Топология

В середине XIX столетия возникло совершенно новое течение в гео­метрии, которому было суждено вслед за тем стать одной из глав­ных движущих сил современной математики. Предметом новой отрас­ли, называемой топологией (analysis situs), является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются самым резким, самым решительным преобразованиям, уничтожающим все их и метрические, и проективные свойства. Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874). Основателями современной топологии считаются Г. Кантор (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) и Л. Брауэр (1881-1966).

Понятие "топологическое пространство" (в дальнейшем – ТП) можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей, рассматриваемые с точки зрения свойства непрерывности. ТП возникают естественно почти во всех разделах математики. В частности, любые метрические пространства можно определить как ТП.

Одним из великих геометров этой эпохи был А.Ф.Мебиус (1790-1868). В возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской Академии мемуары об «односторонних» поверхностях, содер­жащий кое-какие из наиболее изумительных фактов в новой отрасли геометрии. Подобно многим другим важным научным работам, его ру­копись ряд лет залежалась на полках Академии, пока обстоятельства не сложились так, что ее опубликовал сам автор. Независимо от Мебиуса геттингенский астроном И. Листинг (1808-1882) сделал подобные же от­крытия и, будучи побуждаем Гауссом, в 1847 г. издал небольшую книгу «Vorstudien zur Topologie». Бернгард Риман (1826-1866), будучи студентом, этого университетского города, осознал, что именно в них нужно искать разгадку самых глубоких свойств аналитических функций комплексного переменного. Поздней­шее развитие топологии, вероятно, едва ли обязано чему-либо в такой степени, как великолепному зданию римановой теории функций, в ко­торой топологические концепции имеют самое фундаментальное значе­ние. Ему же принадлежит формулировка проблемы четырех красок, которую затем исследовали О. де Морган (1806-1871) и А. Кэли (1821-1895).

Хотя топологию можно с полной определенностью назвать про­дуктом последнего столетия, необходимо все же отметить, что еще и раньше было сделано несколько открытий, которые, как вытекает из современной систематики математических знаний, имеют ближайшее отношение к топологии. Из них самым крупным, несомненно, являет­ся установление формулы, связывающей числа вершин, ребер и граней простого многогранника: она была подмечена уже Декартом в 1640 г., позднее переоткрыта доказана и использована Эйлером в 1752 г. Характерные черты топологического утверждения в этой формуле стали очевидны­ми гораздо позднее — после того как Пуанкаре в «формуле Эйлера» и ее обобщениях усмотрел одну из центральных теорем топологии.

С точки зрения математики наша Вселенная обладает определенной топологией. Эта топология определяется на 4–мерном пространстве R4, полученном как прямое произведение 3–мерного и 1–мерного пространств R4 = R1×R3 и является квадратично метризуемой. В пространстве R3 и R1 по отдельности определены сильные метрики, где из r(a, b) = 0 следует a = b, а в общем пространстве R4 определена только слабая метрика. Насчет его конечности или бесконечности идут споры, но для простого обывателя она бесконечна и евклидова, однородна и изотропна. Из однородности и изотропности следует, что наша Вселенная не должна иметь собственных особых точек. Но у него, возможно, все же есть свои (топологические или скорее метрические) особенности – существование внешней границы в виде предельных бесконечно удаленных точек. Особыми точками можно считать также идеальную м.т. и элементарные частицы, потому что области, где они находятся, отличаются от остального пространства, в которой их нет. Эта область обладает предельным свойством, сходящимся к этой точке или области: можно построить фундаментальную последовательность убывающих не пустых областей, пределом которой является м.т. или элементарная частица.