-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: December 05 2017. -------
Ссылка на этот материал: gipyerchisla_razmyernosti_4.htm)
Составные числа размеоности 4

1      Составные числа размерностью 4

Использованы материалы из свободных энциклопедии Википедии и http://dic.academic.ru,

а также с интернет-сайта Каратаева  http://karataev.nm.ru:

http://karataev.nm.ru/hipclass/file4.html (бикомплексные числа),

http://karataev.nm.ru/hipclass/file8.html (кватернионы).

http://karataev.nm.ru/hipclass/file10.html (гиперкомплексные числа),

http://karataev.nm.ru/hipclass/file5.html (дуальные компл.числа),

http://karataev.nm.ru/hipclass/file7.html (дуальные двойные числа)).

2      Базовая таблица умножения

Существует единственная с точностью до знаков и перестановок строк и столбцов таблица умножения не дуальных гиперкомплексных чисел размерности 4:

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

Замечание. Здесь (и далее) значения 1, 2, 3 и 4 соответствуют индексам гиперкомплексных мнимых единиц: 1 ~ e0, 2 ~ e1, 3 ~ e2, 4 ~ e3.

Эта таблица умножения является базовой всех таблиц умножения всех гиперкомплексных чисел размерности 4. Составные числа размерности 4 являются гиперквадратными числами размерности 4. Представленная таблица ассоциативна, коммутативна. Все единицы (вещественная и мнимые) абсолютно равноправны: при любой замене единиц таблица умножения не изменяется.

Таблица умножения этого гиперболического числа в точности соответствует таблице умножения четверной группы Клейна и играет важную роль в высшей алгебре. Была введена в математику Феликсом Клейном в 1884 г.

3      Гиперчисла размерности 4

Другие таблицы умножения гиперчисел размерности 4 получаются из таблицы умножения гиперболического числа размерности 4 как базового путем расстановки знаков + и – или значения 0 в соответствующей ячейке таблицы.

1

2

3

4

®

1

2

3

4

2

1

4

3

2

±1,0

±4,0

±3,0

3

4

1

2

3

±4,0

±1,0

±2,0

4

3

2

1

4

±3,0

±2,0

±1,0

Всего без учета эквивалентных имеется 23∙3 = 512 не дуальных таблиц умножения. С учетом дуальных без учета эквивалентных имеется значительно больше - 33∙3 = 19683 таблиц умножения. Но интерес представляют только некоторые из них. Среди них все, полученные методами удвоения (в т.ч. дуального) из гиперкомплексных чисел размерности 2. Среди них особо выделяются кватернионы, числа Клиффорда, гипердвойные и дуальные числа от них. С учетом эквивалентных методом удвоения можно получить шесть таблиц умножения и четыре дуальных.

Есть следующие общие способы представления гиперчисел размерности 4 (см. далее):

·         формально как алгебраическую сумму вещественного и мнимых чисел a + bi + cj + dk,

·         4-векторное  (a0, a1, a2, a3) или (a, b, c, d),

·         скалярно-векторное, представляющий собой пару ,

·         бикомплексное число (z1, jz2), если число получено методом удвоения,

где ai, a, b, c, d — вещественные числа (или скаляр),

i, j, k — индексы мнимых единиц  или сами мнимые единицы,

 - вектор трёхмерного пространства,

zi – базовые гиперчисла при получении чисел методом удвоения.

В частных случаях ассоциативных алгебр возможно матричное или тензорное  (числа Клиффорда) представления гиперчисла. В частности, матричное представление для кватерниона:

\begin{pmatrix}
 a & -b    & -c     & -d \\ 
 b & \;\;a & -d     & \;\; c \\
 c & \;\;d & \;\; a & -b \\
 d & -c    & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}.,

4      Таблицы умножения, полученные методом удвоения

Некоторые из этих таблиц могут быть получены методом удвоения из гиперкомплексных чисел размерности 2 с общей формулой:

1

i

j

k

i

γi

k

αj

j

αk

γj

α(γj)i

k

α(γi)j

(γj)i

αγiγj

Здесь γi Î {±1,0} – знак квадрата соответствующей единицы,

α Î {±1,0} – коммутативность/антикоммутативность мнимой единицы j удвоения алгебры.

