-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: September 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: Подмножества-пространства-Rn.htm)


1  Подмножества пространства Rn.

Существует великое множество топологических пространств произвольной размерности. Наиболее простые из них – евклидовы пространства. Т.к. любое подмноджество ТП снова является ТП, то существует такое же количество и подмножеств ТП. Гладких и негладких, непрерывных и не очень.

Но для подмножеств, кроме самой топологической структуры, имеет значение и способ вложения в объемлющее пространство. Да и сама структура подмножества может иметь значение. Например, структура узлов или кос может быть очень разнообразной.

Есть и совсем не тривиальные примеры.

Также надо иметь в виду, что любой вышеприведенный и нижеприведенный примеры являются только представителями своего класса подмножеств евклидова пространства Rn с похожими свойствами. Многие из них имеют фрактальную структуру. Конкретных реализаций этих подмножеств великое множество, даже если не учитывать их гомеоморфные классы.

1.1    Прямая и ее подмножества

Наиболее известными множествами размерности 1 являются прямые и кривые линии в своей очевидной, бытовой ипостаси. Среди кривых линий можно отметить, например, окружность. Менее известны графы. Окружность и графы, конечно, не являются подмножествами прямой.

Всю прямую можно отобразить на множество вещественных чисел, поэтому прямая эквивалентна множеству вещественных чисел, а подмножества прямой эквивалентны подмножествам множества вещественных чисел. Наиболее известными подмножествами прямой являются

1) отдельные точки,

2) открытые, полуоткрытые, закрытые отрезки (интервалы) и лучи,

3) вся прямая сама по себе.

4) Множество точек, соответствующих натуральным или целым числам

5) или их конечному подмножеству.

Кроме них, можно отметить и другие, не тривиальные подмножества.

6) Множество рациональных точек прямой.

7) Множество иррациональных точек прямой.

8) На только что приведенных примерах можно оставить или удалить всюду плотные или не плотные подмножества точек счетной или континуальной мощности со сложной внутренней структурой.

9) А также их произвольные объединения, пересечения, разности. Последовательность вложенных отрезков обязательно имеет предел – он не пуст. Объединение бесконечного количества сегментов может быть открытым интервалом, пересечение бесконечного количества вложенных сегментов может быть закрытым отрезком.

1-й, 4-й и 5-й примеры являются примерами нигде не плотных подмножеств на прямой. 2-й и 3-й виды подмножеств являются непрерывными везде плотными, полными подмножествами прямой. С 4-го по 7-й примеры подмножеств не являются непрерывными и имеют размерность dimM = 0. 6-й и 7-й примеры являются примерами везде плотных подмножеств прямой. Три последних примера являются примерами подмножеств различной мощности на прямой.

1.2    Плоскость и ее подмножества

Наиболее известными множествами размерности 2 являются евклидова плоскость и другие кривые плоские поверхности в своей очевидной, бытовой ипостаси. Среди кривых поверхностей можно отметить, например, сферу и тор. Всем хорошо известны многогранники. А также большое количество других плоских фигур, которые можно нарисовать карандашом или вырезать с помощью ножниц – круг, квадрат, другие многоугольники.

Наиболее известными подмножествами плоскости являются одномерные подмножества прямой и кривых линий на плоскости (см. выше), и собственно двумерные подмножества. В качестве примера назовем одно подмножество плоскости – окружность и графы. Их я выбрал потому, что они не являются подмножествами прямой.

Многие множества размерности 2 не являются подмножествами евклидовой плоскости, но они интересны сами по себе. Относительно некоторых подмножеств даже сложно сказать, какие они – одномерные или двумерные.

Всю плоскость можно отобразить на множество пар вещественных чисел, поэтому прямая эквивалентна множеству пар вещественных чисел, а подмножества прямой эквивалентны подмножествам множества пар вещественных чисел.

1.3    Пространство и ее подмножества

Все, что было сказано в отношении плоских множеств и подмножеств, можно повторить и в отношении множеств и подмножеств размерности 3 и более, с некоторыми уточняющими корректировками. Только разнообразия здесь еще больше.

