Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: chisla_klifforda.htm)
Число Клиффорда

1   Числа и алгебра Клиффорда

Создание исчисления, позволяющего оперировать геометри­ческими величинами по правилам алгебры, издавна было целью исследований многих математиков. Об этом мечтал еще Лейб­ниц, этого пытался добиться Карно. Однако первые дейст­вительно важные систематические построения такого рода были сделаны ирландцем У. Р. Гамильтоном (1805—1865), который в поисках объектов, обобщающих комплексные числа, открыл кватернионы (отказавшись при этом от свойства коммутатив­ности произведения), и немцем X. Грассманом (1809 — 1877), который около 1844 г. ввел понятия внешнего, а затем и внут­реннего произведения для мультивекторов. В 1878 г. англичани­ну У. К. Клиффорду (1845 — 1879) удалось объединить эти две разные схемы в рамках единой алгебры, охватывающей и обычное векторное исчисление в пространстве трех измере­ний, разработанное в окончательном виде американцем Дж. У. Гиббсом (1839–1903). Однако лишь в 1930 г. эта алгебра — творение, в основном, англо–саксонское — приобрела столь важные приложения в физике, что потребовалось ее ма­тематически корректное изложение.

В случае евклидовых пространств En размерности n ≤ 3, а также пространства–времени специальной теории относительности, можно определить произведение двух векторов как произведение двух матриц, сопоставленных векторам; при этом все аксиомы чисел Клиффорда очевидным образом выполняются. В общем случае произведения векторов, являющиеся элементами Kn, будут определены как функции по отношению к некоторому базису этого пространства. Тем самым они будут определены сразу во всех базисах, и необходимости обращаться к матричному представлению векторов не возникнут.

Числа Клиффорда Kn объединяют в себе тензоры порядка от 0 до n в n–мерном пространстве в одно составное сложное число. Необходимо отметить, что это пространство не обязательно представляет собой n–мерное евклидово пространство. Базой этого пространства могут быть любые n ортогональных друг к другу объектов, в частности, матрицы Паули. Элементами являются любые линейные комбинации этой базы. n–мерные числа Клиффорда геометрически представляют собой совокупность пространственных объемов размерности kn, натянутых на k векторах пространства. Размерность канонической базы чисел Клиффорда равна n, а базы чисел Клиффорда, основанной на ней, равна 2n.

Множество чисел Клиффорда является абелевой группой по операции «сложение».

Множество чисел Клиффорда является телом по операциям «сложение» и «умножение».

Множество чисел Клиффорда не имеет делителей нуля при положительно определенной норме вектора базисного пространства En.

Множество чисел Клиффорда Kn с вещественной базой канонического базиса En имеет мощность континуума и размерность 2n.

1.1      Алгебра Клиффорда

Все утверждения здесь и везде в этой главе даются без доказательств. Более подробно можно посмотреть в книге Г.Казанова, Векторная алгебра, 1979, М., Мир, посвященной числам Клиффорда и их применениию в физике.

1. Базой алгебры Клиффорда Kn является поле. Тогда выполняются аксиомы векторного пространства:

A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

и если 0 — нулевой вектор этого пространства, то

A + 0 = 0 + A = A.

Далее, для действительных чисел l и m

(l + m)A = lA + mA,

l(A + B) = lA + lB,

l(mA) = (lm)A,

и, кроме того, умножение на число 1 не меняет элементы Kn. Из этих свойств следует, что если lA = 0, то либо l = 0, либо A = 0.

2. В Kn определено ассоциативное умножение, связанное со сложением условиями дистрибутивности (введена структура кольца): т. е. произведение AB также является элементом Kn и

A(BC) = (AB)C,

(A + B) C = AC + BC,

C(A + B) = CA + CB.

3. Действительные числа, или скаляры, l являются элементами Kn и коммутируют со всеми элементами, т. е.

lA = Al.

Эти три свойства чисел Клиффорда есть стандартные свойства тела. Следующее свойство вводит на этих числах частичную норму, определенную на векторах базового пространства.

4. Для любого а из En квадрат a2 = aa является скаляром.

Эта мера как следствие определена на всех числах Клиффорда. Элементы пространства Kn называют тогда с–числами или числами Клиффорда.

Но на этом построение чисел Клиффорда не закончено, потому что не определено, чем же отличаются именно числа Клиффорда от других объектов. Кроме общих аксиом тела важна и реализация.

1.2      Канонический базис

Мы будем строить алгебру Клиффорда над полем действи­тельных чисел на основе n–мерного действительного векторного пространства En. Это замечание в общем то не является существенным, потому что базой этой алгебры может быть любое другое поле.

Векторы из En будем обозначать строчными буквами a, b, c,..., а любые произведения векторов, независимо от числа сомножителей, – заглавными буквами A, B, C,.... Предполага­ется, что A, B, C, ... сами являются элементами векторного пространства Kn. В этом пространстве определена некоторая квадратичная форма.

Векторы a и b называют сопряженными относительно квад­ратичной формы, если

a · b = 0,

т. е. когда a · b + b · a = 0. Про такие векторы a и b можно еще сказать, что они ортогональны, расширяя смысл понятия орто­гональности. Согласно обычной теории квадратичных форм, существует по крайней мере один базис, сопряженный отно­сительно формы, т. е. такой базис, любые два вектора кото­рого сопряжены относительно этой формы. Кроме того, каждому вектору а такого базиса можно сопоставить коллинеарный ему вектор lа (l действительное), такой, что l2а2 равняется по аб­солютной величине 1.

Каноническим базисом для квадратичной формы назовем такой базис из векторов ei что ei2 = 1 (или –1) при всех i Î 1, 2,..., n и eiej + ejei = 0 при всех (i, j) с ij. Можно говорить, что это ортонормированный базис пространства En.

Базовыми элементами чисел gp Клиффорда являются базисные векторы и произведения этих векторов друг на друга и любые линейные комбинации этой базы. Т.к. совокупность нескольких базисных векторов есть геометрический объект соответствующей размерности, то n–мерные числа Клиффорда геометрически представляют собой совокупность пространственных объемов размерности kn, натянутых на k векторах пространства.

5. Правила умножения базисных векторов:

ei2 = ±1,

eiej + ejei = 0 при ij

или обобщенно

eiej + ejei = 2δijIn,

где In – единичный элемент базы пространства.

ei ~ gi.

6. Произведение базисных элементов есть снова базисный элемент алгебры Клиффорда. Если индексы ijk не совпадают между собой, то

eiejek ~ gijk.

Внимание: квадрат базы – скаляр, а произведение различных базовых векторов есть новый элемент базы. Размерность базы gp чисел Клиффорда равна 2n (см. далее). Для чисел Клиффорда второго порядка базовыми являются g, g1, g2, g12, для чисел Клиффорда третьего порядка это g, g1, g2, g3, g12, g13, g23, g123. Особенностью чисел Клиффорда является именно наличие канонического базиса с определенной сигнатурой, из которой следует вполне определенная сигнатура базиса чисел Клиффорда. Сигнатура базисного элемента gijk определяется четностью перестановки порядка ее индексов и произведением сигнатур участвующих элементов канонического базиса:

si..j = ±si..sj,

Алгебра Клиффорда объединяет операции внешнего (прямое, для векторов – векторное) и внутреннего (свертка, для векторов – скалярное) произведения тензоров. Конструкция этой алгебры предполагает, что заданы векторное пространство En размерности n над полем действительных чисел и квадратичная форма на En. Тогда внутреннее произведение a b двух векторов по определению есть значение симметричной билинейной формы, ассоциирован­ной с данной квадратичной формой, а внешнее произведение, или бивектор, a Ù b можно рассматривать как геометриче­ский объект: если a и b не коллинеарны, то a Ù b представляет собой ориентированную плоскость, натянутую на векторы a и b. Направление бивектора определяется ориентацией плоскости векторов a и b, а его величина равняется площади параллело­грамма, построенного на a и b.