Построим эту таблицу для гиперкомплексных чисел с двумя главными мнимыми единицами. Пусть z1 , z2 - произвольные гиперкомплексные числа с мнимой единицей i, а j - некоторый новый символ (объект), удовлетворяющий условию j2 = δ, где δ Î {±1, 0}, коммутирующий с действительными числами при умножении, а при умножении на символ i справа антикоммутирующий с ним (ji = -ij), или коммутирующий (ji = ij), или вырожденный (ji = 0), то есть ji = αij, где α Î {±1, 0}. Рассмотрим множество чисел вида u = z1 + z2j.

Так как z1 = a + bi, z2 = c + di, то u = a + bi + ci + dij. Произведение ij представляет собой математический объект с новыми свойствами. Обозначим ij = k. Тогда

u = a + bi + cj + dk.

Для числа u символы i, j, k называются мнимыми единицами, причем i, j называются главными. В данном случае всевозможные произведения символов друг на друга не задаются, а находятся на основании свойств α, δ, ε. Эти произведения приведены в следующей таблице:

1

i

j

k

i

ε

k

εj

j

αk

δ

αδi

k

αεj

δi

αεδ

Из таблицы видно, что в случае α = 1 произведение любых двух из символов i, j, k является коммутативным, а в случае α = -1 произведения ij, ik, jk антикоммутативны, при α = 0 произведения ij, ik, jk не коммутативны. Используя таблицу, также можно показать, что в случаях α = 1 и a = -1 произведение любых трех символов i, j, k ассоциативно, то есть (ij)k = i(jk), а в случае α = 0 оно, вообще говоря, не ассоциативно. Например, (ji)k = αk·k = α2εδ, j(ik) =εj = εj2 = εδ, то есть (ji)k ≠ j(ik). Следовательно, в случаях α = 1 и α = -1 произведение любых трех гиперквадратных чисел обладает свойством ассоциативности, что не всегда имеет место в случае α = 0.

Базовые таблицы коммутативности и таблицы умножения не дуальных чисел в этом случае следующие. Их всего шесть (с точностью до замены i на j и обратно):

1) Таблица умножения кватернионов или бикомплексных чисел Клиффорда  размерности 2

2) Таблица умножения антикоммутативных гиперкомплексных чисел Клиффорда  размерности 2

3) Таблица умножения коммутативных бикомплексных чисел  размерности 2

-1

-1

 

aK

 

 

-1

-1

 

aK

 

 

-1

1

 

K

 

-1

-1

 

A

 

 

-1

1

 

A

 

 

1

-1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

1

-I

12

-2

 

 

1

-I

12

-2

 

 

1

-I

12

-2

 

2

-12

-I

1

 

 

2

-12

I

-1

 

 

2

12

-I

-1

 

12

2

-1

-I

 

 

12

2

1

I

 

 

12

-2

-1

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) Таблица умножения коммутативных гиперкомплексных чисел  размерности 2

5) Таблица умножения антикоммутативных гипергиперболических (гипердвойных) чисел Клиффорда  размерности 2 (эквивалентна 2-й таблице)

6) Таблица умножения коммутативных гипергиперболических (гипердвойных) чисел  размерности 2

-1

1

 

K

 

 

1

-1

 

aK

 

 

1

1

 

K

 

1

1

 

A

 

 

-1

1

 

A

 

 

1

1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

1

-I

12

-2

 

 

1

I

12

2

 

 

1

I

12

2

 

2

12

I

1

 

 

2

-12

I

-1

 

 

2

12

I

1

 

12

-2

1

-I

 

 

12

-2

1

-I

 

 

12

2

1

I

 

(Здесь (иногда далее) значения 1, 2, 12 соответствуют произведению гиперкомплексных единиц: 1 ~ e1, 2 ~ e2. Символ I соответствует e0, а также: верхняя левая таблица – расширенная таблица умножения базисных единиц {i, j}: i2 = -1 – стандартно для мнимой единицы, i2 = +1 – специальный случай для мнимой единицы,ij = -1 – произведение разных мнимых единиц антикоммутативно, ij = +1 – произведение разных мнимых единиц коммутативно, слева визу – таблица умножения в смешанных мнимых единицах {1, 2, 12}.

Среди них три коммутативных (K), три антикоммутативных (aK) таблицы умножения. И все они ассоциативны (A). Таблицы 1, 2 и 5 к тому же являются числами Клиффорда. Но здесь 2-я и 5-я таблицы изоморфны при замене (1↔12). Таким образом, остается только 5 самостоятельных таблицы умножения.

