-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?



---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: October 31 2017. -------
Ссылка на этот материал: algyebra_gipyerchisyel.htm)
Алгебра гиперкомплексных чисел

1      Гиперчисла

Таблица из Википедии — свободной энциклопедии:

Числовые системы

Счётные
множества

Натуральные числа (\scriptstyle\mathbb{N}) • Целые (\scriptstyle\mathbb{Z}) • Рациональные (\scriptstyle\mathbb{Q}) • Алгебраические (\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}) • Вычислимые (англ.)

Вещественные числа
и их расширения

Вещественные (\scriptstyle\mathbb{R}) • Комплексные (\scriptstyle\mathbb{C}) • Кватернионы (\scriptstyle\mathbb{H}) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (\scriptstyle\mathbb{O}) • Седенионы (\scriptstyle\mathbb{S}) • Процедура Кэли-Диксона (en) • ДуальныеГиперкомплексныеSuperreal number (англ.) • Hyperreal number (англ.) • Surreal number (англ.)

Другие
числовые системы

Кардинальные числаПорядковые числа (трансфинитные, ординал) • Гипердействительные числа • p-адическиеСупернатуральные числа

См. также

Двойные числаИррациональные числаТрансцендентныеЧисловой луч

Использован материал из свободной энциклопедии http://dic.academic.ru

Числа

Простые

натуральные | целые | рациональные | иррациональные | вещественные | p–адические | алгебраические | трансцендентные

Составные

комплексные | дуальные | двойные | кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные

Гиперчисла это составные числа и они образуют конечномерные алгебры над полем вещественных чисел. Алгебра гиперчисел включает в себя определение самих чисел и две операции над ними – сложение чисел и умножение чисел друг на друга. Умножение чисел на вещественное число входит в алгебру как составляющая умножения чисел друг на друга. Ассоциативная и дистрибутивная алгебра гиперчисел будет представлять собой кольцо. Возможно, что алгебра гиперчисла будет телом – при наличии обратного элемента у каждого числа, или даже полем – при коммутативности.

Обычно к гиперкомплексным числам относят только гиперчисла с размерностью 2n: комплексные, кватернионы, октавы, седенионы, числа Клиффорда и др... Все они характеризуются тем, что получены специальным образом из гиперболических гиперчисел соответствующей размерности: в них квадрат мнимой единицы e2 равен ±1, а произведение двух мнимых единиц коммутативно либо антикоммутативно: eiej = ±ejei = ±ek.

А у дуальных чисел произведение двух мнимых единиц (в т.ч. их квадраты) могут быть равны 0. Но это в общем случае. В интересных случаях количество дуальных единиц должно быть равно 1, либо равно количеству не дуальных элементов. Второй случай может быть просто расширением первого случая и сведен к нему, и такой случай более интересен с точки зрения интерпретации ее как бесконечно маленького числа

Впервые понятие гиперкомплексного числа возникло в связи с решением уравнения x2 + 1 = 0. Итальянские математики Джироламо Кардано (1501-1576) и Рафаэль Бомбелли (1530-…), решая такие уравнения, ввели в рассмотрение символ  как формальное решение уравнения вышеозначенного уравнения. Выражения более общего вида  можно рассматривать как формальные решения уравнений (xa)2 + b2 = 0. Впоследствии выражения  стали называть мнимыми, а затем комплексными числами и записывать в виде a + bi. Символ i для обозначения  ввел Л.Эйлер в XVIII в. Этих чисел оказалось достаточно для решения любого квадратного, и не только, уравнения. И это свойство отличает комплексные числа от любых других гиперчисел той же и больших размерностей.

Понятие гиперкомплексного числа появилось как расширение понятия комплексного числа: а возможны ли похожие системы с большим количеством мнимых элементов? Оказалось, что это возможно. Даже для гиперкомплексного числа с одной мнимой единицей нашлось еще две реализации – двойные и дуальные числа. Но они никакого отношения не имеют к вопросу решения произвольных алгебраических уравнений. Основное применение они находят в геометрии. Дуальные числа, по видимому, впервые рассматривал известный немецкий геометр Эуген Штуди (1862-1930), а двойные числа – Вильям Клиффорд (1845-1879). Они отличаются своими таблицами умножения. При этом не все свойства действительного и комплексного чисел сохраняются.

Любое гиперчисло определяется через свои мнимые единицы:

(1.1)

 
g = liei = le0 + l1e1 + l2e2 + …+ lnen

где ln  – вещественные числа,

en – независимые мнимые единицы гиперчисла

Часть le0  называется вещественной частью числа, а часть Vмнимой частью числа. На множестве гиперчисел определены операции сложения и умножения. Операция сложения любого гиперчисла и умножения на вещественное число обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Для этих операций имеются нуль и единица, причем нуль не имеет делителей:

(1.2)

 
0 + q = q = q + 0,

1 · q = q = q · 1,

g' = qg = 0 → (q = 0) Ú (g = 0).

Поэтому по отношению к операции сложения гиперчисла являются группой.

Операция умножения произвольных гиперчисел g' и g'' между собой производится в соответствии с правилом:

(1.3)

 
g = g'ig''j = αijkliljek ,

где αijk – тензор из коэффициентов таблицы умножения,

li, lj – коэффициенты при мнимых единицах представлений гиперчисел  g'i и g''j.

Операция умножения может обладать следующими свойствами:

(1.4)

 
ei2 Î {+1, ±0, –1},

eiej Î {±ek, 0}: k Ï {i, j}.

Благодаря этому и ряду других свойств, комплексные числа получили весьма широкое применение в различных отраслях классической и прикладной математики.

Алгебра гиперчисла обладает степенной ассоциативностью. А также при таком определении гиперчисел перемножение чисел любой плоскости {1, ei} между собой снова приводит к числу в этой же плоскости:

(1.5)

 
(a1 + b1i)( a2 + b2i) = a1a2 + (±a1b2 ± b1a2)i + b1b2i2=

= (a1a2 ± b1 b2) + (±a1b2 ± b1a2)i = a + bi.

Эти свойства говорят о том, что любая подобная плоскость эквивалентна гиперкомплексным числам размерности два. Если в разложении квадрата мнимой единицы будет присутствовать какая-либо другая мнимая единица, то это свойство будет нарушаться. При этом класс гиперчисел будет неоправданно сильно расширен. Конечно, при таком сужении класса гиперчисел могут быть исключены из рассмотрения некоторые очень интересные случаи, например, тричисла (Гарасько Г.И., "Тричисла, куб нормы которых – невырожденная триформа" в электронном журнале по адресу http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=52.). Также из рассмотрения выпадает векторное произведение векторов векторной алгебры в 3-мерном пространстве.

Из вышеприведенного видно, что любое гиперчисло G можно представить как пару (Q, V), где Q – вещественное число, V – многомерный вектор. При этом сама пара (Q, V) обладает всеми свойствами векторного пространства, но при этом вещественное число Q входит как компонента вектора, операция умножения на которое эквивалентно умножению гиперчисла на вещественное число. В связи с векторностью гиперчисла возникает вопрос об эквивалентном определении алгебры гиперчисла путем линейного преобразования элементов исходного векторного пространства и переопределению ее таблицы умножения. Такое определение в общем случае нарушает основные свойства тривиально определенной алгебры гиперчисла (см. 1.4).

Теперь существенное замечание. Выше мы видели, что гиперкомплексная мнимая единица определяется выражением вида ei2 = ±1 (или 0). Отсюда вроде бы следует, что  .Но это выражение, ранее часто использовавшееся вместо ei, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде  считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как .

В зависимости от множества значений квадратов мнимых единиц гиперчисла будем подразделять на классы: гиперболические, гиперкомплексные (или эллиптические), дуальные (или параболические) и смешанные в зависимости от набора типов базисных единиц. В комплексных гиперчислах квадраты всех базисных единиц, кроме одной – вещественной, равны –1, в гиперболических числах квадраты всех базисных единиц равны +1, в а в дуальных – присутствует хотя бы одна, квадрат которой равен нулю. Чисто дуальное число ведет себя во многих отношениях как бесконечно маленькое число. В некоторых алгебрах "0" разделяется на +0 и –0. В смешанных гиперчислах присутствуют базисные единицы всех трех типов. Соответствующие гиперчисла условимся обозначать Cn, Hm и Ok, а также их последовательной записью типа CnHmOk, где индексы n, m, k соответствуют количеству единиц, а их сумма 1 + n + m + k равен размерности алгебры. Дополнительная размерность "1" соответствует единице вещественной алгебры Q. Заметим, что обычные действительные, комплексные, двойные, дуальные числа и кватернион являются частными случаями гиперчисел, поэтому в принятых обозначениях их символы должны были бы записываться в виде Q, QC1, QH1, QO1, QC3, учитывая, что квадрат вещественной единицы равен +1. Но т.к. элемент Q1 присутствует во всех реализациях как вещественная единица, то ее всегда можно иметь в виду. Тогда эти же  гиперчисла можно обозначить как Q, C1, H1, O1, C3.