1.3      Произведения векторов и базис чисел Клиффорда

Пусть {ei} — канонический базис En, а х, у,..., w — набор из k векторов пространства En. Построим произведение

A = xyw = (åxiei)(åyiei)…(åwiei),

принимая во внимание предыдущие аксиомы, выражающие структуру алгебры Клиффорда, и свойства канонического базиса. Получим в результате сумму всевозможных произведений вида

A = ålpgp,

где через gp обозначено произведение g1g2gp с 0 ≤ p k, в котором все gi различны. Число p называется рангом элемента вектора или числа Клиффорда. Далее будет показано, что gp образуют базис Kn; назовем его базисом, индуцированным каноническим базисом, введенным в En. Канонический базис {ei} входит как составляющая этого базиса. Через {gi} обозначается просто набор векторов g1, g2, … ,gp.

Множество всевозможных произведений A имеет структуру векторного пространства Kn, которое удобно определенным образом разложить на векторные подпространства. В зависи­мости от четности числа сомножителей A может иметь компо­ненты, принадлежащие следующим подпространствам:

1) (k четно) векторное пространство размерности 1; его эле­менты, обозначаемые здесь AS или A0 – скаляры, или 0–векторы;

2) (k нечетно) векторное пространство размерности n, совпада­ющее с En; его элементы — векторы AV или A1;

3) (k четно) векторное пространство бивекторов AB или A2 = ålijgigj размерности n(n–1);

………

p) (p и k одинаковой четности и pk) пространство p–векторов Ap = ålpgp;

………

n) Наконец, выделим одномерное векторное подпространство псевдоскаляров AP = lNgN; где gN = g1g2gn.

Все коэффициенты lp, lij, lN действительные. Можно про­верить, что gN2 = 1 (или –1). Во всех физических приложениях встречается только случай gN2 = –1, поэтому gN обозначается как мнимая единица через I или In, где n – конкретное число, а обычная мнимая единица во избежание пу­таницы обозначается как обычно через i.

Поскольку р–вектор имеет Cpn составляющих, он является элементом векторного пространства Kn, а произве­дение произвольного набора р–векторов окажется, следователь­но, элементом векторного пространства, являющегося прямой суммой n + 1 своих подпространств и имеющего размерность

C0n + C1n +…+ Ckn = 2n.

Элементы этого пространства, обозначаемого Kn, назы­вают числами Клиффорда.

С учетом вышеприведенных формул числа Клиффорда являются биективными образами самосвертки n–мерных объемных с количеством индексов меньше на единицу тензоров Aij..k: i, j, … kÎ{0…n} по значениям собственных индексов, причем индекс "0" будет соответствовать скалярному индексу или базису e0. Число e0 соответствует единичному числу Клиффорда:

e0ei = ei.

Степень элемента тензора будет равна количеству ненулевых непарных индексов кроме нулевых. В числе Клиффорда все элементы с определенной степенью складываются с определенным знаком при них.

Для трехмерного числа Клиффорда составляющая тензора A000 соответствует скаляру, свертки по индексу k: (Akki + Akik + Aikk) = li соответствуют векторному составляющему, составляющие с одним индексом "0" (A0ijA0ji) + (Ai0j Aj0i) + (Aij0Aji0) = µk : (i,j,k не равны друг другу) соответствуют бивекторным (или псевдовекторным) составляющим, составляющие без нулевого индекса det|Aijk| = µI соответствуют псевдоскалярному составляющему объектов алгебры K3. Эти отношения между элементами тензора и числами Клиффорда предполагают определенную симметрию между элементами тензора:

1)      A000 независим;

2)      из 4*3 = 12 элементов Akki независимы только 3, что означает симметричность тензора по двум одинаковым индексам для внутренних плоскостей размерами 3*3;

3)      из 27 элементов A0ij, … независимы только 3 элемента, что соответствует антисимметричности каждой внешней поверхности размерами 3*3;

4)      из 27 элементов Aijk независим только один элемент, что соответствует полностью антисимметричному внутреннему тензору.

При данных отношениях эта самосвертка тензора и числа Клиффорда оказываются изоморфными.

Свойства чисел Клиффорда аналогичны свойствам вещественных чисел, за исключением свойства упорядочености и связанных с ним – числа Клиффорда, также как и комплексные, не упорядочены. Но появляется дополнительная операция – умножение на вещественное число. Причем эта операция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна. Но это вещественное число может быть отождествлено со скалярной частью числа Клиффорда K0n.

Другой особенностью чисел Клиффорда является то, что они, имея векторную структуру, в своем составе имеют элементы различной структуры: скаляры, векторы, бивекторы, … При этом операция сложения их не смешивает, а операция умножения их смешивает сложным образом.

Этот беглый обзор формализма векторной алгебры на числах Клиффорда позволяет понять, что она гораздо богаче, чем другие алгебры. Числа Клиффорда включают в себя как независимую часть вещественные и комплексные числа, кватернионы и бикватернионы. Значение такой алгебры для геометрии и физики проявляется в многочисленных приложе­ниях; в геометрии это описание вращений и инверсии, а в физике область применений включает электромагнетизм, в част­ности уравнения Лоренца для электрона, лоренцевы вращения в специальной теории относительности и, наконец, уравнение Дирака. В силу этого векторная алгебра Клиффорда есть нечто большее, нежели просто новая форма записи известных результатов. Не следует относиться безразлично к выбору того или иного математического метода, ибо разные методы не вполне экви­валентны с точки зрения их отношения к реальности.

Размерность векторного подпростран­ства р–векторов равняется Cpn, и, значит, размерность самого пространства Kn равна C0n + C1n +…+ Ckn = 2n.

Замечание. Итак, произведение A = ху .,. w оказывается определенным в некоторой базе Kn и построение этой базы и соответствующих компонент A начинается с выбора канонического базиса в En. Следовательно, произведение кор­ректно определено как элемент пространства Kn, его можно разложить по любой базе Kn и A остается инвариантным при заменах базиса En, индуцирующих изменения базы в векторном пространстве Kn

Скаляры называются также 0–векторами, и вообще р–вектором называется внешнее произведение р независимых векторов a1, a2,...,aр из En; оно обозначается:

a1 Ù a2 Ù..Ù aр (pnn)

и геометрически представляет собой ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах а1 … ар. Это про­изведение вполне антисимметрично, т. е. меняет знак при пере­становке любых двух соседних сомножителей, и имеет Kpn компо­нент, где Kpn – число сочетаний из n элементов по p. Кроме того, вводится внутреннее произведение вектора и р–вектора, что позволяет определить произведение Клиффорда для произволь­ного числа векторов, и такое произведение оказывается сум­мой р–векторов с р = 0, 1, 2,..., n.

1.4      Внутреннее произведение двух векторов

Пусть на Еn задана квадратичная форма, которая опреде­ляет действительный квадрат а2 каждого вектора а, необяза­тельно положительный. На основании тождества

(а + b)(a + b) = a2 + b2 + ab + ba

выводим для любых векторов а и b:

½(ab + ba) = ½( (a + b)2a2b2).

Из теории квадратичных форм известно, что справа в этом равенстве стоит симметричная билинейная форма, ассоцииро­ванная с квадратичной формой а2. Полагаем

a · b = ½(ab + ba).

Будем называть a · b внутренним произведением векторов a и b. Немедленно замечаем, что

a · b = b · a.

Если квадратичная форма положительно определена, т. е. а2 — положительное число для каждого ненулевого вектора а, внутреннее произведение называется скалярным произведением. Отметим еще, что в этом случае всякий ненулевой вектор а имеет обратный а–1, определяемый соотношением а–1 = а/а2.

