-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: December 05 2017. -------
Ссылка на этот материал: gipyerchisla_razmyernosti_16.htm)
Составные гиперкомплексные числа размерности 16 Седенионы

1  Гиперкомплексные числа размерностью 16

Гиперкомплексных чисел размерности 16 очень много. Среди них имеются и ассоциативные, и коммутативные таблицы умножения. Но абсолютное большинство из них не обладает ни одним из этих свойств. В следующих двух таблицах представлены две таблицы умножения. Первая таблица – ассоциативна и коммутативна. Вторая таблица не обладает ни одним из этих свойств.

1

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

K

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

13

16

15

 

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

13

16

15

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

16

13

14

 

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

16

13

14

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

16

15

14

13

 

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

16

15

14

13

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

14

15

16

9

10

11

12

 

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

14

15

16

9

10

11

12

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

13

16

15

10

9

12

11

 

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

13

16

15

10

9

12

11

 

7

8

5

6

3

4

1

2

15

16

13

14

11

12

9

10

 

 

7

8

5

6

3

4

1

2

15

16

13

14

11

12

9

10

 

8

7

6

5

4

3

2

1

16

15

14

13

12

11

10

9

 

 

8

7

6

5

4

3

2

1

16

15

14

13

12

11

10

9

 

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

7

8

 

 

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

7

8

 

10

9

12

11

14

13

16

15

2

1

4

3

6

5

8

7

 

 

10

9

12

11

14

13

16

15

2

1

4

3

6

5

8

7

 

11

12

9

10

15

16

13

14

3

4

1

2

7

8

5

6

 

 

11

12

9

10

15

16

13

14

3

4

1

2

7

8

5

6

 

12

11

10

9

16

15

14

13

4

3

2

1

8

7

6

5

 

 

12

11

10

9

16

15

14

13

4

3

2

1

8

7

6

5

 

13

14

15

16

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

3

4

 

 

13

14

15

16

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

3

4

 

14

13

16

15

10

9

12

11

6

5

8

7

2

1

4

3

 

 

14

13

16

15

10

9

12

11

6

5

8

7

2

1

4

3

 

15

16

13

14

11

12

9

10

7

8

5

6

3

4

1

2

 

 

15

16

13

14

11

12

9

10

7

8

5

6

4

3

1

2

 

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

 

 

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

3

4

2

1

Здесь (и далее) значения 1, 2, … 16 соответствуют индексам гиперкомплексных единиц: 1 ~ e0, 2 ~ e1, … 16 ~ e15. В следующих двух таблицах представлены две коммутативные таблицы умножения. Они обладают свойством правой и левой альтернативности.

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

3

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

K

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

13

16

15

 

K

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

13

16

15

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

16

13

14

 

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

16

13

14

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

16

15

14

13

 

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

16

15

14

13

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

14

15

16

9

10

11

12

 

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

14

15

16

9

10

11

12

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

13

16

15

10

9

12

11

 

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

13

16

15

10

9

12

11

 

7

8

5

6

3

4

1

2

15

16

13

14

11

12

9

10

 

 

7

8

5

6

3

4

1

2

15

16

13

14

11

12

9

10

 

8

7

6

5

4

3

2

1

16

15

14

13

12

11

10

9

 

 

8

7

6

5

4

3

2

1

16

15

14

13

12

11

10

9

 

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

7

8

 

 

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

7

8

 

10

9

12

11

14

13

16

15

2

1

4

3

6

5

8

7

 

 

10

9

12

11

14

13

16

15

2

1

4

3

6

5

8

7

 

11

12

9

10

15

16

13

14

3

4

1

2

7

8

5

6

 

 

11

12

9

10

15

16

13

14

3

4

1

2

7

8

5

6

 

12

11

10

9

16

15

14

13

4

3

2

1

8

7

6

5

 

 

12

11

10

9

16

15

14

13

4

3

2

1

8

7

6

5

 

13

14

15

16

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

4

3

 

 

13

14

15

16

9

10

11

12

5

6

7

8

1

3

2

4

 

14

13

16

15

10

9

12

11

6

5

8

7

2

1

3

4

 

 

14

13

16

15

10

9

12

11

6

5

8

7

3

1

4

2

 

15

16

13

14

11

12

9

10

7

8

5

6

4

3

1

2

 

 

15

16

13

14

11

12

9

10

7

8

5

6

2

4

1

3

 

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

3

4

2

1

 

 

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2

3

1

Примечание. Выделены элементы таблицы, отличные от первого базового варианта. Этот способ выделения будет применяться и далее.

В следующих двух таблицах представлены две ассоциативные, но не коммутативные таблицы умножения. Они оба обладают свойством только левой альтернативности.