  Известным расширением комплексных чисел, образующих некоммутативную алгебру с делением, являются кватернионы, которые имеют вид

(1.6)

 
.

При построении новых гиперкомплексных чисел большей размерности стремятся к тому, чтобы эти базовые свойства сохранялись. По отношению к этим двум операциям гиперкомплексное число может быть кольцом, модулем, полем, … Но это не всегда возможно, и приходится мириться с некоторыми ограничениями.

Класс гиперкомплексных чисел размерностью 4 = 22 можно назвать гиперквадратными числами, размерностью 8 = 23гиперкубическими числами.

Существуют следующие наименования для таких чисел: кватернионов (4 D), Октонионы (8 D), sedenions (16 D), pathions (32 D), chingons (64 D), routons (128 D), voudons (256 D) и так далее, без конца. Эти имена были введены Роберт P.C. де Marrais и Тони Смит. Это альтернативная система именования, в отличие от чрезвычайно сложных их латинских названий, таких как: trigintaduonions (32 D), sexagintaquatronions (64 D), centumduodetrigintanions (128 D) и ducentiquinquagintasexions (256 D).

Наиболее востребованными  являются комплексные числа, кватернионы (размерности 4) и октавы (размерности 8). Одной из причин не востребованности других реализаций гиперкомплексных чисел, в т.ч. более высоких степеней, является отсутствие их простой и естественной геометрической интерпретации, а также отсутствие свойств ассоциативности и коммутативности, наличие делителей нуля, наподобие той, какую имеют действительные и комплексные числа при сопоставлении им точек действительной прямой или евклидовой плоскости соответственно. Естественно, что и произвольным гиперкомплексным числам также должны соответствовать точки каких–то n–мерных пространств. Однако, в случае n > 2, ни евклидово, ни псевдоевклидово пространства не подходят на эту роль. Впрочем, это не означает отсутствия иной геометрической интерпретации.

2      Способы определения новых чисел

Самое простое и естественное определение составных чисел G – это доопределение произвольного векторного пространства  (a1, a2, … an) до составного числа. Необходимыми элементами для этого являются сами векторы и вещественные числа. Определим составное число, объединив вещественное число и вектор в структуру:

(a) È

(2.1)

 
 (a1, a2, … an) → (a, a1, a2, … an) ~ (l, l1e1, l2e2 , … lnen)

G » {(l, l1, l2 , … ln)}

Это определение говорит о том, что элементами составного числа являются векторы, в который добавлена еще одна компонента – вещественная координата a  (или a0e0). Умножение составных чисел определяется таблицей умножения. Эта таблица для гиперкомплексных чисел обладает тем свойством, что в каждой строке и столбце ее должны присутствовать все базисные элементы этого векторного пространства для полноты.

Также должна быть определена операция умножения базисных элементов этого множества с определенными свойствами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и др.

В современном представлении в реализациях составных чисел может отсутствовать коммутативность, а также имеются реализации, в которых отсутствует и ассоциативность, но всегда присутствует альтернативность (в т.ч. односторонняя - левая и правая), эластичная (или центральная) ассоциативность или хотя бы степенная ассоциативность. В некоторых редких случаях гиперкомплексные числа образуют алгебру с делением (однозначным), в противном случае имеются делители нуля. Согласно теореме Фробениуса (и Гурвица) единственные гиперкомплексные числа, для которых можно ввести однозначное деление, или определить алгебру без делителей нуля – это  действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октавы.

Простейшими составными числами являются комплексные, двойные и дуальные числа. Подобно тому, как комплексные числа могут быть рассмотрены как точки на плоскости, гиперкомплексные числа большей размерности могут быть рассмотрены как точки в многомерном пространстве. Если по отношению к сложению гиперкомплексные числа составляют векторное пространство, умножение на гиперкомплексное число представляет собой сложное преобразование этого пространства: это может быть круговой и гиперболический повороты, смещение пространства или ее деформация с постоянным коэффициентом.

За исключением комплексных чисел, никакие из этих расширений не образуют поля. Некоторые гиперкомплексные числа образуют тело (не коммутативное кольцо).

Наибольший интерес с точки зрения механики (и физики) имеют числа с размерностью один, два  четыре, кратные им и их целым степеням. Некоторый интерес могут представлять гиперчисла размерности 5 и 6. Гиперкомплексных чисел размерности 3, кроме как с дуальными свойствами, не имеется.

2.1 Аксиоматическое определение гиперкомплексного числа

Гиперкомплексные числа могут быть определены аксиоматически или конструктивно на поле вещественных чисел. Аксиоматически определяются вещественные числа размерности 1 (целые, рациональные, вещественные), комплексные числа размерности 2, числа Клиффорда. Аксиоматически можно определить также кватернионы и другие уже именованные гиперкомплексные числа. Почти все остальные определяются конструктивно как векторное пространство с одним вещественным базисным элементом (единицей), несколькими мнимыми базисными элементами (единицами) и таблицей умножения как элемент конструктивности или с применением элемента конструктивности.

В принципе задание таблицы умножения на множестве вещественных чисел как базе векторного пространства гиперкомплексного числа уже можно принять за аксиоматическое определение гиперкомплексного числа. Этот способ эквивалентен заданию примерно n2 отношений, определенных этой таблицей.

Но можно определить аксиоматически свойства гиперкомплексного числа, однозначно задающие ее таблицу умножения или некоторый класс ее таблиц умножения.

2.2 Таблица умножения

Таблица умножения – основной способ получения гиперкомплексных чисел. Основная форма таблицы умножения называется таблицей Кэли. Вопрос о типе коммутативности операции умножения решается непосредственной проверкой таблицы умножения на соответствие этим свойствам. Если таблица умножения коммутативна или антикоммутативна, то и алгебра коммутативна или антикоммутативна.

Но насчет ассоциативности алгебры вопрос более сложный. Тип ассоциативности самой таблицы умножения не наследуется на всю алгебру. Наследуется только полноценная и степенная ассоциативности. Если по тройкам мнимых единиц существуют взаимоисключающие типы ассоциативности, например, левая и правая, то сама алгебра скорее всего не обладает ни тем, ни другим типом ассоциативности. С этой точки зрения наследуется тип ассоциативности, верный для любых троек мнимых единиц. Т.к. степенная ассоциативность присуща любой таблице умножения, то любая алгебра гиперкомплексных чисел обладает этим свойством. Но, например, альтернативность (в т.ч. и левая, и правая), эластичность не наследуются на всю алгебру. Для доказательства возьмем следующее выражение. Пусть оно право-альтернативное. Тогда:

a(b1 + b2)(b1 + b2) =

= a(b1b1 + b1b2 + b2b1 + b2b2) =

= (ab1b1 + ab2b2) + (ab1b2 + ab2b1).

Здесь a, bi – однокомпонентные гиперкомплексные числа с отличающимися базовыми единицами, следовательно, по определению, покомпонентные произведения альтернативны. Выражение левой скобки альтернативно по определению. Для альтернативности всего выражения необходима альтернативность и второй скобки. Но там стоят произведения трех разных чисел, и чтобы все выражение было альтернативным, необходимо, чтобы таблица умножения была ассоциативной или антикоммутативной для мнимых компонентов: из ассоциативности следует альтернативность, из антикоммутативности равенство нулю выражения второй скобки. В противном случае альтернативность таблицы умножения не наследуется алгеброй.

Дистрибутивность таблицы обеспечивается дистрибутивностью векторной алгебры. Пример таблицы умножения, задающей таблицу умножения кватернионов:

´

1

e1

e2

e3

1

1

e1

e2

e3

e1

e1

1

e3

e2

e2

e2

e3

1

e1

e3

e3

e2

e1

1

Здесь 1 – вещественный базисный элемент, e1, e2, e3 – мнимые базисные элементы.