1.4    Канторово множество (дисконтинуум или пыль Кантора).

Классическое множество Кантора или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или ещё ранее. Это множество известно как пример множества нулевой меры Лебега, чья мощность равна мощности континуума.

Канторово множество строится следующим образом. Из единичного отрезка 0 ≤ x ≤ 1 удалим среднюю треть (интервал), т.е. все точки x, удовлетворяющие неравенству 1/3 ≤ x ≤ 2/3. Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C1 состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и то множество, кото­рое останется, обозначим через C2. Повторим опять эту процедуру, удаляя среднюю треть у всех четырех отрезков; получим C3. Дальше таким же об­разом получим C4, C5, C6, .... Обозначим через C множество точек, которое останется, когда все средние трети будут удалены; т. е. C есть, другими сло­вами, множество точек, принадлежащих одновременно всем множествам C1, C2, C3, .... В первой операции был удален интервал длины 1/3; во второй операции — два интервала,

Рис. 1. Канторово множество

каждый длины 1/9 и т. д.; сумма длин всех удаленных интервалов равна

Бесконечный ряд в больших скобках есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна; итак, сумма длин удаленных промежутков составляет 1. И все-таки далеко не все точки отрезка удалены: множество C не пустое. Например, все точки, являющиеся концами удаленных отрезков

ему принадлежат. Можно легко убедиться, что множество С состоит из всех тех чисел х, разложения которых в бесконечную дробь по основанию 3 могут быть написаны в форме

где всякое an есть 0 или 2, тогда как в аналогичном разложении для всякой удаленной точки среди чисел an хоть раз встретится 1. Точнее, число, в 3-ичном представлении  которого есть 1, принадлежит канторову множеству, если эта 1 является последней.

Существует великое множество подмножеств прямой, похожих на канторово множество. Все они получаются применением похожего механизма построения точек "псевдоканторова множества". Самый простой из них – делить отрезки на каждом шаге на три, не обязательно равных, отрезка. Или просто выполнить непрерывное отображение отрезка [0, 1] с канторовым множеством на себя после построения. В конце концов, все они получаются этим способом.

Основные свойства.

1.      Любая точка канторова множества является односторонней точкой.

2.      У любой внутренней точки канторова множества имеется смежная ей односторонняя точка.

3.      Мощность канторова множества равняется континууму.

4.      Длина всех отрезков канторова множества равна нулю.

5.      Канторово множество не содержит невырожденных отрезков (отсюда "дисконтинуум").

6.      Канторово множество нигде не плотно и не полно, т.е. между любыми двумя точками имеется конечный пустой интервал.

7.      Дисконтинуум повторяет себя в каждом своем отрезке, и не одним способом. При выборе отображения необходимо обеспечить отображение пары смежных (соседних) точек в такую же пару других смежных точек.

1.5    Канторова лестница

С канторовым множеством связана обладающая некоторыми весьма интересными свойствами непрерывная функция c(x), называемая канторовой лестницей. Функция определена на всей прямой. На участках, соответствующих выброшенным из отрезка [0, 1] точкам канторова дисконтинуума она представляет собой горизонтальную прямую. Высота этой прямой определяется уровнем этого отрезка. Первый отрезок находится на высоте ½, следующие уровни находятся на половине высоты между соседними отрезками предыдущих соседних уровней. На рис. 4 показано построение канторовой лестницы до третьего уровня. На точках, соответствующих канторову дисконтинууму, значение функции равно пределу процесса построения горизонтальных участков.

Рис. 4. Построение канторовой лестницы.

Функция во всех точках, не соответствующих точкам канторова дисконтинуума, имеет нулевую производную, но сама функция не постоянна, а растет от 0 до 1, что видно из построения. В точках дисконтинуума производная не определена, или бесконечна.

Для получения значения функции в точке дисконтинуума в троичной записи числа необходимо заменить цифры "2" на цифру "1" и считать ее двоичным числом. Значение функции в других точках равно значению в ближайшей левой точке дисконтинуума. Чтобы найти это число, из троичной записи числа необходимо выбросить весь хвост после первой единицы.