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

3

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

Al

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

Al

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

13

16

15

 

 

2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

12

11

14

13

16

15

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

16

13

14

 

 

3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

10

15

16

13

14

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

16

15

14

13

 

 

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

16

15

14

13

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

14

15

16

9

10

11

12

 

 

5

6

7

8

1

2

3

4

13

14

15

16

9

10

11

12

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

13

16

15

10

9

12

11

 

 

6

5

8

7

2

1

4

3

14

13

16

15

10

9

12

11

 

7

8

5

6

3

4

1

2

15

16

13

14

11

12

9

10

 

 

7

8

5

6

3

4

1

2

15

16

13

14

11

12

9

10

 

8

7

6

5

4

3

2

1

16

15

14

13

12

11

10

9

 

 

8

7

6

5

4

3

2

1

16

15

14

13

12

11

10

9

 

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

7

8

 

 

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

7

8

 

10

9

12

11

14

13

16

15

2

1

4

3

6

5

8

7

 

 

10

9

12

11

14

13

16

15

2

1

4

3

6

5

8

7

 

11

12

9

10

15

16

13

14

3

4

1

2

7

8

5

6

 

 

11

12

9

10

15

16

13

14

3

4

1

2

7

8

5

6

 

12

11

10

9

16

15

14

13

4

3

2

1

8

7

6

5

 

 

12

11

10

9

16

15

14

13

4

3

2

1

8

7

6

5

 

13

14

15

16

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

3

4

 

 

13

14

15

16

9

10

11

12

5

6

7

8

1

2

3

4

 

14

13

16

15

10

9

12

11

6

5

8

7

2

1

4

3

 

 

14

13

16

15

10

9

12

11

6

5

8

7

2

1

4

3

 

15

16

13

14

11

12

10

9

8

7

5

6

3

4

1

2

 

 

15

16

13

14

12

11

9

10

7

8

6

5

3

4

1

2

 

16

15

14

13

12

11

9

10

7

8

6

5

4

3

2

1

 

 

16

15

14

13

11

12

10

9

8

7

5

6

4

3

2

1

Необходимо отметить, что в представленных таблицах  показаны только таблицы с общим циклом, равным двум. Но существует также огромное количество таблиц умножения и с другими значениями циклов.

Наиболее важным из представленных таблиц умножения является первая таблица – одновременно ассоциативная и коммутативная. Это единственная таблица с такими свойствами. На ее основе строятся все изучаемые в математике гиперкомплексные числа размерности 16. Различие между ними – только в расстановке знаков ± и 0 в ячейках таблицы. Некоторые из них с расстановкой знаков ± и 0 могут быть получены методом удвоения таблиц умножения порядка 8 с применением определенных принципов.

С помощью метода удвоения Грассмана-Клиффорда возможно получить не более 74 не дуальных таблиц умножения и 47 дуальных таблиц умножения, содержащие нули только в правой нижней половине ее. Среди них имеется 5 чисел Клиффорда. Существует также одно число, называемое "седенион", полученное методом удвоения Кэли-Диксона от вещественного начала. Если удваивать методом Кэли-Диксона числа размерности 8, то можно получить всего 15 + 8 +1 = 24 (см. гиперкомплексные числа размерности 8) таблицы умножения.

2  Гиперкомплексные числа размерностью 16 со знаком

2.1      Таблица умножения гипер4болических коммутативных чисел размерности 4

На основе первой из представленных выше таблиц умножения строятся практически все таблицы умножения размерности 16. Все остальные таблицы получаются из нее соответствующей расстановкой знаков ± и 0. Наиболее важные из них те, которые получены на основе какого-то метода или свойства. Такими методами являются методы удвоения чисел размерности 8 (общий метод удвоения, метода удвоения Грассмана-Клиффорда и Кэли-Диксона) и числа Клиффорда.

1

1

1

1

   A - ассоциатина

1

1

1

1

   K - коммутативна

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

3

13

23

123

4

14

24

124

34

134

234

1234

1

I

12

2

13

3

123

23

14

4

124

24

134

34

1234

234

2

12

I

1

23

123

3

13

24

124

4

14

234

1234

34

134

12

2

1

I

123

23

13

3

124

24

14

4

1234

234

134

34

3

13

23

123

I

1

2

12

34

134

234

1234

4

14

24

124

13

3

123

23

1

I

12

2

134

34

1234

234

14

4

124

24

23

123

3

13

2

12

I

1

234

1234

34

134

24

124

4

14

123

23

13

3

12

2

1

I

1234

234

134

34

124

24

14

4

4

14

24

124

34

134

234

1234

I

1

2

12

3

13

23

123

14

4

124

24

134

34

1234

234

1

I

12

2

13

3

123

23

24

124

4

14

234

1234

34

134

2

12

I

1

23

123

3

13

124

24

14

4

1234

234

134

34

12

2

1

I

123

23

13

3

34

134

234

1234

4

14

24

124

3

13

23

123

I

1

2

12

134

34

1234

234

14

4

124

24

13

3

123

23

1

I

12

2

234

1234

34

134

24

124

4

14

23

123

3

13

2

12

I

1

1234

234

134

34

124

24

14

4

123

23

13

3

12

2

1

I

Здесь (и далее) значения 1, 12, … 1234 соответствуют произведению гиперкомплексных единиц: 1 ~ e1, 2 ~ e2, … Символ I соответствует e0, а также: верхняя левая таблица – расширенная таблица умножения базисных единиц {i, j}: i2 = -1 – стандартно для мнимой единицы, i2 = +1 – специальный случай для мнимой единицы,ij = -1 – произведение разных мнимых единиц антикоммутативно, ij = +1 – произведение разных мнимых единиц коммутативно, слева визу – таблица умножения в смешанных мнимых единицах {1, 2, 12}, справа внизу – в независимых мнимых единицах {1, 2, 3}, при этом мнимая единица (12) ~ (4) и т.д.