Разновидностями таблицы умножения являются неполные вариации этой же таблицы:

1) вторая форма – без левого столбца и верхней строки – только существенная часть таблицы;

1

e1

e2

e3

e1

1

e3

e2

e2

e3

1

e1

e3

e2

e1

1

2) третья форма – без двух левых столбцов и двух верхних строк – только для мнимых частей числа:

1

e3

e2

e3

1

e1

e2

e1

1

Возможность использования двух дополнительных форм определяется тривиальностью значений элементов в выбрасываемых строках и столбцах как результата упорядоченности первых двух строк и столбцов по значению индекса мнимой единицы. В  остальных ячейках таблицы приводятся результаты умножения единиц, расположенных в первом столбце, на единицы, расположенные в первой строке. Третья форма практически почти не используется.

Каких либо явных ограничений на заполнение этой таблицы не имеется. В ячейках таблицы, кроме первого ряда и столбца, могут быть проставлены любые гиперкомплексные числа, не обязательно единичные. Но для целей практического применения соответствующих им гиперкомплексных чисел необходимо, чтобы они  удовлетворяли некоторым базовым свойствам: коммутативность – антикоммутативность, ассоциативность (антиассоциативность) – альтернативность (в т.ч. левая, правая) – эластичность - степенная ассоциативность. Предпочтительно, чтобы в ячейках таблицы стояли мнимые единицы со знаками +, – или "0", а на диагонали – вещественные числа из множества {+1, –1, 0} (стандартная таблица) или хотя бы они имели единичную длину. Вопрос о длине гиперкомплексные числа – это отдельный, достаточно сложный вопрос.

Для многих применяемых типов гиперкомплексных чисел таблица умножения является ассоциативной и коммутативной. Но существует великое множество 1) не ассоциативных, 2) не коммутативных, 3) ассоциативных – но не коммутативных  таблиц умножения произвольной размерности. Любая коммутативная таблица обладает эластичной ассоциативностью. Ассоциативные и одновременно коммутативные существуют только для размерностей 2n (степени числа два) по одной для каждого значения n. Ассоциативных, но не коммутативных при компьютерном переборе таблиц умножения не встретилось для всех размерностей до 64 включительно.

Любая стандартная таблица умножения гиперкомплексных чисел может быть представлена одной, двумя и тремя таблицами. При представлении одной таблицей в ячейках таблицы пишутся результаты перемножения уже с учетом знаков (см. таблицу умножения кватернионов).

При представлении двумя таблицами первая таблица представлена 1) положительно определенной таблицей умножения, в которой в каждой ячейке стоит какая–либо мнимая единица со знаком "+", соответствующей таблице умножения класса гиперболических чисел соответствующей размерности, 2) совмещенной таблицей сигнатур sign(i,i) квадратов мнимых единиц и таблицы сигнатур флага коммутативности sign(i,j) таблицы умножения из множества {+1, 0, –1}. Для приведенной выше таблицы умножения кватернионов это будут таблицы a) и d) из нижеприведенных таблиц.

При представлении тремя таблицами первая таблица представлена 1) положительно определенной таблицей умножения, в которой в каждой ячейке стоит какая–либо мнимая единица со знаком "+", соответствующей таблице умножения класса гиперболических чисел соответствующей размерности, 2) диагональной таблицей сигнатур sign(i,i) квадратов мнимых единиц из множества {+1, 0, –1} и 3) таблицы сигнатур флага коммутативности sign(i,j) таблицы умножения из множества {+1, 0, –1}. Для приведенной выше таблицы умножения кватернионов это будут первые три из нижеприведенных таблиц.

 

1

e1

e2

e3

 

1

 

 

 

 

1

1

1

1

 

1

1

1

1

e1

1

e3

e2

 

 

1

 

 

 

1

1

–1

–1

 

1

1

1

–1

e2

e3

1

e1

 

 

 

1

 

 

1

–1

1

–1

 

1

–1

1

1

e3

e2

e1

1

 

 

 

 

1

 

1

–1

1

1

 

1

1

1

1

 

a)

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

c)

 

 

 

 

d)

 

 

Рассмотрим эти таблицы более подробно.

Первая таблица (a) является нормальной формой таблицы умножения.  Она может быть представлена в двух формах – с учетом знаков взаимных произведений мнимых единиц (при представлении одной таблицей) и с положительно определенными знаками в ячейках таблицы (при представлении не одной таблицей).

На диагонали второй таблицы (b) sign(i,j) определены сигнатуры для квадратов соответствующих мнимых единиц, на остальных местах – знак, соответствующий знаку мнимой единицы ek как результата произведения мнимых единиц ei и ej: sign(eiej) = sign(ek).

Третья таблица (с) является таблицей сигнатур коммутативности взаимных произведений мнимых единиц: sign(i,j) = sign(eiej) · sign(ejei) = sign(j,i). Если eiej = ejei, то произведение коммутативно (+1), если eiej = –ejei, то произведение антикоммутативно (–1),  если eiej = ejei = 0, то произведение дуально (0). Покомпонентным умножением первой таблицы на вторую получим конкретную таблицу умножения со знаками, в данном случае – для кватернионов. Каких либо ограничений на расстановку знаков произведений нет. Ограничения могут появиться только при составлении таблиц с определенными свойствами.

Четвертая таблица является модификацией таблиц b) и c) и является совмещенной таблицей, объединяющей эти таблицы умножения, с расстановкой сигнатур квадратов соответствующих мнимых единиц по ее диагонали и сигнатуры взаимных произведений вне ее. Такие таблицы могут пригодиться, например, при компьютерном анализе гиперкомплексных чисел.

Для компьютерного анализа таблиц умножения очень удобна форма записи, в которой вместо записи единиц в виде ei используется числовая форма записи таблицы, состоящая только из самих индексов. Например, вместо e2 пишется только индекс 2, вместо e1e2 пишется 12. Сложности могут возникнуть, если значение индекса больше 9 при записи таблицы на бумаге, но для компьютера это неважно. Для примера ниже даны две формы такой таблицы. В них I – вещественная единица, 1, 2 и 3 – индексы мнимых единиц. Первая таблица соответствует таблицам умножения гиперкомплексных чисел, полученных методом удвоения от некоторого базового множества единиц {I, 1, 2}. Номер цифры в ячейках таблицы соответствует номеру базисной координаты базового евклидова пространства. Значение "0" в ячейке соответствует дуальному значению этой ячейки. При этом новая единица "12" является составной от мнимых единиц 1 и 2. Вторая таблица здесь соответствует этой же, только уже из не составных единиц. Число в ячейке таблицы соответствует порядковому номеру мнимой единицы с учетом всех, в т.ч. и составных, мнимых единиц, вычисленных по определенному алгоритму. При этом в этой таблице новой составной единице "12" присвоено индивидуальное значение "3": 12 ~ 3 = 2(1–1) + 2(2–1) + 1.

I

1

2

12

 

1

2

3

4

 

1

i

j

k

1

–I

12

–2

 

2

–1

4

–3

 

i

–1

k

j

2

–12

–I

1

 

3

–4

1

–2

 

j

k

1

i

12

2

–1

–I

 

4

3

2

1

 

k

j

i

1

Третья таблица является символьным представлением этих же таблиц в стандартной форме для кватернионов.

2.3 Классификация таблиц умножения

В связи с тем, что для любой размерности можно найти множество таблиц умножения, представляемое числом порядка (3n-2)2[(n-2)!]n-2, возникает возможность существования эквивалентных таблиц умножения и становится актуальной задача выделения представителя класса эквивалентных таблиц умножения. Две таблицы эквивалентны, если перенумерацией мнимых единиц и/или взятием их противоположностей таблицы можно свести друг к другу. Это означает, что в вышеприведенных таблицах можно синхронно менять строки и столбцы друг с другом и пернумеровать. А это означает, что среди таблиц существует некоторая упорядоченность, и в качестве представителя класса можно взять минимальную. Частично это можно сделать на основании следующих условий, которым должны удовлетворять таблицы:

1. В ячейках на диагонали должны стоять последовательно сначала +1 (вещественная единица), затем –1 (комплексные мнимые единицы), и в конце 0 (нули – дуальные мнимые единицы). Если по диагонали стоят последовательно +1 и -1, то есть возможность их поменять местами в соответствии с принципом упорядочения.

