1  Определение новых ТП

Новые ТП можно создать различными способами из уже существующих.

Если ТП определено с помощью приведенных ниже операций, то обратная операция – определение исходных составляющих ТП – определяется в общем случае не однозначно или вообще не определяется. Разложение ТП на составляющие имеет значение для классификации ТП. Если какую-то топологию можно представить как сумму ТП, произведение ТП, отображение ТП, … или их комбинацию, то это уже есть элемент классификации.

1.1    Подмножества ТП

Во первых, любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X. Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X.

Этот способ получения нового ТП  использует в качестве основы только исходное ТП.. Существуют также способы получения новых ТП с помощью двух исходных, возможно, одинаковых ТП.

1.2    Индуцированная отображением топология

Первый способ получения ТП – индуцированная топология. Пусть f: X ® Y — произвольное отображение, множества X в ТП Y. Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на X: за открытые множества в X берутся всевозможные прообразы открытых множеств в Y; то есть U Î X открыто, если существует открытое V Î Y такое что U = f ^{− 1}V.

1.3    Топология через упорядочение

Множество интервалов (сегментов) упорядоченного множества как базис однозначно определяет топологическое пространство. Можно наложить дополнительное ограничение на открытость снизу и/или сверху для базисных интервалов и сегментов. Потому что

Множество закрытых интервалов (сегментов) упорядоченного множества как базис однозначно определяет тривиальное дискретное топологическое пространство.

1.4    Прямая сумма ТП

Вторая такая операция – операция прямой суммы нескольких (в перспективе – любой мощности) ТП:

T = T1 Å T2.

При выполнении этой операции открытыми множествами пространства T будут являться все открытые подмножества обеих пространств.

Особенностью этого способа определения топологии является то, что каждый из составляющих ТП общего ТП является независимым элементом связности, при условии ее непересекаемости с другими составляющими. Если составляющие сумму ТП пересекаются, то топологии, определенные на каждом из них, можно принять только в качестве предбазы топологии, определенной на их пересечении. Вне пересечения топология определяется топологией исходных ТП.

Представление ТП через сумму ТП определяется однозначно компонентами связности ТП.

1.5    Прямое произведение ТП

Следующая такая операция – операция прямого произведения нескольких (ограничение – конечного числа) ТП, определенное еще Кантором для двух множеств:

T = T1 Ä T2.

При выполнении этой операции определить все открытые множества пространства T затруднительно. Существует две возможности определения открытых множеств результирующего ТП.

1) T – просто прямая сумма исходного ТП T1, повторенная T2 раз как индекс.

2) Но можно считать, что если T₁ и T₂ – открытые множества соответственно для T1 и T2, то T₁ Ä T₂ будет являться открытым подмножеством пространства T. Но этим не исчерпываются все открытые подмножества пространства T, а это множество будет являться только базой ТП T, состоящей из "шаров-параллелепипедов".

Через возможность определения ТП через произведение других ТП может быть определено такое топологическое свойство ТП, как ее размерность: размерность ТП равна количеству участвующих в произведении ТП. Обычно в этом случае составляющие ТП совпадают или хотя бы равномощны. Дополнительное ограничение – односвязность и бесконечность составляющих ТП. Это определение размерности, конечно, очень даже не строгое, но она может совпасть с обычной размерностью n евклидовых пространств.

1.6    Метризация

Можно задать некоторую бинарную функцию f(x₁, x₂), удовлетворяющую аксиомам метрики. Каждое такое (метрическое, см. далее) пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её открытую ε-окрестность (шар радиуса ε с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n-мерного евклидова пространства Rⁿ является топологическим пространством.

1.7    Расширения (или вложения) ТП

Например, присоединением граничных или предельных точек.

1.8    Бикомпактное расширение ТП

Бикомпактификация по П.С.Тихонову. Всякое локально бикомпактное (но не бикомпактное) хаусдорфово ТП можно топологически вложить в некоторый бикомпакт, присоединив к исходному всего одну "бесконечно удаленную" точку.

1.9    Фактор-пространства

1.10Предел обратного спектра

1.11Комбинированный способ

Операции прямой суммы и произведения могут быть обобщены на любое другое, как конечное, так и бесконечное, количество исходных ТП. Кроме конкретно этих операций, конечно, можно воспользоваться любой их комбинацией, в т.ч. и с применением остальных способов.