Успешное подключения к БД.

-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: drugiye_chislovyye_sistyemy.htm)
Числовые системы

Другие числовые системы

Источник — «http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE&oldid=41728207»

Числовые системы

Счётные
множества

Натуральные числа (\scriptstyle\mathbb{N}) • Целые (\scriptstyle\mathbb{Z})Рациональные (\scriptstyle\mathbb{Q}) • Алгебраические (\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}) • ПериодыВычислимыеАрифметическиеИррациональные числаТрансцендентныеЧисловой луч

Вещественные числа
и их расширения

Вещественные (\scriptstyle\mathbb{R}) • Комплексные (\scriptstyle\mathbb{C}) • Кватернионы (\scriptstyle\mathbb{H}) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (\scriptstyle\mathbb{O}) • Седенионы (\scriptstyle\mathbb{S}) • Процедура Кэли-Диксона (en) • ДуальныеГиперкомплексныеSuperreal number (англ.) • Hyperreal number (англ.) • Surreal number (англ.) • Двойные числаБикватернион

Другие
числовые системы

Кардинальные числаПорядковые числа (трансфинитные, ординал)p-адическиеСупернатуральные числа

 

Числа с собственными именами

Вещественные

Пи • Золотое сечение • Серебряное сечение • e (число Эйлера) • Постоянная Эйлера — Маскерони • Постоянные Фейгенбаума • Постоянная Гельфонда • Константа Бруна • Постоянная Каталана • Постоянная Апери

Натуральные

Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди • Число Грэма • Число Скьюза

Степени десяти

Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс

Степени тысячи

Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион … • … Центиллион • Зиллион

Степени двенадцати

Дюжина • Гросс • Масса

1      Кардинальные числа

2      Порядковые числа (трансфинитные, ординал)  

3      Супернатуральные числа

4      *Гипердействительные числа

В связи с невозможностью деления на нуль на множестве действительных чисел возникает некоторое неудобство. Для устранения этого неудобства иногда поступают следующим образом: уславливаются считать, что частное 1:0 существует, но является числом особого рода, для которого вводится специальное обозначение ¥, другими словами, расширяют множество гиперкомплексных чисел введением этого числа с правилами действий:

z + ¥ = ¥,

z - ¥ = ¥: z ¹ ¥

z ¥ = ¥: z ¹ ¥

¥ / z  = ¥: |z| ¹ 0, z ¹ ¥

z / ¥ = 0: z ¹ ¥.

где z – произвольное гиперкомплексное число.

Разность ¥ + ¥, произведение 0 ∙ ¥, отношения ¥/¥ и 0/0 приходится считать не имеющими смысла, за исключением отношения вида

.

Алгебру с расширенными таким образом числами называют алгеброй гипердействительных чисел. Таким образом,

Гипердействительные числа – это числа вида

1)      a + e, где a – обычное число, а - бесконечно малое число;

2)      = 1/eбесконечно большое число.

Гипердействительные числа не являются числами в обычном понимании. Несмотря на то, что они состоят из двух частей, они не двумерны. Вторая часть гиперкомплексного числа – это действительная вариация вещественного числа. Вариация – это бесконечно маленькое число со знаком. Бесконечно маленькое положительное число меньше любого положительного числа, не равного нулю, но больше нуля. Но такого числа не существует, потому что самое маленькое положительное число, меньшее другого положительного, есть нуль. Получили противоречие. Несмотря на это противоречие, гипердействительные числа имеют свое логически непротиворечивое применение в дифференциальном исчислении.

Бесконечно малые числа определяются как предел последовательности чисел, сходящихся к нулю, а бесконечно большие числа – как предел бесконечно возрастающей последовательности, не имеющей предела. Несмотря на то, что бесконечно малые числа очень близки к нулю, они не равны друг другу. Их отношение может быть любым числом и даже бесконечным числом.

Гипердействительные числа можно определить как сходящиеся последовательности чисел или как число, сложенное с бесконечно малым числом.

Гипердействительные числа применяются во многих разделах математики, особенно в теории пределов, дифференциальном и интегральном исчислениях, а также везде, где используются предельные последовательности, даже при определении самих вещественных чисел.

5      p-адические число

p-ади́ческое число (произносится: пэ-адическое) — элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, которая определяется на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

p-адические числа были введены Гензелем (нем.) в 1897 году[1].

Поле p-адических чисел обычно обозначается \mathbb Q_pили \mathbf Q_p.