 

2.2      Таблица умножения бибибикомплексных антикоммутативных чисел Клиффорда размерности 4

Это число получено удвоением Грассмана-Клиффорда из антикоммутативных бибикомплексных чисел Клиффорда базовой размерности 3.

-1

-1

-1

-1

 

A - ассоциативна

 

-1

-1

-1

-1

 

aK - антикоммутативна

 

-1

-1

-1

-1

10

15

0

30

0

 

 

 

 

 

 

 

-1

-1

-1

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

3

13

23

123

4

14

24

124

34

134

234

1234

1

-I

12

-2

13

-3

123

-23

14

-4

124

-24

134

-34

1234

-234

2

-12

-I

1

23

-123

-3

13

24

-124

-4

14

234

-1234

-34

134

12

2

-1

-I

123

23

-13

-3

124

24

-14

-4

1234

234

-134

-34

3

-13

-23

123

-I

1

2

-12

34

-134

-234

1234

-4

14

24

-124

13

3

-123

-23

-1

-I

12

2

134

34

-1234

-234

-14

-4

124

24

23

123

3

13

-2

-12

-I

-1

234

1234

34

134

-24

-124

-4

-14

123

-23

13

-3

-12

2

-1

I

1234

-234

134

-34

-124

24

-14

4

4

-14

-24

124

-34

134

234

-1234

-I

1

2

-12

3

-13

-23

123

14

4

-124

-24

-134

-34

1234

234

-1

-I

12

2

13

3

-123

-23

24

124

4

14

-234

-1234

-34

-134

-2

-12

-I

-1

23

123

3

13

124

-24

14

-4

-1234

234

-134

34

-12

2

-1

I

123

-23

13

-3

34

134

234

1234

4

14

24

124

-3

-13

-23

-123

-I

-1

-2

-12

134

-34

1234

-234

14

-4

124

-24

-13

3

-123

23

-1

I

-12

2

234

-1234

-34

134

24

-124

-4

14

-23

123

3

-13

-2

12

I

-1

1234

234

-134

-34

124

24

-14

-4

-123

-23

13

3

-12

-2

1

I

Представление через независимые мнимые единицы:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

2

-1

4

-3

6

-5

8

-7

10

-9

12

-11

14

-13

16

-15

3

-4

-1

2

7

-8

-5

6

11

-12

-9

10

15

-16

-13

14

4

3

-2

-1

8

7

-6

-5

12

11

-10

-9

16

15

-14

-13

5

-6

-7

8

-1

2

3

-4

13

-14

-15

16

-9

10

11

-12

6

5

-8

-7

-2

-1

4

3

14

13

-16

-15

-10

-9

12

11

7

8

5

6

-3

-4

-1

-2

15

16

13

14

-11

-12

-9

-10

8

-7

6

-5

-4

3

-2

1

16

-15

14

-13

-12

11

-10

9

9

-10

-11

12

-13

14

15

-16

-1

2

3

-4

5

-6

-7

8

10

9

-12

-11

-14

-13

16

15

-2

-1

4

3

6

5

-8

-7

11

12

9

10

-15

-16

-13

-14

-3

-4

-1

-2

7

8

5

6

12

-11

10

-9

-16

15

-14

13

-4

3

-2

1

8

-7

6

-5

13

14

15

16

9

10

11

12

-5

-6

-7

-8

-1

-2

-3

-4

14

-13

16

-15

10

-9

12

-11

-6

5

-8

7

-2

1

-4

3

15

-16

-13

14

11

-12

-9

10

-7

8

5

-6

-3

4

1

-2

16

15

-14

-13

12

11

-10

-9

-8

-7

6

5

-4

-3

2

1

2.3      Таблица умножения бибибикомплексных коммутативных чисел Клиффорда размерности 4

Это число получено удвоением Грассмана-Клиффорда из коммутативных бибикомплексных чисел базовой размерности 3.

Таблица умножения би(+)би(+)би(+)комплексных чисел Клиффорда  размерности 4

 

 

 

 

 

 

 

-1

1

1

1

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-1

1

1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

-1

1

8

28

21

56

0

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

3

13

23

123

4

14

24

124

34

134

234

1234

1

-I

12

-2

13

-3

123

-23

14

-4

124

-24

134

-34

1234

-234

2

12

-I

-1

23

123

-3

-13

24

124

-4

-14

234

1234

-34

-134

12

-2

-1

I

123

-23

-13

3

124

-24

-14

4

1234

-234

-134

34

3

13

23

123

-I

-1

-2

-12

34

134

234

1234

-4

-14

-24

-124

13

-3

123

-23

-1

I

-12

2

134

-34

1234

-234

-14

4

-124

24

23

123

-3

-13

-2

-12

I

1

234

1234

-34

-134

-24

-124

4

14

123

-23

-13

3