Из гиперкомплексных чисел размерности 1 методом Кэли-Диксона можно получить две таблицы умножения. Первая из этих таблиц изоморфна первой (кватернионам) из приведенных выше, вторая таблица изоморфна второй таблице из этой же группы таблиц после замены (2↔12):

1) Таблица умножения комплексных чисел Кэли-Диксона  (получена из комплексных чисел удвоением Кэли-Диксона )

2)Таблица умножения гиперболических чисел Кэли-Диксона (получена из двойных чисел удвоением Кэли-Диксона )

-1

 

aK

 

 

1

 

aK

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

I

1

2

12

1

-I

12

-2

 

1

I

12

2

2

-12

-I

1

 

2

-12

-I

1

12

2

-1

-I

 

12

-2

-1

I

Из гиперкомплексных чисел размерности 1 методом Грассмана-Клиффорда можно получить четыре таблицы умножения. Применяя метод Грассмана-Клиффорда к двойному числу, получим при коммутативной и антикоммутативной комплексной единице j две таблицы умножения, причем первая таблица изоморфна 4-й таблице, вторая таблица изоморфна пятой из первой группы таблиц. Применяя этот же метод к комплексному числу, получим при коммутативной и антикоммутативной комплексной единице j две таблицы умножения, причем первый случай изоморфен 1-й таблице, вторая таблица изоморфна 4-й из первой группы таблиц.

Таким образом, всего имеется 5 таблиц умножения, получаемых методом удвоения. Таблиц умножения, полученных произвольной расстановкой знаков "+" и "-", гораздо больше.

5      Дуальные таблицы умножения

Имеется 4 стандартных дуальных таблиц умножения, получаемых методом удвоения. Среди них две коммутативные и две антикоммутативные таблицы. И все они ассоциативные:

Таблица умножения дуальных

(-)комплексных чисел Клиффорда  размерности 2

Таблица умножения дуальных (+)комплексных чисел  размерности 2

Таблица умножения дуальных (-)двойных чисел Клиффорда  размерности 2

Таблица умножения дуальных (+)двойных чисел  размерности 2

-1

-1

 

aK

 

-1

1

 

K

 

1

-1

 

aK

 

1

1

 

K

 

-1

0

 

A

 

1

0

 

A

 

-1

0

 

A

 

1

0

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

I

1

2

12

 

I

1

2

12

 

I

1

2

12

 

1

-I

12

-2

 

1

-I

12

-2

 

1

I

12

2

 

1

I

12

2

 

2

-12

0

0

 

2

12

0

0

 

2

-12

0

0

 

2

12

0

0

 

12

2

0

0

 

12

-2

0

0

 

12

-2

0

0

 

12

2

0

0

 

Выше новая мнимая единица, получаемая умножением i на j, обозначена через k. Но можно не вводить новые обозначения для новых мнимых единиц, при этом старые единицы обозначать через ei: i Î {0, 1, ..., n-1} новую базовую единицу обозначить через ej: j = n а новые мнимые единицы, получаемые как произведение старых мнимых единиц на новую, обозначать как eij. Если этот принцип обозначения ввести с первого шага, то получим множество мнимых единиц вида  eij..k: i, j, …, k Î {0, 1, ..., n}, где n – базовая размерность гиперкомплексного числа.

Удвоение Грассмана-Клиффорда и Кэли-Диксона с дуальным числом новых таблиц умножения не дают.

6      Кватернионы

(Использован материал из Википедии — свободной энциклопедии).

Система кватернионов была предложена Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1813 году. На мосту Брум Бридж в Дублине имеется памятная табличка: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877), что расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[7] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

Кватернионы – это вид гиперкомплексных чисел, отличаются от комплексных чисел тем, что у них имеется в добавок к вещественному параметру целых три комплексных параметра – i, j, k. Геометрически в одном из представлений они дают векторы и их вращение в 3–мерном пространстве.

Кватернионы (таблица 1 из п.2) могут быть получены и в результате удвоения Кэли-Диксона от комплексных чисел. Пусть U = C. Тогда U' - множество чисел вида z1 + z2j, где z1 , z2 Î C и j = e. Так как z1 = a + bi, z2 = c + di, то u = a + bi + cj + dk, где k = ij. На основании формулы умножения чисел при удвоении можно показать, что символы i, j, k перемножаются согласно таблицы умножения кватернионов. Таблица умножения в форме составных чисел и независимых чисел для нее следующая:

Таблица умножения бигиперкомплексных чисел Клиффорда  размерности 2

 

-1

-1

 

aK

 

 

 

 

 

-1

-1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

1

2

3

4

1

-I

12

-2

 

2

-1

4

-3

2

-12

-I

1

 

3

-4

-1

2

12

2

-1

-I

 

4

3

-2

-1

Эта таблица ассоциативна и антикоммутативна. В этих таблицах явно видна квадратная циклическая структура размерностей  2.

