-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: September 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: Гомотопия.htm)


1  Гомотопия

Использован материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть X и Y суть ТП. Гомотопия есть непрерывное семейство отображений  Ft: X ® Y, t Î |0, 1| или непрерывное отображение Ft: |0, 1| ´ X ® Y. При этом значение F(t, x) чаще обозначается Ft(x).

Гомотопные отображения. Отображения f, g: X ® Y называются гомотопными или g ~ f, если существует гомотопия ft такая, что f0 = f  и f1 = g.

Гомотопическая эквивалентность ТП X и Y есть пара непрерывных отображений f: X ® Y и g: Y ® X такая, что fg ~ idY и gf ~ idX, здесь ~ обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что X и Y гомотопически эквивалентны, или X с Y имеют один гомотопический тип.

Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности ТП. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, формула Эйлера, эйлерова характеристика.

Отображение f: X ® Y называется слабой гомотопической эквивалентностью если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп.

Если на некотором подмножестве A Ì X, F(t, a) = f(a) для всех t при a Î A, то F называется гомотопией относительно A, а f и g гомотопными относительно A.

Изотопия — гомотопия топологического пространства X по топологическому пространству Y есть гомотопия Ft: X ® Y, t Î |0, 1|, в которой при любом t отображение ft является гомеоморфизмом X на f(X) Ì Y.

Гомотопия задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями X ® Y.

1.1    Гомотопические группы

1.2    Фундаментальная группа

В алгебраической топологии и связанных с нею областях математики фундаментальной группой называется алгебраический объект, который сопоставляется топологическому пространству и измеряет, грубо говоря, количество дырок в нем. Наличие дырки определяется невозможностью непрерывно стянуть некоторую замкнутую петлю в точку. Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.

Пусть X — ТП с отмеченной точкой x0 Î X. Рассмотрим множество петель в X из x0; то есть множество непрерывных отображений f:|0, 1| ® X, таких что f(0) = x0 = f(1). Две петли f и g считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель. Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

(f*g)(t) = \begin{cases}
f(2t), ~ t\in [0, {1 \over 2}] \\
g(2t-1), ~ t\in [{1 \over 2},1]
\end{cases}

Произведением двух гомотопических классов [f] и [g] называется гомотопический класс [f * g] произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой x0 и обозначается π1(X, x0).

Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.

1.3    Цепная гомотопия

1.4    Формула Эйлера для многогранника

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней простого трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

S + H = A + 2,

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер. Число 2 будет называться родом многогранника.

Более удобна другая форма записи этой формулы:

S - A + H = 2.

Ранее эта формула встречается в рукописях Р. Декарта, опубликованных Лейбницем в 1760 году. В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника. Если формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в виде:

где An — количество n-мерных граней N-мерного многогранника.

Минимальным многогранником является треугольник:

Выпишем формулу Эйлера для нее:

3(вершины) – 3(ребра) + 2(граней) = 2.

Количество граней равно двум, потому что кроме внутренней области треугольника учитывается внешняя ее область.

Для плоского многогранника (не ориентированного графа) без внешней области верна формула

3(вершины) – 3(ребра) + 2(граней) = 1.

 Она выполняется даже для отрезка – не плоского многогранника, но не ориентированного графа: 2 – 1 + 0 = 1:

и просто точки: 1 – 0 + 0 = 0 (обобщение Пуанкаре формулы Эйлера):

 

Докажем по индукции формулу Эйлера для плоского многогранника.

Действительно, для минимального многогранника – треугольника - эта формула выполняется (см. выше). Любой другой плоский многогранник можно получить последовательным применением операции добавления дополнительной вершины, дополнительных ребер и получающихся при этом дополнительных граней. Вершину можно добавить либо на уже существующее ребро, либо внутри грани (точка A на рис. 6). Во втором случае дополнительную точку надо связать ребром с какой-либо другой ближайшей или несколькими вершинами ("ежик"). Ребро (без дополнительной вершины) можно добавить между двумя ближайшими вершинами, и при этом необходимо учесть, что для простого многогранника в этом случае появится еще одна грань. Отдельно одну грань добавить невозможно.