1.5      Внешнее произведение двух векторов

Поскольку ab Î Kn, a · b Î Kn, то и

ab – (a · b) = a Ù b Î Kn.

Тем самым можно принять такое определение внешнего, произведения двух векторов a и b:

a Ù b = ½(abba).

Этот объект в общем случае не является ни скаляром, ни вектором. Такой объект получил название "бивектор". Этот бивектор на a и b антисим­метричен, т. е. a Ù b = –b Ù a. Это свойство антисимметричности и свойство дистрибутивности относительно сложения очевидным образом вытекают из этого определения.

Если a и b коллинеарны, их внешнее произведение a Ù b равно нулю. Верно и обратное утверждение. Если ab = ba, можно взять a в качестве первого вектора канонического базиса и разложить по этому базису b. Тогда b = la + c, где l — действительное число, а вектор c сопряжен с a. Получим a Ù b = a Ù c = 0, значит, ac = ca, но, поскольку a и c сопряжены, ac = – ca. Следовательно, ac = 0, так что a–1ac = 0, т. е. c = 0 и b = la при положительной определенности квадратичной формы.

1.6      Клиффордово произведение двух векторов

Теперь можно определить клиффордово произведение двух век­торов a и b, обозначив его просто ab:

ab = ab + a Ù b.

Произведение ab в общем случае не коммутативно, по­скольку ba = a b a Ù b, но ассоциативно и дистрибутивно (если перемножается более двух векторов).

1.7      Произведение вектора на число Клиффорда

Пусть a = ligi – вектор и A = b1b2bk = lpgp – некоторый элемент пространства Kn. Для того чтобы образовать aA, достаточно построить произведения gigp (pk) и воспользоваться линейностью умножения: aA = lilpgigp.

1. Если a = gi Î {gp}, то gigp является (р – 1)–вектором, обозначаемым a · gp.

2. Если a = gi Ï {gp}, то gigp является (р + 1)–вектором, обозначаемым a ˄ gp.

Следовательно, в общем случае для а = ågigi, можно написать

aA = ab + a Ù A.

Сравним теперь aA и Aa = ålilpgpgi. Легко видеть, что

gpgi = (–1)p–1gigp , если gi Î {gp}, и

gpgi = (–1)pgigp , если gi Ï {gp}.

Это означает, что произведения можно записать так:

agp = ½[ agp – (–1)pgpa],

a Ù gp = ½[ agp + (–1)pgpa].

Однако в разложении А по р–векторам могут фигурировать только те (–1)pgp, для которых p имеет ту же четность, что и число k, поэтому в общем случае получаем следующий результат:

aA = ½[ aA – (–1)kAa]

(это доказательство проходит, если квадратичная форма в Kn положительно определена, т. е. внутреннее произведение векторов яв­ляется скалярным произведением), а также

a Ù A = ½[aA + (–1)kAa].

1.8      Общие формулы

Пусть А – произвольный элемент векторного пространства Kn. Обозначим через Ā число Клиффорда, полученное в ре­зультате изменения на противоположное направления каждого вектора, входящего в произведения, которые задают А. Можно записать А в виде суммы четного (A = Ā) и нечетного (A = –Ā) чисел Клиффорда;

A = ½(A + Ā) + ½(A – Ā).

Тогда выражения для aA и a Ù A можно заменить наиболее общими формулами:

aA = ½[ aA – Āa],

a Ù A = ½[ aA + Āa].

Заметим еще, что, основываясь на этой выкладке, можно записать Аа = А ∙ а + А Ù а. Это в свою очередь приводит к таким соотношениям для А, имеющего четность (–1)р:

Aa = (–1)p–1(aA),

A Ù a = (–1)p(a Ù A).

Таким образом, для произвольного А получаются формулы

Aa = – a ∙ Ā и A Ù a = – a Ù Ā.

Для достижения общности обозначений можно условиться, что эти выражения остаются в силе и для скаляров А = As; при этом полагаем, что Ās = As.

Некоторые другие формулы и их свойства.

Разложение внутреннего произведения:

a · Bp = å(–1)k+1(a · bk)b1b2bk–1bk+1bp.

Если pq, то

Ap · Bq = (a1 Ù a2 ÙÙ ap–1) · (ap · Bq).

Если pq, то

Ap · Bq = (–1)(p–1)q Bq · Ap

или

Ap · Bq = (Ap · b1) · Bq–1.

Внешнее произведение.

Если

Ap = a1 Ù a2 ÙÙ ap,

то

Ap+1 = a Ù Ap = ½[ aAp + (–1)pApa].

Эта формула определяет внешнее произведение рекуррентным образом.

Внешнее произведение изменяет знак при перестановке двух сомножителей. Это есть свойство альтернированности.

Если среди p векторов внешнего произведения есть линейно зависимые, то все произведение равно нулю. В частности, Ap = 0, если p > n. И, наоборот, из Ap = 0 следует, что эти p векторов линейно зависимы.

Дуальным числом к числу Клиффорда A называется произведение IA. Таким образом, дуальным скаляру будет псевдоскаляр, дуальным вектору (n–1)–вектор и дуальным p–вектору (np)–вектор. Свойств дуальных чисел:

I(a · b) = (Ib) ˄ a,

(Ib) · a = I(b ˄ a).

Векторное пространство Kn можно разложить в прямую сумму двух дополнительных друг другу векторных подпространств K+n Kn, которые определяются как множества чисел Клиффорда вида

K+n = {½(A + Ā), A Î Kn},

Kn = {½(A – Ā) , A Î Kn}.

Первые называются четными числами Клиффорда, и т.к. суммы и произведения четных чисел вновь четны, то структура кольца наследуется, и поэтому K+n будет подалгеброй Kn. Вторые называются нечетными числами Клиффорда.

Для чисел Клиффорда также можно определить подалгебры, базисными элементами которой являются базисные векторы подпространства Em пространства En: m n. Как следствие, вещественные числа являются подалгеброй любой алгебры Клиффорда.

Для чисел Клиффорда с четным рангом канонического базиса пространства K2n можно определить подалгебру, состоящую только из векторов с элементами четного ранга:

K½2n = {g2k, kÎ {0, 1, … , n}},

Размерность этой подалгебры равна половине исходного. Если эта размерность опять четная, то в ней можно выделить еще одну подалгебру и т.д.

Для чисел Клиффорда любой размерности можно выделить две тривиальные подалгебры.

Первая подалгебра состоит из скалярных элементов чисел Клиффорда. Действительно, любая операция со скалярами снова приводит к скаляру. Это нульмерная алгебра Клиффорда и эта алгебра изоморфна вещественным числам.

Вторая алгебра состоит из скаляров и псевдоскаляров. Любая операция с ними тоже приводит к скалярному либо псевдоскалярному числу. Это одномерная алгебра Клиффорда и эта подалгебра есть либо алгебра двойных чисел, либо алгебра комплексных чисел, в зависимости от знака квадратичной формы.

2   Реализации чисел Клиффорда

Сразу отметим, что все числа Клиффорда ассоциативны по определению. Но ни коммутативность, ни антикоммутативность, ни существование обратного числа нигде не постулируется. По сложению все числа Клиффорда составляют векторное пространство со всеми присущими им свойствами: ассоциативность, коммутативность, существование нуля.  

2.1      0–мерная алгебра Клиффорда

Эта алгебра K0 изоморфна алгебре вещественных чисел Q. У него единственный скалярный базис. В его основе не лежит ни одно из векторных пространств En: n ≥ 1.

