Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: chisla_razmyernosti_1.htm)
Числа размерности 1

1      Числа

Источник — «http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&oldid=41728207»

Числовые системы

Счётные
множества

Натуральные числа (\scriptstyle\mathbb{N}) • Целые (\scriptstyle\mathbb{Z}) • Рациональные (\scriptstyle\mathbb{Q}) • Алгебраические (\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}) • ПериодыВычислимыеАрифметические

Вещественные числа
и их расширения

Вещественные (\scriptstyle\mathbb{R}) • Комплексные (\scriptstyle\mathbb{C}) • Кватернионы (\scriptstyle\mathbb{H}) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (\scriptstyle\mathbb{O}) • Седенионы (\scriptstyle\mathbb{S}) • Процедура Кэли-Диксона (en) • ДуальныеГиперкомплексныеSuperreal number (англ.) • Hyperreal number (англ.) • Surreal number (англ.)

Другие
числовые системы

Кардинальные числаПорядковые числа (трансфинитные, ординал)p-адическиеСупернатуральные числа

См. также

Двойные числаИррациональные числаТрансцендентныеЧисловой лучБикватернион

 

Числа с собственными именами

Вещественные

Пи • Золотое сечение • Серебряное сечение • e (число Эйлера) • Постоянная Эйлера — Маскерони • Постоянные Фейгенбаума • Постоянная Гельфонда • Константа Бруна • Постоянная Каталана • Постоянная Апери

Натуральные

Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди • Число Грэма • Число Скьюза

Степени десяти

Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс

Степени тысячи

Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион … • … Центиллион • Зиллион

Степени двенадцати

Дюжина • Гросс • Масса

Основными математическими объектами с незапамятных времен являются числа, множества и элементы множества, их свойства. Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Современная математика оперирует несколько другими математическими понятиями. Если внимательно проанализировать их суть, то они в общем–то являются эквивалентными или изоморфными понятиям "число", "множество", "отображение", "свойство". 

В теоретико–множественном смысле числа являются классом множеств с определенными свойствами. Эти свойства выражаются через тип упорядоченности, размерность, топологические и метрические свойства основанных на них множеств. Основное свойство чисел – это их мощность, которая может быть конечной, счетной или континуальной. Соответственно, числа могут быть представителями любого класса множеств с подходящей мощностью. Даже множества с мощностью больше континуума можно представить как множество всех функций, определенных на числовом множестве. В этом проявляется универсальность понятия "число".

Другое важное свойство чисел – это ее размерность. Есть несколько классов чисел с различающимися свойствами. Есть линейные (одномерные) числа – это натуральные N, положительные N+, целые Z, рациональные R и вещественные Q числа. Есть составные многомерные или гиперкомплексные числа – это комплексные числа C, кватернионы H, бикватернионы B, невырожденные квадратные матрицы M, числа Клиффорда K и другие. Тензор (в том числе и вектор) в обычном понимании не является числом.

Интересным видом чисел являются гипердействительные числа. Они появляются в нестандартном анализе, использующем понятия "бесконечно малые" и "бесконечно большие" чисел как расширение множества действительных до этих "бесконечных" чисел.

Попробуем определить, что такое "число". Точнее, виды чисел.

Самыми простыми числами являются целые, рациональные, вещественные и комплексные числа. Они коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

Основными видами чисел, обладающими похожими свойствами, являются четыре вида чисел. Это действительные числа, комплексные, кватернионы и октавы. Коммутативность умножения для последних двух видов чисел не выполняется. Но они все обладают алгебрами без делителей нуля.

Дальнейшие расширения чисел могут не иметь и свойство ассоциативности. Дистрибутивность соблюдается.

  • А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.

1.1      Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N. Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N = {0, 1, 2, 3, …}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {–2, –1, 0, 1, 2, …}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа C, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.

Гипердействительные числа – это числа вида

1)      a + e, где a – обычное число, a - бесконечно малое число;

2)      = 1/eбесконечно большое число.

Гипердействительные числа не являются числами в обычном понимании. Они применяются во многих разделах математики, особенно в дифференциальном и интегральном исчислениях, а также везде, где используются предельные числовые последовательности, даже при определении вещественных чисел.

