-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: November 01 2017. -------
Ссылка на этот материал: gipyerchisla_razmyernosti_2.htm)
Комплексное, двойное, дуальное числа

1      Составные числа размерностью 2

Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел. Это уравнения типа x2 = –1, не имеющих решения во множестве действительных чисел. В этом случае задача считалась неразрешимой. Решением этого конкретного уравнения является мнимое число, обозначаемое как число «мнимая единица» i: i2 = –1.

Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений, оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над комплексными числами. Это содействовало признанию комплексных чисел. Первое обоснование простейших действий с комплексными числами встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к комплексным числам относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: "Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием". В 1748 Л.Эйлер нашёл замечательную формулу eiφ = cosφ + isinφ, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер комплексных чисел выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация.

Термин "Комплексные числа" предложен К. Гауссом в 1831. Введение комплексных чисел делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе. Комплексные числа употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании комплексных чисел, чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного.

2      Гиперкомплексные числа размерности 2

У гиперкомплексных чисел размерности 2 имеются общие определения и свойства. Во первых, любое гиперкомплексное число задается с помощью двух вещественных чисел: Re(x) + i ∙ Im(x) или числа вида a + ib, где i – дополнительная мнимая единица, a и b – вещественные коэффициенты при действительной и мнимой частях числа. Re(x) или a обозначает вещественную часть числа, Im(x) или b обозначает мнимую часть числа. Мнимое число можно записать и в векторном виде: x = (xre, xim) ~ (a, b). Гиперкомплексные числа включают в себя вещественные числа как свои действительные части: R ~ Imx. Это проявляется в том, что операции умножения гиперкомплексного числа на вещественное число можно определить не выходя за рамки гиперкомплексных чисел, чего нет во многих алгебрах с составными элементами.

Существует единственная с точностью до знаков и перестановок строк и столбцов таблица умножения не дуальных гиперкомплексных чисел:

 

1

i

1

1

i

i

i

i2 = 1

С учетом знаков и возможной дуальности гиперкомплексного числа при i2 можно определить три вида гиперкомплексных чисел размерности 2 – это комплексные, двойные  и дуальные числа. Отличаются они квадратами своих мнимых составляющих. Для комплексного числа i2 = -1, для двойного числа i2 = +1, для дуального числа i2 = 0. Мнимая единица комплексного числа обозначается обычно символом i, двойного числа обозначается символом j, а дуального числа -  ε.

Комплексные, двойные и дуальные числа называются также комплексными числами эллиптического, гиперболического и параболического типов соответственно. Иногда при помощи этих чисел изображают движения пространств Евклида, Римана и Лобачевского (см., напр., Винтовое исчисление).

Теперь существенное замечание. Выше мы видели, что гиперкомплексная мнимая единица определяется выражением вида i2 = ±1 (или 0). Отсюда вроде бы следует, что  .Но это выражение, ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде  считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как .

2.1     Определения и свойства

Сложение и вычитание происходит по законам сложения векторов покомпонентно:

(1.1)

 
(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

Умножение на вещественное число тоже происходит покомпонентно:

(1.2)

 
l(a1, a2) = (la1, la2).

Но эту операцию всегда можно заменить на умножение на гиперкомплексное число с нулевой мнимой частью l ~ (l, 0).

Умножение гиперкомплексных чисел происходит по закону (в алгебраическом виде):    

(1.3)

 
(a1 + ia2) ∙ (b1 + ib2) = (a1b1 + i2a2b2 + i(a1b2 + a2b1)).

Различные виды гиперкомплексных чисел отличаются значением коэффициента i2 в произведении двух чисел. Оно может приобретать значения из множества {-1, 0, +1}.

Формула деления комплексных чисел записывается более сложно:

(1.4)

 
.

Эта формула является решением уравнения относительно c:

(c1, c2) ∙ (b1, b2) = (a1, a2).

В формулах деления гиперкомплексных чисел присутствует делитель (b12 - i2b22). Этот коэффициент называется модулем комплексного числа (см. далее).