2.2      1–мерная алгебра Клиффорда

Основными элементами 1–мерной алгебры Клиффорда K1 являются скаляр l и 1–мерный вектор g: (l, g) – всего 2 элемента. В этом пространстве определены операции:

·         покомпонентное сложение элементов;

·         умножение на скаляр;

·         квадрат единицы 1–мерного вектора g2 может быть равен либо +1, либо –1, в зависимости от реализации. Обозначим его через s: g2 = s.

Посмотрим, что будет, если перемножим по Клиффорду два числа друг на друга:

C' = ab = (l1, g1)(l2, g2) ~ l1l2 + (l1g2 + g1l2)e1 + sg1g2 ~ (l1l2 + sg1g2, l1g2 + g1l2),

где s – знак квадратичной формы. Изменим порядок сомножителей:

C'' = ba = (l2, g2)(l1, g1) ~ l2l1 + (g2l1+ l2g1)e1 + sg2g1~ (l2l1 + sg2g1, l2g1 + g2l1) = C'.

Мы видим, что Клиффордово произведение не зависит от порядка сомножителей: алгебра K1 коммутативна. А это говорит о том, что Клиффордово произведение в случае n = 1 совпадает с внутренним произведением, а внешнее произведение равно 0. Действительно, найдем внутреннее произведение этих же чисел:

Cint = a · b = ½(C' + C'') = C.

Внешнее произведение тождественно равна нулю:

Cext = a Ù b = ½(C' – C'') = 0.

Проанализировав это выражение, мы можем сделать вывод, что эта алгебра при s = 1 есть либо алгебра двойных чисел, при s = -1 есть алгебра комплексных чисел. Внутреннее произведение есть первый элемент произведения, внешнее – второй элемент этого же произведения.

2.3      2–мерная алгебра Клиффорда

Основными базисными элементами 2–мерной алгебры Клиффорда K2 являются скаляр, 2–векторы g1, g2 и псевдоскаляр g = g1g2: (l, g1, g2, g) – всего 4 элемента. В этом пространстве определены операции:

·         покомпонентное сложение элементов;

·         умножение на скаляр;

·         квадраты базисных элементов g1 и g2 равны соответственно s1 и s2, которые могут быть равны либо +1, либо –1, в зависимости от реализации.

·         квадрат единицы псевдоскаляра g2 определяется: g2 = (g1g2)2 = g1g2g1g2 = –g1g2g2g1 = –s1s2. Обозначим его через s12.

Можно видеть, что количество различных алгебр K2 определяется сигнатурой параметров si и равно четырем: (++), (+–), (–+), (– –). Но т.к. сигнатуры  (+–), (–+) дают одну и ту же алгебру, то количество различных алгебр K2 равно трем. При сигнатуре (– –) алгебра K2 соответствует антикоммутативной алгебре кватернионов, при сигнатуре (++) алгебра K2 соответствует алгебре гипергиперболических чисел, при сигнатуре (+-) алгебра K2 соответствует алгебре гиперкомплексных чисел.

Посмотрим, что будет, если перемножим по Клиффорду два числа друг на друга:

C = A' Ù A'',

C ~ (l'1, g'1, g'2, g')(l''1, g''1, g''2, g'') ~

~ (l'1l''1 + l'1g''1e1 + l'1g''2e2 + l'1g''e12) + e1(g'1l''1 + s1g'1g''1e1 + g'1g''2e2 + g'1g'' e12) +

 + e2(g'2l''1 + g'2g''1e1 + s2g'2g''2e2 + g'2g''e12) + e12(g'l''1 + g'g''1e1 + g'g''2e2s1s2g'g''e12).

Разберем эту сумму по базе K2 {1 ~ e0, e1, e2, e12 = e1e2}:

C = (l'1l''1 + s1g'1g''1 + s2g'2g''2s12g'g'')1 +

 + (l'1g''1 + g'1l''1s2g'2g'' + s2g'g''2)e1 +

 + (l'1g''2 + g'2l''1s1g'g''1 + s1g'1g'')e2 +

 + (l'1g'' + g'l''1 + g'1g''2g'2g''1)e12.

Можно видеть, что это произведение можно записать следующим выражением (в векторной форме):

 (λ', A'v)(λ'', A''v) = (λ'λ'' + A'v·A''v, λ'A''v + λ'A''v - A'v×A''v)

где Av – векторные части соответствующих чисел Клиффорда K4: Av =  (g'1, g'2, g'),

A'v × A''v – векторное произведение 3-векторов.

Рассмотрим каждую из составляющих этого произведения.

1). Первая строка есть скалярное произведение векторов с сигнатурой (1, s1, s2, –1) и состоит из произведения скаляров и произведения векторных частей чисел. Из ее сигнатуры видно, что это пространство в общем является не евклидовой в силу существования в ней элементов с разными знаками.

2). Подчеркнутые части есть площади параллелограммов, составленных на базисных плоскостях пространства Kn векторными частями этих чисел. Фактически это векторное произведение этих "неполных" чисел.

Поменяем порядок сомножителей в произведении:

C'' = A''A'.

C'' = (l''1l'1 + s1g''1g'1 + s2g''2g'2s12g''g') +

 +(l''1g'1 + g''1l'1s2g''2g' + s2g''g'2)e1 +

 +(l''1g'2 + g''2l'1s1g''g'1 + s1g''1g')e2 +

+(l''1g' + g''l'1 + g''1g'2g''2g'1)e12.

Можно видеть, что это произведение можно записать следующим выражением (в векторной форме):

(λ', A'v)(λ'', A''v) = (λ'λ'' + A'v·A''v, λ'A''v + λ'A''v - A''v×A'v) =

= (λ'λ'' + A'v·A''v, λ'A''v + λ'A''v + A'v×A''v).

Запишем это же выражение таким образом, чтобы в слагаемых сначала шли коэффициенты si, затем коэффициенты A' , затем  коэффициенты A'', учтя, что

g''2g' ~ g''2e2g'e1e2 = g''2g'e2e1e2 = –g'g''2e1e2e2 = – s2g'g''2e1,

g''1g' ~ g''1e1g'e1e2 = g'g''1e1e2e1 = – s1g'g''2e2,

g''g'2 ~ g''g'2e1e2e2 = g'2g''e2e1e2 = – s2g'2g''e1,

g''g'1 ~ g''g'1e1e2e1 = – s1g'1g''e2

и

g''1g'2 ~ = g''1g'2e1e2 = – g'2g''1e1e2,

g''2g'1 ~ = g''2g'1e2e1 = – g'1g''2e1e2.

Имеем:

C'' = (l'1l''1 + s1g'1g''1 + s2g'2g''2s12g'g'') +

 +(g'1l''1 + l'1g''1 + s2g'g''2s2g'2g'')e1 +

 +(g'2l''1 + l'1g''2 + s1g'1g'' – s1g'g''1)e2 +

+(g'l''1 + l'1g'' g'2g''1 + g'1g''2)e12.

Он отличается от предыдущего знаками слагаемых результата при векторных элементах числа. Мы видим, что Клиффордово произведение в этом случае, в отличие от предыдущего, зависит от порядка сомножителей.

2.3.1        Внутреннее произведение чисел K2

Найдем внутреннее произведение этих же чисел Cint:

Cint = A' · A'' = ½(C + C'') =

= (l'1l''1 + s1g'1g''1 + s2g'2g''2 s12g'g'') +

+ (l'1g''1 + l''1g'1)e1 + (l'1g''2 + l''1g'2)e2 + (l''1g' + l'1g'')e12.

Если скалярная часть числа равна 0, то имеем Cint = 0. Запишем это же произведение в векторной форме:

(λ', A'v) · (λ'', A''v) = (λ'λ'' + A'v·A''v, λ'A''v + λ''A'v).

