Из восьми базисных элементов имеется не более 18905 (не оптимизировано) таблиц умножения. Среди
них 73 с различной степенью ассоциативности, 13 коммутативных. Перечислим
возможные типы цикличности: (2,2,2,2), (2,2,4), (2,3,3), (2,6). Имеется одна
единственная ассоциативная и одновременно коммутативная таблица,
соответствующая гипер3болическим числам, с циклом (2,2,2,2). Эта
таблица является основой для таблиц умножения гиперкомплексных чисел порядка 8:
октав, (октонионов, чисел Кэли и др.), бикватернионов и других. Таблица умножения
для нее имеет вид:
|
1
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
A
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
343
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
0
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
0
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
0
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
3
|
4
|
1
|
2
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
Здесь (и далее) значения 1, 2, … 8 соответствуют
индексам гиперкомплексных единиц: 1 ~ e0, 2 ~ e1, … 8 ~ e7.
Кроме представленной выше ассоциативно-коммутативной
таблицы, существует достаточно много не ассоциативных (точнее, слабо
ассоциативных), но коммутативных таблиц умножения, с различными вариациями цикличности.
Их всего 13 штук. Вот все ассоциативно-коммутативные таблицы (получены
численным методом с оптимизацией алгоритма поиска таблиц умножения):
1) с вариациями цикличности (2+2+2+2).
|
1
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
3
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
A
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
343
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
0
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
33
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
33
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
0
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
0
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
4
|
3
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
3
|
2
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
3
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
3
|
1
|
4
|
2
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
3
|
4
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
4
|
3
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
2
|
4
|
1
|
3
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
3
|
4
|
2
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
2
|
3
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
5
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
6
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
199
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
199
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
25
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
25
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
33
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
25
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
3
|
4
|
2
|
|
25
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
4
|
2
|
3
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
4
|
3
|
2
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
3
|
1
|
2
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
4
|
1
|
3
|
2
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
4
|
1
|
2
|
3
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
4
|
2
|
1
|
3
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
2
|
3
|
1
|
4
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
3
|
2
|
1
|
4
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
2
|
4
|
3
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
3
|
2
|
4
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
2
|
3
|
4
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
8
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
9
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
175
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
175
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
33
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
6
|
5
|
|
21
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
6
|
5
|
|
21
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
5
|
6
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
5
|
6
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
5
|
6
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
4
|
3
|
|
21
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
3
|
2
|
4
|
|
21
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
3
|
4
|
2
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
3
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
3
|
1
|
4
|
2
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
3
|
1
|
2
|
4
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
4
|
3
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
2
|
4
|
1
|
3
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
4
|
2
|
1
|
3
|
|
|
8
|
7
|
5
|
6
|
3
|
4
|
2
|
1
|
|
|
8
|
7
|
5
|
6
|
4
|
2
|
3
|
1
|
|
|
8
|
7
|
5
|
6
|
2
|
4
|
3
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
11
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
175
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
6
|
5
|
|
21
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
6
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
5
|
6
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
5
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
4
|
2
|
3
|
|
21
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
4
|
3
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
4
|
1
|
3
|
2
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
4
|
1
|
2
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
2
|
3
|
1
|
4
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
3
|
2
|
1
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
7
|
5
|
6
|
3
|
2
|
4
|
1
|
|
|
8
|
7
|
5
|
6
|
2
|
3
|
4
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) с вариациями цикличности (2+3+3):
Из них как базовых можно получить множество алгебр
размерности 8 путем произвольной расстановки знаков ± и значения 0 в ячейках
таблицы.