Очень красиво выглядят формулы умножения, деления, возведения в вещественную степень и извлечения вещественного корня в экспоненциальном и тригонометрическом представлениях гиперкомплексного числа (см. далее).

Множество гиперкомплексных чисел является дистрибутивной ассоциативно-коммутативной абелевой группой по операциям «сложение» и «умножение» по отдельности.

ассоциативность

(a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc),

(1.5)

коммутативность

a + b = b + a,

ab = ba,

 

дистрибутивность:

(a + b)c = ac + bc,

c(a + b) = ca + cb.

 

Множество гиперкомплексных чисел имеет мощность континуума.

Свойства гиперкомплексных чисел аналогичны свойствам вещественных чисел, за исключением свойства упорядочения и связанных с ним – гиперкомплексные числа не упорядочены. Но появляется дополнительная операция – умножение на вещественное число. Причем эта операция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна.

Двухкомпонентность гиперкомплексных чисел проявляется при введении элементов математического анализа на их множестве. Дифференцирование на их множестве происходит с использованием частных производных и эти частные производные должны удовлетворять определенным условиям, с тем, чтобы производная зависела только от самой точки, а не от направления дифференцирования. Наиболее близким к анализу на множестве вещественных чисел оказывается анализ на множестве дуальных чисел. Интегрирование тоже будет иметь свои особенности.

2.2     Представление комплексного числа

Гиперкомплексное число можно представить в алгебраической форме:

(1.6)

 
a = a1 + ia2,

К основному соотношению в функциональном анализе гиперкомплексных чисел относят аналог уравнений Эйлера. Используя это уравнение, гиперкомплексное число можно представить в экспоненциальном и тригонометрическом формах (см. далее). Можно считать, что это разновидность алгебраической формы гиперкомплексных чисел. Для этого используется аналог уравнения Эйлера:

(1.7)

 

Гиперкомплексное число можно представить и в векторном виде:

(1.8)

 
a = (a1, a2).

Но у этого метода есть некоторый недостаток. В такой записи комплексное число можно спутать с двухмерным вектором.

Как следствие, геометрически гиперкомплексное число определяется точкой на двумерной плоскости – аналога векторного пространства.

Гиперкомплексные числа можно представить в матричной форме. Во множестве матриц 2×2 гиперкомплексные числа составляют некоторую группу, представленную как две диагонали с определенной симметрией. Это соответствие определяется соотношением:

(1.9)

 
,

причем сложению будет соответствовать сложение матриц, умножению – матричное умножение.

2.3     Сопряжение и модуль

Для гиперкомплексных чисел определена операция сопряжения, которая одновременно является и алгебраическим и скалярным сопряжением:

(1.10)

 
a = (a1, a2) → a* = (a1, –a2)

Сумма и произведение сопряженных чисел дает действительное число. Произведение сопряженных чисел называется квадратом модуля. Модуль существует для любого комплексного числа:

(1.11)

 

Модуль гиперкомплексного числа обладает свойством мультипликативности - модуль произведения чисел равен произведению их модулей:

(1.12)

 
|pq| = |p||q|.

2.4     Функции и дифференциал функции

Будем следовать классическому определению функции как закону отображения области определения в область значений. В случае, если областью определения и областью значений является область дуальных чисел, функцию можно представить покомпонентно:

(1.13)

 

где f1 и f2 - две вещественные функции двух аргументов.

К основному соотношению в функциональном анализе гиперкомплексных чисел относят аналог уравнений Эйлера. Используя это уравнение, гиперкомплексное число можно представить в экспоненциальном и тригонометрическом формах (см. далее). Можно считать, что это разновидность алгебраической формы гиперкомплексных чисел. Для этого используется аналог уравнения Эйлера (1.7):

где x – гиперкомплексная переменная.

После выполнения всех преобразований и сбора подобных членов получим гиперкомплексное уравнение Эйлера:

(1.14)

 

где r – модуль числа. При этом можно заметить, что модуль углового параметра

(1.15)

 
.

F – некоторая функция от параметра φ, зависящего от угла, определяемого направлением вектора (a, b). Для комплексных чисел это будет тригонометрическая функция угла, для двойного – гиперболическая, для дуального – линейная (см. далее).