2.3.2        Внешнее произведение чисел K2

Внешнее произведение:

A' Ù A'' = ½(CC'') =

= s2(g'2g'' – g'g''2)e1 + s1(g'g''1g'1g'')e2 (g'1g''2 –  g'2g''1)e12 =

= s2(g'2g'' – g'g''2)e1 + s1(g'g''1g'1g'')e2 (g'1g''2g'2g''1)e12.

Запишем это же произведение в векторной форме:

(λ', A'v) Ù (λ'', A''v) ~ A'v × A''v.

Проанализировав эти формулы, можно сказать, что:

1)      квадрат внешнего произведения вектора равна 0;

2)      внешнее произведение не содержит скалярной части;

3)      во внешнем произведении не участвуют скалярные части чисел;

4)      внешнее произведение можно представить как детерминант матрицы:

.

Общий вывод: числа Клиффорда K2 без скалярной части изоморфны 3–мерным векторам, а алгебра Клиффорда – 3–мерной векторной алгебре в евклидовом пространстве E3. База третьего элемента 3–вектора получается как внешнее произведение первых двух элементов базы и ортогонален им.

2.4      3–мерная алгебра Клиффорда

Основными базисными элементами 3 – мерной алгебры Клиффорда являются скаляр As = l и три базисных элемента 3–вектора Av = (g1, g2, g3). Поэлементной записью число Клиффорда K3 является список в форме 8-вектора (l, g1, g2, g3, g, g23, g31, g12), внутри которого имеется всего 8 компонентов. Число Клиффорда K3 раскладываются на четыре группы элементов с различающимися геометрическими интерпретациями:

1) скаляр As ~ l,

2) три базисных элемента 3–вектора Av ~ (g1, g2, g3),

3) трехкомпонентный бивектор Ab ~ (g23, g31, g12): g23 = g2g3, g31 = g3g1, g12 = g1g2 или псевдовектор  Ab: A1 ~ g23, A2 ~ g31, A3 ~ g12,

4) тривектор Ap ~ g = g1g2g3 или псевдоскаляр Ap.

Замечание 1. Обозначения gi могут применяться в двух смыслах: как коэффициент при базисной мнимой единице ei: giei или как сам этот базисный вектор  gi ~ giei, в зависимости от контекста. Обычно если в формуле встречается элемент ei, то gi – коэффициент, иначе базисный вектор. То же относится и к символу Ai.

Замечание 2. Составные мнимые единицы g, g23, g31, g12  можно было выбрать и по другому, например, так: g12, g23, g13, g и/или изменить их порядок. Но выбранный нами порядок соответствует правой системе векторов. К тому же, при таком выборе вторую четверку компонентов можно получить антикоммутативным удвоением Грассмана-Клиффорда первой четверки с помощью новой мнимой компоненты g.

2.4.1        Поэлементное Клиффордово произведение

Посмотрим, что будет, если перемножим по Клиффорду два числа A' и A'' друг на друга поэлементно:

C' = A'A'' =

~ (l', g'1, g'2, g'3, g'12, g'23, g'31, g')(l'', g''1, g''2, g''3, g''12, g''23, g''31, g'') ~

= (l'l'' + s1g'1g''1 + s2g'2g''2 + s3g'3g''3s12g'12g''12s23g'23g''23s13g'31g''31s123g'g'') +

 + (l'g''1 + g'1l'' – s2g'2g''12 + s3g'3g''31 + s2g'12g''2s23g'23g'' – s3g'31g''3s23g'g''23)e1 +

 + (l'g''2 + s1g'1g''12 + g'2l'' – s3g'3g''23s1g'12g''1 + s3g'23g''3s31g'31g''s31g'g''31)e2 +

 + (l'g''3s1g'1g''31 + s2g'2g''23 + g'3l''  – s12g'12g'' – s2g'23g2'' + s1g'31g''1s12g'g''12)e3 +

+ (l'g''23 + s1g'1g'' + g'2g''3g'3g''2 + s1g'12g''31 + g'23l'' – s1g'31g''12 + s1g'g''1)e2e3 +

 + (l'g''31g'1g''3 + s2g'2g'' + g'3g''1s2g'12g''23 + s2g'23g''12 + g'31l'' + s2g'g''2)e3e1 +

+ (l'g''12 + g'1g''2g'2g''1 + s3g'3g'' + g'12l'' – s3g'23g31'' + s3g'31g''23 + s3g'g''3)e1e2 +

+ (l'g'' + g'1g''23 + g'2g''31 + g'3g''12 + g'12g''3 + g'23g''1 + g'31g''2 + g'l'') e1e2e3

Здесь si – знак квадратичной формы перед соответствующей компонентой базисного вектора ei,

si..j = ±si..sj, знак зависит от количества индексов, при этом: si = si, sij = – sisj, sijk = – sisjsk.

Если поменяем порядок сомножителей, то имеем следующее:

 C'' = A''A' =

~ (l'', g''1, g''2, g''3, g''12, g''23, g''31, g'')(l', g'1, g'2, g'3, g'12, g'23, g'31, g') ~

= (l''l' + s1g''1g'1 + s2g''2g'2 + s3g''3g'3s12g''12g'12s23g''23g'23s31g''31g'31s123g''g') +

 + (l''g'1 + g''1l' – s2g''2g'12 + s3g''3g'31 + s2g''12g'2s23g''23g'– s3g''31g'3s23g''g'23)e1 +

 + (l''g'2 + s1g''1g'12 + g''2l' – s3g''3g'23s1g''12g'1 + s3g''23g'3s31g''31g's31g''g'31)e2 +

 + (l''g'3s1g''1g'31 + s2g''2g'23 + g''3l'  – s12g''12g' – s2g''23g2' + s1g''31g'1s12g''g'12)e3 +

+ (l''g'23 + s1g''1g' + g''2g'3g''3g'2 + s1g''12g'31 + g''23l' – s1g''31g'12 + s1g''g'1)e2e3 +

 + (l''g'31g''1g'3 + s2g''2g' + g''3g'1s2g''12g'23 + s2g''23g'12 + g''31l' + s2g''g'2)e3e1 +

+ (l''g'12 + g''1g'2g''2g'1 + s3g''3g' + g''12l' + s3g''23g'31s3g''31g'23 + s3g''g'3)e1e2 +

+ (l''g' + g''1g'23 + g''2g'31 + g''3g'12 + g''12g'3 + g''23g'1 + g''31g'2 + g''l') e1e2e3

Запишем это выражение таким образом, чтобы в слагаемых сначала шли коэффициенты si, затем коэффициенты A' , затем  коэффициенты A'' , учитывая четность перестановки индексов:

C'' = A''A' =

~ (l'', g''1, g''2, g''3, g''12, g''23, g''31, g'')(l', g'1, g'2, g'3, g'12, g'23, g'31, g') ~

= (l'l'' + s1g'1g''1 + s2g'2g''2 + s3g'3g''3s12g'12g''12s23g'23g''23s31g'31g''31s123g'g'') +

 + (g'1l'' + l'g''1s2g'12g''2 + s3g'31g''3 + s2g'2g''12s23g'g''23s3g'3g''31s23g'23g'')e1 +

 + (g'2l'' + s1g'12g''1 + l'g''2s3g'23g''3s1g'1g''12 + s3g'3g''23s31g'g''31s31g'31g'')e2 +

 + (g'3l'' – s1g'31g''1 + s2g'23g''2 + l'g''3  – s12g'g''12s2g2'g''23 + s1g'1g''31s12g'12g'')e3 +

+ (g'23l'' + s1g'g''1 + g'3g''2g'2g''3 + s1g'31g''12 + l'g''23s1g'12g''31 + s1g'1g'')e2e3 +

 + (g'31l'' – g'3g''1 + s2g'g''2 + g'1g''3s2g'23g''12 + s2g'12g''23 + l'g''31 + s2g'2g'')e3e1 +

+ (g'12l'' + g'2g''1g'1g''2 + s3g'g''3 + l'g''12s3g'31g''23 + s3g'23g''31 + s3g'3g'')e1e2 +

+ (g'l'' + g'23g''1 + g'31g''2 + g'12g''3 + g'3g''12 + g'1g''23 + g'2g''31 + l'g'') e1e2e3

Мы видим, что Клиффордово произведение в этом случае опять зависит от порядка сомножителей.