Не коммутативных, но слабо ассоциативных таблиц,
кроме представленных выше, имеется не более 60. В качестве примера представляю
некоторые из них:
|
2
|
13
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
3
|
13
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
4
|
13
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
Al
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Al
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Al
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
7
|
5
|
8
|
7
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
49
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
49
|
3
|
4
|
1
|
2
|
8
|
5
|
6
|
|
49
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
33
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
33
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
33
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
7
|
8
|
5
|
4
|
1
|
2
|
3
|
|
|
6
|
8
|
5
|
7
|
3
|
1
|
4
|
2
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
4
|
3
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
3
|
4
|
1
|
2
|
|
|
7
|
5
|
8
|
6
|
2
|
4
|
1
|
3
|
|
|
8
|
7
|
5
|
6
|
3
|
4
|
2
|
1
|
|
|
8
|
5
|
6
|
7
|
2
|
3
|
4
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
68
|
K
|
2
|
|
|
3
|
|
|
3
|
|
69
|
K
|
2
|
|
|
3
|
|
|
3
|
|
72
|
0
|
2
|
|
|
|
|
|
6
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
49
|
2
|
1
|
4
|
5
|
3
|
7
|
8
|
6
|
|
85
|
2
|
1
|
4
|
5
|
3
|
7
|
8
|
6
|
|
91
|
2
|
1
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
3
|
|
7
|
3
|
4
|
1
|
6
|
8
|
2
|
5
|
7
|
|
7
|
3
|
4
|
1
|
6
|
8
|
5
|
2
|
7
|
|
7
|
3
|
8
|
1
|
2
|
7
|
4
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
5
|
6
|
1
|
7
|
8
|
2
|
3
|
|
49
|
4
|
5
|
6
|
1
|
7
|
8
|
3
|
2
|
|
49
|
4
|
3
|
6
|
1
|
2
|
8
|
5
|
7
|
|
7
|
5
|
3
|
8
|
7
|
1
|
4
|
6
|
2
|
|
7
|
5
|
3
|
8
|
7
|
1
|
2
|
6
|
4
|
|
7
|
5
|
4
|
8
|
7
|
1
|
2
|
3
|
6
|
|
|
6
|
7
|
2
|
8
|
4
|
1
|
3
|
5
|
|
|
6
|
7
|
5
|
8
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
5
|
7
|
3
|
8
|
1
|
2
|
4
|
|
|
7
|
8
|
5
|
2
|
6
|
3
|
1
|
4
|
|
|
7
|
8
|
2
|
3
|
6
|
4
|
1
|
5
|
|
|
7
|
6
|
5
|
8
|
4
|
3
|
1
|
2
|
|
|
8
|
6
|
7
|
3
|
2
|
5
|
4
|
1
|
|
|
8
|
6
|
7
|
2
|
4
|
3
|
5
|
1
|
|
|
8
|
7
|
2
|
6
|
3
|
5
|
4
|
1
|
Все остальные таблицы умножения являются не
ассоциативными и не коммутативными. Вот примеры:
|
2
|
17
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
3
|
13
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
4
|
17
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Al
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
263
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
263
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
41
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
49
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
41
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
33
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
33
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
33
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
41
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
41
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
3
|
1
|
4
|
2
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
4
|
3
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
4
|
3
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
2
|
4
|
1
|
3
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
3
|
4
|
2
|
1
|
|
|
8
|
7
|
5
|
6
|
3
|
4
|
2
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
15533
|
7
|
2
|
|
2
|
|
|
|
4
|
|
15534
|
5
|
2
|
|
2
|
|
|
|
4
|
|
15535
|
14
|
2
|
|
2
|
|
|
|
4
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
127
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
7
|
8
|
5
|
|
101
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
7
|
8
|
5
|
|
134
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
7
|
8
|
5
|
|
19
|
3
|
4
