима дальнейшая оптимизация алгоритма, причем в процессе построения таблицы, а не в конце. Частично это можно сделать методом циклических перестановок заполненных циклов в каждой заполняемой строке.

8)   Минимальность или не минимальность определяются применением специальной процедуры – согласованные циклические перестановки строк и столбцов с одновременным переименованием единиц в последней заполненной циклической перестановке

9)   Проверить тип цикличности строк с номером более двух: этот тип цикличности не должен быть меньше типа цикличности предыдущих строк. Если меньше, то такую строку можно сделать предыдущей. Следовательно, она могла быть найдена раньше и новая таблица будет обладать свойством минимальности по сравнению с текущей таблицей.

10)  Понятие эквивалентности можно расширить на симметричные относительно главной диагонали таблицы умножения. Лево- и правоассоциативные таблицы обладают этим свойством симметрии. Все не ассоциативные таблицы также имеют симметричные решения. В результате необходимо оставить меньшую таблицу умножения. Количество таблиц умножения сократится примерно вдвое.

11)  Оптимизация конца поиска таблиц умножения: поиск можно прекращать, когда элемент с координатой (2, 3) изменит свое первоначальное значение "4" на число 5 (или на любое другое большее). Этот элемент может иметь только значение, равное 4.

12)  В конце можно проверить ассоциативность, коммутативность и другие свойства полученной таблицы, а также проверить ее минимальность другими(?) способами.

Сложность метода, точнее, объем работы, очень сильно возрастает с увеличением порядка таблицы. С применением персонального компьютера этим способом можно построить таблицы до размерности 8 за время до одного часа, при наличии большего времени – до 16. Но и этот способ не гарантирует минимальность таблицы умножения, хотя значительно приближает нас к результату. Необходимо дальнейшее совершенствование процедуры оптимизации. Вот некоторые алгоритмы частичной оптимизации с применением свойства коммутативности и/или ассоциативности:

Есть еще один способ сокращения времени работы программы поиска таблиц умножения, но только четного порядка. Тогда порядок таблицы 2n раскладывается в произведение двух чисел  2 и n. Таблица умножения тогда будет состоять из циклов порядка 2 и разделена на ячейки размерности 2´2 с одинаковыми элементами на диагоналях. Если выделить все таблицы умножения с таким свойством в одну группу и в результат вывести первого представителя, то можно сократить время работы программы. Есть и большой недостаток – будет сильно обеднено множество найденных таблиц умножения, т.к. очень много не эквивалентных таблиц с совершенно различными свойствами будет отсечено. Отсеченное множество таблиц придется анализировать отдельно.

Можно определить способ группирования и других таблиц умножения, представленных составными, а не простыми числами.

13)  Для коммутативных таблиц при нахождении элемента справа - вверху от диагонали автоматически определяется и сопряженный к нему слева - внизу от диагонали элемент.

14)  Для ассоциативных таблиц можно проверять промежуточную ассоциативность во множестве определенных элементов.

Для ассоциативных таблиц имеются некоторые свойства, которые можно применить для оптимизации поиска всех таблиц умножения. Оно заключается в степенной ассоциативности операции умножения. Из него следует, что таблица умножения состоит из элементарных симметричных ячеек 2×2 типа

i

j

j

i

Действительно, возьмем любую из мнимых единиц, например, i. Для нее имеем i2 =1. Таблица умножения для нее будет элементарной:

1

i

i

1

Добавим еще одну мнимую единицу j. В соответствии с алгоритмом построения таблицы умножения, приведенным выше, имеем следующую таблицу умножения для чисел 1, i и j. При этом появляется еще одна составная мнимая единица ij. С учетом ассоциативности для произведения iij имеем iij = j и таблица умножения продолжится :

1

i

j

ij

 

i

1

ij

i(ij) = j

 

 

 

 

 

 

откуда однозначно следует размерность новой ячейки 2×2 и ее симметричность.