Используя похожие ряды, можно определить и другие гиперкомплексные функции, в частности, тригонометрические.

Для дифференциала функции дуального аргумента также используем классическое определение дифференциала как разность значений функции до и после приращения аргумента:

(1.16)

 

где x – гиперкомплексная переменная.

2.5     Аналог уравнений Коши-Римана.

В теории функций комплексного переменного особую важность имеют аналитические функции, для которых предел отношения приращения функции к приращению аргумента не зависит от отношения мнимой и действительной частей приращения аргумента. Что на комплексной плоскости иллюстрируется независимостью производной от направления приращения аргумента. Обозначив производную функции f как f’, получим:

(1.17)

 
df = f' ∙ dz.

В теории конформных отображений сей факт может быть трактован геометрически - угол между направлением приращения функции и направлением приращения аргумента зависит только от точки, в которой взята производная.

Рассмотрим аналогичное требование для случая гиперкомплексного переменного и посмотрим, что из этого получится:

(1.18)

 

В общем случае для гиперкомплексных чисел имеем:

.

Подставим в предыдущую формулу:

Чтобы удовлетворить поставленному ограничению, следует положить равными нулю множители перед dx2/dx1 . Приравняем нулю выражения в скобках последней строки. Тогда

(1.19)

 

Тогда, учитывая последние соотношения, последнюю строку формулы запишем в виде:

Т.к. dx2 = dx12αdx22, то  и учитывая указанное выше соотношение, имеем результат:

(1.20)

 

Эти соотношения и есть аналог уравнений Коши-Римана для функций гиперкомплексного переменного размерности 2.

3      Комплексные числа

Ко́мпле́ксные чи́сла, — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается \mathbb{C}. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, iмнимая единица[2].

Комплексные числа можно получить методом удвоения Кэли алгебры действительных чисел, где квадрат мнимой единицы должен быть равен минус единице (1).

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел \R, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z2 + 1.

С точки зрения гиперкомплексных чисел в основе комплексных чисел лежит 2-мерное векторное поле с базисом (1, i) и таблицей умножения компонентов:

1

i

i

-1

Множество {1, i, -1, -i} составляет циклическую группу с образующей i4 = 1 (i2 = -1, -12 = 1).

Комплексное число можно также получить методом удвоения алгебры вещественных чисел с дополнительной мнимой единицей E2 = -1, причем обеими методами удвоения от вещественного числа.

Комплексные числа могут быть представлены и как числа Клиффорда с базой в Евклидовом пространстве E1  размерности 1 C1: {1, g1} с таблицей умножения:

1

g1

g1

-1

3.1     Операции с комплексными числами

Сложение и вычитание происходит по законам сложения векторов:

(2.1)

 
(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

Умножение на вещественное число:

(2.2)

 
l(a1, a2) = (la1, la2)

Но эту операцию всегда можно заменить на умножение на комплексное число без мнимой части l ~ (l, 0).

(2.3)

 
Умножение комплексных чисел происходит по закону: 

(a1, a2) ∙ (b1, b2) = (a1b1 - a2b2, a1b2 + a2b1).

Формула деления комплексных чисел записывается более сложно:

(2.4)

 

Эта формула является решением уравнения относительно c:

(c1, c2) ∙ (b1, b2) = (a1, a2).

Очень красиво выглядят формулы умножения, деления, возведения в вещественную степень и извлечения вещественного корня в экспоненциальном и тригонометрическом представлениях комплексного числа (см. далее).

Свойства комплексных чисел аналогичны свойствам вещественных чисел, за исключением свойства упорядочения и связанных с ним – комплексные числа не упорядочены. Но появляется дополнительная операция – умножение на вещественное число. Причем эта операция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна.

Множество комплексных чисел является абелевой группой по операциям «сложение» и «умножение» по отдельности.

Множество комплексных чисел является полем по операциям «сложение» и «умножение».

Множество комплексных чисел имеет мощность континуума.

По своим алгебраическим свойствам совокупность комплексных чисел образует поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xn + a1xn-1+...+an = 0; где a1,..., an –комплексных чисел, имеет (при учёте кратности) среди комплексных чисел точно n корней.