Существует великое множество подмножеств лестниц, похожих на канторову лестницу. Все они получаются применением похожего механизма построения точек "псевдоканторовой лестницы". Эти способы делятся на две части. Первая часть – построить "псевдоканторово множество". Вторая часть – алгоритм получения вертикальных делений. Самый простой из них – вертикальное деление на каждом шаге производить не обязательно на равные части. Или просто выполнить непрерывное отображение отрезка [0, 1] обеих осей на себя после построения. В конце концов, все они получаются этим способом.

Лестница повторяет себя в каждом своем отрезке, и не одним способом. Принцип и причина подобия та же, что и для канторова множества.

1.6    Ковер Серпиньского

Ковер Серпиньского представляет собой плоский аналог канторова множества. Первым его построил и описал польский математик Вацлав Серпиньский в 1915 г.

Строится ковер Серпиньского следующим образом.

Строится единичный квадрат {(x, y) ÎR2: 0 ≤ x, y ≤ 1} плоскости R2. Назовем его квадратом нулевого ранга. Горизонталями и вертикалями разделим этот квадрат на 9 одинаковых квадратов со сторонами ⅓ и вырежем открытый центральный квадрат, оставив 8 нецентральных замкнутых квадрата (см. рис. 5).

 На следующем шаге повторим эту же процедуру к оставшимся 8 квадратам. При этом в каждом из этих квадратов останутся 8 замкнутых квадратов поменьше.

Рис. 5. Ковер Серпиньского на основе квадрата. Ковер можно построить и на основе равностороннего треугольника (треугольник Серпиньского)..

На каждом следующем шаге повторим эту процедуру ко все более мелким квадратам очередного шага. В конце концом получим искомое множество – ковер Серпиньского.

Ковер Серпиньского замечателен тем, что является плоской (понимаемой в самом общем смысле) линией и топологически содержит все плоские одномерные множества (при этом подмножество плоскости не более чем одномерно тогда и только тогда, когда оно не содержит никакого круга). Ковер Серпиньского является непрерывной связной линией.

Можно заметить, что точки ковера Серпиньского на линиях, являющихся линиями симметрии квадрата (центральные горизонтальная, вертикальная и диагональные линии) в точности определяют точки канторова множества. В то же время она обладает фрактальными свойствами: маленькие квадраты в точности подобны большим квадратам. И все это не мешает коверу Серпиньского быть связным множеством.

Весь периметр любого квадрата полностью входит в состав ковера. Любая линия от одной стороны квадрата до противоположной стороны, включающая в себя ребра выброшенных квадратов первого шага, полностью входит в состав ковера. Любая линия от одного ребра квадрата до противоположного ребра, включающая в себя ребра выброшенных квадратов определенного шага, ближайших к внешней границе исходного квадрата и параллельных этой границе, полностью входит в состав кривой. Это говорит о том, что весь ковер состоит из периметров квадратов каждого уровня построения и форма этой кривой есть бесконечная плоская сетка.. В силу этого линию ковера невозможно совершенно упорядочить как прямую линию. В этом отличие произвольных линий от линий, подобных прямой и окружности.

Рассмотрим представление ковера с помощью числового множества. Для этого все точки ковера отобразим на числовой отрезок следующим образом.

Множество чисел представим как числа на отрезке [0, 1] в троичной системе исчисления. Это в точности единица и все числа, представляемые как конечные и бесконечные последовательности цифр вида "0,xxxxxx..", где x – цифра из множества {0, 1, 2}. Множество, представляющее множество "ковер Серпиньского", будет ее подмножеством.

Представление множества точек плоскости получим как объединение троичного представления двух чисел x и y в общем парном поразрядном представлении "0,xy'xy'xy'..": в каждой паре первая цифра есть цифра соответствующего разряда первого числа (x), а вторая цифра есть цифра соответствующего разряда второго числа - (y). Рассмотрим эти числа.