Замечание. Ближайшей вершиной считается любая  другая вершина, находящаяся на границе грани, на которой добавлена новая вершина.

Рис. 6. Способы добавления вершины к многоугольнику.

Других способов нет. Рассмотрим все три случая отдельно.

Доказательство. Для минимального графа – единственной вершины – формула Эйлера выполняется.

Предположим, что при всех предыдущих применениях этого процесса формула Эйлера выполнялась на любом шаге. Докажем, что она будет выполняться и далее. Пусть у нас имеется произвольный граф и мы добавим к ней одну дополнительную вершину, ребро или и то и другое одновременно:

Рис. 7. Способы добавления вершин и ребер к многоугольнику.

В первом случае (см. рис. 7a) мы получили дополнительно 1 вершину (A), одно дополнительное ребро за счет деления общего ребра на две части и ни одной новой грани. Т.е. сумма дополнительных вершин равна количеству дополнительных ребер. Формула Эйлера на этом шаге преобразуется:

(S + 1) + (H + 0) = (A + 1) + 1,

S + H = (A + 1) + 1 – (1) =

= (A + 1 + 1 – 1) =

= A + 1.

Следовательно, по индукции в этом случае формула Эйлера верна.

Во втором случае (см. рис. 7b) мы опять получили дополнительно 1 вершину (A), n ребер (по количеству дополнительных ребер - AB1, AB2 и AB3) и n-1 граней (AB1B2, AB1B3, AB2B3 минус исходная грань). И в этом случае сумма дополнительных вершин и граней равна количеству дополнительных ребер. Формула Эйлера на этом шаге преобразуется:

(S + 1) + (H + n - 1) = (A + n ) + 1,

S + H = (A + n) + 1 – (1 + n - 1) =

= (A + 1) + (n - n) =

= A + 1.

В случае добавления точки внутри грани и одного ребра (n = 1) , проведенного к любой вершине, ребро и вершина просто компенсируют друг друга и получим тот же результат:

(S + 1) + (H + 1- 1) = (A + 1 ) + 1,

S + H = (A + 1) + 1 – (1 + 1 - 1) =

= (A + 1) + (1 - 1) =

= A + 1.

В третьем случае (см. рис. 7c) мы не получили дополнительно ни одной вершины, но  получили одно ребро - AB и дополнительно одну грань (ABB1 или ABB2). Т.е. сумма дополнительных вершин и граней равна количеству дополнительных ребер. Формула Эйлера на этом шаге преобразуется:

S + (H + 1) = (A +  1) + 1,

S + H = (A + 1) + 1 – 1 =

= (A + 1 + 1 – 1) =

= A + 1.

Следовательно, по индукции и в этом случае формула Эйлера верна.

Следовательно, по индукции формула Эйлера верна в любом случае.

Формула для объемного многогранника верна потому, что любой многогранник можно отобразить на плоскость и получить плоский не ориентированный граф. При этом надо учесть, что одной из ее граней будет  соответствовать внешняя область получившегося плоского многогранника.

Для не простых многогранников формула Эйлера не выполняется. Есть много разновидностей не простых многогранников.

Во первых, они могут отличаться связностью. Простой многогранник является связным. Для многосвязных многогранников, состоящих из нескольких простых, формула Эйлера верна для каждой связной области в отдельности и в общем по формуле

SA + H = 1 + n,

где n – связность многогранника.

Во вторых, некоторые из граней могут быть вырезанными или, наоборот, можно натянуть грань на уже существующие ребра. Естественно, что формула Эйлера будет отличаться на количество вырезанных граней.