В соответствии с теми же правилами, мы можем продолжить построение таблиц  по столбцам 1 и 2:

1

i

j

ij

i

1

ij

i(ij) = j

j

ji

1

 

ij

iji

 

1

Закончим таблицу:

1

i

j

ij

 

1

i

j

ij

i

1

ij

i(ij) = j

=

i

1

ij

j

j

ji

1

jij

 

j

ji

1

jij

ij

iji

i(jj) = i

1

 

ij

iji

i

1

В результате мы имеем три ячейки с не вполне определенным значением. Но они вполне однозначно определяются исходя из свойства не повторяемости элементов по строкам и столбцам, в результате имеем таблицу:

1

i

j

ij

i

1

ji

j

j

ij

1

i

ji

j

i

1

В окончательном результате мы получили ассоциативную и коммутативную таблицу умножения размерами 4×4. Построенная таблица оказалась эквивалентной получению таблицы умножения из таблицы умножения гиперболического (двойного) числа методом коммутативного удвоения Кэли с новой мнимой единицей j и соответствует таблице умножения гипергиперболического числа. Если новую дополнительную мнимую единицу ij обозначить как k, то таблица умножения будет следующей:

1

i

j

k

i

1

k

j

j

k

1

i

k

j

i

1

Можно сказать, что это элементарная ячейка ассоциативной таблицы умножения больших размерностей.

Возможно дальнейшее продолжение увеличения размерности таблицы умножения, и каждый раз в два раза опять же тем же методом удвоения с новой мнимой единицей I. При этом получим расширенную таблицу умножения:

E1

I·E1

E1·I

E1

где E1 соответствует предыдущей таблице умножения, I – новой мнимой единице.

Новая таблица умножения обязана быть ассоциативной и коммутативной в силу построения.

Можно показать, что если в таблице умножения имеются нечетные циклы более двух, то такие таблицы не могут быть ассоциативными. Действительно, пусть имеется цикл порядка 3 (5, 7, …). Тогда для этого цикла i(i(ij)) = j. Если бы это произведение было ассоциативным, то имели бы i(i(ij)) = i3j = i2ij = ij, что, конечно, не равно j, что и доказывает сказанное выше.

Отсюда же следует, что она не является и лево-альтернативным.

Аналогично можно доказать, что она не является и право-альтернативным, а следовательно, не может быть вообще альтернативным.

Если в таблице имеется четный цикл 2n·k ≠ 2m, где n, m, k – целые числа, то его можно представить через произведение числа 2n на нечетные числа, из чего опять следует его неассоциативность.

Остается одна возможность для построения ассоциативных таблиц – только с порядком 2n.

3         Построение таблиц умножения с произвольной сигнатурой

После того, как построены базовые таблицы с чисто положительной сигнатурой, можно строить и таблицы умножения и с не чисто положительными сигнатурами. Если за основу взять какую-либо базовую таблицу с положительной сигнатурой, то на ее основе можно построить множество других с произвольной расстановкой знаков +, - и 0 в ячейках таблицы. Задача опять оказывается тривиальной – найти среди них минимальные, представительские. Задача, конечно, может быть решена в лоб и за конечное время даже ручным перебором возможностей, но решить эту задачу нужно   все же за разумное время. А это значит, что опять необходимо применять алгоритмы оптимизации генерации новых таблиц на основе базовой и сравнения их между собой.

Задача может быть несколько упрощена, если заметить, что таблицы умножения со сложной сигнатурой обладают инвариантами, которые позволяют уменьшить количество потенциальных для проверки таблиц умножения. Строятся и проверяются только те таблицы умножения, которые удовлетворяют некоторым условиям.

Первым делом вычисляются глобальные инварианты таблицы. Эквивалентными могут быть только те, которые имеют одинаковые глобальные инварианты.

Во вторых, можно упорядочить диагональные элементы: сначала вещественная единица, затем минусовые, плюсовые и нулевые. После этого упорядочения вся таблица разбивается на 16 блоков.

В следующем шаге упорядочим столбцы по возрастанию количества положительных элементов, не нарушая расположение блоков. Затем выполним это же для строк. После этого количество блоков может значительно увеличиться.

Следующим шагом будет учет количества положительных элементов каждого из блоков по столбцам и строкам. Всего получается три шага определения блоков таблицы умножения.

Последним возможным шагом будет построчное (или поблочно-построчное) упорядочение элементов всей таблицы в определенном порядке без нарушения границ блоков полным перебором возможностей перестановки строк и столбцов. Возможны варианты.