1.2      Обобщения чисел

Обобщением чисел являются гиперкомплексные числа. Они отличаются от предыдущих видов чисел своей размерностью и алгеброй. Обычно их размерность равно или более двух.

Числами размерности 2, кроме комплексных, являются двойные и дуальные числа.

Наиболее широко известными гиперкомплексными числами являются кватернионы. Множество кватернионов обозначается H. Кватернионы в отличии от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения. Кватернионы ассоциативны, но не коммутативны.

Гиперкомплексными числами размерности 8 являются октавы O и бикватернионы. являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности, но обладают свойством альтернативности.

Гиперкомплексными числами размерности 16 являются седенионы. В отличие от октав, седенионы S не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Широкий класс гиперкомплексных чисел представляют числа Клиффорда Cn. Размерность их равна 2n. Числа Клиффорда объединяют в себе тензоры порядка от 0 до n в n–мерном пространстве в одно число.

Алгебра Клиффорда также объединяет операции внешнего (прямое, для векторов – векторное произведение) и внутреннего произведения (свертка, для векторов – скалярное произведение) тензоров. Все они ассоциативны. Таблицы умножения их базовых мнимых единиц всегда антикоммутативны, но общая таблица умножения не всегда обладает определенной  коммутативностью.

Для этих множеств обобщений чисел справедливо следующее выражение: C Ì H Ì O Ì S. Существуют гиперкомплексные числа и других размерностей, причем их достаточно много. Имеются также и гиперкомплексные числа названных выше размерностей, но с другими алгеброй и таблицей умножения. Но практически почти все они не ассоциативны (или обладают некоторым признаком слабой альтернированности) и не коммутативны

p–адические числа Rp можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел Q при помощи т. н. p–адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел Q определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a,a2,a3,…ap…}, где a — любое действительное число, а ap — p–адическое, причём все ap, кроме, может быть, конечного их числа являются целыми p–адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Иногда числами ради удобства называют элементы поля: например при рассмотрении некоторого векторного пространства над этим полем.

Матрицы представляют собой двумерные квадратные матрицы произвольной размерности. В качестве чисел могут определяться матрицы максимального ранга с взаимно независимыми строками и столбцами.

1.3      Свойства чисел

Все числа (числовые множества) обладают следующими свойствами (свойства по отношению к числу ноль определены, если оно включено во множество чисел).

На множестве чисел естественным способом определены операции: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и взятие степенного корня, и определены особые «нулевые» и «единичные» элементы. Относительно этих операций на множестве чисел естественным способом определяется структура моноида, группы, кольца, тела, поля.

Классы числовых множеств определяются с помощью аксиом. Эти аксиомы в общем виде определены далее.

1.3.1     Аксиомы порядка

Множество линейных чисел естественным образом упорядочен. Многомерные числа не упорядочены. На линейных числовых множествах R задано отношение порядка « ≤ » (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из R выполняется хотя бы одно из условий xy или yx.

1.         "xÎ R: x x (рефлексивность порядка);

2.         "x, y, z Î R: (xy) Ù (yz)→ xz (транзитивность порядка);

3.         "x, y Î R: (xy) Ù (yx)→ x = y (антисимметричность порядка).

1.3.2        Аксиомы сложения

На множестве чисел, обозначаемом через R, введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y

4.         ("x, yÎ R): (x + y) = (y + x) (коммутативность сложения);

5.         ("x, y, z Î R): (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

6.         ($0Î R): ("xÎ R) (x + 0 = x) (существование нейтрального элемента по сложения — нуля);

7.         *("x, yÎ R) $(–x): (x + (–x) = 0) (существование обратного аддитивного элемента определено для всех числовых множеств, кроме натуральных).

1.3.3     Связь отношения порядка и сложения

8.         "x, y, z Î R: (x y) → (x + z) ≤ y + z

1.3.4        Аксиомы умножения

На R введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x y (или, сокращённо, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.

