-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: December 05 2017. -------
Ссылка на этот материал: gipyerchisla_razmyernosti_8.htm)
Составные гиперкомплексные числа размерности 8 восемь

1            Гиперкомплексные числа размерности 8

Из восьми базисных элементов имеется не более 18905  (не оптимизировано) таблиц умножения. Среди них 73 с различной степенью ассоциативности, 13 коммутативных. Перечислим возможные типы цикличности: (2,2,2,2), (2,2,4), (2,3,3), (2,6). Имеется одна единственная ассоциативная и одновременно коммутативная таблица, соответствующая гипер3болическим числам, с циклом (2,2,2,2). Эта таблица является основой для таблиц умножения гиперкомплексных чисел порядка 8: октав, (октонионов, чисел Кэли и др.), бикватернионов и других. Таблица умножения для нее имеет вид:

1

K

2

 

2

 

2

 

2

A

1

2

3

4

5

6

7

8

343

2

1

4

3

6

5

8

7

0

3

4

1

2

7

8

5

6

0

4

3

2

1

8

7

6

5

0

5

6

7

8

1

2

3

4

 

6

5

8

7

2

1

4

3

 

7

8

5

6

3

4

1

2

 

8

7

6

5

4

3

2

1

Здесь (и далее) значения 1, 2, … 8 соответствуют индексам гиперкомплексных единиц: 1 ~ e0, 2 ~ e1, … 8 ~ e7.

Кроме представленной выше ассоциативно-коммутативной таблицы, существует достаточно много не ассоциативных (точнее, слабо ассоциативных), но коммутативных таблиц умножения, с различными вариациями цикличности. Их всего 13 штук. Вот все ассоциативно-коммутативные таблицы (получены численным методом с оптимизацией алгоритма поиска таблиц умножения):

1) с вариациями цикличности (2+2+2+2).

 

1

K

2

 

2

 

2

 

2

 

2

K

2

 

2

 

2

 

2

 

3

K

2

 

2

 

2

 

2

A

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

343

2

1

4

3

6

5

8

7

 

247

2

1

4

3

6

5

8

7

 

247

2

1

4

3

6

5

8

7

0

3

4

1

2

7

8

5

6

 

33

3

4

1

2

7

8

5

6

 

33

3

4

1

2

7

8

5

6

0

4

3

2

1

8

7

6

5

 

49

4

3

2

1

8

7

6

5

 

49

4

3

2

1

8

7

6

5

0

5

6

7

8

1

2

3

4

 

33

5

6

7

8

1

2

4

3

 

33

5

6

7

8

1

3

2

4

 

6

5

8

7

2

1

4

3

 

 

6

5

8

7

2

1

3

4

 

 

6

5

8

7

3

1

4

2

 

7

8

5

6

3

4

1

2

 

 

7

8

5

6

4

3

1

2

 

 

7

8

5

6

2

4

1

3

 

8

7

6

5

4

3

2

1

 

 

8

7

6

5

3

4

2

1

 

 

8

7

6

5

4

2

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

K

2

 

2

 

2

 

2

 

5

K

2

 

2

 

2

 

2

 

6

K

2

 

2

 

2

 

2

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

199

2

1

4

3

6

5

8

7

 

199

2

1

4

3

6

5

8

7

 

247

2

1

4

3

6

5

8

7

25

3

4

1

2

7

8

5

6

 

25

3

4

1

2

7

8

5

6

 

33

3

4

1

2

7

8

5

6

49

4

3

2

1

8

7

6

5

 

49

4

3

2

1

8

7

6

5

 

49

4

3

2

1

8

7

6

5

25

5

6

7

8

1

3

4

2

 

25

5

6

7

8

1

4

2

3

 

33

5

6

7

8

1

4

3

2

 

6

5

8

7

3

1

2

4

 

 

6

5

8

7

4

1

3

2

 

 

6

5

8

7

4

1

2

3

 

7

8

5

6

4

2

1

3

 

 

7

8

5

6

2

3

1

4

 

 

7

8

5

6

3

2

1

4

 

8

7

6

5

2

4

3

1

 

 

8

7

6

5

3

2

4

1

 

 

8

7

6

5

2

3

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

K

2

 

2

 

2

 

2

 

8

K

2

 

2

 

2

 

2

 

9

K

2

 

2

 

2

 

2

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

247

2

1

4

3

6

5

8

7

 

175

2

1

4

3

6

5

8

7

 

175

2

1

4

3

6

5

8

7

33

3

4

1

2

7

8

6

5

 

21

3

4

1

2

7

8

6

5

 

21

3

4

1

2

7

8

6

5

49

4

3

2

1

8

7

5

6

 

49

4

3

2

1

8

7

5

6

 

49

4

3

2

1

8

7

5

6

33

5

6

7

8

1

2

4

3

 

21

5

6

7

8

1

3

2

4

 

21

5

6

7

8

1

3

4

2

 

6

5

8

7

2

1

3

4

 

 