Как алгебра над \scriptstyle\Bbb R, кватернионы образуют вещественное векторное пространство \scriptstyle\Bbb H, снабжённое тензором третьего ранга S типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, S отображает каждую 1-форму t на \scriptstyle\Bbb H и пару векторов (a, b) из \scriptstyle\Bbb Hв вещественное число S(t, a, b). Для любой фиксированной 1-формы t S превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на \scriptstyle\Bbb H. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-) евклидовой метрикой на \scriptstyle\Bbb H. В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы t, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского [8]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[9] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[10].

Операции сложения в векторном виде определены следующим образом:

\left(a, \vec{u} \right)+ \left(b , \vec{v}\right)= \left(a + b , \vec{u} + \vec{v}\right)

Произведение определяется следующим образом:

\left(a, \vec{u}\right)\left(b, \vec{v}\right)= \left(ab - \vec{u}\cdot\vec{v}, a\vec{v} + b\vec{u} + \vec{u}\times\vec{v}\right)

Произведение должно быть дистрибутивно и

\left(a, 0\right)\left(0, \vec{v}\right)=\left(0, \vec{v}\right)\left(a, 0 \right)= \left(0, a\vec{v}\right)

\left(a, 0\right)\left(b, 0\right)=\left(ab, 0\right)\,

\left(0, \vec{u} \right)\left(0, \vec{v}\right)= \left( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v}\right)

где · обозначает скалярное произведение, а  — векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт например, ij = k, а ji = -k..

Алгебраическая таблица умножения кватернионов с базисом (1, i, j, k) задается таблицей:

1

i

j

k

i

-1

k

-j

j

-k

-1

i

k

j

-i

-1

Из таблицы видно, что произведение любых двух разных мнимых параметров g1, g2 дает третий параметр g3, причем знак будет зависеть от их ориентации (четности перестановки "g1g2g3"). Как следствие, gigj + gjgi = 0, что означает антикоммутативность этой алгебры относительно произведения мнимых составляющих чисел. Кроме этого, основные свойства аналогичны свойствам комплексных чисел.

Кватернионы не коммутативны по умножению, как и матрица вращения: qq' не равно q'q (это свойство вращений, а не их представления).

6.1      Связанные определения

Кроме стандартного умножения кватернионов, которое называется умножением Грассмана, имеются и другие виды умножений.

Евклидово умножение - отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: \bar p q. Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение (inner product) - аналогично одноимённой операции для векторов:

 
p \cdot q = \frac{\bar p q + \bar q p}{2}
.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например,

\left(a + bi + cj + dk\right) \cdot i = b
.

Определение модуля кватерниона (см. далее) можно видоизменить:

 \left|p \right| = \sqrt{p \cdot p} .

Скалярное произведение полезно тем, что дает косинус половины угла между двумя кватернионами умноженную на их длину. Соответственно скалярное произведение двух единичных кватернионов даст косинус половины угла между двумя ориентациями. Угол между кватернионами это угол поворота из q  в  q' (по кратчайшей дуге).

Внешнее произведение

	
\operatorname {Outer}\left(p, q\right) = \frac {\bar p q - \bar q p} {2}
.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

 
p \times q = \frac{pq - qp}{2}.

Для кватерниона

\,q=a+bi+cj+dk

кватернион a называется скалярной частью q, а кватернион u = bi + cj + dk - векторной частью. Если u = 0, то кватернион называется чисто скалярным, а при a = 0 - чисто векторным.

Кватернион u = a - bi - cj - dk называется сопряжённым (conjugate) к q. Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

\overline {pq} = 
\bar q
\bar p

Для кватернионов справедливо равенство

\overline {p} =-\frac 12 (p+ipi+jpj+kpk)

Тождественный кватернион записывается как q = (1, 0, 0, 0). Он описывает нулевой поворот (по аналогии с единичной матрицей), и не изменяет другой кватернион при умножении.