9.         *"x, yÎ R: (xy) = (yx) (коммутативность умножения для линейных и комплексных чисел);

10.      "x, y, z Î R: (xy) ∙ z = x ∙ (yz) (ассоциативность умножения);

11.     $1Î R\{0}: "xÎ R: x ∙ 1 = x (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);

12.     *"x, yÎ R\{0}:$x–1: xx–1 = 1 (существование обратного мультипликативного элемента по умножению определено для всех числовых множеств, кроме натуральных и целых).

1.3.5     Связь отношения порядка и умножения

13.     "x, y, z Î R: (xy) Ù (0 ≤ z) → xzyz (левую и правую части неравенства можно умножать на одно и то же положительное число);

14.     "x, y, z Î R: (xy) Ù (z ≤ 0) → yzxz (левую и правую части неравенства можно умножать на одно и то же отрицательное число, но со сменой направления неравенства).

1.3.6     Связь сложения и умножения

15.     ("x, y, z Î R: (x + y) ∙ z = xz + yz (дистрибутивность относительно сложения).

1.3.7        Свойства обратных операций

Кроме операций сложения и умножения во множестве чисел также могут быть определены обратные к основным операции вычитания и деления как решения соответствующих уравнений из определяющего уравнения для произвольной операции "◦":

x a = yx = y–1 a = ya–1.

Свойства этих операции являются следствиями прямых операций.

Определение операции вычитания:

a + b = ca = c b.

Основные свойства операции вычитания:

1)      ab = –(ba) – антикоммутативность,

антиассоциативность:

2)       (ab) – c = a – (b + c) ,

3)      a – (bc) = (ab) + c,

4)      (ab) ∙ c = a ∙ с – bc - дистрибутивность

Определение операции деления:

a b = ca = c / b = cb–1.

Основные свойства операции деления:

1)      ноль не имеет делителей, или деление на ноль не разрешено;

2)      a / a = 1;

3)      a / 1 = a;

антиассоциативность:

4)      (a / b) / c = a / (bc);

5)      a / (b / c) = (ac) / b;

дистрибутивность по отношению к операциям сложения, вычитания, умножения:

6)      (ab) / c = (a/b) ∙ (b/c);

7)      (a + b) / c = (a/b) + (b/c);

но:

8)      (a / b) ∙ c = (ac) / b.

1.3.8        Возведение в степень и извлечение корня

Определение операции возведения в целую степень an является естественным продолжением операции умножения. Эта операция определяется индуктивно для целых степеней:

an = a^(n + 1) = a^na

Определение операции вычисления целого степенного корня является обратным к операции возведения в целую степень:

= a1/n = bbn = a

Операция возведения в степень обладает свойством:

an am = an + m

Используя это свойство и предыдущее определение, можем определить возведение в любую рациональную степень:

,

а возведение в любую степень, задаваемую вещественным числом, определить через предел последовательности возведения этого числа в рациональную степень, сходящуюся к вещественному числу:

Операция возведения в нецелую степень не однозначна, а иногда вообще имеется бесконечно много решений. Например, корень n-ой степени из комплексного числа на комплексной плоскости всегда имеет n решений. В тригонометрической форме всегда имеет бесконечно много решений с периодом 2p. Это относится и к вещественным числам. В силу этого часто вместо корня вещественного числа берется вещественный корень, причем для четных корней это положительное число, для нечетных знак корня совпадает со знаком числа. Во многих случаях о.д.з. для вычисления корня являются только положительные числа.

1.3.9     Аксиома непрерывности или полноты

16.     *"X, Y Ì R, XÆ, YÆ: ("xÎ X) : ("yÎ Y, x y) ($c Î R): x c y

(определена на множестве вещественных чисел и для любых не циклических линий на числовых множествах, определенных на ее основе).

1.4      Натуральные числа

Понятия "число" и "элемент множества" появилось у человечества в связи с необходимостью счета и различения различных предметов. Множество чисел, необходимых для этого, объединяются понятием "натуральные числа" – N+. Обычно под натуральными числами понимаются числа от единицы до бесконечности. Иногда к ним присоединяется и число "ноль". Число "ноль" означает отсутствие чего–бы то ни было в счете. Основные свойства натуральных чисел – это

1.4.1        Четыре аксиомы натуральных чисел

1) существует минимальное натуральное число "единица" = 1, но иногда это число "ноль" = 0. Они отличаются своими свойствами.