2. Соответственно в таблицах коммутативности на любой вертикали должны стоять сначала +1, затем –1 отдельно в правой верхней и левой нижней половинах от диагональных элементов. Если стоят последовательно –1 и +1 и диагональные элементы на этих строках равны, то есть возможность их поменять местами в соответствии с принципом упорядочения.

Соблюдение этих двух условий и некоторых других все же не дает гарантии, что будут выбраны единственные представители своего класса таблиц умножения, но все же сокращает количество кандидатов на представительство класса эквивалентных таблиц умножения. Вопрос приведения к минимальному виду конкретной таблицы – это еще одна проблема, если не использовать в лоб прямой перебор всех преобразований таблицы умножения. Это видно уже на примере чисел Клиффорда базовой размерности 3 (и даже 2), несмотря на не очень большое количество всех таблиц.

Этот порядок, конечно, не является единственно возможным способом частичного упорядочения. Возможны и множество других способов, использующих другие принципы упорядочения.

Может оказаться, что полученная таким образом "минимальная таблица" будет не очень удобной для анализа. Но вопрос удобства – это уже другой вопрос.

Несколько более подробно для гиперчисел это рассмотрено в части 6 (построение таблиц умножения).

2.4 Инварианты таблицы умножения

Инварианты таблицы умножения являются ее классифицирующими параметрами. Для эквивалентности двух таблиц необходимым условием является равенство их инвариантов.  Для некоторых классов таблиц эти инварианты могут оказаться и достаточными. Инварианты не зависят от представления таблицы умножения, которое заключается в произвольном порядке строк и столбцов и их перенумерации.

Первыми инвариантами таблиц умножения являются

1.       Количество строк (столбцов), или размерность, таблицы.

2.       Свойство вида коммутативности. Количество коммутативных элементов для не коммутативных гиперчисел.

3.       Свойство антикоммутативности. Количество антикоммутативных элементов.

Количество не коммутативных и одновременно не антикоммутативных элементов является еще одним инвариантом, но этот инвариант частично зависим от предыдущих.

4.       Свойство ассоциативности.

5.       Можно по аналогии с инвариантами, связанными с коммутативностью, определить количество троек элементов с различными свойствами ассоциативности для не ассоциативных таблиц умножения.

Инвариантами таблиц умножения являются, во вторых, степени цикличности их таблиц умножения по определенной мнимой единице. Под цикличностью понимается минимальное количество мнимых единиц i при операции умножения на мнимую единицу  j, при котором выполняется равенство

j = i(i(…(ij)..)

Инвариантами таблиц умножения также являются замкнутые через операцию умножения подмножества {i1, i2, … in)} из множества мнимых единиц, для элементов которых взаимное умножение дает элемент этого же множества. Про них можно сказать, что они составляют подтаблицу умножения. При этом вещественная единица является общим элементом всех подтаблиц умножения.

Инвариантами таблиц умножения, диагональные элементы которых могут получать значения во множестве {-1, 0, +1}, являются параметры, зависящие от сигнатуры таблицы. Ими являются:

6.       Количество положительных элементов.

7.       Количество отрицательных элементов.

8.       Количество нулевых элементов.

Для каждой строки и столбца таблицы инвариантами являются эти же параметры. Но при преобразованиях таблицы строки и столбцы могут изменить свое место, и эти инварианты определены с точностью до перестановок строк и столбцов. Следующий инвариант основан на том, что инварианты строки (столбца) при преобразованиях таблицы не изменяются:

9.       инвариантом является количество строк с чисто положительными (или чисто отрицательными)  элементами, а также с любым другим определенным их количеством или составом.

Следующие инварианты основаны на том, что диагональ всегда остается диагональю. Поэтому инвариантом является количественный сигнатурный состав диагонали. Это

10.   Количество положительных, отрицательных и нулевых элементов на главной диагонали.

Со множествами элементов одной сигнатуры на диагонали связаны 16 инвариантных областей. Они выявляются при упорядочении элементов диагонали по сигнатуре:

I

(I,-1)

(I,+1)

(I,0)

(-1,I)

-1

(-1,+1)

(-1,0)

(+1,I)

(+1,-1)

+1

(+1,0)

(0,I)

(0,-1)

(0,+1)

0

Здесь I определяет строку и столбец с вещественной единицей, -1 – строки и столбцы, связанные с мнимой комплексной единицей, +1 – с мнимой гиперболической единицей, 0 – с мнимой дуальной единицей. В связи с этим разделением возможно определить

11.   Все эти же инварианты по принадлежности к определенным выше областям (по из связи к диагональному элементу с определенной сигнатурой).

2.5 Методы получения новых алгебр

Таблиц умножения с произвольной расстановкой результатов произведений мнимых единиц, тем более со знаками и дуальностями, слишком много. Наверняка большинство из них не имеет реального интереса, кроме как классификационного. Поэтому среди них выделяется множество чисел, полученные на основе какой-либо симметрии или свойства, конструктивного приема. Такими общеупотребительными способами являются методы удвоения (общий, Грассмана-Клиффорда, Кэли-Диксона) от некоторой базовой таблицы. Теоретически возможно существование и других методов удвоения с другими правилами.

Существование методов удвоения говорит о том, что для четных размерностей есть ячеистые реализации. Например, для восьмимерной таблицы имеется реализация как суммы 4–мерных реализаций, где каждые Гi – 4–мерная таблица умножения с точностью до перестановок внутри каждой из квадратов:

Г1

IГ1*

IГ1*

Г1*

Причем каждый из квадратов можно модифицировать независимо от других – отражать относительно диагоналей, переставлять синхронно строки и столбцы, что отмечено снежинкой.

Кроме удвоения, можно применять и методы, позволяющие увеличить размерность сразу в несколько раз. Этот принцип применим по отношению к любой размерности, являющейся не простым числом, раскладывающейся в произведение нескольких чисел, для которых существуют соответствующие алгебры. Действительно, возьмем две алгебры – I1 и I2 размерностей n1 и n2, и в качестве составной алгебры возьмем их прямое произведение I = I1 × I2. При этом составную таблицу умножения можно представить как таблицу умножения  n1 × n1, в каждой ячейке которой расположится таблица умножения размерности n2 × n2 алгебры I2 с индексом I2(i): i Î {1..n1}, представляющая собой таблицу умножения I2, помноженную на одно из единиц алгебры I1. Некоторая свобода в этих подтаблицах остается относительно знаков  в ячейках, которые должны быть согласованы с правилами взаимной коммутативности единиц  алгебр I1 и I2 во вновь сконструированной алгебре. При этом необходимо помнить, что составная таблица не наследует общие свойства своих составных частей, за редким исключением.

В более обобщенном виде в каждой ячейке результирующей таблицы расположится какая-либо одна из таблиц умножения размерности n2 × n2 алгебры из I2 с индексом I2(ij): i,j Î {1..n1}, причем не обязательно минимальной. При этом могут существовать или не существовать какие-либо правила относительно вновь сконструированной алгебры, кроме определенной в предыдущем предложении.

Такой принцип построения новых гиперкомплексных чисел применяется при применении методов удвоения Грассмана-Клиффорда и Кэли-Диксона, но с применением некоторых конкретных правил относительно содержания внутренних квадратных подтаблиц умножения.

2.6 Метод удвоения общий

Новые гиперкомплексные числа можно получать не только методом составления конкретной индивидуальной таблицы умножения для конкретной размерности, но также методами удвоения уже существующих гиперкомплексных чисел. Этот метод заключается в следующем.

Пусть z1 , z2 – произвольные гиперкомплексные числа с мнимыми единицами in, а j – некоторый новый символ (объект), удовлетворяющий условию j2 = δ, где δ Î {±1, 0}, коммутирующий с действительными числами при умножении, а при умножении на символ in справа антикоммутирующий с ним (jin = –inj), или коммутирующий (jin = inj), или вырожденный (jin = 0), то есть jin = αinj, где α Î {±1, 0}. Рассмотрим множество чисел вида u = z1 + z2j. Очевидно, число u имеет вид

u = (a0 + a1i1 + a2i2 + … + anin) + (a'0 + a'1i1 + a'2i2 + … + a'nin) j =

= a0 + a1i1 + a2i2 + … + anin + a'0j + a'1i1j + a'2i2j + … + a'ninj =

= a0 + a1i1 + a2i2 + … + anin + a'0j + a'1j1 + a'2j2 + … + a'njn,

где ai – действительные числа; i1, i2, …, in, j, j1,…, in – новые мнимые единицы, коммутирующие с действительными числами при умножении. Всевозможные произведения мнимых единиц на j полностью находятся на основании заданных правил коммутативности при умножении:

j2 = ε, ipj = αpjip,

 p = 1, 2, … , n.