Даже связные многогранники могут быть не простыми. Если в простом многограннике вырезать две грани, соединить их вершины между собой n > 0 новыми ребрами и замкнуть их новыми гранями, мы получим многогранник с дыркой. При этом формула Эйлера изменится:

S' – A' + H' =

SA + H

0(новых вершин) – n(новых ребер) - 2(вырезанные грани) + n(новых граней) =

+ 0 – n + (n  - 2) =

= SA + H – 2.

Из этой формулы видно, что род многогранника уменьшается на 2 единицы с каждой дыркой в многограннике. Для простого многогранника с одной дыркой верна следующая модифицированная формула Эйлера:

S' – A' + H' = 0.

При n = 0 натягивается одна грань между вырезанными гранями и будет верна формула

S' – A' + H' = 1.

Для общего случая простого многогранника с несколькими дырками будет верна модифицированная формула Эйлера:

S' – A' + H' = 2 – 2p,

где p – род многогранника.

Можно вырезать только одну грань и ее n > 0 вершин соединить с любой другой не ближайшей вершиной. В этом случае константа Эйлера изменится:

S' – A' + H' =

SA + H

0(новых вершин) – n(новых ребер) - 1(вырезанная грань) + n(новых граней) =

+ 0 – n + (n  - 1) =

= SA + H – 1,

и формула Эйлера преобразуется в формулу

S' – A' + H' = 1,

При n = 0 формула Эйлера останется правильной. Такие многогранники можно назвать "лепешками".

В общем случае вырезания нескольких граней и соединения вершин этих граней с другими не ближайшими вершинами модифицированная формула Эйлера будет следующей:

S' – A' + H' = 2 - p,

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что формула Эйлера верна только для частных случаев связных простого многоугольника, ежика и лепешки (для случая соединения любой внутренней точки (ребра или другого несвязного с исходным графа) грани (нескольких граней) простого многоугольника с какой либо не собственной вершиной (ребром или системой ребер, эквивалентных внутреннему графу)).  Можно вывести аналог формулы Эйлера для других не простых многоугольников.

1.5    Род поверхности

Многие простые, но весьма существенные обстоятельства выясняются при изучении двумерных поверхностей. Сравним, например, поверхность сферы с поверхностью тора. Взгля­нув на рис. 8, сразу можно обнаружить различие: на сфере, как и на плоскости, замкнутая кривая, вроде С, разделяет поверхность на две части; но на торе существуют и такие замкнутые кривые, например С', которые не разделяют поверхности на две части. Если мы говорим, что кривая С разделяет сферу на две части, то это означает, другими сло­вами, что при разрезании поверхности сферы по кривой С эта поверх­ность распадается на два не связанных между собой куска, или, еще иначе, что можно найти две такие точки сферы, что всякая кривая на сфере, их соединяющая, непременно пересечется с кривой С. Напро­тив, если разрезать тор по кривой С', то после разреза поверхность не распадется: любые две ее точки можно соединить кривой, не имеющей общих точек с С'. Указанное различие свидетельствует о том, что сфера и тор в топологическом смысле не принадлежат одному и тому же классу поверхностей: тор нельзя топологически преобразовать в сферу.

    

 

Рис. 8. Разрезы на сфере и на торе

Рассмотрим теперь поверхность с двумя «дырами», изображенную на рис. 9. На этой поверхности оказывается возможным провести сра­зу две замкнутые кривые А и В, которые не разделяют поверхности на части. Тор, напротив, при проведении двух таких кривых непременно разделится на части. С другой стороны, любые три замкнутые кривые разделяют нашу поверхность с двумя дырами.