2) для каждого числа существует единственное следующее число: a$!a'. Отношение «следующее число» является отношением частичного порядка.

3) Можно определить и понятие единственного «предыдущего числа», но оно определено не для всех чисел: минимальное число не имеет предыдущего числа.

4) Закон дедукции: если какое–то утверждение верно для числа n, и из этого следует, что оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для любого большего числа (закон дедукции).

1.4.2        Свойства натуральных чисел

Для натуральных чисел определены понятия "сложение чисел" и "умножение на число". Интуитивно они понятны каждому человеку, знакомому со счетом. Эти операции определены индуктивно на основе соотношений, присущих числам 0 и 1:

Для числа "единица" = 1 определены свойства:

5) a + 1 = a' – это определение следующего числа,

6) a ∙ 1 = a.

Для числа "нуль" = 0 определены свойства:

7) a + 0 = a (при наличии нуля во множестве натуральных чисел. Но ноль необходимо ввести во множество натуральных чисел, чтобы было решение уравнения a + x = a. Такое множество чисел называется множеством положительных чисел);

8) a ∙ 0 = 0,

9) отсутствие делителей у нуля.

Обратных элементов по этим операциям нет, и поэтому это множество является моноидом по этим операциям.

Операции "сложение чисел" и "умножение на число"обладают свойствами:

10,11) коммутативности: a b = b a;

12,13) ассоциативности: (a b) ◦ c = a ◦ (b c);

14) дистрибутивности: (a + b) ∙ c = a ∙ с + b c.

Множество натуральных чисел обладает нейтральными элементами по обеим операциям:

На множестве натуральных чисел определено отношение порядка < со стандартными свойствами. Это отношение определяется на основе свойства, которым обладает отношение «следующее число» по закону индукции на основе транзитивности отношения:

15) a < a’.

Свойства этого отношения:

16) "a, b Î Q: a < b ˅ b < a ˅ a = b

17) "x, y, z Î Q: (x < y) Ù (y < z)→ x < z (транзитивность порядка);

Они являются логическими утверждениями.

В теоретико–множественном смысле множество натуральных чисел счетно. Это определение в принципе тавтология, потому что счетность определяется через изоморфность множеству натуральных чисел.

1.4.3        Запись натуральных чисел

При записи чисел у разных народов в разные времена применялись разные способы записи чисел. В их основе применялись позиционные и непозиционные способы записи чисел. В современном мире применяется позиционный десятичный способ записи натуральных чисел. Способ записи чисел называют нумерацией или счислением.

В основе современного позиционного способа записи чисел лежит способ, применяемый в древней Индии, с помощью десяти цифр. Вначале индийских цифр было всего 9:1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифра 0 появилась заметно позже, – скорее всего, около 500 года нашей эры. А поначалу, если оказывалось, что в каком–то разряде нет единиц, то между соседними разрядами оставляли пробел. Например, число 209 писали так: 2 9. Понятно, что при подсчете таких пробелов очень легко ошибиться. Чтобы избавиться от этих неприятностей, сначала вместо пустого разряда стали ставить точку, а потом – маленький кружочек, который постепенно превратился в цифру 0.

Согласно этому способу, любое натуральное число записывается в виде:

xnxn–1x2x1,

где x – одно из десяти цифр. Число n показывает вес соответствующей позиции:

N(xn) = xn·10n–1.

А само число может быть найдено в соответствии с формулой:

N(xnxn–1x2x1) = xn·10n–1 + xn–1·10n–2 + … + x2·101 + x1·100.

Несмотря на то, что натуральных чисел бесконечное множество и то, что мы можем записать только не бесконечно большие числа, можно считать, что мы можем записать любое число указанным выше способом, потому что любое число явно не бесконечное и запись ее будет содержать конечное число символов.

1.5      Целые числа

Расширением множества натуральных чисел является множество целых чисел Z. Это множество обладает дополнительными свойствами:

1) для каждого числа существует единственное предыдущее число:

"a $: +1 = a.

2) Этим определением вводятся отрицательные числа N: для любого положительного числа n существует единственное обратное число , такое, что:

"n $: n +  = n + (–n) = nn = 0.