На первом шаге мы исключаем все числа вида "0,11'xy'xy'..", где x – цифра из множества {0, 1, 2}, кроме бесконечной последовательности нулей. Все остальные числа рассматриваются на следующем шаге.

Т.к. каждый квадрат ковера второго уровня подобен большому квадрату, то множество запрещенных чисел получается делением запрещенных чисел первого уровня на 3*3 = 9 и прибавлением значения цикла, равного 1/3 по обоим координатам. Мы получим числа вида"0,xy'11..", причем числа вида "0,11'xy'xy…" мы уже исключили. Если мы продолжим эту процедуру, то должны будем исключить из чисел множества "ковер Серпиньского" все числа, в троичном попарном представлении которого встречается пара "11" с произвольным продолжением, кроме бесконечной последовательности нулей.

1.7    Универсальная кривая (губка) Менгера

Универсальная кривая Менгера представляет собой пространственный аналог канторова множества. Первыми его построили и описали австрийский математик К.Менгер и П.С.Урысон.  Она называется универсальной потому, что сама является линией и топологически содержит все вообще линии и даже все одномерные множества пространства (при этом подмножество пространства не долее чем одномерно тогда и только тогда, когда оно не содержит никакого шара).

Строится аналогично коверу Серьпинского, но при этом процедура применяется к единичному квадрату, который делится на 27 более маленьких одинаковых квадрата плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Из него вырезается 7 центральных куба, в сумме похожих на противотанковый еж, оставив 20 замкнутых кубов.

Дальше процедура будет применяться с продолжением к этим 20 оставшимся кубам.

Картинка 55 из 451

Рис.7. Губка Менгера после 3-х шагов построения. Существует также пирамида Серпиньского, построенная на основе равносторонней пирамиды, на каждом шаге построения  которого остаются только 4 угловых пирамиды размером в 2 раза меньше.

Эта кривая замечательна еще и своей топологической однородностью. Это означает, что для любых двух точек x, y из M существует такое топологическое отображение f кривой M на себя, что fx = y. В то же время она обладает фрактальными свойствами: маленькие кубы в точности подобны большим кубам.

Замечание. Можно ли назвать "универсальную кривую Менгера" кривой. По моему, нет. Лучше подходит просто обобщенное понятие "линия". Но общепринято называть эту линию "универсальной кривой Менгера".

Кривая Менгера замечательна тем, что является пространственной (понимаемой в самом общем смысле) линией и топологически содержит все пространственные одномерные множества (при этом подмножество куба не более чем одномерно тогда и только тогда, когда оно не содержит никакого круга). Кривая Менгера является связной непрерывной линией.

Можно заметить, что точки кривой Менгера на линиях, являющихся линиями симметрии квадрата (центральные горизонтальные, вертикальные и диагональные линии граней куба, а также диагонали куба) в точности определяют точки канторова множества. Но это не мешает коверу Серпиньского быть связным множеством.

Весь периметр (сумма внешних ребер) любого куба полностью входит в состав кривой. Любая линия от одной стороны куба до противоположной стороны, включающая в себя ребра выброшенных на первом шаге кубов, полностью входит в состав кривой. Любая линия от одной стороны куба до противоположной стороны, включающая в себя ребра выброшенных кубов определенного шага, ближайших к внешней поверхности исходного куба и параллельных этой поверхности, полностью входит в состав кривой. Это говорит о том, что вся кривая состоит из периметров кубов каждого уровня построения и форма этой кривой есть бесконечная пространственная сетка.. В силу этого кривую Менгера невозможно совершенно упорядочить как прямую линию.

Рассмотрим представление кривой с помощью числового множества. Для этого все точки линии Менгера отобразим на числовой отрезок следующим образом.

Множество чисел представим как числа на отрезке [0, 1] в троичной системе исчисления. Это в точности единица и все числа, представляемые как конечные и бесконечные последовательности цифр вида "0,xxxxxx…", где x – цифра из множества {0, 1, 2}. Множество, представляющее множество " линия Менгера ", будет ее подмножеством.