|
1
|
2
|
8
|
5
|
6
|
7
|
|
15
|
3
|
4
|
1
|
2
|
8
|
5
|
6
|
7
|
|
19
|
3
|
4
|
1
|
2
|
8
|
5
|
6
|
7
|
|
19
|
4
|
3
|
5
|
1
|
7
|
8
|
2
|
6
|
|
19
|
4
|
3
|
5
|
1
|
7
|
8
|
2
|
6
|
|
24
|
4
|
3
|
5
|
1
|
7
|
8
|
2
|
6
|
|
21
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
4
|
3
|
|
21
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
4
|
3
|
|
23
|
5
|
6
|
8
|
7
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
3
|
4
|
|
|
6
|
8
|
2
|
7
|
3
|
1
|
5
|
4
|
|
|
6
|
5
|
7
|
8
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
3
|
4
|
1
|
2
|
|
|
7
|
5
|
8
|
6
|
4
|
3
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
6
|
5
|
3
|
4
|
1
|
2
|
|
|
8
|
7
|
2
|
6
|
4
|
3
|
5
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
2
|
4
|
3
|
1
|
|
|
8
|
7
|
2
|
6
|
4
|
3
|
5
|
1
|
|
17209
|
3
|
2
|
|
|
3
|
|
|
3
|
|
17210
|
3
|
2
|
|
|
3
|
|
|
3
|
|
17960
|
7
|
2
|
|
|
|
|
|
6
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
63
|
2
|
1
|
4
|
5
|
3
|
7
|
8
|
6
|
|
70
|
2
|
1
|
4
|
5
|
3
|
7
|
8
|
6
|
|
54
|
2
|
1
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
3
|
|
7
|
3
|
4
|
1
|
6
|
2
|
8
|
5
|
7
|
|
7
|
3
|
4
|
1
|
6
|
2
|
8
|
5
|
7
|
|
7
|
3
|
4
|
1
|
6
|
2
|
8
|
5
|
7
|
|
15
|
4
|
3
|
7
|
1
|
8
|
5
|
6
|
2
|
|
18
|
4
|
3
|
7
|
1
|
8
|
5
|
6
|
2
|
|
14
|
4
|
3
|
8
|
1
|
7
|
2
|
6
|
5
|
|
21
|
5
|
6
|
8
|
7
|
1
|
3
|
2
|
4
|
|
21
|
5
|
6
|
8
|
7
|
1
|
3
|
2
|
4
|
|
13
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
3
|
4
|
2
|
|
|
6
|
5
|
2
|
8
|
7
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
8
|
2
|
3
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
|
6
|
7
|
5
|
2
|
8
|
1
|
3
|
4
|
|
|
7
|
8
|
6
|
3
|
4
|
2
|
1
|
5
|
|
|
7
|
5
|
6
|
8
|
4
|
2
|
1
|
3
|
|
|
7
|
8
|
2
|
3
|
4
|
5
|
1
|
6
|
|
|
8
|
7
|
5
|
2
|
6
|
4
|
3
|
1
|
|
|
8
|
7
|
5
|
2
|
6
|
4
|
3
|
1
|
|
|
8
|
5
|
6
|
7
|
3
|
4
|
2
|
1
|
Среди таблиц умножения также достаточно много (903 –
не оптимизировано) таблиц умножения, состоящих из элементарных кластеров
размерностей 2n´2n. Все они отличаются
друг от друга только расположением мнимых единиц в элементарных кластерах, из
которых состоит основная таблица. Вот список минимальных представителей этих
таблиц умножения с кластерами размерностей 2´2, 4´4 и 8´8:
|
1
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
K
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
2
|
|
3
|
K
|
2
|
|
|
3
|
|
|
3
|
|
A
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
Am
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
343
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
247
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
49
|
2
|
1
|
4
|
5
|
3
|
7
|
8
|
6
|
|
0
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
33
|
3
|
4
|
1
|
2
|
7
|
8
|
5
|
6
|
|
7
|
3
|
4
|
1
|
6
|
8
|
2
|
5
|
7
|
|
0
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
|
49
|
4
|
5
|
6
|
1
|
7
|
8
|
2
|
3
|
|
0
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
33
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
3
|
2
|
4
|
|
7
|
5
|
3
|
8
|
7
|
1
|
4
|
6
|
2
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
2
|
1
|
4
|
3
|
|
|
6
|
5
|
8
|
7
|
3
|
1
|
4
|
2
|
|
|
6
|
7
|
2
|
8
|
4
|
1
|
3
|
5
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
3
|
4
|
1
|
2
|
|
|
7
|
8
|
5
|
6
|
2
|
4
|
1
|
3
|
|
|
7
|
8
|
5
|
2
|
6
|
3
|
1
|
4
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
2
|
3
|
1
|
|
|
8
|
6
|
7
|
3
|
2
|
5
|
4
|
1
|
Последнюю таблицу можно исключить в силу ее
тривиальности – любая таблица умножения размерности 8 состоит из одного
кластера размерности 8´8.
Наиболее важным из представленных таблиц умножения,
как было сказано выше, является первая таблица – ассоциативная и коммутативная
одновременно:
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
1
|
i
|
j
|
k
|
l
|
m
|
n
|
o
|
|
2
|
1
|
4
|
3
|
6
|
5
|
8
|
7
|
|
i
|
1
|
k
|
j
|
m
|
l
|
o
|
n
|
|
3
|
4
|
1
|
|