где ε, ap равны –1, или 1, или 0. Значения ap выбираются на основе правил коммутативности новой мнимой единицы с каждым из существующих отдельно.

Несмотря на однозначную с точностью до правила коммутативности для новой базовой мнимой единицы определенность мнимых единиц удвоенного гиперкомплексные числа, на основании этого определения невозможно однозначно составить полную таблицу умножения для этих чисел. Но на основании вышеприведенных свойств удвоенного числа можно сказать, что

1) на главной диагонали второй (нижний) квадрат повторяет главный квадрат с точностью до знаков;

2) дополнительный верхний квадрат повторяет главный квадрат со смещением на дополнительную мнимую единицу. Нижний квадрат на дополнительной  диагонали повторяет главный верхний квадрат с точностью до знаков;

3) таблица симметрична относительно главной диагонали с точностью до знаков.

Рассмотрим для примера типичную таблицу умножения для нашего гиперкомплексного числа, полученную удвоением кватерниона:

1

i

j

k

l

il

jl

kl

i

–1

k

–j

il

i(il)

i(jl)

i(kl)

j

–k

–1

i

jl

j(il)

j(jl)

j(kl)

k

j

–i

–1

kl

k(il)

k(jl)

k(kl)

l

li

lj

lk

ε (=ll)

l(il)

l(jl)

l(kl)

il

(il)i

(il)j

(il)k

(il)l

(il)(il)

(il)(jl)

(il)(kl)

jl

(jl)i

(jl)j

(jl)k

(jl)l

(jl)(il)

(jl)(jl)

(jl)(kl)

kl

(kl)i

(kl)j

(kl)k

(kl)l

(kl)(il)

(kl)(jl)

(kl)(kl)

Можно заметить, что на основании заданных правил составления нового гиперкомплексного числа можно однозначно построить только левую верхнюю половину таблицы, повторяющую таблицу умножения базового гиперкомплексные числа, а также определить элементы в ячейках с зелеными символами. Из определения квадрата новой мнимой единицы можно определить значение ячейки с l2. На основании правила коммутативности можно определить значения в ячейках с синими знаками.

Если таблица умножения ассоциативна, то, применяя свойства коммутативности новой единицы со старыми единицами, при их непротиворечивом определении, можно определить значения в остальных ячейках.  При этом, если разделить таблицу на 4 равных квадрата, то левый верхний квадрат, конечно, повторяет таблицу умножения базового гиперкомплексные числа. Нижний правый квадрат либо нулевой при дуальности новой мнимой единицы, либо повторяет базовый с точностью до знаков, определяемых условием типов ассоциативности и коммутативности. Правый верхний и левый нижний квадраты тоже повторяют друг друга с точностью до знаков. Они отличаются от базовой таблицы при числовом виде заполнения таблицы на постоянное число, равное размерности базы удвоения. Конкретные значения элементов в ячейках таблицы должны быть проставлены с учетом типа коммутативности и ассоциативности таблицы. На основании этих свойств можно сказать, что все числа, полученные методом удвоения, имеют одну общую основу из базовых единиц и наложенную на нее сигнатуру из множества {0, ±1}: вся разница между ними в сигнатуре.

Исходя из вышеприведенного рассуждения, можно сказать, что метод удвоения при определенном раскладе свойства ассоциативности и коммутативности дает вполне определенный результат. Но также нужно иметь в виду, что этот же результат можно было бы получить и другим путем, выбрав в качестве базовой таблицы таблицу умножения других мнимых единиц из результирующей.

Для примера возьмем за основу комплексные числа и найдем одну из таблиц умножения от нее, полученную методом удвоения. Исходная таблица умножения:

1

i

i

–1

Удвоим ее, учитывая порядок появления мнимых единиц в произведении в соответствующих ячейках и соотношение: j2 = 1:

1

i

j

ij

i

–1

ij

i(ij)

j

ji

1

j(ij)

ii

(ji)i

(ji)j

(ji)(ij)

Можно отметить, что такая таблица как часть более общего случая появляется всегда при использовании методов удвоения исходных таблиц. Мы видим, что в этой таблице есть ячейки как с числом 1 со знаком + или -, так и ячейки с произведением из нескольких элементов – от двух до четырех с определенной расстановкой скобок. Мы не можем быть заранее уверены в типе ассоциативности произведения нескольких элементов, и поэтому не можем сразу написать окончательный результат в этих ячейках. Но зная принцип неповторимости единиц в строке и столбце и тип коммутативности, можем написать результаты в ячейках, представляющих произведение двух мнимых единиц. После выполнения подстановки ij = k и учитывая коммутативность ij = ji, имеем:

 1

i

j

k

i

–1

k

i(ij)

j

k

1

j(ij)

k

(ji)i

(ji)j

(ji)(ij)

Решим вопрос о произведениях из трех элементов (выделены серым цветом). Каких либо условий ассоциативности заранее не поставлено. Но в данном случае опять же можно применить принцип неповторимости элементов в строке или столбце. Это позволит определить значения элементов в ячейках с точностью до знака. В результате мы получим следующую таблицу:

1

i

j

k

i

–1

k

±j

j

k

1

±i

k

±j

±i

(ji)(ij)

Видим, что даже в этом простейшем случае результат не однозначен. Применяя этот же метод к произведению четырех элементов (правая нижняя ячейка), имеем:

1

i

j

k

i

–1

k

±j

j

k

1

±i

k

±j

±i

±1

При применении заранее определенной ассоциативности имели бы вполне определенный результат. Например, элемент i(ij) = (ii)j = -1j = -j. Выполним подобные выкладки для других ячеек, имеем результат:

1

i

j

k

i

1

k

j

j

k

1

i

k

j

i

-1

2.7 Метод удвоения Грассмана–Клиффорда

Новые гиперкомплексные числа можно получать также методом удвоения Грассмана–Клиффорда. Этим методом могут быть получены только гиперкомплексные числа размерности 2n, потому что первый шаг делается от вещественного числа размерности 1. Поэтому этот метод позволяет получить таблицу умножения ранга n размерности 2n непосредственно из базисной таблицы совмещенных сигнатур квадратов базисных единиц и сигнатуры взаимной коммутативности. Здесь также необходимо иметь в виду, что результирующая таблица определяется однозначно, но она может быть эквивалентна другой таблице, полученной от другой сигнатуры.

При получении гиперкомплексных чисел методом удвоения Грассмана–Клиффорда таблица умножения однозначно зависит от таблицы умножения ее базовых единиц. Первый шаг применяется к вещественному числу "1". При каждом следующем шаге размерность удваивается. При применении стандартного метода на каждом шаге количество таблиц умножения увеличивается в 6 раз: 3 – по значению квадрата дополнительной единицы, помноженное на 2 – тип коммутативности новой единицы с предыдущими. Расширением метода является задание индивидуального типа коммутативности новой мнимой единицы с каждой базовой мнимой единицей.

При определении результата умножения базовых единиц предполагается ассоциативность. В результате получаются ассоциативные таблицы, отличающиеся друг от друга только знаками результатов при мнимых единицах в ячейке.

В основе метода лежит модифицированная базовая таблица коммутативности умножения гиперкомплексных чисел, например, такая (третья совмещенная форма):

–1

1

1

1

–1

1

1

1

1

При применении метода удвоения Грассмана–Клиффорда к этой таблице добавляется еще одна строка и столбец. При этом на пересечении этой строки и столбца может проставлено число α из множества {+1, –1, 0} как сигнатура квадрата новой мнимой единицы, а в остальных ячейках – число β из множества {+1, –1}, соответствующих коммутативности или антикоммутативности произведения соответствующих базовых мнимых единиц:

–1

1

1

β

1

–1

1

β

1

1

1

β

β

β

β

α

При применении расширенного метода удвоения эта таблица будет следующей:

–1

1

1

β1

1

–1

1

β2

1

1

1

β3

β1

β2

β3

α

При этом количество мнимых единиц удваивается, а сама новая единица будет образом вещественной единицы на новом множестве мнимых единиц.

Шаг 1. Комплексные, двойные и дуальные числа.

