1  Важные проблемы и результаты. Некоторые теоремы

1.1    Задача о Кенигсбергских мостах

Еще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики.

1.2    Проблема раскраски карт

Проблема четырех красок. Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В. Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.

1.3    Теорема Жордана о замкнутой кривой

Если на поверхности проведена простая замкнутая кривая, то существует ли какое-либо свойство кривой, которое сохраняется при деформации поверхности? Существование такого свойства вытекает из следующей теоремы: простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю. Эта кажущаяся тривиальной теорема очевидна для кривых простого вида, например, для окружности; однако для сложных замкнутых ломаных дело обстоит иначе. Теорема была впервые сформулирована и доказана К.Жорданом (1838-1922); однако доказательство Жордана оказалось ошибочным. Удовлетворительное доказательство было предложено О.Вебленом (1880-1960) в 1905.

1.4    Теорема Брауэра о неподвижной точке

Пусть D - замкнутая область, состоящая из окружности и ее внутренности. Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного преобразования, переводящего каждую точку области D в точку этой же области, существует некоторая точка, которая остается неподвижной при этом преобразовании. (Преобразование не предполагается взаимно однозначным.) Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет особый интерес потому, что она, по-видимому, является, наиболее часто используемой в других разделах математики топологической теоремой.

1.5    Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что если функция f(z) имеет вид

 (1)

где — какие угодно комплексные числа, то существует такое комплексное число, что= 0. Другими словами, в поле комплексных чисел всякое алгебраическое уравнение имеет корень. (Основываясь на этой теореме, мы на стр. 138 сделали дальней­шее заключение: полином f(z) может быть разложен на п линейных множителей

где— нули f(z).) Замечательно, что эту теорему можно доказать, исходя из соображений топологического характера, как и теорему Брауэра о неподвижной точке.

Это число нужно, конечно, брать в алгебраическом смысле, т.е. с учетом на­правления вращения.

Пусть читатель вспомнит, что комплексное число есть символ ви­да х + yi, где х и у — действительные числа, а символ i обладает свой­ством i² = — 1. Комплексное число х + yi изображается точкой (x, у) в плоскости прямоугольных координат. Если мы введем в этой же плос­кости полярные координаты, принимая начало координат за полюс, а положительное направление оси х за полярную ось, то можно будет написать

где,

Из формулы Муавра следует, что  (см. стр. 133). Отсюда ясно, что если комплексное число z описывает круг радиуса г с центром в начале координат, то z_n опи­шет ровно n раз круг с радиусом. Напомним еще, что модуль z (обозначаемый через \z\) представляет собой расстояние z от 0 и что, если z' = х' + iy', то \z — z'\ есть расстояние между z и z'. После этих напоминаний можно перейти к доказательству теоремы.

Рис. 19. Доказательство основной теоремы алгебры

Допустим, что полином (1) не имеет корней, так что при любом комплексном z

При этом допущении, если z описывает некоторую замкнутую кривую в х, у плоскости, то f(z) опишет некоторую замкнутую кривую Г, не проходящую через начало координат (рис. 19). Можно определить по­рядок точки О для функции f(z) относительно замкнутой кривой С как число полных поворотов, совершаемых вектором, идущим от О к точ­ке f(z) на кривой Т, когда z делает полный обход по кривой С. Возьмем в качестве кривой С окружность с центром О и радиусом t и обо­значим черезпорядок точки О для функции f(z) относительно окружности с центром О и радиусом t. Очевидно, = 0, так как круг радиуса 0 сводится к одной точке и кривая Г также сводится к одной точкеЕсли мы докажем, что при достаточно больших значениях t функцияравна п, то в этом уже будет заключаться противоречие, так как, с одной стороны, порядокдолжен быть не­прерывной функцией t (поскольку f(z) есть непрерывная функция z), а с другой стороны, функцияможет принимать только целые зна­чения и потому никак не может перейти от значения 0 к значению n непрерывно.

Нам остается доказать, что при достаточно больших значениях t

Для этого заметим, что если радиус круга t удовлетворяет неравенст­вам

то

Так как выражение слева есть не что иное, как расстояние между точ­ками zn и f(z), а выражение в самой правой части неравенства — расстояние точки z_n от начала координат, то мы видим отсюда, что отрезок, соединяющий точки zn и f(z), не пройдет через начало коор­динат, если только z будет находиться на круге радиуса t с центром в начале. В таком случае имеется возможность деформировать кри­вую, описываемую точкой f(t) в кривую, описываемую точкой z_n, без прохода через начало, смещая непрерывным движением каждую точ­ку f(z) к соответствующей точке z_n по прямоугольному отрезку. При этом порядок начала может принимать только целые значения и, вместе с тем, во время деформации может меняться не иначе, как непрерыв­но; значит, для обеих функций  f(z) и z_n он одинаков, и так как для z_n он равен n, то имеет то же самое значение и для f(z). Доказательство закончено.