3.2     Сопряжение и модуль

Для комплексных чисел определена операция сопряжения, которая одновременно является и алгебраическим и скалярным сопряжением:

(2.8)

 
a = (a1, a2) → a* = (a1, –a2)

Произведение сопряженных чисел дает действительное число. Это число называется квадратом модуля. Модуль существует для любого комплексного числа:

(2.9)

 

Модуль двойного числа обладает свойством мультипликативности - модуль произведения чисел равен произведению их модулей.

(2.10)

 
|pq| = |p||q|.

3.3     Алгебраические представления комплексного числа

Комплексное число можно представить в алгебраической форме:

(2.5)

 
a = a1 + ia2,

Комплексное число можно представить и в векторном виде:

(2.6)

 
a = (a1, a2).

Но у этого метода есть некоторый недостаток. В такой записи комплексное число можно спутать с двумерным вектором.

Комплексные числа можно представить в матричной форме. Во множестве матриц 2×2 комплексные числа составляют некоторую группу, представленную как две диагонали с определенной симметрией. Это соответствие определяется соотношением:

(2.7)

 
,

причем сложению будет соответствовать сложение матриц, умножению – матричное умножение.

Комплексное число можно представить в экспоненциальном и тригонометрическом формах – см. далее.

3.4     Геометрическое представление комплексного числа

Геометрически комплексные числа дают сложение векторов и их вращение на 2–мерной плоскости. В связи с этим имеются и другие понятия. Это модуль числа:

и аргумент числа φ:

(2.11)

 
φ = arctan(a1/a2).

Эти параметры являются аргументами экспоненциального представления комплексного числа (см. далее):

(2.12)

 
a = reiφ

При этом:

(2.13)

 
a1 = r · cos φ;

a2 = r · sin φ

Геометрически параметры a1 и a2 комплексного числа дают координаты вектора, представляющего число на плоскости, модуль |a| дает длину этого вектора, а аргумент φ – угол поворота этого вектора относительно оси, представляемого параметром a1 (см. рис.). На этом рисунке также дано геометрическое (векторное) представление сложения и умножения комплексных чисел a' и a'':

 

 

Рис. 1. Геометрическое представление комплексного числа.

3.5     Формула Эйлера. Экспоненциальное  и тригонометрическое представления комплексного числа

Для комплексных чисел широко известна формула Эйлера, представляющая собой операцию возведения действительного числа в комплексную степень. Это представление можно назвать экспоненциальным:

(2.14)

 
ea + iφ = ea · [cos(φ) + i·sin(φ)].

Если a = 0, то умножение комплексного числа на такое число эквивалентно пространственному повороту на угол  φ:

(2.15)

 
eiφ(a + ib) = (cos(φ) + i · sin(φ)) · (a + ib) =

= (cos(φ) · a - sin(φ) · b) + i · (sin(φ) · a + cos(φ) · b).

То, что представление комплексных чисел при возведении в степень тригонометрично, широко применяется в интегральном и дифференциальном исчислении в теме "конформные отображения".

3.6     Целые комплексные числа

Целые комплексные числа, или гауссовы числа, числа вида а + bi, где а и b - целые числа (например, 4 - 7i). Геометрически изображаются точками комплексной плоскости, имеющими целочисленные координаты. Целые комплексные числа введены К. Гауссом в 1831 в связи с исследованиями по теории биквадратичных вычетов. Успехи, достигнутые в теории чисел (в исследованиях по теории вычетов высших степеней, теореме Ферма и т.д.) с помощью применения Целых комплексных чисел, способствовали выяснению роли комплексных чисел в математике. Дальнейшее развитие теории Целых комплексных чисел привело к созданию теории целых алгебраических чисел. Арифметика целыъ комплексных чисел аналогична арифметике целых чисел. Сумма, разность и произведение целого комплексного числа являются целым комплексным числом (иными словами, целые комплексные числа образуют числовое кольцо).

4      Двойные (гиперболические) числа

Двойные числа (или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа) – это гиперкомплексные числа вида a + jb, где a и b — вещественные числа и j2 = 1.