Берется класс вещественных чисел R, мнимая единица удвоения i и новый класс удвоенного гиперкомплексные числа G:

G = R1 + i · R2.

где i2 = ε. Числа G в случае i2 = –1 называются комплексными, в случае i2 = 1 – двойными, а в случае i2 = 0 – дуальными. Множество комплексных чисел обозначается C. Сумма, разность и произведение этих чисел находятся по законам элементарной алгебры. Согласно этим законам, произведения комплексных, двойных и дуальных чисел находятся по формулам

(a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i,

(a + bi)(c + di) = ac + bd + (ad + bc)i,

(a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i

соответственно. Во всех случаях произведение является одновременно коммутативным и ассоциативным, то есть для любых чисел z1, z2, z3 выполняются равенства z1z2 = z2z1 и (z1z2)z3 = z1(z2z3).

Для некоторых получаемых этим способом гиперкомплексных чисел имеются свои индивидуальные названия. В общем случае для мнимой единицы i возможны следующие варианты составления имени гиперкомплексные числа:

i2 = –1 к базовому названию гиперкомплексные числа добавляется приставка «би». Если для всех мнимых единиц гиперкомплексные числа i2 = –1, то такие гиперкомплексные числа относятся к классу комплексных гиперкомплексных чисел.

i2 = 1 – к базовому названию гиперкомплексные числа добавляется приставка «гипер». Если среди мнимых единиц гиперкомплексные числа есть такие, что i2 = 1 и нет таких, что i2 = 0, то такие гиперкомплексные числа относятся к классу гиперболических чисел.

i2 = 0 – к базовому названию гиперкомплексные числа добавляется прилагательное «дуальный» или приставка «пара». Если среди мнимых единиц гиперкомплексные числа есть такие, что i2 = 0, то такие гиперкомплексные числа относятся к классу дуальных или параболических гиперкомплексных чисел. Но надо иметь в виду, что класс дуальных чисел можно получать только этим способом и только по отношению к не дуальным числам. Обоснованием может быть эквивалентность дуальных гиперкомплексных чисел бесконечно малым не дуальным гиперкомплексным числам, а двойная дуальность излишня. Хотя это условие и не так уж и необходимо.

Замечу, что эти способы наименований гиперкомплексных чисел можно использовать только для тех, которые получены методом удвоения и имеют размерность, равную степени числа 2, по отношению к базисным мнимым единицам, а также полученную методом удвоения от произвольного именованного гиперкомплексного числа.

Дополнительным типообразующим признаком при этом может быть свойство коммутативности (некоммутативности, антикоммутативности) операции умножения новой мнимой единицы i с предыдущими базовыми. На этом шаге такой признак не применим, но на следующем шаге этот признак кроется в параметре удвоения α. При этом при антикоммутативном  случае к приставке "гипер", "пара", "би" или "дуальный" можно добавить еще верхний индекс "минус", например, "парабикомплексное число" (читается "параминусбикомплексное число"), а при коммутативном случае просто писать  "парабикомплексное число". Базовые таблицы умножения на этом шаге следующие. Их всего три:

Таблица умножения комплексных чисел C базовой размерности 1 (чисел Клиффорда C1)   

Таблица умножения двойных H или гиперболических чисел Клиффорда  базовой размерности 1 C1+

Таблица умножения дуальных чисел O базовой размерности 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

K

I

1

K

I

1

K

1

–I

A

1

I

A

1

0

A

Все таблицы коммутативны (K) и ассоциативны (As).

Предложение называть получаемые классы гиперкомплексных чисел таким образом является только предложением, тем более, что во многих случаях для большинства интересных и уже изученных классов определены свои, устоявшиеся, названия: комплексные, двойные числа, дуальные числа, кватернионы, октавы, седенионы и т.д.

Шаг 2. Гиперквадратные числа.

Пусть z1 , z2 – произвольные гиперкомплексные числа с мнимой единицей i, а j – некоторый новый символ (объект), удовлетворяющий условию j2 = δ, где δ Î {±1, 0}, коммутирующий с действительными числами при умножении, а при умножении на символ i справа антикоммутирующий с ним (ji = –ij), или коммутирующий (ji = ij), или вырожденный (ji = 0), то есть ji = αij, где α Î {±1, 0}. Рассмотрим множество чисел вида u = z1 + z2j.

Так как z1 = a + bi, z2 = c + di, то u = a + bi + ci + dij. Произведение ij представляет собой математический объект с новыми свойствами. Обозначим ij = k. Тогда

u = a + bi + cj + dk.

Для числа u символы i, j, k называются мнимыми единицами, причем i, j называются главными или базовыми. В данном случае всевозможные произведения символов друг на друга не задаются, а находятся на основании свойств α, δ, ε. Эти произведения приведены в следующей обобщенной таблице умножения:

1

i

j

k

i

ε

k

εj

j

αk

δ

αδi

k

αεj

δi

αεδ

Из таблицы видно, что в случае α = 1 произведение любых двух из символов i, j, k является коммутативным, а в случае α = –1 произведения ij, ik, jk антикоммутативны, при α = 0 произведения ij, ik, jk не коммутативны. Используя табл. 1 также можно показать, что в случаях α = 1 и a = –1 произведение любых трех символов i, j, k ассоциативно: (ij)k = i(jk), а в случае α = 0 оно, вообще говоря, не ассоциативно. Например, (ji)k = αk·k = α2εδ, j(ik) = j·εj = εj2 = εδ, то есть (ji)k ≠ j(ik). Следовательно, в случаях α = 1 и α = –1 произведение любых трех гиперквадратных чисел обладает свойством ассоциативности, что не всегда имеет место в случае α = 0.

Выше новая мнимая единица, получаемая умножением i на j, обозначена через k. Но можно не вводить новые обозначения для новых мнимых единиц, при этом старые единицы обозначать через ei: i Î {0, 1, ..., n–1} новую базовую единицу обозначить через ej: j = n, а новые мнимые единицы, получаемые как произведение старых мнимых единиц на новую, обозначать как eij. Если этот принцип обозначения ввести с первого шага, то получим множество мнимых единиц вида  eij..k: i, j, k Î {0, 1, ..., n}, где n – базовая размерность гиперкомплексного числа.

Базовые таблицы коммутативности и таблицы умножения не дуальных чисел в этом случае следующие. Их всего шесть:

Таблица умножения бикомплексных чисел Клиффорда  размерности 2

или кватернионов

Таблица умножения антикоммутативных гиперкомплексных чисел Клиффорда  размерности 2

Таблица умножения коммутативных бикомплексных чисел  размерности 2

–1

–1

 

aK

 

 

–1

–1

 

aK

 

 

–1

1

 

K

 

–1

–1

 

A

 

 

–1

1

 

A

 

 

1

–1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

1

–I

12

–2

 

 

1

–I

12

–2

 

 

1

–I

12

–2

 

2

–12

–I

1

 

 

2

–12

I

–1

 

 

2

12

–I

–1

 

12

2

–1

–I

 

 

12

2

1

I

 

 

12

–2

–1

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица умножения коммутативных гиперкомплексных чисел  размерности 2

Таблица умножения антикоммутативных гипергиперболических чисел Клиффорда  размерности 2

Таблица умножения коммутативных гипергиперболических чисел  H2 размерности 2

–1

1

 

K

 

 

1

–1

 

aK

 

 

1

1

 

K

 

1

1

 

A

 

 

–1

1

 

A

 

 

1

1

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

 

I

1

2

12

 

1

–I

12

–2

 

 

1

I

12

2

 

 

1

I

12

2

 

2

12

I

1

 

 

2

–12

I

–1

 

 

2

12

I

1

 

12

–2

1

–I

 

 

12

–2

1

–I

 

 

12

2

1

I

 

Пояснение к таблице. Здесь на диагонали таблиц 2´2 (таблица коммутативности) стоят знаки квадратов базовых мнимых единиц таблицы умножения, остальные числа определяют флаг коммутативности (+1) – антикоммутативности (–1) произведения этих же базовых единиц. В данных случаях базовыми мнимыми единицами являются e1 и e2 (или i и j) а производная единица только одна: e3 = +e1 · e2 (k = i · j) (всегда со знаком "+"). Знак произведения базовой и составной мнимой единиц определяется с помощью перестановок произведения с сокращением рядом стоящих базовых единиц. Более подробно см. в ч.6.