Следует различать (а путают их часто) две операции – норма и модуль:

Норма (norm)

||q|| = a2 + b2 + c2 + d2.

Модуль (magnitude) (или как иногда говорят "длина") кватерниона:

.

Так же, как и для комплексных чисел,

 \left|q \right| =\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}

Если |q| =1, то q называется единичным кватернионом.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что |p·q| = |p|·|q|, иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Инверсный (inverse) кватернион, обратный по умножению к q, вычисляется так:

q^{-1} = 
\frac 
{\bar q}
{\left|q \right| ^ 2}
.

Довольно часто качестве нормы кватерниона все же рассматривают его модуль: ||q|| = |q|. Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное \R^4 с евклидовой метрикой. Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Целыми принято называть кватернионы a + bi + cj + dk такие, что все 2a,2b,2c,2dцелые и одинаковой чётности. Целые кватернионы могут быть чётными, нечётными, простыми, если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме 1, нацело (иными словами, \gcd \left(2a, 2b, 2c, 2d \right) \le 2
).

Существует 24 целых единичных кватерниона:

\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k, \frac 
{
\pm 1 
\pm i
\pm j
\pm k
}
{2}
.

Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра.

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, позволяющий разложить целый кватернион на простые сомножители.

Вращение вектора v кватернионом q определяется через соотношение v'q–1 = qv по формуле

v' = qvq–1,

причем вектор конвертируется в кватернион как

q = [0, x, y, z],

и кватернион обратно в вектор как

v = [x, y, z].

6.2      Алгебраические свойства

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

 
Q_8 = 
\left\{
\pm 1, 
\pm i, 
\pm j, 
\pm k
\right\}
.

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще  \mathbb R,  \mathbb C,  \mathbb H являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение q2 + 1 = 0 имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

6.3      Представления кватернионов

Представление кватернионов можно определить разными способами (см. далее):

·         формально как алгебраическую сумму вещественного и мнимых чисел a + bi + cj + dk,

·         4-векторное  (a0, a1, a2, a3) или (a, b, c, d),

·         скалярно-векторное (см. выше), представляющий собой пару ,

·         бикомплексное число (z1, jz2),

·         матрица из действительных чисел:

\begin{pmatrix}
 a & -b    & -c     & -d \\ 
 b & \;\;a & -d     & \;\; c \\
 c & \;\;d & \;\; a & -b \\
 d & -c    & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}.,

·         или комплексных чисел:

u ~

z1

z2

=

a + bi

c + di

 

c + di

abi

,

·         как число Клиффорда базовой размерности 2,

где ai, a, b, c, d — вещественные числа (или скаляр),

 - вектор трёхмерного пространства,

zi – комплексные числа.,

i, j, k — мнимые единицы со свойством: i2 = j2 = k2 = ijk = − 1.

6.3.1        Бикомплексное число

Формально кватернионы K можно считать бикомплексными числами C + C'j, где C и C' являются комплексными числами:

K = (a + bi ) + (a' + b'i)j.

Разберем это число:

(a + bi) + (a' + b'i)j = (a + bi + a'j + b'ij) = (a + bi + a'j + b'k).

При этом ij = k.

В результате получили число с четырьмя свободными коэффициентами: с одним вещественным и тремя мнимыми множителями i, j и ij = k. Это число также можно разложить как бикомплексное число и по другим мнимым базисным парам, например:

K = (a + b'j) + k(a' + bj)

С этой точки зрения все мнимые базисные элементы равноправны. При этом мы не затрагивали таблицу умножения этих мнимых чисел.

6.3.2        Вещественная матрица

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

\begin{pmatrix}
 a & -b    & -c     & -d \\ 
 b & \;\;a & -d     & \;\; c \\
 c & \;\;d & \;\; a & -b \\
 d & -c    & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}.

При такой записи сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица: \bar q \mapsto 
Q ^ T
;

четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

\left|q \right| ^ 4 =
\det Q
.

6.3.3        Комплексная матрица

Кватернионы также можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой. Для кватерниона u = a + bi + cj + dk = ai0 + bi1 + ci2 + di3 возьмем

i0 =

1

0

, i1 =

i

0

, i2 =

0

1

, i3 =

0

i

0

1

0

i

–1

0

i

0

где i Î C. Матрицы i0 и i1 , i2 , i3 обладают всеми свойствами числа 1 и мнимых единиц i, j, k Тогда матричное представление кватерниона u = z1 + z2e имеет вид

u ~

z1

z2

=

a + bi

c + di

c + di

abi

где  и обозначают комплексно-сопряжённые числа к z1 и z2. Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

комплексному числу соответствует диагональная матрица;

сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

\bar q \mapsto 
\bar Q ^ T
;

квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

\left|q \right| ^ 2 =
\det Q
.