Гиперболические числа можно получить методом удвоения Кэли алгебры действительных чисел, где квадрат мнимой единицы должен быть равен единице (+1).

4.1     Операции с двойными числами

Сложение двойных чисел определяется формулой

(3.1)

 
(a1 + jb1) + (a2 + jb2) = (a1 + a2) + j(b1 + b2),

Умножение двойных чисел. С точки зрения гиперкомплексных чисел в основе двойных чисел лежит 2-мерное векторное пространство с базисом (1,  j) и таблицей умножения:

1

j

j

1

Множество {1, j} составляет циклическую группу с образующей j2 = 1. Поэтому умножение определяется формулой

(3.2)

 
(a1 + jb1)(a2 + jb2) = (a1a2 + b1b2) + j(a1b2 + a2b1).

Деление на число, не являющееся делителем нуля (см. далее), определяется также, как и для комплексных чисел, через модуль числа:

(3.3)

 

Есть и другое название для таких чисел – паракомплексные. Но это название я считаю не очень удачным, потому что также можно назвать числа, полученные удвоением способом Кэли алгебры комплексных чисел. К тому же экспоненциальное представление двойного числа отличается от комплексного тем, что здесь применяются гиперболические функции, а для комплексного числа – тригонометрические. Поэтому такие числа можно назвать гиперболическими.

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру и дистрибутивную над полем вещественных чисел. В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид a ± jb.

Если взять α = (1 + j) / 2 и β = (1 − j) / 2, то

αβ = 0, α2 = α и β2 = β..

Любое двойное число может быть представлено как сумма αx + βy, где x и y — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел. С этим свойством связано еще одно название двойных чисел - расщепляемые комплексные числа. Встречается и другое наименование двойных чисел - паракомплексные числа.

Замечание. По определению, двойные числа могут представлять множество действительных чисел, разделенное на две части – множества положительных и отрицательных чисел. Множество положительных чисел составляет группу по умножению с обычной таблицей умножения: 1 · 1 = 1. Множество отрицательных чисел не составляет группу, потому что умножение любых двух отрицательных чисел в традиционной арифметике положительно. Но если в качестве единиц мы возьмем два числа - +1 и -1, и любое вещественное число представим в виде a ~ {a1, a2} ~ [(+1)a1 + (-1)a2], где  a1 соответствует положительным, а  a2 соответствует отрицательным числам, и не будем учитывать наличие операции сложения/вычитания, то таблица умножения полностью соответствует таблице умножения двойных чисел:

1

-1

-1

1

Но есть и существенные несоответствия двойным числам:

1) одно из чисел a1 и a2 в представлении числа должно быть нулевым. В противном случае вещественные числа будут определяться не однозначно: a = a1 - a2. Из этого следует, что

2) операция сложения перепутывает "вещественную" и "мнимую" части такого двойного числа.

Но если принять эти неудобства, то двойные числа во многом соответствуют множеству вещественных чисел. Такие двойные числа можно использовать и для определения других гиперкомплексных чисел.

Источник: http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/dm2-1c.htm

4.2     Представление двойного числа

Двойное число можно представить в алгебраической форме:

(3.4)

 
a = a1 + ia2,

Двойное число можно представить и в векторном виде:

(3.5)

 
a = (a1, a2).

Но у этого метода есть некоторый недостаток. В такой записи двойное число можно спутать с двумерным вектором.

Двойное числа можно представить в матричной форме. Во множестве матриц 2×2 двойные числа составляют некоторую группу, представленную как две диагонали с определенной симметрией. Это соответствие определяется соотношением:

(3.6)

 
,

причем сложению будет соответствовать сложение матриц, умножению – матричное умножение.

Двойное число можно представить в экспоненциальном и тригонометрическом формах – см. далее.

4.3     Сопряжение и модуль

Для гиперболических чисел определена операция сопряжения, которая одновременно является и алгебраическим и скалярным сопряжением. Сопряжение определяется также, как и для комплексных чисел:

(3.7)

 
a = (a1, a2) → a* = (a1, –a2)

Произведение сопряженных чисел дает действительное число. Это число называется квадратом модуля. Модуль существует для любого гиперболического числа:

(3.8)

 

Модуль двойного числа обладает свойством мультипликативности - модуль произведения чисел равен произведению их модулей.