Среди них три коммутативных (K), три антикоммутативных (aK) таблицы умножения. И все они ассоциативны (A). Имеется 4 стандартных дуальных таблиц умножения. Среди них две коммутативные и две антикоммутативные таблицы. Все они ассоциативные:

 

Таблица умножения дуальных

(–)комплексных чисел CO Клиффорда  размерности 2

Таблица умножения дуальных (+)комплексных чисел  CO+ размерности 2

Таблица умножения дуальных (–)двойных чисел HO Клиффорда  размерности 2

Таблица умножения дуальных (+)двойных чисел  HO+ размерности 2

–1

–1

 

aK

 

–1

1

 

K

 

1

–1

 

aK

 

1

1

 

K

 

–1

0

 

A

 

1

0

 

A

 

–1

0

 

A

 

1

0

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

I

1

2

12

 

I

1

2

12

 

I

1

2

12

 

1

–I

12

–2

 

1

–I

12

–2

 

1

I

12

2

 

1

I

12

2

 

2

–12

0

0

 

2

12

0

0

 

2

–12

0

0

 

2

12

0

0

 

12

2

0

0

 

12

–2

0

0

 

12

–2

0

0

 

12

2

0

0

 

 

Шаги 3 и более. Гиперкубические числа.

Продолжая описанный процесс по математической индукции, на n–м шаге получим числа вида

w = u1 + u2l,

где u1, u2l – построенные на (n – 1)–м шаге гиперкомплексные числа, а l – новый символ, обладающий свойствами, аналогичными свойствам символов i, j, … Очевидно, число w имеет вид

w = a0 + a1i1 + a2i2 + … + amim ,

где m = 2n – 1; a0, a1, …, am – действительные числа; i1, i2 , …, im – мнимые единицы, коммутирующие с действительными числами при умножении. Мнимые единицы i1 = i, i2 = j, …, in = l называются главными или базовыми, а остальные выражаются через них по формуле is = ipiqir , где 1 # p < q < … < r # n. Всевозможные произведения мнимых единиц друг на друга полностью находятся на основании заданных правил умножения главных мнимых единиц друг на друга:

i2p = εp, iqip = αpq ipiq,

p < q, p; q = 1, 2, … , n.

где ep, apq равны –1, или 1, или 0. Например, для мнимой единицы in + 1 = i1in имеем (i1in)2= i1in i1in = α1n = i1 i1inin  = α1n εi εn.

При n = 1 и ε1 = –1 гиперкомплексные числа совпадают с комплексными числами, при n = 1, ε1 = 1 – с двойными, при n = 1, ε1 = 0 – с дуальными, при n = 2 и ε1 = ε2 = –1, α12 = –1 – с кватернионами. К настоящему времени хорошо изучены числа, когда все αpq = –1 (числа Клиффорда); все εp = 0, αpq = –1 (числа Грассмана); n = 3 и все εp = 1, αpq = –1 (числа Паули); n = 4 и ε1 = 1, ε2 = ε3 = ε4 = –1, αpq = –1 (числа Дирака); n = 5 и ε1 = ε2 = 1, ε3 = ε4 = –1, αpq = –1 (числа Калуцы) и др. Для этих чисел построены теории, аналогичные теории функций комплексного переменного, благодаря чему они нашли широкое применение в современной математике и различных областях науки: неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, квантовой теории поля, теории – упругости и т.д.

Некоторые авторы (в частности, Каратаев Е.А.) используют этот метод к любым гиперкомплексным числам и называют ее методом удвоения Кэли.

Примером гиперкубических чисел являются числа Паули. Стандартное название чисел Паули – гипер(–)гипер(–)гиперболические числа Клиффорда  размерности 3. Эти числа имеют вид

w = a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 + a4i12 + a5i13 + a6i23 + a7i123,

где i1, i2, i3 – главные и i12 = i1i2 , i13 = i1i3 , i23 = i2i3 , i123 = i1i2i3 – остальные мнимые единицы, всевозможные произведения которых друг на друга находятся на основе равенств

12 = i21 = i22 = i23 = 1,

i1i2 = –i2i1, i1i3 = –i3i1, i2i3 = –i3i2  

Результаты всевозможных произведений мнимых единиц друг на друга приведены в следующей таблице. В ней мнимые единицы расположены в порядке возрастания:

1

i1

i2

i3

i12

i13

i23

i123

i1

1

i12

i13

i2

i3

i123

i23

i2

i12

1

i23

i1

i123

i3

i13

i3

i13

i23

1

i123

i1

i2

i12

i12

i2

i1

i123

–1

i23

i13

i3

i13

i3

i123

i1

i23

–1

i12

i2

i23

i123

i3

i2

i13

i12

–1

i1

i123

i23

i13

i12

i3

i2

i1

–1

Имеется более симметричный вид этой таблицы умножения. Она состоит из четырех ячеек размерами 4´4 с группами из 4 различных единиц и внутри каждого из них имеется антисимметричная ячейка размерами 3´3, а внешние к ней части симметричны:

1

i1

i2

i12

i3

i13

i23

i123

i1

1

i12

i2

i13

i3

i123

i23

i2

i12

1

i1

i23

i123

i3

i13

i12

i2

i1

–1

i123

i23

i13

i3

i3

i13

i23

i123

1

i1

i2

i12

i13

i3

i123

i23

i1

–1

i12

i2

i23

i123

i3

i13

i2

i12

–1

i1

i123

i23

i13

i3

i12

i2

i1

–1

Используя ее, можно показать, что произведение чисел Паули ассоциативно. Однако оно, вообще говоря, некоммутативно. Этими же свойствами обладают и все числа Клиффорда, кроме комплексных чисел.

2.8 Метод удвоения Кэли–Диксона

Новые числа можно получать также методом удвоения Кэли–Диксона. От исходной таблицы умножения метод позволяет получить только одну единственную таблицу. В определении метода лежит определение стандартного выражения для сопряженного числа исходной алгебры.

Этот метод заключается в следующем. Пусть U – множество гиперкомплексных чисел с некоторым законом умножения. Рассмотрим систему U' чисел вида

u = u1 + u2e,

где u1, u2 Î U, а e – новый символ, коммутирующий с действительными числами при умножении. Определим произведение чисел системы U' следующим образом:

 (u1 + u2e) · (v1 + v2e) = u1v1v*2u2 + (v2u1+ u2v*1)e,

где v* = a0a1i1a2i2 – … – aninсопряженное число.

Множество U', представляющее собой гиперкомплексное числовую систему размерности 2(n + 1), называется удвоением системы U, а сам процесс построения системы U' называется процедурой удвоения Кэли–Диксона. Эта процедура отличается от процедуры Грассмана–Клиффорда однозначным правилом умножения. Кроме того, исходная система U может иметь любую размерность и любой закон умножения мнимых единиц. Тип ассоциативности и коммутативности необходимо проверять непосредственно по получившейся таблице умножения, потому что они могут быть не унаследованы от исходной.

Свойство ассоциативности и коммутативности при построении таблицы не применяется, т.к. результаты и знаки при них в ячейках таблицы получаются автоматически. Применяется только свойство дистрибутивности. Это видно из приведенного выше выражения для построения таблицы умножения. Правая часть этого выражения состоит из 4 слагаемых, каждому из которых соответствует определенный квадрат в нижеприведенной таблице умножения:

 

U2

V2

U1

 

(1)

 

 

(2)

 

u1v1

v2u1e

 

 

 

 

 

 

V1

 

(3)

 

 

(4)

 

u2v*1e

v*2u2

 

 

 

 

 

 

Поэтому свойство наличия или отсутствия ассоциативности и коммутативности и их тип необходимо проверять каждый раз отдельно.