 В записи отрицательного числа перед числом ставится знак "минус" ~ "–". В связи с определением отрицательных чисел появляется возможность определения операции вычитания для любых целых чисел.

Множество целых чисел является дискретной бесконечной циклической абелевой группой по операции «сложение».

Операция деления чисел в этом множестве определена не для всех чисел.

Сравнив количество натуральных и целых чисел, можно подумать, что вторых больше, потому что добавились отрицательные числа. Но это не так, потому что при сравнении бесконечных множеств не срабатывает метод интуитивного сравнения. Множество целых чисел счетно. Это можно доказать, заметив, что можно построить знакопеременный ряд из целых чисел, которое изоморфно множеству натуральных чисел: {0,1,–1,2,–2,3,–3, …}.

1.6      Рациональные числа

Следующим обобщением чисел является множество рациональных чисел Q. Оно первоначально получается как расширение множества целых чисел до множества, в котором разрешимо уравнение a x = b:

("a,bÎZ) ($x Î Z): (a x = b),

или разрешена операция деления на любое целое число, а в перспективе – на любое число из этого расширения, или рациональное, число. Естественно, такую операцию невозможно выполнить для любого элемента на множестве целых чисел. Но в принципе такие объекты существуют. Таким объектом, например, является любой отрезок на прямой. Этот отрезок можно разрезать на любое конечное (n) число подотрезков, а затем взять из этого множества несколько (m) начальных подотрезков. Таким образом мы получим образ рационального числа n/m. Очень придирчивые могут считать, что эти отрезки имеют одинаковую геометрическую длину. Но это не обязательно: важно, чтобы не нарушался порядок полученных чисел. С точки зрения формальной математики, множество рациональных чисел – это множество взаимно простых чисел (n, m).

Любое рациональное число можно определить как частное двух целых чисел n/m. Следовательно, любое рациональное число можно определить как пару чисел (n, m) ~ n/m. Для однозначного определения таким способом рационального числа необходимо, чтобы числа n и m были взаимно простыми.

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где mцелое число, а nнатуральное число. При этом число m называется числителем, а число n — знаменателем дроби m/n. Такую дробь следует интуитивно понимать, как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни можно использовать рациональные числа для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Множество рациональных чисел обозначается Q и с определённой долей строгости может быть записано в виде: Q = {m/n| m Î Z, n Î N}. Нужно понимать, что одинаковые дроби, такие как, например, 3/4 и 9/12, входят в это множество как одна дробь. Таким образом, можно более формально говорить о множестве рациональных чисел, как о множестве несократимых дробей с целым числителем и натуральным знаменателем: Q = {m/n| m Î Z, n Î N, GCD(m,n) }. Здесь GCD(m,n) — наибольший общий делитель чисел m и n. Его равенство единице гарантирует взаимную простоту числителя и знаменателя, что, в свою очередь, гарантиирует несократимость дроби m/n.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа a = m/n знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Во–первых, кажется, что рациональных чисел больше чем целых, на самом же деле и тех и других счётное число. Во–вторых, возникает предположение, что такими числами можно измерить абсолютно точно любое расстояние в пространстве. На самом деле, для этого используются вещественные числа, рациональных же чисел для этого недостаточно.

1.6.1        Виды дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной.

Например, дроби 3/5, 7/8 и 1/2— правильные дроби, в то время как 8/3, 9/5, 2/1и 1/1— неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Например, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из–за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Несмотря на то, что рациональных чисел бесконечное множество и то, что мы можем записать только не бесконечно большие числа, можно считать, что мы можем записать любое рациональное число указанным выше способом, потому что любое рациональное число явно не бесконечное и запись ее будет содержать конечное число символов.

1.6.2        Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — это модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — это модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби (–15/6) равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

Как следствие, множество рациональных чисел является счетным множеством.

Это множество обладает свойством непрерывности. Это означает, что между любыми неравными между собой числами можно найти третье число, не равное предыдущему. Более того, сечение рациональных чисел на две половинки может быть открытым по одной или обеим границам этого сечения

Множество рациональных чисел является абелевой группой по операциям «сложение» и «умножение» по отдельности.