Представление множества точек пространства получим как объединение троичного представления двух чисел x, y и z в общем трехместном поразрядном представлении "0,xyzxyzxyz...": в каждой тройке первая цифра есть цифра соответствующего разряда первого числа (x), вторая цифра есть цифра соответствующего разряда второго числа - (y), а третья цифра есть цифра соответствующего разряда третего числа - (y),. Рассмотрим эти числа.

На первом шаге мы исключаем все числа вида "0,abc'xyz, где abc – трехразрадное число, состоящее только из единиц и нулей, кроме комбинации "000",  x – цифры из множества {0, 1, 2}, кроме бесконечной последовательности нулей. Это числа вида "0,011'xyz'…", "0,101'xyz'…", "0,110'xyz'…" "0,111'xyz'…", "0,001'xyz'…", "0,010'xyz'…" "0,100'xyz'…". Все остальные числа рассматриваются на следующем шаге.

Т.к. каждый куб линии второго уровня подобен большому кубу, то множество запрещенных чисел получается делением запрещенных чисел первого уровня на 3*3*3 = 27 и прибавлением значения цикла, равного 1/3 по всем трем координатам. Мы получим числа вида "0,xyz'abc'...", причем числа вида "0,abc'xyz мы уже исключили. Если мы продолжим эту процедуру, то должны будем исключить из чисел множества "универсальная кривая Менгера" все числа, в троичном трехразрядном представлении которого встречается тройка, состоящая только из нулей и единиц (кроме 000),  с произвольным продолжением, кроме бесконечной последовательности нулей.

1.8    Кривые Пеано

Кривыми Пеано называются непрерывные кривые линии на части плоскости и полностью ее заполняющие, т.е. проходящие через каждую ее точку. Кривые Пеано являются Жордановыми кривыми.

Практически кривые Пеано получаются как предел бесконечной последовательности кривых на плоской геометрической фигуре, получаемых на каждом шаге построения. Построим кривую Пеано как непрерывное отображение отрезка на прямоугольный треугольник.

Пусть τ – единичный отрезок [0, 1].

Разделим ее на две половинки: отрезки [0, ½] и [½, 1]. Присвоим каждой половинке числа, соответствующие в двоичной системе координатам крайних левых точек – 0.0 и 0.1. Крайнюю правую точку отрезка обозначим как 1.

Получившиеся половинки еще раз поделим пополам и для различения каждой четвертинки добавим к числовым обозначениям половинок число 0 – к левой четвертинке половинки, 1 – к правой четвертинке половинки. Мы получим 4 отрезка, обозначенные как 0.00, 0.01, 0.10 и 0.11.

Продолжая процесс, мы каждую точку всего отрезка [0, 1] обозначим через некоторое вещественное число в двоичной системе. При этом некоторые могут получить неоднозначное обозначение. Такими точками являются точки с координатами , где n и kn - целые числа. Такие точки называются двойными.

Проведем аналогичные построения для прямоугольного треугольника (см. рис 5a). Крайнюю правую нижнюю точку треугольника обозначим как 0. Крайнюю верхнюю точку треугольника обозначим как 1. Сам треугольник пронумеруем как "ноль".

Дальнейшие шаги будут связаны с разделением треугольников на два треугольника и их нумерацией. При этом важно обеспечить некоторые условия. Эти условия выпишем для произвольной исходной фигуры.

1) В процессе деления фигуры подфигуры в пределе должны иметь бесконечно малый диаметр. Это условие будет выполняться гарантированно для треугольников, если будем делить треугольники биссектрисой наибольшего угла. Но гарантированное условие не является обязательным. При этом для любого e > 0 найдется n0, что для всех n0 > n0 диаметры всех подфигур будут меньше e. А это значит, что любая последовательность вложенных подфигур будет иметь пределом вполне определенную точку. А если мы будем делить фигуру на несколько частей, и продолжим процесс деления получившихся подфигур, то для любой точки фигуры найдется хотя бы одна последовательность вложенных подфигур, сходящихся к этой точке. Многократными точками будут являться границы подфигур.

Нумерацию треугольников проведем так, чтобы:

2) первый треугольник любого ранга содержал точку 0, последний – точку 1.