В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид (a + ja) или (a - ja). Таким образом, множество делителей нуля состоит из двух не пересекающихся множеств. На следующем рисунке эти множества определяются пунктирными диагональными линиями.

 

 

Рис. 2. Гиперболическая плоскость и  линии делителей нуля (исключая число "0"), единичные ядра делителей нуля – черные точки на диагоналях.

 

Эти два множества взаимно сопряжены друг другу. Если взять α = (1 + j)/Ö2 и β = (1 − j)/ Ö2, то

αβ = 0, α2 = α и β2 = β.

Это значит, что не у всякого числа имеется обратное число. С этой точки зрения двойные числа являются не совсем правильными числами.

Любое число из этих множеств можно представить в нормализованном виде:

(3.9)

 

Таким образом, делитель нуля в гиперболических числах состоит из действительной части и «ядра». Любое другое гиперболическое число можно представить в виде линейной суперпозиции  в базисе ядер делителей нуля:

(3.10)

 

4.4     Формула Эйлера

Для гиперболических чисел, также как и для комплексных, можно составить аналог формулы Эйлера, представляющая собой операцию возведения действительного числа в комплексную степень. Это представление можно назвать экспоненциальным:

(3.11)

 
ea + jφ = ea · (ch(φ) + j · sh(φ)).

Поскольку ch(φ) ≠ sh(φ) при любом действительном φ, результат взятия экспоненты не является идемпотентом.

Дополнительныек свойства двойных чисел, связанные с формулой Эйлера:

ejx = ch x + jsh x, где sh и ch - гиперболические синус и косинус.

sin jx = j sinx

cos jx = cos x

При использовании гиперболических чисел в качестве операторов преобразования пространства при a = 0 эквивалентно гиперболическому повороту в условном двумерном «пространстве-времени» Минковского на угол  φ, сохраняющему величину a2b2:

(3.12)

 
e jφ(a + jb) = (ch(φ) + j · sh(φ)) · (a + jb) =

= (ch(φ) · a + sh(φ) · b) + j · (sh(φ) · a + ch(φ) · b).

5      Дуальные числа

Дуальные числа или комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида p = a + εb, где a и b — вещественные числа, ε ¹ 0 и ε2 = 0. Дуальная мнимая единица выглядит еще более экзотичнее чем мнимая единица паракомплексных чисел - сама не равная нулю, в квадрате дает ноль. Таким образом, она должна быть в соответствии с ее определением отнесена к нильпотентам.

С точки зрения гиперкомплексных чисел в основе дуальных чисел лежит 2-мерное векторное пространство с базисом (1, ε) и таблицей умножения:

1

ε

ε

0

Дуальные числа в каждой строке и столбце таблицы умножения имеют не полный набор из базисных элементов {1, ε}. С этой точки зрения двойные числа являются не совсем числами.

Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел a и b. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел во многом подобна бесконечно малому числу: любая степень (выше первой) ε в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если δ — бесконечно малое число, то с точностью до O2) гипердействительные числа изоморфны дуальным.

Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную дистрибутивную алгебру с единицей над полем вещественных чисел R. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид aε. С этой точки зрения дуальные числа являются не совсем числами.

5.1     Алгебраическое определение дуальных чисел.

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида p = (a, b), для которых определены операции сложения и умножения по правилам:

(4.1)

 
 (a1 + eb1) + (a2 + eb2) = (a1 + a2) + e (b1 + b2),

 (a1 + eb1)(a2 + eb2) = a1a2 + e (a1b2 + a2b1).

Числа вида (a, 0) отождествляются при этом с вещественными числами, а число (0, 1) обозначается e. Деление на дуальное число определяется так же, как и на комплексное. С этой точки зрения любое дуальное число с ненулевой действительной частью имеет обратное себе. На чисто мнимое число делить нельзя по определению деления:

(4.2)

 

В случае b1 = 0 деление не определено.