Множество рациональных чисел является полем по операциям «сложение» и «умножение».

1.6.3        Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар {(m, n) | m Î Z, n Î N} по отношению эквивалентности (m, n) ~ (m’, n’), если m n’ = m’ ∙ n. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

(m1, n1) + (m2, n2) = (m1, n2 + m2, n1, n1n2),

(m1, n1) ∙ (m2, n2) = (m1m2, n1n2),

1.6.4        Свойства рациональных чисел

Рациональные числа удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.

1.      Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа a = ma/na и b = mb/nb связаны тем же отношением, что и два целых числа ma/nb и mb/na; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа |b| и |a|; если же вдруг a неотрицательно, а b — отрицательно, то a > b.

"a, b Î Q: a < b ˅ b < a ˅ a = b

2.      Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.

"x, y, z Î Q: (x < y) Ù (y < z)→ x < z (транзитивность порядка);

3.      Операция сложения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается (a + b), а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1n2 + m2n1)/( n1n2).

"a, b Î Q: $(a + b) Î Q

4.      Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

("x, yÎ Q): (x + y) = (y + x)

5.      Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

("x, y, z Î Q): (x + y) + z = x + (y + z)

6.      Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

 ($0Î Q) ("xÎ Q) : (x + 0 = x)

7.      Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

("x, yÎ Q) $(–x Î Q): (x + (–x) = 0).

8.      Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

"x, y, z Î Q: (x < y) → (x + z) < y + z

9.      Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается (a · b), а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.

"a, b ÎQ: $(a · b) Î Q

10.  Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

"x, yÎ Q: (xy) = (yx);

11.  Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

"x, y, z Î Q: (xy) ∙ z = x ∙ (yz);

12.  Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

$1Î Q\{0}: "xÎ Q: x ∙ 1 = x;

13.  Наличие обратных чисел. Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.

"xÎ Q\{0}:$x–1: xx–1 = 1.

14.  Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

"x, y, z Î Q: (x < y) Ù (z > 0) → yz < xz

15.  Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

 ("x, y, z Î Q: (x + y) ∙ z = xz + yz

16.  Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

"a Î Q $n Î N:  > a

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

·         Второе отношение порядка «>» также транзитивно.

"x, y, z Î Q: (x > y) Ù (y > z)→ x > z (транзитивность порядка);

·         Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

"x Î Q: x · 0 = 0;

·         Отсутствие делителей нуля.

·         Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

"a, b, c, d Î Q: a > b ˄ c > da + c > b + d

·         Множество рациональных чисел Q является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел Z) относительно операций сложения и умножения дробей.

·         Каждое рациональное число является алгебраическим.

1.7      Вещественные числа

Вещественные числа появляются в результате расширения рациональных чисел до решения квадратных уравнений типа: x2 =2. Доказано, что среди рациональных чисел нет решения данного уравнения. Квадратура круга тоже не имеет решения в этом множестве. Множество всех таких чисел называется множеством иррациональных чисел. В общем случае они все являются пределами некоторых сходящихся последовательностей рациональных чисел.

Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

1.7.1        Аксиомы множества вещественных чисел.

Аксиомы порядка

На R задано отношение порядка « ≤ » (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из R выполняется хотя бы одно из условий xy или yx.

1.      "xÎ R: xx (рефлексивность порядка);

2.      "x, y, z Î R: (xy) Ù (yz)→ xz (транзитивность порядка);

3.      "x, y Î R: (xy) Ù (yx)→ x = y (антисимметричность порядка).

Аксиомы сложения

На множестве вещественных чисел, обозначаемом через R, введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y

4.      ("x, yÎ R): (x + y) = (y + x) (коммутативность сложения);

5.       ("x, y, z Î R): (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

6.      ($0Î R): ("xÎ R) (x + 0 = x) (существование нейтрального элемента по сложения — нуля);

7.      ("x, yÎ R) $(–x): (x + (–x) = 0) (существование обратного элемента).

Связь отношения порядка и сложения

8.      "x, y, z Î R: (xy) → (x + z) ≤ y + z

Аксиомы умножения

На R введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент xy (или, сокращенно, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.