6

5

8

7

3

1

4

2

 

 

6

5

8

7

3

1

2

4

 

7

8

6

5

4

3

1

2

 

 

7

8

6

5

2

4

1

3

 

 

7

8

6

5

4

2

1

3

 

8

7

5

6

3

4

2

1

 

 

8

7

5

6

4

2

3

1

 

 

8

7

5

6

2

4

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

K

2

 

2

 

2

 

2

 

11

K

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

175

2

1

4

3

6

5

8

7

 

175

2

1

4

3

6

5

8

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

3

4

1

2

7

8

6

5

 

21

3

4

1

2

7

8

6

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

4

3

2

1

8

7

5

6

 

49

4

3

2

1

8

7

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

5

6

7

8

1

4

2

3

 

21

5

6

7

8

1

4

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5

8

7

4

1

3

2

 

 

6

5

8

7

4

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

6

5

2

3

1

4

 

 

7

8

6

5

3

2

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

7

5

6

3

2

4

1

 

 

8

7

5

6

2

3

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) с вариациями цикличности (2+3+3):

Из них как базовых можно получить множество алгебр размерности 8 путем произвольной расстановки знаков ± и значения 0 в ячейках таблицы.

Не коммутативных, но слабо ассоциативных таблиц, кроме представленных выше, имеется не более 60. В качестве примера представляю некоторые из них:

2

13

2

 

2

 

2

 

2

 

3

13

2

 

2

 

2

 

2

 

4

13

2

 

2

 

2

 

2

Al

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Al

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Al

1

2

3

4

5

6

7

8

247

2

1

4

3

6

5

8

7

 

247

2

1

4

3

6

7

5

8

7

 

247

2

1

4

3

6

5

8

7

49

3

4

1

2

7

8

5

6

 

49

3

4

1

2

8

5

6

 

49

3

4

1

2

7

8

5

6

33

4

3

2

1

8

7

6

5

 

33

4

3

2

1

8

7

6

5

 

33

4

3

2

1

8

7

6

5

33

5

6

7

8

1

2

3

4

 

33

5

6

7

8

1

2

3

4

 

33

5

6

7

8

1

2

3

4

 

6

5

8

7

2

1

4

3

 

 

6

7

8

5

4

1

2

3

 

 

6

8

5

7

3

1

4

2

 

7

8

6

5

4

3

1

2

 

 

7

8

5

6

3

4

1

2

 

 

7

5

8

6

2

4

1

3

 

8

7

5

6

3

4

2

1

 

 

8

5

6

7

2

3

4

1

 

 

8

7

6

5

4

3

2

1

 

68

K

2

 

 

3

 

 

3

 

69

K

2

 

 

3

 

 

3

 

72

0

2

 

 

 

 

 

6

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

49

2

1

4

5

3

7

8

6

 

85

2

1

4

5

3

7

8

6

 

91

2

1

4

5

6

7

8

3

7

3

4

1

6

8

2

5

7

 

7

3

4

1

6

8

5

2

7

 

7

3

8

1

2

7

4

6

5

49

4

5

6

1

7

8

2

3

 

49

4

5

6

1

7

8

3

2

 

49

4

3

6

1

2

8

5

7

7

5

3

8

7

1

4

6

2

 

7

5

3

8

7

1

2

6

4

 

7

5

4

8

7

1

2

3

6

 

6

7

2

8

4

1

3

5

 

 

6

7

5

8

2

1

4

3

 

 

6

5

7

3

8

1

2

4

 

7

8

5

2

6

3

1

4

 

 

7

8

2

3

6

4

1

5

 

 

7

6

5

8

4

3

1

2

 

8

6

7

3

2

5

4

1

 

 

8

6

7

2

4

3

5

1

 

 

8

7

2

6

3

5

4

1

Все остальные таблицы умножения являются не ассоциативными и не коммутативными. Вот примеры:

2

17

2

 

2

 

2

 

2

 

3

13

2

 

2

 

2

 

2

 

4

17

2

 

2

 

2

 

2

-

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Al

1

2

3

4

5

6

7

8

 

-

1

2

3

4

5

6

7

8

263

2

1

4

3

6

5

8

7

 

247

2

1

4

3

6

5

8

7

 

263

2

1

4

3

6

5

8

7

41

3

4

1

2

7

8

5

6

 

49

3

4

1

2

7

8

5

6

 

41

3

4

1

2

7

8

5

6

33

4

3

2

1

8

7

6

5

 

33

4

3

2

1

8

7

6

5

 

33

4

3

2

1

8

7

6

5

41

5

6

7

8

1

2

3

4

 

33

5

6

7

8

1

2

3

4

 

41

5

6

7

8

1

2

3

4

 

6

5

8

7

2

1

4

3

 

 

6

5

8

7

2

1

4

3

 

 

6

5

8

7

3

1

4

2

 

7

8

5

6

4

3

1

2

 

 

7

8

6

5

4

3

1

2

 

 

7

8

5

6

2

4

1

3

 