2.4.2        Векторная форма Клиффордова произведения

Найдем это же произведение с помощью укрупненных компонентов числа Клиффорда:

C = A'A'' =

= (l' + A'v + A'b + A'p) (l'' + A''s + A''b + A''p) =

= (l'l'' + l'Av'' + l'Ab'' + l'Ap'') +

+ (A'vl'' + A'vAv'' + Av'Ab'' + Av'Ap'') +

+ (Ab'l'' + Ab'Av'' + Ab'Ab'' + Ab'Ap'') +

+ (Ap'l'' + Ap'Av'' + A'pAb'' + Ap'Ap'').

Замечание: необходимо иметь в виду, что индексы s, b и p не являются перечисляющими индексами, а являются обозначениями типов векторных компонентов числа, и по ним не производится суммирование свертыванием, как для тензоров.

Выделим из получившегося выражения скалярную, векторную, псевдовекторную и псевдоскалярную части. Скалярная часть (выделена подчеркиванием, 4 компонента) состоит из скалярного произведения всех 4-х компонентов чисел. Здесь уже по одинаковым индексам надо суммировать:

Cs = (l'l''  + si Ai'Ai'' - sisj Ak'A' k' - s1s2s 3g'g'').

Здесь (и далее) множество индексов (ijk) представляет собой множество четных перестановок из множество индексов {1, 2, 3}.

Векторная часть (выделена жирным шрифтом, 6 компонентов) состоит из произведений 1) скалярной части одного числа на векторную составляющую другого, 2) псевдовекторных (бивекторных) компонентов чисел без той части, которая вошла в скалярную часть и 3) псевдовекторных (бивекторных) компонентов чисел на псевдоскалярную часть другого числа:

Cvi = (l'Ai'' + Ai'l'') - si(Aj'Ak'' - Ak'Aj'') - sisj(Ak'g'' + g'Ak''))ei.

Псевдовекторная часть (6 компонентов) состоит из произведений 1) скалярных компонентов чисел на псевдовекторную компоненту другого числа, 2) векторных компонентов чисел и 3) векторной части на псевдоскалярную часть другого числа:

Cbi = ((l'Ai'' + Ai'l'') + Aj'Ak'' + siAj'Ak'' + si(Ai'g'' + g'Ai''))ei.

Псевдоскалярная часть (4 компонента) состоит из произведений 1) скалярных частей одного из чисел на псевдоскалярную часть другого числа и 2) векторных частей одного из чисел на псевдовекторную часть другого числа:

Cp = ((l'g'' + g'l'') +(Ai'Ai'' + Ai'Ai''))e123.

2.4.3        Внутреннее произведение чисел K3

Найдем внутреннее произведение этих же чисел Cint:

Cint = A · A'' = ½(C + C'') =

= ½[(l'l'' + s1g'1g''1 + s2g'2g''2 + s3g'3g''3s12g'12g''12s23g'23g''23s31g'31g''31s123g'g'') +

+ (l'l'' + s1g'1g''1 + s2g'2g''2 + s3g'3g''3s12g'12g''12s23g'23g''23s31g'31g''31s123g'g'') +

 

 + (l'g''1 + g'1l'' – s2g'2g''12 + s3g'3g''31 + s2g'12g''2s23g'23g''– s3g'31g''3s23g'g''23)e1 +

+ (g'1l'' + l'g''1s2g'12g''2 + s3g'31g''3 + s2g'2g''12s23g'g''23s3g'3g''31s23g'23g'')e1 +

 

 + (l'g''2 + s1g'1g''12 + g'2l'' – s3g'3g''23s1g'12g''1 + s3g'23g''3s31g'31g''s31g'g''31)e2 +

+ (g'2l'' + s1g'12g''1 + l'g''2s3g'23g''3s1g'1g''12 + s3g'3g''23s31g'g''31s31g'31g'')e2 +

 

 + (l'g''3s1g'1g''31 + s2g'2g''23 + g'3l''  – s12g'12g'' – s2g'23g''2 + s1g'31g''1s12g'g''12)e3 +

+ (g'3l'' – s1g'31g''1 + s2g'23g''2 + l'g''3  – s12g'g''12s2g2'g''23 + s1g'1g''31s12g'12g'')e3 +

 

+ (l'g''23 + s1g'1g'' + g'2g''3g'3g''2 + s1g'12g''31 + g'23l'' – s1g'31g''12 + s1g'g''1)e2e3 +

+ (g'23l'' + s1g'g''1 + g'3g''2g'2g''3 + s1g'31g''12 + l'g''23s1g'12g''31 + s1g'1g'')e2e3 +

 

 + (l'g''31g'1g''3 + s2g'2g'' + g'3g''1s2g'12g''23 + s2g'23g''12 + g'31l'' + s2g'g''2)e3e1 +

+ (g'31l'' – g'3g''1 + s2g'g''2 + g'1g''3s2g'23g''12 + s2g'12g''23 + l'g''31 + s2g'2g'')e3e1 +

 

+ (l'g''12 + g'1g''2g'2g''1 + s3g'3g'' + g'12l'' – s3g'23g31'' + s3g'31g''23 + s3g'g''3)e1e2 +

+ (g'12l'' + g'2g''1g'1g''2 + s3g'g''3 + l'g''12s3g'31g''23 + s3g'23g''31 + s3g'3g'')e1e2 +

 

+ (l'g'' + g'1g''23 + g'2g''31 + g'3g''12 + g'12g''3 + g'23g''1 + g'31g''2 + g'g'') e1e2e3 +

+ (g'l'' + g'23g''1 + g'31g''2 + g'12g''3 + g'3g''12 + g'1g''23 + g'2g''31 + l'g'') e1e2e3].

Отметим подобные взаимно отрицательные члены подчеркиванием и жирным шрифтом:

Cint =

= (l'l'' + s1g'1g''1 + s2g'2g''2 + s3g'3g''3s12g'12g''12s23g'23g''23s31g'31g''31s123g'g'') +

 

 + ½[(l'g''1 + g'1l'' s2g'2g''12 + s3g'3g''31 + s2g'12g''2s23g'23g'' s3g'31g''3s23g'g''23)e1 +

+ (g'1l'' + l'g''1 s2g'12g''2 + s3g'31g''3 + s2g'2g''12s23g'g''23 s3g'3g''31s23g'23g'')e1 +

 

 + (l'g''2 + s1g'1g''12 + g'2l'' s3g'3g''23 s1g'12g''1 + s3g'23g''3s31g'31g''s31g'g''31)e2 +

+ (g'2l'' + s1g'12g''1 + l'g''2 s3g'23g''3 s1g'1g''12 + s3g'3g''23s31g'g''31s31g'31g'')e2 +

 

 + (l'g''3 s1g'1g''31 + s2g'2g''23 + g'3l''  – s12g'12g'' s2g'23g''2 + s1g'31g''1s12g'g''12)e3 +

+ (g'3l'' – s1g'31g''1 + s2g'23g''2 + l'g''3  – s12g'g''12 s2g2'g''23 + s1g'1g''31s12g'12g'')e3 +

 

+ (l'g''23 + s1g'1g'' + g'2g''3g'3g''2 + s1g'12g''31 + g'23l'' s1g'31g''12 + s1g'g''1)e2e3 +

+ (g'23l'' + s1g'g''1 + g'3g''2g'2g''3 + s1g'31g''12 + l'g''23 s1g'12g''31 + s1g'1g'')e2e3 +

 

 + (l'g''31 g'1g''3 + s2g'2g'' + g'3g''1 s2g'12g''23 + s2g'23g''12 + g'31l'' + s2g'g''2)e3e1 +

+ (g'31l'' g'3g''1 + s2g'g''2 + g'1g''3 s2g'23g''12 + s2g'12g''23 + l'g''31 + s2g'2g'')e3e1 +

 

+ (l'g''12 + g'1g''2g'2g''1 + s3g'3g'' + g'12l'' s3g'23g31'' + s3g'31g''23 + s3g'g''3)e1e2 +

+ (g'12l'' + g'2g''1g'1g''2 + s3g'g''3 + l'g''12 s3g'31g''23 + s3g'23g''31 + s3g'3g'')e1e2] +

 

+ (g'l'' + g'23g''1 + g'31g''2 + g'12g''3 + g'3g''12 + g'1g''23 + g'2g''31 + l'g'') e1e2e3.

