-------------------
|
История топологии. Литература. Топология определения. Сравнение ТП. Размерность и мера. Определение новых ТП. Гомотопия. Подмножества пространства Rн. Важные проблемы и результаты. ---Load files---
|
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке", Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.
1 Важные проблемы и результаты. Некоторые теоремы1.1 Задача о Кенигсбергских мостахЕще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. 1.2 Проблема раскраски картПроблема четырех красок. Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В. Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.
1.3 Теорема Жордана о замкнутой кривойЕсли на поверхности проведена простая замкнутая кривая, то существует ли какое-либо свойство кривой, которое сохраняется при деформации поверхности? Существование такого свойства вытекает из следующей теоремы: простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю. Эта кажущаяся тривиальной теорема очевидна для кривых простого вида, например, для окружности; однако для сложных замкнутых ломаных дело обстоит иначе. Теорема была впервые сформулирована и доказана К.Жорданом (1838-1922); однако доказательство Жордана оказалось ошибочным. Удовлетворительное доказательство было предложено О.Вебленом (1880-1960) в 1905. 1.4 Теорема Брауэра о неподвижной точкеПусть D - замкнутая область, состоящая из окружности и ее внутренности. Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного преобразования, переводящего каждую точку области D в точку этой же области, существует некоторая точка, которая остается неподвижной при этом преобразовании. (Преобразование не предполагается взаимно однозначным.) Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет особый интерес потому, что она, по-видимому, является, наиболее часто используемой в других разделах математики топологической теоремой. 1.5 Основная теорема алгебрыОсновная теорема алгебры утверждает, что если функция f(z) имеет вид
где где Это число нужно, конечно, брать в алгебраическом смысле, т.е. с учетом направления вращения. Пусть читатель вспомнит, что комплексное число есть символ вида х + yi, где х и у — действительные числа, а символ i обладает свойством i2 = — 1. Комплексное число х + yi изображается точкой (x, у) в плоскости прямоугольных координат. Если мы введем в этой же плоскости полярные координаты, принимая начало координат за полюс, а положительное направление оси х за полярную ось, то можно будет написать где Из формулы Муавра
следует, что Рис. 19. Доказательство основной теоремы алгебры Допустим, что полином (1) не имеет корней, так что при любом комплексном z При этом допущении, если
z описывает некоторую замкнутую кривую в х, у плоскости, то f(z)
опишет некоторую замкнутую кривую Г, не проходящую через начало
координат (рис. 19). Можно определить порядок точки О для функции f(z)
относительно замкнутой кривой С как число полных поворотов, совершаемых
вектором, идущим от О к точке f(z) на кривой Т, когда z
делает полный обход по кривой С. Возьмем в качестве кривой С окружность с
центром О и радиусом t и обозначим через Нам остается доказать, что при достаточно больших значениях t Для этого заметим, что если радиус круга t удовлетворяет неравенствам то Так как выражение слева есть не что иное, как расстояние между точками zn и f(z), а выражение в самой правой части неравенства — расстояние точки zn от начала координат, то мы видим отсюда, что отрезок, соединяющий точки zn и f(z), не пройдет через начало координат, если только z будет находиться на круге радиуса t с центром в начале. В таком случае имеется возможность деформировать кривую, описываемую точкой f(t) в кривую, описываемую точкой zn, без прохода через начало, смещая непрерывным движением каждую точку f(z) к соответствующей точке zn по прямоугольному отрезку. При этом порядок начала может принимать только целые значения и, вместе с тем, во время деформации может меняться не иначе, как непрерывно; значит, для обеих функций f(z) и zn он одинаков, и так как для zn он равен n, то имеет то же самое значение и для f(z). Доказательство закончено.
- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - - ---Load files---
|
Время переоткрытия сайта 03 ч 02 м по Гр. Календарь на МАРТ месяц 2018 г.
---Load files---
|
U:3 V:4 N:69 |