8

7

6

5

3

4

2

1

 

 

8

7

5

6

3

4

2

1

 

 

8

7

6

5

4

3

2

1

 

15533

7

2

 

2

 

 

 

4

 

15534

5

2

 

2

 

 

 

4

 

15535

14

2

 

2

 

 

 

4

-

1

2

3

4

5

6

7

8

 

-

1

2

3

4

5

6

7

8

 

-

1

2

3

4

5

6

7

8

127

2

1

4

3

6

7

8

5

 

101

2

1

4

3

6

7

8

5

 

134

2

1

4

3

6

7

8

5

19

3

4

1

2

8

5

6

7

 

15

3

4

1

2

8

5

6

7

 

19

3

4

1

2

8

5

6

7

19

4

3

5

1

7

8

2

6

 

19

4

3

5

1

7

8

2

6

 

24

4

3

5

1

7

8

2

6

21

5

6

7

8

1

2

4

3

 

21

5

6

7

8

1

2

4

3

 

23

5

6

8

7

1

2

3

4

 

6

5

8

7

2

1

3

4

 

 

6

8

2

7

3

1

5

4

 

 

6

5

7

8

2

1

4

3

 

7

8

6

5

3

4

1

2

 

 

7

5

8

6

4

3

1

2

 

 

7

8

6

5

3

4

1

2

 

8

7

2

6

4

3

5

1

 

 

8

7

6

5

2

4

3

1

 

 

8

7

2

6

4

3

5

1

 

17209

3

2

 

 

3

 

 

3

 

17210

3

2

 

 

3

 

 

3

 

17960

7

2

 

 

 

 

 

6

-

1

2

3

4

5

6

7

8

 

-

1

2

3

4

5

6

7

8

 

-

1

2

3

4

5

6

7

8

63

2

1

4

5

3

7

8

6

 

70

2

1

4

5

3

7

8

6

 

54

2

1

4

5

6

7

8

3

7

3

4

1

6

2

8

5

7

 

7

3

4

1

6

2

8

5

7

 

7

3

4

1

6

2

8

5

7

15

4

3

7

1

8

5

6

2

 

18

4

3

7

1

8

5

6

2

 

14

4

3

8

1

7

2

6

5

21

5

6

8

7

1

3

2

4

 

21

5

6

8

7

1

3

2

4

 

13

5

6

7

8

1

3

4

2

 

6

5

2

8

7

1

4

3

 

 

6

8

2

3

7

1

4

5

 

 

6

7

5

2

8

1

3

4

 

7

8

6

3

4

2

1

5

 

 

7

5

6

8

4

2

1

3

 

 

7

8

2

3

4

5

1

6

 

8

7

5

2

6

4

3

1

 

 

8

7

5

2

6

4

3

1

 

 

8

5

6

7

3

4

2

1

Среди таблиц умножения также достаточно много (903 – не оптимизировано) таблиц умножения, состоящих из элементарных кластеров размерностей 2n´2n. Все они отличаются друг от друга только расположением мнимых единиц в элементарных кластерах, из которых состоит основная таблица. Вот список минимальных представителей этих таблиц умножения с кластерами размерностей 2´2, 4´4 и 8´8:

1

K

2

 

2

 

2

 

2

 

2

K

2

 

2

 

2

 

2

 

3

K

2

 

 

3

 

 

3

A

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Am

1

2

3

4

5

6

7

8

343

2

1

4

3

6

5

8

7

 

247

2

1

4

3

6

5

8

7

 

49

2

1

4

5

3

7

8

6

0

3

4

1

2

7

8

5

6

 

33

3

4

1

2

7

8

5

6

 

7

3

4

1

6

8

2

5

7

0

4

3

2

1

8

7

6

5

 

49

4

3

2

1

8

7

6

5

 

49

4

5

6

1

7

8

2

3

0

5

6

7

8

1

2

3

4

 

33

5

6

7

8

1

3

2

4

 

7

5

3

8

7

1

4

6

2

 

6

5

8

7

2

1

4

3

 

 

6

5

8

7

3

1

4

2

 

 

6

7

2

8

4

1

3

5

 

7

8

5

6

3

4

1

2

 

 

7

8

5

6

2

4

1

3

 

 

7

8

5

2

6

3

1

4

 

8

7

6

5

4

3

2

1

 

 

8

7

6

5

4

2

3

1

 

 

8

6

7

3

2

5

4

1

Последнюю таблицу можно исключить в силу ее тривиальности – любая таблица умножения размерности 8 состоит из одного кластера размерности 8´8.

2      Гиперкомплексные числа, полученные из основной таблицы умножения методом удвоения

Наиболее важным из представленных таблиц умножения, как было сказано выше, является первая таблица – ассоциативная и коммутативная одновременно:

1

2

3

4

5

6

7

8

 

1

i

j

k

l

m

n

o

2

1

4

3

6

5

8

7

 

i

1

k

j

m

l

o

n

3

4

1

2