При складывании они уничтожают друг друга:

Cint =

= (l'l'' + s1g'1g''1 + s2g'2g''2 + s3g'3g''3s12g'12g''12s23g'23g''23s31g'31g''31s123g'g'') +

+ ½[(l'g''1 + g'1l'' – s23g'23g'' – s23g'g''23 + g'1l'' + l'g''1s23g'g''23s23g'23g'')e1 +

+ (l'g''2 + g'2l'' s31g'31g''s31g'g''31 + g'2l'' + l'g''2 s31g'g''31s31g'31g'')e2 +

+ (l'g''3 + g'3l''  – s12g'12g''– s12g'g''12 + g'3l'' + l'g''3  – s12g'g''12s12g'12g'')e3 +

+ (l'g''12 + s3g'3g'' + g'12l'' + s3g'g''3 + g'12l'' + s3g'g''3 + l'g''12 + s3g'3g'')e1e2 +

+ (l'g''23 + s1g'1g'' + g'23l'' + s1g'g''1 + g'23l'' + s1g'g''1 + l'g''23 + s1g'1g'')e2e3 +

+ (l'g''31 + s2g'2g'' + g'31l'' + s2g'g''2 + g'31l'' + s2g'g''2 + l'g''31 + s2g'2g'')e3e1] +

+ (g'l'' + g'23g''1 + g'31g''2 + g'12g''3 + g'3g''12 + g'1g''23 + g'2g''31 + l'g'') e1e2e3.

Сгруппируем подобные члены:

Cint =

= [(l'l'' – s123g'g'') + s1(g'1g''1s2g'12g''12) + s2(g'2g''2s3g'23g''23)  + s3(g'3g''3s1g'31g''31)] +

+ ½[(l'g''1 + g'1l'' + g'1l'' + l'g''1 s23(g'23g'' + g'g''23 + g'g''23 + g'23g''))e1 +

+ (l'g''2 + g'2l'' + g'2l'' + l'g''2 s31(g'31g'' + g'g''31 + g'g''31 + g'31g''))e2 +

+ (l'g''3 + g'3l'' + g'3l' '+ l'g''3  – s12(g'12g'' + g'g''12 +g'g''12 + g'12g''))e3 +

+ (l'g''23 + g'23l'' + l'g''23 + g'23l'' + s1(g'1g'' + g'g''1 + g'g''1 + g'1g''))e2e3 +

+ (l'g''31 + g'31l'' + l'g''31+ g'31l'' + s2(g'2g'' + g'g''2 + g'g''2 + g'2g''))e3e1 +

+ (l'g''12 + g'12l'' + g'12l'' + l'g''12 + s3(g'3g'' + g'g''3 + g'g''3 + g'3g''))e1e2] +

+ ((g'l'' + g'g'')+ (g'23g''1 + g'1g''23) + (g'31g''2 + g'2g''31) + (g'12g''3 + l'3g''12)) e1e2e3.

Объединим одинаковые члены:

Cint =

= [(l'l'' – s123g'g'') + s1(g1g''1s2g'12g''12) + s2(g'2g''2s3g'23g''23)  + s3(g'3g''3s1g'31g''31)] +

+ [(l'g''1 + g'1l'' – s23(g'23g'' + g'g''23))e1 +

+ (l'g''2 + g'2l'' s31(g'31g'' + g'g''31 g''))e2 +

+ (l'g''3 + g'3l''– s12(g'12g'' + g'g''12))e3 +

+ (l'g''23 + g'23l'' + s1(g'1g'' + g'g''1))e2e3 +

+ (l'g''31 + g'31l'' + s2(g'2g'' + g'g''2))e3e1 +

+ (l'g''12 + g'12l'' + s3(g'3g'' + g'g''3))e1e2] +

+ ((g'l'' + l'g'') + (g'23g''1 + g'1g''23) + (g'31g''2 + g'2g''31) + (g'12g''3 + g'3g''12))e1e2e3.

2.4.4        Внутреннее произведение в векторной форме

Cint = A · A'' = ½(C + C'') = Csint + Cvint + Cbint + Cpint.

Csint (l'l''  + siAi'Ai'' - sisjAk'A' k' - s1s2s3g'g'') + ½(l''l'  + si Ai''Ai' - sisjA''kA'k - s1s2s3g''g') =

= (l'l''  + siAi'Ai'' - sisjAk'A' k'' - s1s2s3g'g'').

 

Cvint((l'Ai'' + Ai'l'') - si(Aj'Ak'' - Ak'Aj'') - sisj(Ak'g'' + g'Ak''))ei +

+ ½((l''Ai' + Ai''l') - si(Aj''Ak' - Ak''Aj') - sisj(Ak''g' + g''Ak'))ei =

= ((l'Ai'' + Ai'l'') - sisj(Ak'g'' + g'Ak''))ei.

 

Cbint = ½((l'Ai'' + Ai'l'') + Aj'Ak'' + siAj'Ak'' + si(Ai'g'' + g'Ai''))ei +

+ ½((l''Ai' + Ai''l') + Aj''Ak' + siAj''Ak' + si(Ai''g' + g''Ai'))ei =

= ((l'Ai'' + Ai'l'') + si(Ai'g'' + g'Ai''))ei.

 

Cpint = ½((l'g'' + g'l'') +(Ai'Ai'' + Ai'Ai'') + (l''g' + g''l') +(Ai''Ai' + Ai''Ai'))e123 =

= ((l'g'' + g'l'') +(Ai'Ai'' + Ai'Ai''))e123.

В общем виде:

Cint = ((l'l''  + siAi'Ai'' - sisjAk'A' k'' - s1s2s3g'g''),

((l'Ai'' + Ai'l'') - sisj(Ak'g'' + g'Ak''))ei,

((l'Ai'' + Ai'l'') + si(Ai'g'' + g'Ai''))ei,

(l'g'' + g'l'') + (Ai'Ai'' + Ai'Ai''))e123.

 

Из этих формул видно, что при нулевых скалярной и псевдоскалярной компонентах чисел внутреннее произведение равно

Cint = ((siAi'Ai'' - sisjAk'A' k''), 0, 0, (Ai'Ai'' + Ai'Ai'')e123).

т.е. состоит из скалярных произведений векторной и бивекторной частей с учетом сигнатуры и псевдоскалярной суммы произведений векторной и бивекторной частей чисел.

Если к тому же хотя бы одна бивекторная часть равна нулю, то результат равен скалярному произведению векторных частей чисел.

2.4.5        Внешнее произведение чисел в векторной форме

Cext = A' Ù A'' = ½(C - C'') = Csext + Cvext + Cbext + Cpext.