4         Примеры таблиц умножения

Построим таблицы умножения для некоторых конкретных недуальных гиперкомплексных чисел, состоящие из базисных элементов и удовлетворяющие этим условиям с точностью до знаков в ячейках таблицы.

Из одного базисного элемента – единственный:

1

Число в ячейке таблицы указывает на номер мнимой единицы, при n = 1 – это вещественная единица алгебры. Это – таблица умножения единицы вещественных чисел.

Из двух базисных элементов – единственный с точностью до знаков в ячейках таблицы:

1

2

2

1

Эта таблица интересна тем, что она симметрична. Эта таблица соответствует двойным и комплексным числам.

Из трех базисных элементов – не имеется ни одной таблицы умножения. Действительно, следующую таблицу умножения невозможно продолжить – алгоритм построения упирается в тупик: на место красного крестика невозможно поставить ни одно из чисел 1..3:

1

2

3

2

1

х

3

 

1

Из четырех базисных элементов – единственный с точностью до знаков в ячейках таблицы:

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

Эта таблица интересна тем, что любой из квадратов размерности 2n составляется довольны простым способом: она отличается от левого верхнего квадрата этого же размера на одно и то же целое число. А также она обладает высокой степенью симметрии – однородностью мнимых единиц. Такая таблица соответствует ассоциативно-коммутативному гипергиперболическому числу. Она является основой таблицы умножения кватернионов и других гиперкомплексных чисел размерности 4. Эта таблица обладает инвариантностью относительно замены пар строк и столбцов в любой паре.

Наиболее интересными гиперкомплексным числами размерности 4 являются гиперболические (или коммутативные гипергиперболические, смотри выше) и кватернион (бикомплексное антикоммутативное) числа с таблицей умножения:

–1

–1

 

Кватернионы или бикомплексные числа

–1

–1

 

aK

- антикоммутативное

 

 

 

 

A

- ассоциативное

 

I

1

2

12

aK

1

2

3

4

1

–I

12

–2

A

2

–1

4

–3

2

–12

–I

1

 

3

–4

–1

2

12

2

–1

–I

 

4

3

–2

–1

Здесь (и далее) верхняя левая таблица – расширенная таблица умножения базисных единиц {i, j}: i2 = -1 – стандартно для мнимой единицы, i2 = +1 – специальный случай для мнимой единицы,ij = -1 – произведение разных мнимых единиц антикоммутативно, ij = +1 – произведение разных мнимых единиц коммутативно, слева визу – таблица умножения в смешанных мнимых единицах {1, 2, 12}, справа внизу – в независимых мнимых единицах {1, 2, 3}, при этом мнимая единица (12) ~ (4).

Из пяти базисных элементов – существует единственная с точностью до перестановки элементов и знаков в ячейках таблицы и отражения (транспонирования):

1

2

3

4

5

2

1

4

5

3

3

5

1

2

4

4

3

5

1

2

5

4

2

3

1

Эта таблица умножения интересна тем, что она не коммутативна и не ассоциативна. Симметричный случай невозможен – алгоритм построения упирается в тупик: на место красного крестика невозможно поставить ни одно из чисел 1..5:

1

2

3

4

5

2

1

4

5

3

3

4

1

2

х

4

5

2

1

 

5

3

 

 

1

Из шести базисных элементов имеется уже не более 3 (или 4) таблиц умножения. Все они не ассоциативные. Имеются один коммутативный Ни один из них нельзя получить как прямое произведение алгебр меньшей размерности 2´3.

Есть один единственный коммутативный случай. Он не состоит из ячеек 2×2:

3

 

1

 

 

 

3

Am

1

2

3

4

5

6

K

2

1

4

5

6

3

 

3

4

1

6

2

5

 

4

5

6

1

3

2

 

5

6

2

3

1

4

 

6

3

5

2

4

1

Примечание: здесь (и далее) у каждой таблицы указаны номер таблицы, тип ассоциативности, ее коммутативность, а над каждой таблицей указаны цикличности ячеек. Типы ассоциативности – AlrsmA – ассоциативная, l – левая, r – правая, s – двусторонняя альтернативная, m – эластичная (центральная) ассоциативность. Виды коммутативностей: K – коммутативная, nK – не коммутативная, aN – антикоммутативная.