Для возведения дуального числа в степень n справедлива формула:

(4.3)

 

Для извлечения корня степени n из дуального числа справедлива формула:

(4.4)

 

В случае же a = 0 и/или n = 0 операция извлечения корня не определена.

Мнимую часть дуального числа также иногда называют моментной частью, а отношение мнимой части к действительной называют параметром:

(4.5)

 
P(p) = a/b,

или

если a ≠ 0.

Для параметра дуального числа справедливы два интересных соотношения:

1) Параметр произведения дуальных чисел равен сумме параметров сомножителей:

2) Параметр частного двух дуальных чисел равен разности параметров делимого и делителя:

Так как для числа p, где  параметр равен бесконечности и, поскольку действительная часть произведения равна произведению действительных частей, действительную часть дуального числа принято называть модулем дуального числа:

|p| = a.

При таком выборе определения модуля для дуального числа сохраняется его основное свойство мультипликативности:

|pq| = |p||q|

Алгебра дуальных чисел рассматривается не только над полем R действительных чисел, но и над произвольным полем или коммутативным кольцом. Пусть A - коммутативное кольцо с единицей и M есть А-модуль. Прямая сумма А-модулей А Å M относительно умножения

(a, m)(a', m') = (aa', am' +a'm)

является коммутативной А-алгеброй и обозначается IA(M). Она называется алгеброй дуальных чисел относительно модуля M. A-модуль М отождествляется с идеалом алгебры IA(M), служащим ядром пополняющего гомоморфизма

e: IA(M) → A  ((a, m) → a).

При этом квадрат M2 данного идеала равен нулю, а IA(M)/ M » A. Если А- регулярное кольцо, то верно и обратное: если B есть А-алгебра и M - идеал в В такой, что M 2 = 0 и B/M » A, то B » IA(M), где М рассматривается как А–модуль.

5.2     Представления дуальных чисел.

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим . Тогда произвольное дуальное число примет вид

(4.6)

 
.

Двойные числа можно получить методом удвоения Кэли алгебры действительных чисел, где квадрат мнимой единицы должен быть равен нулю.

5.3     Сопряжение и модуль

(4.7)

 
Для дуальных чисел определена операция сопряжения, которая одновременно является и алгебраическим и скалярным сопряжением. Сопряжение определяется также, как для комплексных и двойных чисел:

a = (a1, a2) → a* = (a1, –a2)

Произведение дуального числа на сопряженное ему дает дуальное число, имеющее ненулевой только действительную часть. Это число называется квадратом модуля. Модуль существует для любого дуального числа:

(4.8)

 

Модуль дуального числа обладает свойством мультипликативности - модуль произведения чисел равен произведению их модулей:

|ab| = |a||b|

Для дуальных чисел дополнительно алгебраическому, скалярному и векторному сопряжениям, определено дуальное сопряжение. Для дуальных чисел дуальное сопряжение совпадает по форме с алгебраическим.

Таким образом, модуль существует для любого дуального числа.

5.4     Формула Эйлера

К основному соотношению в функциональном анализе гиперкомплексных чисел относят аналог уравнений Эйлера. Используя это уравнение, гиперкомплексное число можно представить в экспоненциальном и тригонометрическом формах (см. далее). Можно считать, что это разновидность алгебраической формы гиперкомплексных чисел. Для этого используется аналог уравнения Эйлера:

где x – гиперкомплексная переменная.

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

(4.11)

 

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

При использовании дуальных чисел в качестве операторов преобразования пространства при a = 0 эквивалентно сдвигу пространства на величину r:

(4.9)

 
eεr = ea · (a + εb) = (1 + εr) (a + εb) = a + ε(ra + b)

5.5     Функции и дифференциал функции

Будем следовать классическому определению функции как закону отображения области определения в область значений. В случае, если областью определения и областью значений является область дуальных чисел, функцию можно представить покомпонентно:

(4.10)

 

где f1 и f2 - две вещественные функции двух аргументов.

Для дифференциала функции дуального аргумента также используем классическое определение дифференциала как разность значений функции до и после приращения аргумента:

(4.12)

 

где xгиперкомплексная переменная.