Csext (l'l''  + siAi'Ai'' - sisjAk'A' k' - s1s2s3g'g'') –

- ½(l''l'  + si Ai''Ai' - sisjA''kA'k - s1s2s3g''g') =

= 0.

 

Cvext((l'Ai'' + Ai'l'') - si(Aj'Ak'' - Ak'Aj'') - sisj(Ak'g'' + g'Ak''))ei -

- ½((l''Ai' + Ai''l') - si(Aj''Ak' - Ak''Aj') - sisj(Ak''g' + g''Ak'))ei =

= ½si(-(Aj'Ak'' - Ak'Aj'') + (Aj''Ak' - Ak''Aj'))ei =

= -½si(Aj'Ak'' - Ak'Aj'' - Aj''Ak' + Ak''Aj')ei =

= -si(Aj'Ak'' - Ak'Aj'')ei

 

Cbext = ½((l'Ai'' + Ai'l'') + Aj'Ak'' + siAj'Ak'' + si(Ai'g'' + g'Ai''))ei -

- ½((l''Ai' + Ai''l') + Aj''Ak' + siAj''Ak' + si(Ai''g' + g''Ai'))ei =

= (Aj'Ak'' + siAj'Ak'')ei.

 

Cpext((l'g'' + g'l'') +(Ai'Ai'' + Ai'Ai'') - (l''g' + g''l') +(Ai''Ai' + Ai''Ai'))e123 =

= 0

В общем виде:

Cext = (0, -si(Aj'Ak'' - Ak'Aj'')ei, (Aj'Ak'' + siAj'Ak'')ei, 0).

Из приведенных формул видно, что внешнее произведение не зависит от скалярных и псевдоскалярных компонентов чисел.

3   Векторная алгебра

3.1      1–мерная векторная алгебра

3.2      2–мерная векторная алгебра

3.3      3–мерная векторная алгебра

Основными элементами 3–мерной векторной алгебры являются 3–мерные векторы. В этом пространстве определены 4 операции:

1.      Сложение (вычитание) векторов a + b. Множество векторов с операцией сложения составляет абелеву группу с нулевым вектором; Геометрически сложение векторов есть геометрическое складывание векторов:

a + b = (c1, c2, c3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

2.      Умножение вектора на число al и числа на вектор la. Множество векторов с операцией умножения на число составляет линейное векторное пространство. При этом число не является элементом линейного пространства, а является неким внешним объектом по отношению к векторам. Эта операция коммутативна, ассоциативна, дистрибутивна. Геометрически умножение вектора на число есть удлинение вектора без изменения направления:

la = (c1, c2, c3) = (la1, la2, la3).

3.      Скалярное произведение векторов l = ab или (ab):

l = (ab) = ab = (c1, c2, c3) = [(a1, a2, a3) (b1, b2, b3)] = (a1b1 + a2b2 + a3b3).

Результатом этой операции является скаляр, не меняющий своего значения при преобразованиях координат. Эта операция включает скаляры в векторную алгебру как ее составляющую, но не равноправную: скаляр выступает как дополнительное измерение векторного пространства, в котором скаляр можно складывать со скаляром, но не с вектором. В определение скалярного произведения векторов скаляр входит только как результат. Скалярное произведение коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно по отношению к операции сложения в отношении обеих типов сомножителей. Однозначного обратного элемента к этой операции не имеется. Геометрически он определяет взаимную проекцию этих векторов: ab = |a||b|cos(a,b).

4.      Векторное произведение векторов с = a × b или [ab]. Результатом операции является вектор, ориентированный по отношению к исходным векторам как правая тройка векторов, т.е. этот вектор является аксиальным. Особенностью этого вектора является то, что он изменяет знак при любой перестановке векторов. Векторное произведение антикоммутативно, ассоциативно, дистрибутивно. Геометрически он определяет ориентированную площадь параллелограмма, построенного на этих двух вектора:

[ab] = (c1, c2, c3) = [(a1, a2, a3) (b1, b2, b3)] = (a2b3a3b2, a3b1a1b3, a1b2a2b1).

В записи этой формулы можно заметить, что элемент результата с индексом n получается сложением произведений элемента вектора a со следующим индексом и элемента вектора b с третьим индексом циклической перестановки (123) минус произведением элементов с поменянными индексами:

cn = (an+1bn+2an+2bn+1)

Это уравнение можно легко запомнить, записав его в матричной форме:

5.      Кроме этих операций, имеется еще одна, триективная, операция – смешанное произведение векторов, которое определяется как детерминант матрицы, построенной на трех векторах:

Особенностью результата этого произведения является то, что он изменяет знак при любой перестановке векторов. Геометрически он определяет ориентированный объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах.

Проанализируем эти операции.

Результатом третьей операций является число. Но это число меняет знак при преобразованиях отражения координат (векторов), т.е. является псевдоскаляром.

Результатом четвертой операции – векторного произведения – опять же является вектор. Но направление этого вектора определяется специальным образом: тройка векторов (a, b, c) должна быть ориентирована как правая тройка. В связи с этим у этой операции есть существенная особенность: при инверсии координатных осей математическая запись результата [a'b'] = [(–a)(–b)] = [ab] говорит о том, что вектор результата в соответствии с преобразованием инверсии направлен вдоль новой оси координат, а по идее он не должен изменить своего фактического направления в соответствии с определением векторного произведения. Это говорит о том, что результат векторного произведения является не совсем обычным вектором. Про такие векторы говоря, что они аксиальные. В 3–мерном тензорном исчислении им соответствуют векторные плотности.

Результатом пятой операций, как и третьей, является число. Но эти числа не являются эквивалентными. Это число не является скаляром, т.к. при преобразованиях векторов изменяется пропорционально объему, построенному на векторах (в тензорном исчислении он является псевдоскаляром), и к тому же антисимметрично к взаимной замене векторов, что не соответствует принципу скалярности. Следовательно, первое и пятое числа не эквивалентны. Такое число называется псевдоскаляром.

С помощью отображения базы 3–мерной векторной алгебры на 3–мерные числа Клиффорда можно все эти пять операции красиво уложить в 3–мерные числа Клиффорда. Производится это следующим образом (см. таблицу):

3–мерная векторная алгебра

3–мерная алгебра Клиффорда

Число, скаляры

Скалярная часть числа Клиффорда l

Эти 4 объекта векторной алгебры объединяются в один объект Клиффордовой алгебры {l, pi, Pi, I}: iÎ{1,2,3}, имеющий 8 элементов:

C3 = {l, l1, l2, l3, µ1, µ2. µ3, µ}

Векторы

Векторы

pi = {l1e1, l2e2, l3e3}

Аксиальные векторы

или псевдовекторы

 

Бивекторы

Pi = {µ1e2e3, µ2e3e1. µ3e1e2}

Псевдоскаляры

Псевдоскаляр

или тривектор

µe1e2e3 = µI

Умножение на число

Умножение на число

Эти операции в алгебре Клиффорда объединяются под одной операцией "Клиффордово произведение", объединяющей умножение на число, внутреннее (аналог скалярного) и внешнее (анналог векторного) произведения элементов. Элемент i обозначает единичный псевдоскаляр e1e2e3 – аналог мнимой единицы.

Скалярное произведение

Внутреннее произведение

Векторное произведение

Внешнее произведение

a × b

Смешанное (триективное) произведение

Произведение 3–х векторов – получается псевдоскаляр

i(a Ù b Ù c)

Но алгебра Клиффорда шире. И это определяется следующим выражением Клиффордова произведения для двух векторов:

1, A1) (λ2, A2) = φ(λ1λ2 + A1·A2, λ1A2 + λ2A1, A1×A2)

3.4      4–мерная векторная алгебра

 

Ссылка на этот материал: chisla_klifforda.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 51 minus 44 =

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 00 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6