Здесь единицы алгебры выделены в две группы. Одна группа состоит из двух единиц – (1, i) и она изоморфна алгебре 2×2,  другая группа состоит из мнимых единиц (j, k, l, m). Умножение второй группы на i переводит мнимые единицы в следующий элемент по циклу своей группы.

Из семи базисных элементов имеется уже гораздо больше, но не более 20  (не оптимизировано) таблиц умножения. Возможно, среди них имеются и эквивалентные. Все они не ассоциативные и не коммутативные. Для примера две из них, обладающих существенно различными циклическими структурами – с циклами (2+2+3) и (2+5):

1

2

3

4

5

6

7

 

1

2

3

4

5

6

7

2

1

4

3

6

7

5

 

2

1

4

5

6

7

3

3

4

1

5

7

2

6

 

3

4

1

2

7

5

6

4

6

7

1

2

5

3

 

4

6

7

1

2

3

5

5

3

6

7

1

4

2

 

5

3

6

7

1

2

4

6

7

5

2

3

1

4

 

6

7

5

3

4

1

2

7

5

2

6

4

3

1

 

7

5

2

6

3

4

1

Других типов цикличности не имеется.

Из восьми базисных элементов имеется не более 18905  (не оптимизировано) таблиц умножения. Среди них 73 с различной степенью ассоциативности, 13 коммутативных. Перечислим возможные типы цикличности: (2,2,2,2), (2,2,4), (2,3,3), (2,6). Имеется одна единственная ассоциативная и одновременно коммутативная таблица, соответствующая гипер3болическим числам, с циклом (2,2,2,2). Эта таблица является основой для таблиц умножения гиперкомплексных чисел порядка 8: октав, (октонионов, чисел Кэли и др.), бикватернионов и других. Таблица умножения для нее имеет вид:

1

K

2

 

2

 

2

 

2

A

1

2

3

4

5

6

7

8

343

2

1

4

3

6

5

8

7

0

3

4

1

2

7

8

5

6

0

4

3

2

1

8

7

6

5

0

5

6

7

8

1

2

3

4

 

6

5

8

7

2

1

4

3

 

7

8

5

6

3

4

1

2

 

8

7

6

5

4

3

2

1

Эта таблица интересна тем, что любой из квадратов размерности 2n составляется довольны простым способом: она отличается от левого верхнего квадрата этого же размера на одно и то же целое число. А также она обладает высокой степенью симметрии – однородностью мнимых единиц.

На основе ассоциативно-коммутативной таблицы умножения возможно построить без учета эквивалентных 249 не дуальных таблиц с расставленными знаками и 349 с дуальностями. Из этого огромного множества реальный интерес представляют только те, которые получаются методами удвоения из таблиц меньших размерностей. К настоящему времени хорошо изучены числа, когда все αpq = –1 (числа Клиффорда); все εp = 0, αpq = –1 (числа Грассмана); n = 3 и все εp = 1, αpq = –1 (числа Паули); n = 3 и все εp = -1, αpq = –1 (число Кэли, октава или октонион), бикватернионы. Для этих чисел построены теории, аналогичные теории функций комплексного переменного, благодаря чему они нашли широкое применение в современной математике и различных областях науки: неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, квантовой теории поля, теории – упругости и т.д.

А́лгебра Кэ́ли — определённый тип гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается O, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Число Кэли (октава) — это линейная комбинация элементов {1,i,j,k,l,il,jl,kl}. Каждое число Кэли x может быть записано в форме

x = x0 + x1i + x2 j + x3k + x4l + x5il + x6 jl + x7 kl 

с вещественными коэффициентами xi. Из вида числа Кэли видно, что это числа, полученные из гиперквадратных чисел методом удвоения Кэли-Диксона из кватерниона. Числа Кэли удовлетворяют условию все εp = -1, αpq = –1.