Рис. 9. Разрезы на бублике

Все это подсказывает мысль ввести понятие рода поверхности, понимая под родом поверхности наибольшее возможное число вза­имно не пересекающихся простых замкнутых кривых, которые мож­но провести на поверхности, не разделяя ее на части. Род сфе­ры равен 0, род тора равен 1, род поверхности, изображенной на рис. 9, равен 2. Такая же поверхность с р «дырами» имеет род р. Род есть топологический инвариант поверхности: он не изменяется при деформировании поверхности. Обратно, можно доказать, что если две замкнутые по­верхности имеют один и тот же род, то одну можно деформировать в другую; таким образом, род р = 0, 1, 2, ... замкнутой поверхности полностью характеризует топологический класс, к которому она при­надлежит. (Здесь предполагается, что мы рассматриваем только обык­новенные «двусторонние» поверхности. В пункте 3 этого параграфа мы рассмотрим также и «односторонние» поверхности.) Например, толь­ко что рассмотренная поверхность с двумя дырами и сфера с двумя «рукоятками», изображенная на рис. 10, являются обе замкнутыми поверхностями рода 2, и мы видим, что каждую из этих поверхнос­тей удается деформировать в другую. Так как поверхность с р дырами или ее эквивалент — сфера с р рукоятками — поверхности рода р, то любую из этих поверхностей можно взять в качестве «топологического представителя» всех замкнутых поверхностей рода р.

Рис. 10. Поверхность рода 2

1.6    Односторонние поверхности

У каждой из обыкновенных поверхностей имеется по две стороны. Это относится и к замкнутым поверхностям вроде сферы или тора, и к поверхностям, имеющим гра­ницы, каковы, например, диск или тор, из которого удален кусок по­верхности.

Простейшей односторонней поверхностью является лист Мебиуса. Он назван так в честь А. Мебиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858 г. Чтобы ее построить, нужно взять лист бумаги, имеющий форму очень вытянутого прямоугольника, и склеить его концы после полупо­ворота, как показано на рис. 11. У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Любая попытка окрасить только одну сторону листа Мебиуса обречена на неудачу, так как у листа Мебиуса всего одна сторона.

Предположим, что по таким поверхностям ползал бы клоп и что-нибудь мешало бы ему пересекать граничные кривые; тогда он оста­вался бы всегда на одной стороне поверхности. Клоп, ползущий по середине листа Мебиуса (не пересекая края), вернется в исходную точку в положении "вверх ногами". При разрезании листа Мебиуса по средней линии он не распадается на две части.

Рис. 11. Лист Мёбиуса: а, б, в — перекручивание и склеивание ленты; г — ориентация «сторон». Бесконечная простая полоска бумаги (а, б)) имеет внутреннюю и внешнюю стороны и два края. Лист Мебиуса (в, г), склеенный из перекрученной на полоборота прямоугольной полоски (а), имеет только одну сторону и один край.

Другое замечательное свойство поверхности Мебиуса заключает­ся в том, что у нее только один край: вся граница состоит из одной замкнутой кривой. Обыкновенная двусторонняя поверхность, получа­ющаяся при склеивании концов ленты без всякого поворота, явственно имеет две различные граничные кривые. Если эту последнюю поверх­ность разрезать по центральной линии, она распадется на две поверх­ности того же типа. Но если разрезать таким же образом по централь­ной линии ленту Мебиуса (см. рис. 11), то мы увидим, что распадения на две части не будет. Тому, кто не упражнялся с лентой Мебиуса, трудно предсказать это обстоятельство, столь противоречащее нашим интуитивным пред­ставлениям о том, что «должно» случиться.

Но если поверхность, полученную после описанно­го выше разрезания ленты Мебиуса, снова раз­резать по ее центральной линии, то у нас в ру­ках окажутся две не связанные, но переплетен­ные между собой ленты!

Очень интересно разрезать по линиям, па­раллельным границе и отстоящим от нее на ½, 1/3 и т. д. ширины ленты.

Граница поверхности Мебиуса представляет собой простую «незаузленную» замкнутую кривую и ее мож­но деформировать в окружность. Но придется допус­тить, что в процессе деформации поверхность будет са­ма себя пересекать. Получающаяся при этом самопере­секающаяся односторонняя поверхность известна под названием «кросс-кэп» («перекрещивающаяся шляпа» (англ. cross-cap.) – см. рис. 12). Линию пересечения здесь следует считать дважды, один раз относя к од­ному из пересекающихся листов поверхности, другой раз — к другому. Кросс-кэп, как и всякую односторон­нюю поверхность, нельзя непрерывно деформировать в двустороннюю (топологическое свойство).