Целым p-адическим числом для произвольного простого p называется бесконечная последовательность x=\{x_1,x_2,\ldots\}вычетов xn по модулю pn, удовлетворяющих условию x_n\equiv x_{n+1}\,\mathrm{mod}\,{p^n}.

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца.

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых p-адических чисел определяется как предел

\lim_{\leftarrow}\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}

колец \Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}вычетов по модулю pn относительно естественных проекций \Bbb{Z}/{p^{n+1}}\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/{p^n}\Bbb{Z}.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p, но и любого составного числа m — получится т. н. кольцо m-адических чисел, но это кольцо в отличие от \Bbb{Z}_p обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в кольцо p-адических чисел очевидным образом: x = {x,x,...} и являются подкольцом.

Беря в качестве элемента класса вычетов число x_n\equiv a_n\,\operatorname{mod}\,{p^n}., такое, что 0\le a_n<p^n, мы можем записать каждое целое p- адическое число в виде x = {a1,a2,...} однозначным образом. Такой вид называется каноническим. Записывая каждое an в p-ичной системе счисления a_n=b_n\ldots b_2b_1 и учитывая что a_n\equiv a_{n+1}\,\mathrm{mod}\,{p^n}. мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\} или записывая в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления (в нашем примере p=5).

P adic arithm.gif

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, точно таких, как у исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается \Bbb{Z}_p.

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных \Bbb{Q}_pкольца \Bbb{Z}_pцелых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p обратимо в кольце \Bbb{Z}_p, а кратное p однозначно записывается в виде xpn, где x не кратно p и поэтому обратимо, а n > 0, то ясно, что любой ненулевой элемент поля \Bbb{Q}_pможет быть записан в виде xpn, где x не кратно p а n любое, если n отрицательно, то исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления мы можем записать любое такое p-адическое число в виде последовательности x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}, то есть формально в виде в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа. Так, в той же пятеричной системе имеем:

P adic division.gif

Метрическое построение

Любое рациональное число r можно представить как r=p^n\frac abгде a и b целые числа, не делящиеся на p, а n — целое. Тогда | r | p — p-адическая норма r — определяется как pn. Если r = 0, то | r | p = 0.

Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой dp, определённой p-адической нормой: dp(x,y) = | xy | p. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма | r | p продолжается по непрерывности до нормы на \Bbb{Q}_p.

Свойства

Каждый элемент x-поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i

где n0 — некоторое целое число, а ai — целые неотрицательные числа, не превосходящие p − 1, а именно взяв в качестве ai цифры из записи p-адического числа x в виде последовательности цифр в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике dp к самому x.

p-адическая норма | x | p удовлетворяет сильному неравенству треугольника

|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.

Числа x\in \mathbb Q_pс условием |x|_p\le 1образуют кольцо \Bbb{Z}_pцелых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел \Bbb{Z}\subset \Bbb{Q}в норме | x | p.

Числа x\in \Bbb{Q}_pс условием | x | p = 1 образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.

Совокупность чисел x\in \Bbb{Q}_pс условием | x | p < 1 является главным идеалом в \Bbb{Z}_pс образующим элементом p.

метрическое пространство (\Bbb{Q}_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству, а пространство (\Bbb{Q}_p,d_p)гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.

Для различных p нормы | x | p независимы, а поля \Bbb{Q}_pнеизоморфны.

Для любых элементов r_\infty, r2, r3, r5, r7, …, таких что r_\infty \in \Bbb Rи r_p\in \Bbb Q_p, можно найти последовательность рациональных чисел xn, таких что для любого p, |x_i-r_p|_p\to 0и |x_i-r_\infty|\to 0.

Применения

Если F(x_1,x_2,\ldots,x_n) — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения

F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \mod p^k

эквивалентна разрешимости уравнения

F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0

в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (Hensels lemma), при n = 1 достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при n = 1 для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k = 1.

Литература

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.

Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.

Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.

Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.

p-адические числа для «чайников»

 

Ссылка на этот материал: drugiye_chislovyye_sistyemy.htm)

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 60 to divide on 20 equally:

---Load files---
Сегодня - 20_08_2019
Время переоткрытия сайта 13 ч 57 м по Гр.
Календарь
на АВГУСТ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(8 431)

---Load files---

---Load files---

© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:5 V:6
Уникальных посетителей: 5 Просмотров: 6