9.      "x, yÎ R: (xy) = (yx) (коммутативность умножения);

10.   "x, y, z Î R: (xy) ∙ z = x ∙ (yz) (ассоциативность умножения);

11.  $1Î R\{0}: "xÎ R: x ∙ 1 = x (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);

12.  "x, yÎ R\{0}:$x–1: xx–1 = 1 (существование обратного элемента).

Связь отношения порядка и умножения

13.  "x, y, z Î R: (xy) Ù (0 ≤ z) → xzyz

14.  "x, y, z Î R: (xy) Ù (z ≤ 0) → yzxz

Связь сложения и умножения

15.  ("x, y, z Î R: (x + y) ∙ z = xz + yz (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиома непрерывности или полноты

16.  "X, Y Ì R, XÆ, YÆ: ("xÎ X) : ("yÎ Y, x y) ($c Î R): x c y

1.7.2        Следствия из аксиом

Последняя аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число. Это означает, что любое сечение вещественных чисел на две половинки является открытым с одной стороны и закрытым с другой стороны. Множество вещественных чисел обладает полнотой.

Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется; классический пример: рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие — к Y. Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число. √2 не является рациональным числом.

Эта ключевая аксиома обеспечивает плотность R и тем самым делает возможным построение математического анализа. Для иллюстрации её важности укажем на два фундаментальных следствия из неё.

Каждая неубывающая ограниченная сверху последовательность в R имеет предел.

Если непрерывное отображение f(x) на концах интервала имеет значения разного знака, то уравнение f(x) = 0 внутри интервала имеет вещественное решение.

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например,

·         единственность нуля,

·         единственность противоположного и обратного элементов,

·         отсутствие делителей нуля.

Геометрически вещественные числа дают сложение отрезков прямой и умножение их на число.

Множество вещественных чисел является абелевой группой по операциям «сложение» и «умножение» по отдельности.

Множество вещественных чисел является полем по операциям «сложение» и «умножение».

Множество вещественных чисел имеет мощность континуума.

1.7.3        Представление вещественного числа

Во все времена в связи с существованием потенциально огромного количества чисел, как рациональных, так и вещественных, стояла задача записи найти наиболее удобный способ записи их. С древних ученые пытались найти. Современную запись, т.е. отделение целой части запятой, предложил Кеплер (1571) – (1630 гг.).

В современном мире применяется позиционный десятичный способ записи натуральных чисел. При этой форме запись вещественного числа состоит из двух частей, разделенных десятичной запятой или точкой, например: 456,456. Часть до запятой определяет целую часть числа, а после запятой – дробную часть ее. Дробная часть, или десятичная дробь, есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками. Пример:

.

Можно доказать, что отображение вещественных чисел на множество позиционных чисел биективно, но с одним замечанием: число с периодической девяткой с произвольной передней частью, не заканчивающейся девяткой, необходимо должен быть преобразован в точную запись, где периодическая девятка удаляется, а последняя непериодическая цифра увеличивается на единицу:

[…<n>(9)] → […<n+1>],

где <n> означает последнюю цифру непериодической части числа. Если периодическая девятка начинается в целой части числа, то все они преобразовываются в "0":

[…<n>999, (9)] → […<n+1>000].

Недостатком этого способа записи чисел является их неточное соответствие исходному числу. Но этот недостаток неустраним: с помощью конечной строки с конечным алфавитом цифр невозможно записать бесконечно много вещественных чисел, даже из интервала [0..1], абсолютно точно. Даже не все рациональные числа можно записать абсолютно точно, потому что большинство из них может быть записано только с помощью периодической дроби, например: a = 150.12561561561…, где повторяется часть (561). Для таких чисел применяется следующий, модифицированный, точный способ записи из трех частей: a = 150.12(561). При этой форме записи в скобках записывается периодическая часть записи числа.

Способом точной записи числа может считаться также алгебраическая форма записи числа, например, в форме с применением специальных знаков математических операций и заранее определенных чисел–констант типа π = 3.14…, e = 2.718… и т.д.:

Ссылка на этот материал: chisla_razmyernosti_1.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 19 вычесть 0 =

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 00 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6