Рис. 12. Кросс-кэп.

Любопытно, что ленту Мебиуса можно, оказывается, так деформи­ровать, что ее граница будет плоской ломаной, — а именно, треугольни­ком, — причем лента останется несамопересекающейся. Такая модель, найденная д-ром Б. Туккерманом, показана на рис. 13, а; границей лен­ты служит треугольник ABC, ограничивающий половину диагональ­ного квадратного сечения октаэдра (симметричного относительно это­го сечения). Сама лента состоит при этом из шести граней октаэдра и четырех прямоугольных треугольников — четвертей вертикальных диагональных плоскостей октаэдра 2.

Рис. 13. Лента Мёбиуса с прямолинейным краем (а) и ее развертка (б)

Другой любопытный пример односто­ронней поверхности — так называемая «бутылка Клейна». Это — замкнутая по­верхность, но она, в противоположность известным нам замкнутым поверхностям, не делит пространства на «внутреннюю» и «внешнюю» части. Топологически она эк­вивалентна паре кросс-кэпов со склеенными между собой граничными кривыми.

Рис. 14. Бутылка Клейна

Можно доказать, что всякая замкнутая односторонняя поверхность рода р = 1, 2,... топологически эквивалентна сфере, из которой вы­нуты р дисков и заменены кросс-кэпами. Отсюда легко выводится, что эйлерова характеристика VE + F такой поверхности связана с родом р соотношением

VE + F = 2 – p,

где V - число вершин, Е - число дуг и F - число областей.

Доказательство этого предложения такое же, как и для двусторонних по­верхностей. Прежде всего убедимся, что эйлерова характеристика кросс-кэпа или ленты Мебиуса равна 0. Для этого заметим, что, перерезая поперек ленту Мебиуса, предварительно подразделенную на области, мы получим прямо­угольник, у которого будут все лишнее вершины и одна лишняя дуга, число же областей останется то же самое, что и для ленты Мебиуса. Мы видели на стр. 283, что для прямоугольника VE + F = 1. Следовательно, для лен­ты Мебиуса VE + F = 0.

Изучение топологической структуры поверхностей, подобных тем, которые только что были описаны, проводится более удобно, если воспользоваться плоскими многоугольниками с попарно идентифициро­ванными сторонами (см гл. IV, приложение, пункт 3). Так, на схемах рис. 15 стрелки показывают, какие из параллельных сторон и в ка­ком направлении должны быть идентифицированы: если возможно, то физически, если невозможно, то хотя бы мысленно, абстрактно.

 

Рис. 15. Замкнутые поверхности, определенные посредством идентификации сторон квадрата: a) цилиндр, b) тор, c) лист Мебиуса, d) бутылка Клейна.

Рис. 16. Определение трехмерного тора посредством идентификации граней куба.

Рис. 17. Другое представление трехмерного тора (разрезы показывают иден­тификацию)

Метод идентификации можно применить и для определения трех­мерных замкнутых многообразий, аналогичных двумерным замкну­тым поверхностям. Например, отождествляя соответствующие точки взаимно противоположных граней куба (рис. 16), мы получаем замк­нутое трехмерное многообразие, называемое трехмерным тором. Та­кое многообразие топологически эквивалентно пространственной об­ласти, заключенной между двумя концентрическими поверхностями тора (одна внутри другой), с идентификацией соответствующих точек (рис. 17). Действительно, это последнее многообразие получается из куба, если привести в «физическое» совпадение две пары «мысленно отождествленных» взаимно противоположных граней.