1

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e1

−1

e3

e2

e5

e4

e7

e6

e2

e3

−1

e1

e6

e7

e4

e5

e3

e2

e1

−1

e7

e6

e5

e4

e4

e5

e6

e7

−1

e1

e2

e3

e5

e4

e7

e6

e1

−1

e3

e2

e6

e7

e4

e5

e2

e3

−1

e1

e7

e6

e5

e4

e3

e2

e1

−1

Таблицами умножения одного из бикватернионов следующая:

–1

–1

–1

 

Бикватернион – получена удвоением Грассмана–Клиффорда  от кватерниона

–1

–1

–1

 

 

 

nK

не коммутативная

 

 

 

 

 

–1

–1

–1

 

 

 

A

– ассоциативная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

3

13

23

123

nK

1

2

3

4

5

6

7

8

1

–I

12

–2

13

–3

123

–23

A

2

–1

4

–3

6

–5

8

–7

2

–12

–I

1

23

–123

–3

13

 

3

–4

–1

2

7

–8

–5

6

12

2

–1

–I

123

23

–13

–3

 

4

3

–2

–1

8

7

–6

–5

3

–13

–23

123

–I

1

2

–12

 

5

–6

–7

8

–1

2

3

–4

13

3

–123

–23

–1

–I

12

2

 

6

5

–8

–7

–2

–1

4

3

23

123

3

13

–2

–12

–I

–1

 

7

8

5

6

–3

–4

–1

–2

123

–23

13

–3

–12

2

–1

I

 

8

–7

6

–5

–4

3

–2

1

 

–1

–1

 

Октава – получена удвоением Кэли–Диксона  от кватерниона

–1

–1

 

 

 

 

aK

антикоммутативная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

– альтернативная

 

 

 

 

 

I

1

2

12

3

13

23

123

aK

1

2

3

4

5

6

7

8

1

–I

12

–2

13

–3

–123

23

As

2

–1

4

–3

6

–5

–8

7

2

–12

–I

1

23

123

–3

–13

 

3

–4

–1

2

7

8

–5

–6

12

2

–1

–I

123

–23

13

–3

 

4

3

–2

–1

8

–7

6

–5

3

–13

–23

–123

–I

1

2

12

 

5

–6

–7

–8

–1

2

3

4

13

3

–123

23

–1

–I

–12

2

 

6

5

–8

7

–2

–1

–4

3

23

123

3

–13

–2

12

–I

–1

 

7

8

5

–6

–3

4

–1

–2

123

–23

13

3

–12

–2

1

–I

 

8

–7

6

5

–4

–3

2

–1

  Таблицы умножения с нечетной размерностью 9, 11, 13 и 15 (и вообще все с нечетной размерностью) не ассоциативны и не коммутативны, но их очень много – более чем по 70000 (не оптимизировано) для каждой размерности более 8. Вот примеры таблиц умножения размерности 9, 11, 13,15 и 17:

1

 

2

 

2

 

2

 

 

3

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

2

1

4

3

6

5

8

9

7

 

3

4

1

2

7

8

9

5

6

 

4

3

2

1

8

9

6

7

5

 

5

6

7

9

1

2

3

4

8

 

6

5

8

7

9

1

2

3

4

 

7

8

9

5

2

4

1

6

3

 

8

9

5

6

3

7

4

1

2

 

9

7

6

8

4

3

5

2

1

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

3

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

11

9

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

9

10

 

4

3

2

1

8

9

10

11

5

6

7

 

5

6

7

8

1

10

11

9

2

3

4

 

6

5

8

7

11

1

9

10

3

4

2

 

7

8

5

9

10

11

1

3

4

2

6

 

8

7

10

11

9

2

4

1

6

5

3

 

9

10

11

5

2

3

6

4

1

7

8

 

10

11

9

6

4

7

3

2

8

1

5

 

11

9

6

10

3

4

2

5

7

8

1

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

3

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

13

11

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

13

9

10

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

13

10

11

9

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

11

9

10

12

 

6

5

9

10

11

1

12

13

2

3

4

7

8

 

7

8

10

9

12

13

1

11

3

2

5

4

6

 

8

7

11

12

9

10

13

1

4

5

2

6

3

 

9

10

5

6

13

3

11

12

1

4

7

8

2

 

10

9

12

13

2

11

4

3

6

1

8

5

7

 

11

12

13

7

10

4

2

9

8

6

1

3

5

 

12

13

8

11

3

9

10

2

5

7

6

1

4

 

13

11

6

5

4

12

9

10

7

8

3

2

1

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

3

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

15

13

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

13

14

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

13

14

15

9

10

11

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

11

15

14

10

9

12

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

15

10

13

11

12

9

 

7

8

5

6

3

4

1

9

15

14

13

2

12

11

10

 