6.3.4        Число Клиффорда

Кватернионы могут быть представлены как подгруппа чисел Клиффорда K3 или как часть чисел Клиффорда K4, в которую не входит четвертый базисный элемент:

{1, i, j, k} ~ {1, g12, g23, g31 }

6.4      Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над \scriptstyle\Bbb R, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно \,0может быть записан в виде q\mapsto \xi q \zeta, где \,\xi и \,\zeta — пара единичных кватернионов, при этом пара \,\left(\xi,\zeta\right) определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — \,\left(\xi,\zeta\right) и \,\left(-\xi,-\zeta\right). Из этого следует, что группа Ли SO(\scriptstyle\Bbb R, 4) поворотов \R^4есть факторгруппа S^3\times S^3/\Z_2, где \,S^3обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно \,0может быть записан в виде u\mapsto \xi u \bar\xi, где \,\xi  — некоторый единичный кватернион. Соответственно, SO(\scriptstyle\Bbb R, 3) = S3/Z2, в частности, SO(\scriptstyle\Bbb R, 3) диффеоморфно \R \mathrm{P}^3.

6.5      Функции кватернионного переменного

Знак кватерниона вычисляется так:

\operatorname {sgn}\, q =
\frac {q} {\left|q \right|}
.

Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

\arg q =
\arccos
\frac 
{a}
{\left|q \right|}
.

Степень и логарифм

На множестве кватернионов можно определить показательную и логарифмическую функции. Это можно сделать, так как кватернионы образуют алгебру с делением.

 
\exp q 
= 
\exp a
\left(
\cos \left|u \right| 
+
\operatorname {sgn}\, u
\sin \left|u \right| 
\right)

 
\ln q 
= 
\ln \left|q \right| 
+ 
\operatorname {sgn}\, u 
\arg q

 
p^q = \exp \left(\left(\ln p\right) q\right)

Тригонометрические функции

 
\sin q 
= 
\sin a \,
\operatorname {ch} \left|u \right| 
+
\cos a \,
\operatorname {sgn}\, u \,
\operatorname {sh} \left|u \right|

 
\cos q 
= 
\cos a \,
\operatorname {ch} \left|u \right| 
-
\sin a \,
\operatorname {sgn}\, u \,
\operatorname {sh} \left|u \right|

 
\operatorname {tg}\, q 
= 
\frac 
{\sin q} 
{\cos q}

Регулярные функции

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию f как имеющую предел

\frac{df}{dq} = \lim_{h \to 0} \left[ h^{-1}\left(f\left(q+h\right) - f\left(q\right)\right) \right]

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки q вид

f = a + qb

где a,b — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

\frac{\partial}{\partial \bar q} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}

\frac{\partial}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial t} - \vec i \frac{\partial}{\partial x} - \vec j \frac{\partial}{\partial y} - \vec k \frac{\partial}{\partial z}

и рассмотрении таких кватернионных функций f, для которых

\frac{\partial f}{\partial \bar q} = 0

что полностью аналогично использованию операторов \frac{\partial}{\partial \bar z} и \frac{\partial}{\partial z} в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[5].

Производная Гато функции кватернионного переменного определена согласно формуле

\partial f(x)(a)=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))

Производная Гато является аддитивным отображением приращения аргумента и может быть представлена в виде[6]

\partial f(x)(dx)=
\frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}
dx
\frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}

Здесь предполагается суммирование по индексу s. Число слагаемых зависит от выбора функции f. Выражения \frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}и \frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}называются компонентами производной.

Выражение \frac{{}_{(s)p}\partial f(x)}{\partial x} не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложено для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.

Литература, информация.

Кватернионы и вращение пространства

Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)

Теорема Фробениуса

John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Проверено 7 февраля 2009.

R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.

A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.

А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.

Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.

Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.

Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, — Квант, N9, 1983.

Martin John Baker EuclideanSpace.com — применение кватернионов в 3D графике.

6.6      Дополнение

Кватернионы можно получить методом удвоения Кэли алгебры комплексных чисел, где квадрат новой мнимой единицы должен быть равен единице (j2 = -1). При этом ij = k, (ij)2 = -1.