5.6     Дифференцирование

Дуальные числа позволяют автоматически производить дифференцирование функций. Рассмотрим для начала вещественный многочлен вида P(x) = p0 + p1x + p2x2 + … + pnxn. Естественно продолжить его область определения с вещественных чисел на дуальные числа. Несложно убедиться, что при этом P(a) = P(a + εb)  = P(a) + bP'(a)ε, где P' — производная многочлена P по x. После этого оказывается естественным продолжить область определения всех трансцендентных функций на плоскость дуальных чисел по правилу f(a + εb)  = f(a) + bf'(a)ε, где f' — производная функции f.

В общем случае функции от дуальных переменных определяются своим разложением в ряд Тейлора, например, для z = x +ey:

(4.13)

 
,

в котором в силу свойств дуальной единицы ε2 = 0 обращаются в ноль члены второго и более высокого порядков.

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций. Можно провести аналогию между дуальными числами и нестандартным анализом бесконечно малых и бесконечно больших. Обратим внимание на форму классического определения производной функции:

(4.14)

 

Зададимся вопросом - можно ли составить аналогичный оператор для функций дуального переменного? Распишем выражение для производной покомпонентно:

(4.15)

 
f' = g = af

g0 = a0f0 +0f1

g1 = a0f1 + a1f0

Сопоставив с уравнениями Коши-Римана, получим равенство:

(4.16)

 

Таким образом, составной оператор дифференцирования функции дуального переменного f' = Ñf имеет вид:

(4.17)

 

 

Как и следовало ожидать, подтверждается тот факт, что функция дуального переменного полностью определяется функцией от главной части переменной:

что в силу условий Коши-Римана равно:

(4.18)

 

Операция дифференцирования в области функций дуальных чисел полностью определяется функцией от главной части переменной. Этот факт объясняется тем, что для составления полного оператора дифференцирования следует использовать различные виды дифференцирования - как по переменной, так и по сопряженной переменной. В случае же дуальных чисел сопряженные числа различаются с числами только с точки зрения алгебраических операций. Операция же дифференцирования в области функций дуальных чисел такого сопряжения не различает.

5.7     Аналог уравнений Коши-Римана.

В теории функций комплексного переменного особую важность имеют аналитические функции, для которых предел отношения приращения функции к приращению аргумента не зависит от отношения мнимой и действительной частей приращения аргумента. Что на комплексной плоскости иллюстрируется независимостью производной от направления приращения аргумента. Обозначив производную функции f как f’, получим:

(4.19)

 
df = f' ∙ dz.

В теории конформных отображений этот факт может быть трактован геометрически - угол между направлением приращения функции и направлением приращения аргумента зависит только от точки, в которой взята производная.

Рассмотрим аналогичное требование для случая гиперкомплексного переменного и посмотрим, что из этого получится:

(4.20)

 

Для дуальных чисел имеем

.

Подставляя это значение в формулу (4.20), имеем:

.

Чтобы удовлетворить поставленному ограничению, следует положить равными нулю множители перед dx2/dx1 . Тогда получим:

(4.21)

 

 

Эти соотношения и есть аналог уравнений Коши-Римана для функций дуального переменного. Из первого из этих соотношений вытекает, что функция f1 есть функция только переменной x1:

(4.22)

 
f1(x1, x2) =f1(x1).

А из второго - выражение для f1 :

(4.23)

 
f2(x1, x2) = x2f1(x1),

где f1(x1)- некоторая функция только одного переменного  x1.

Таким образом, общее выражение функции дуального переменного x = x1 + ix2, удовлетворяющее независимости производной от направления приращения аргумента, будет иметь вид:

(4.24)

 
.

 

Ссылка на этот материал: gipyerchisla_razmyernosti_2.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "пятьдесят" to erect in degree "ноль" equally:

---Load files---
Сегодня - 14_12_2019
Время переоткрытия сайта 05 ч 59 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:2 V:3 N:40
Уникальных посетителей за текущие сутки: 2 Просмотров: 3 Этой страницы (всего): 40