8

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

9

5

6

7

 

9

7

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

6

5

8

 

10

9

6

13

11

15

12

14

3

1

2

5

7

8

4

 

11

12

9

14

15

3

10

13

4

5

1

6

8

7

2

 

12

11

13

15

14

9

2

10

5

7

8

1

3

4

6

 

13

14

15

5

9

10

11

12

6

4

7

8

1

2

3

 

14

15

12

9

10

11

13

2

7

8

6

3

4

1

5

 

15

13

14

10

4

12

9

11

8

6

5

7

2

3

1

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

3

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

13

16

17

15

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

16

17

13

14

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

16

17

14

15

13

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

14

15

16

17

9

10

11

12

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

13

16

17

9

15

11

12

10

 

7

8

5

6

3

4

1

2

15

16

17

13

10

11

12

14

9

 

8

7

6

5

4

3

2

1

16

17

14

15

12

10

13

9

11

 

9

10

11

12

13

14

15

17

1

2

3

4

5

6

7

8

16

 

10

9

12

11

14

13

16

15

17

1

2

3

4

5

6

7

8

 

11

12

9

10

15

16

17

13

2

3

1

14

6

4

8

5

7

 

12

11

10

9

16

17

13

14

3

15

4

1

7

8

2

6

5

 

13

14

15

16

17

9

10

11

4

5

7

8

1

12

3

2

6

 

14

13

16

17

9

15

11

12

5

6

8

7

2

1

4

10

3

 

15

16

17

13

10

12

14

9

6

8

5

2

11

7

1

3

4

 

16

17

14

15

12

11

9

10

7

4

13

6

8

3

5

1

2

 

17

15

13

14

11

10

12

16

8

7

6

5

3

2

9

4

1

 

Среди четных размерностей (10, 12, 14 и далее) имеются как ассоциативные (различной степени), так и коммутативные. Только коммутативных размерности 10 может быть до 1750, а ассоциативных - 65201 (не оптимизировано). Все коммутативные таблицы имеют эластичную ассоциативность, а не равные 2n – только эластичную.

Вот примеры таблиц умножения размерности 10, 12, 14 и 18:

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

 

K

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

 

3

4

1

2

7

8

9

10

5

6

 

 

3

4

1

2

7

8

9

10

5

6

 

4

3

2

1

8

7

10

9

6

5

 

 

4

3

2

1

8

9

10

5

6

7

 

5

6

7

9

1

10

2

3

4

8

 

 

5

6

7

8

1

10

2

9

3

4

 

6

5

8

10

9

1

3

2

7

4

 

 

6

5

8

9

10

1

3

4

7

2

 

7

8

5

6

10

9

1

4

2

3

 

 

7

8

9

10

2

3

1

6

4

5

 

8

10

9

5

2

4

6

1

3

7

 

 

8

7

10

5

9

4

6

1

2

3

 

9

7

10

8

4

3

5

6

1

2

 

 

9

10

5

6

3

7

4

2

1

8

 

10

9

6

7

3

2

4

5

8

1

 

 

10

9

6

7

4

2

5

3

8

1

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

 

K

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

 

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

 

 

4

3

2

1

8

7

9

10

12

11

5

6

 

5

6

7

9

1

10

11

12

2

3

4

8

 

 

5

6

7

8

1

11

10

12

2

3

4

9

 

6

5

8

10

9

1

12

11

3

2

7

4

 

 

6

5

8

7

11

1

12

9

3

2

10

4

 

7

8

5

11

10

12

1

9

4

6

2

3

 

 

7

8

5

9

10

12

1

11

4

6

2

3

 

8

7

6

12

11

9

10

1

5

4

3

2

 

 

8

7

6

10

12

9

11

1

5

4

3

2

 

9

10

11

5

12

2

3

4

1

7

8

6

 

 

9

10

11

12

2

3

4

5

1

7

6

8

 

10

9

12

6

2

11

4

3

8

1

5

7

 

 

10

9

12

11

3

2

6

4

7

1

8

5

 

11

12

9

7

3

4

2

10

6

8

1

5

 

 

11

12

9

5

4

10

2

3

6

8

1

7

 

12

11

10

8

4

3

9

2

7

5

6

1

 

 

12

11

10

6

9

4

3

2

8

5

7

1

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10