1.7    Эйлерова характеристика поверхности

Предположим, что замкнутая поверхность S рода р подразделена на некоторое чис­ло областей: такое подразделение получается, если мы отметим на S ряд «вершин» и соединим их затем между собой дугами кривых. Мы покажем, что в таком случае

V - Е + F = 2 - 2р,                                                                          (1)

где V - число вершин, Е - число дуг и F - число областей. Чис­ло 2 - 2р называется эйлеровой характеристикой поверхности. Как мы уже видели, для случая сферы V - Е + F = 2, что согласуется с фор­мулой (1), так как сфера имеет род р, равный нулю.

Рис. 18. К эйлеровой характеристике поверхностей

Желая доказать общую формулу (1), вообразим, что S есть сфера с р рукоятками. Как мы отметили, любая поверхность рода р может быть непрерывной деформацией приведена к этому виду, и во время деформации ни V - Е + F, ни 2 - 2р не изменяются. Непрерывную деформацию мы выберем таким образом, чтобы замкнутые кривые А1, А2, B1, В2, ..., по которым рукоятки соединяются со сферой, пришлись как раз на дуги данного подразделения. (Рис. 18 иллюстрирует опи­сываемую дальше процедуру в случае р = 2.)

Прорежем теперь поверхность S по кривым A2, В2, … и выпря­мим рукоятки. У каждой рукоятки появится свободный край, ограни­ченный новой кривой А*, В*, ..., причем на появившемся крае будет столько же вершин и столько же дуг, сколько их было соответственно
на А2, В2.       

Число V - Е + F при прорезывании не изменится, так как новых областей не возникнет, а число вновь возникших вершин уравновеши­вается числом вновь возникших дуг. Затем деформируем поверхность дальше, сплющивая торчащие рукоятки (включая их в поверхность сфе­ры). В итоге получается сфера с 2р отверстиями. Так как V - Е + F, как нам известно, равно 2 для всякого подразделения полной сферы, то для нашей сферы с 2р отверстиями мы получаем V - Е + F = 2 - 2р, и это равенство, очевидно, справедливо также и для первоначальной сферы с р рукоятками. Наше утверждение доказано.

Рис. 3 иллюстрирует применение формулы (1) к поверхности S, составленной из плоских многоугольников. Эту поверхность можно то­пологически деформировать в поверхность тора, так что ее род р ра­вен 1, и потому 2 - 2р = 2 - 2 = 0. Как и требуется по формуле (1), мы получаем

V - Е + F = 16 - 32 + 16 = 0.

1.8    Эйлерова характеристика

или характеристика Эйлера—Пуанкаре есть топологический инвариант (и даже гомотопический инвариант) определённый на большом классе ТП. Обычно эйлерова характеристика пространства X обозначается χ(X).

Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

χ = k0 - k1 + k2 - ...,

где ki обозначает число клеток размерности i.

Эйлерова характеристика произвольного ТП может быть определена через числа Бетти bn как знакопеременная сумма:

\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Окружность и тор имеют характеристику 0, а шар имеет характеристику 1.

Эйлерова характеристика сферы с g ручками равна

2 - 2g.

Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: χ = Γ - P + B где Г, P и B суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для любого многогранника верна формула Эйлера:

Γ - P + B = χ(S2) = 2.

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Согласно формуле Гаусса — Бонне, эйлерова характеристика замкнутой поверхности S равна

\chi(S)=\int\limits_SK

где K обозначает гауссову кривизну.

Обобщённая формула Гаусса — Бонне даёт похожую формулу для произвольных замкнутых римановых многообразий.

Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Боне, гласящий, что эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра делённой на .

Если два пространства гомотопически эквивалентны то их числа Бетти совпадают, а таким образом и эйлеровы характеристики совпадают.

 

Ссылка на этот материал: Гомотопия.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 24 делить на "четыре" равно:

---Load files---
Сегодня - 25_10_2020
Время переоткрытия сайта 03 ч 00 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(10 431)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:0 V:0 N:47
Уникальных посетителей за текущие сутки: 0 Просмотров: 0 Этой страницы (всего): 47