Для кватернионов можно составить аналог формулы Эйлера, представляющая собой операцию возведения действительного числа в степень кватернион.

ea + Iq = ea · [cos(φ) + I/φ · sin(φ)],

где I = ia1 + ja2 + ka3 мнимая часть кватерниона, - модуль мнимой части.

Если a = 0, то умножение кватерниона на такое число эквивалентно трехмерному пространственному повороту вектора вокруг заданного направления на угол  φ:

.

7      Бикомплексные числа

Бикомплексные числа (таблица 3 из п.2) можно получить методом удвоения Кэли алгебры комплексных чисел, где квадрат новой мнимой единицы должен быть равен минус единице (j2 = -1) с коммутативным законом умножения мнимых единиц, в отличие от кватернионов. При этом ij = k, (ij)2 = -1.

-1

1

 

K

1

-1

 

A

 

 

 

 

1

i

j

k

i

-1

k

-j

j

k

-1

-i

k

-j

-i

1

 

По сложению и умножению эти числа коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

Алгебра бикомплексных чисел, как и алгебра паракомплексных чисел, содержит делители нуля. Поэтому не для любого бикомплексного числа может быть вычислено число, обратное ему. Как и для паракомплексных чисел, делители нуля в бикомплексных числах образуют два подмножества:

,

где a - бикомплексное число. И, также как для паракомплексных чисел, бикомплексное число может быть представлено в виде линейной комбинации делителей нуля:

,

где a и b - бикомплексные числа.

Операция деления бикомплексного числа на бикомплексное число определена так же как и для комплексных чисел: операция деления определена как операция, обратная операции умножения. Если , то q является решением уравнения qq2 = q1. Решим это уравнение, домножив левую и правую часть на и разделив обе части на квадрат модуля. Получим, что

Отметим, что эта формула накладывает естественное ограничение на делитель - он не должен быть делителем нуля.

Для бикомплексных чисел существует три вида сопряжения – алгебраическое, скалярное и векторное. Применение сопряжений перестановочно, т.е. не зависит от порядка применения к исходному числу. Четное применение сопряжений одного вида не изменяет результата.

Для образования скалярно сопряженного числа (по отношению к коммутативной мнимой единице j, используется знак ') следует сменить знаки у компонент, в образовании которых использовалась мнимая единица базы удвоения Кэли:

(a + ib + jc + kd)' = (a + ib - jc - kd).

Для образования векторно сопряженного числа (по отношению к не коммутативной мнимой единице i, используется знак ~) следует сменить знаки у компонент, в образовании которых не использовалась мнимая единица базы удвоения Кэли:

(a + ib + jc + kd)~ = (a - ib + jc - kd).

Для образования алгебраически сопряженного числа следует решить уравнение вида:

a · a* = M2.

8      Гиперкомплексные числа

Гиперкомплексные числа (таблица 4 из п.2) можно получить методом удвоения Кэли алгебры комплексных чисел, где квадрат новой мнимой единицы должен быть равен единице (j2 = 1) с коммутативным законом умножения мнимых единиц, в отличие от кватернионов. При этом ij = k, (ij)2 = -1.

 

-1

1

 

K

1

1

 

A

 

 

 

 

I

1

2

12

1

-I

12

-2

2

12

I

1

12

-2

1

-I

По сложению и умножению эти числа коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

9      Гиперкомплексные (бигиперболические) числа

Применяя метод Грассмана-Клиффорда к двойному числу, получим (см. таблицы 2 из п.2 с точностью до перестановок) при антикоммутативной комплексной единице j следующие ассоциативные таблицы умножений:

1

i

j

k

i

-1

-k

-j

j

k

1

i

k

j

-i

1

Тип коммутативности мнимой единицы j наследуется новой мнимой единицей k.

Ссылка на этот материал: gipyerchisla_razmyernosti_4.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин:      Введите эл.адрес:

Введите пароль:    Ваш телефон:        

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 69 to erect in degree "один" equally:

---Load files---
Сегодня - 06_12_2019
Время переоткрытия сайта 14 ч 02 м по Гр.
Календарь
на ДЕКАБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 1 2 3 4 5
(12 031)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:6 V:8 N:62
Уникальных посетителей за текущие сутки: 6 Просмотров: 8 Этой страницы (всего): 62