Каждый из квадратов заполняется определенным образом на основе исходной таблицы u1v1, представленной квадратом (1): 

I

1

2

12

1

–I

12

–2

2

–12

–I

1

12

2

–1

–I

Квадрат (4) получается из квадрата (1) отражением относительно диагонали и изменением знаков элементов левого вертикального столбца:

I

1

2

12

 

–I

1

2

12

1

–I

12

–2

–1

–I

–12

2

2

–12

–I

1

 

–2

12

–I

–1

12

2

–1

–I

 

–12

–2

1

–I

Квадрат (2) получается из квадрата (1) отражением относительно диагонали и умножением на удваивающую единицу e:

I

1

2

12

 

3

13

23

123

1

–I

12

–2

13

–3

–123

23

2

–12

–I

1

 

23

123

–3

–13

12

2

–1

–I

 

123

–23

13

–3

Квадрат (3) получается из квадрата (1) c изменением знаков элементов всех столбцов, кроме левого столбца и умножением на удваивающую единицу e:

I

1

2

12

 

3

–13

–23

–123

1

–I

12

–2

13

3

–123

23

2

–12

–I

1

 

23

123

3

–13

12

2

–1

–I

 

123

–23

13

3

Рассмотрим системы чисел, получаемые из системы действительных чисел, взятой в качестве первоначальной, при многократном применении процедуры Кэли–Диксона (повторим, что исходная система U может иметь любую размерность и любой закон умножения мнимых единиц).

1. Комплексные числа. Пусть U = R. Тогда U' есть множество чисел вида a + bi, где a, b Î R и i = e. Закон умножения имеет вид

(a + bi)(c + di) = acbd + (ad + bc)i,

то есть совпадает с законом умножения системы C комплексных чисел. Следовательно, U' = C. Таблица умножения в форме составных и независимых чисел для нее следующая:

–1

 

K

As

 

 

 

 

 

 

I

1

 

1

2

1

–I

 

2

–1

Эта таблица коммутативна и ассоциативна.

2. Кватернионы получаются в результате удвоения Грассмана–Клиффорда как антикоммутативное бикомплексное число или удвоения Кэли–Диксона от комплексных чисел. Пусть U = C. Тогда U' – множество чисел вида z1 + z2j, где z1 , z2 Î C и j = e. Так как z1 = a + bi, z2 = c + di, то u = a + bi + cj + dk, где k = ij. На основании формулы умножения чисел при удвоении можно показать, что символы i, j, k перемножаются согласно таблицы умножения кватернионов. Таблица умножения в форме составных чисел и независимых чисел для нее следующая:

Таблица умножения бикомплексных чисел Клиффорда (кватернионы) размерности 2

–1

–1

 

aK

 

 

 

 

 

–1

–1

 

As

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

1

2

3

4

1

–I

12

–2

 

2

–1

4

–3

2

–12

–I

1

 

3

–4

–1

2

12

2

–1

–I

 

4

3

–2

–1

Эта таблица ассоциативна и антикоммутативна. В этих таблицах явно видна квадратная циклическая структура размерностей  2.

Метод удвоения Кэли–Диксона можно применить и к двойным числам. Это возможно, потому что сопряженное к дуальному число определяется стандартно. В результате получим ассоциативную антикоммутативную таблицу умножения:

 

Таблица умножения гиперкомплексных чисел Клиффорда  размерности 2

1

-1

aK

 

 

 

 

 

 

–1

-1

As

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

2

12

 

1

2

3

4

1

I

12

2

 

2

1

4

3

2

–12

–I

1

 

3

–4

–1

2

12

–2

–1

I

 

4

–3

–2

1

Удвоение с дуальным числом новой таблицы не дает.

3. Октавы получаются в результате удвоения Кэли–Диксона от кватернионов. Пусть U = H. Тогда U' есть множество чисел вида

w = u1 + u2e =

= a0 + a1i + a2j + a3k + (a4 + a5i + a6 j + a7k)e =

= a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 + a4i4 + a5i5 + a6i6 + a7i7,

где u1 , u2 Î H, ap Î R, а i1 = i, i2 = j, i3 = k, i4 = e, i5 = ie, i6 = je, i7 = ke – мнимые единицы, всевозможные произведения которых друг на друга в форме составных чисел и независимых чисел определяются таблицей:

 

I

1

2

12

3

13

23

123

 

1

2

3

4

5

6

7

8

1

–I

12

–2

13

–3

–123

23

 

2

–1

4

–3

6

–5

–8

7

2

–12

–I

1

23

123

–3

–13

 

3

–4

–1

2

7

8

–5

–6

12

2

–1

–I

123

–23

13

–3

 

4

3

–2

–1

8

–7

6

–5

3

–13

–23

–123

–I

1

2

12

 

5

–6

–7

–8

–1

2

3

4

13

3

–123

23

–1

–I

–12

2

 

6

5

–8

7

–2

–1

–4

3

23

123

3

–13

–2

12

–I

–1

 

7

8

5

–6

–3

4

–1

–2

123

–23

13

3

–12

–2

1

–I

 

8

–7

6

5

–4

–3

2

–1

 

В этих таблицах явно видна квадратная циклическая структура размерностей  2 и 4. Из этих таблиц также видно, что не все произведения мнимых единиц друг на друга коммутативны и ассоциативны. Например, i1i2i2i1 , (i3i4)i5i3(i4i5). Следовательно, произведение октав, вообще говоря, антикоммутативно и неассоциативно, но оно альтернативно.

Для октав так же, как для комплексных чисел и кватернионов, справедливы равенства = ||w||2, ||w1w2|| = ||w1|| · ||w2||, где = a0a1i1a2i2 – … – a7i7 – сопряжение к w, – норма числа w, и уравнения w1w = w2 , ww1 = w2 при любых w1 ≠ 0, w2 разрешимы и имеют единственное решение. Эти утверждения следуют из равенства w = u1 + u2e, где u1 , u2 Î H, и свойств модуля кватернионов. Следовательно, множество октав есть некоммутативная неассоциативная система с делением.

Хотя октавы обладают многими свойствами действительных и комплексных чисел, тем не менее они не нашли такого широкого применения, как эти числа. Продолжение процесса удвоения Кэли–Диксона на следующем шаге приведет к гиперкомплексным числам с 15 мнимыми единицами и т.д. Однако получаемые при этом системы чисел являются некоммутативными, неассоциативными и системами без деления, в силу чего они также не нашли особых приложений.

4. Седенионы получаются в результате удвоения Кэли–Диксона от октав. Таблица умножения для нее следующая:

I

1

2

12

3

13

23

123

4

14

24

124

34

134

234

1234

1

–I

12

–2

13

–3

–123

23

14

–4

–124

24

–134

34

1234

–234

2

–12

–I

1

23

123

–3

–13

24

124

–4

–14

–234

–1234

34

134

12

2

–1

–I

123

–23

13

–3

124

–24

14

–4

–1234

234

–134

34

3

–13

–23

–123

–I

1

2

12

34

134

234

1234

–4

–14

–24

–124

13

3

–123

23

–1

–I

–12

2

134

–34

1234

–234

14

–4

124

–24

23

123

3

–13

–2

12

–I

–1

234

–1234

–34

134

24

–124

–4

14

123

–23

13

3

–12

–2

1

–I

1234

234

–134

–34

124

24

–14

–4

4

–14

–24

–124

–34

–134

–234

–1234

–I

1

2

12

3

13

23

123

14

4

–124

24

–134

34

1234

–234

–1

–I

–12

2

–13

3

123

–23

24

124

4

–14

–234

–1234

34

134

–2

12

–I

–1

–23

–123

3

13

124

–24

14

4

–1234

234

–134

34

–12

–2

1

–I

–123

23

–13

3

34

134

234

1234

4

–14

–24

–124

–3

13

23

123

–I

–1

–2

–12

134

–34

1234

–234

14

4

124

–24

–13

–3

123

–23

1

–I

12

–2

234

–1234

–34

134

24

–124

4

14

–23

–123

–3

13

2

–12

–I

1

1234

234

–134

–34

124

24

–14

4

–123

23

–13

–3

12

2

–1

–I

 Эта таблица антикоммутативна, не ассоциативна, но альтернативная. Другое представление этой же таблицы со сплошной нумерацией базисных единиц:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

2

–1

4

–3

6

–5

–8

7

10

–9

–12

11

–14

13

16

–15

3

–4

–1

2

7

8

–5

–6

11

12

–9

–10

–15

–16

13

14

4

3

–2

–1

8

–7

6

–5

12

–11

10

–9

–16

15

–14

13

5

–6

–7

–8

–1

2

3

4

13

14

15

16

–9

–10

–11

–12

6

5

–8

7

–2

–1

–4

3

14

–13

16

–15

10

–9

12

–11

7

8

5

–6

–3

4

–1

–2

15

–16

–13

14

11

–12

–9

10

8

–7

6

5

–4

–3

2

–1

16

15

–14

–13

12

11

–10

–9

9

–10

–11

–12

–13

–14

–15

–16

–1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

–12

11

–14

13

16

–15

–2

–1