3) обеспечивалась сплошная последовательная нумерация их: можно было из треугольника предыдущего шага  войти в треугольник , обойти в нем последовательно внутренние треугольники и выйти в треугольник , пересекая лишь стороны (но не вершины) треугольников ранга r + 1. Каждый переход должен совершаться в треугольник с большим номером. Такая нумерация возможна всегда.

Эти три условия являются определяющими для построения кривой Пеано.

Разделим наш треугольник на две половинки высотой, проведенной с вершины прямого угла. Мы получим два треугольника: [0, ½] и [½, 1] с одной общей стороной (см. рис 5b). Пронумеруем треугольники от нулевой точки справа снизу влево вверх до единичной точки и присвоим каждому треугольнику числа, соответствующие в двоичной системе их нумерации, деленной на 2 – это 0.0 и 0.1.

Рис. 5. Построение кривой Пеано. Первые шаги. На рис. a) кривая состоит всего из одной точки; b) кривая состоит из двух точек – начала и конца стрелки; c) кривая состоит из 4-х точек – начала и конца стрелки и двух промежуточных точек;

Получившиеся половинки еще раз поделим пополам и для различения каждой четвертинки добавим к числовым обозначениям половинок число 0 – к левой (или нижней) четвертинке половинки треугольника, 1 – к правой (или верхней) четвертинке половинки треугольника (см. рис 5c). Мы получим 4 треугольника, обозначенные как 0.00, 0.01, 0.10 и 0.11.

Продолжая процесс деления треугольников (см. рис 6a), нумеруя и присваивая им числовое обозначение, мы каждую точку всего треугольника [0, 1] обозначим через некоторое вещественное число в двоичной системе. 

Рис. 5. Продолжение построения кривой Пеано. Шаги с 4-го по 6-й.

Можно отметить, что любые два треугольника имеют не более одного общего ребра. При этом некоторые треугольники могут получить неоднозначное обозначение, в силу того, что некоторые точки, являющиеся вершинами треугольников или принадлежащие ребрам, одновременно принадлежат нескольким треугольникам: существуют двойные, тройные и четверные точки. Точки ребра треугольника могут принадлежать двум треугольникам, вершины могут принадлежать в нашем случае восьми треугольникам. Соответственно, каждая n-арная точка может иметь n значений нумерации, и только некоторые из этих нумерации определяются одним и тем же числом, только в различных видах записи типа бесконечной двоичной единицы. Такой точкой, например, является прямоугольная вершина ½ исходного треугольника с нумерациями 0.0111… и 0.1. Вершина ¼ имеет следующие нумерации: 0.00111…, 0.0100…, 0.10111… и 0.11000…, соответствующие двум вещественным числам 0.01 (=¼) и 0.11 (=¾).

В результате всех этих построений мы имеем два множества, пронумерованные с помощью вещественных чисел – отрезок и прямоугольный треугольник. А это значит, что можно поставить в соответствие каждой точке отрезка [0. 1] точки прямоугольного треугольника. Если даже некоторая точка имеет два двоичных представления, то они обе приводят к одной и той же точке как отрезка, так и треугольника. И это отображение поэтому является однозначным: каждой точке отрезка, соответствующей вещественному числу, соответствует единственная точка треугольника. Обратное отображение при этом, правда, не является однозначной, в силу наличия n-арных (n > 2) точек в треугольнике.

Кривая Пеано, построенная выше, не является единственной. Существует целый класс кривых Пеано. Исходной фигурой для построения кривой может быть любая связная фигура, гомеоморфная кругу (треугольнику, квадрату, ююю). Деление этой фигуры на каждом шаге тоже может производиться многими способами, в т.ч. и на любое количество подфигур, зависящее только от самой делимой фигуры,. Единственное, что необходимо соблюдать – это три вышеуказанных условия на процесс деления.

Аналог кривой Пеано можно построить и на фигуре любой другой размерности, вплоть до счетномерной.

1.9    Кривая Минковского

Кривая Минковского или колбаса Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга) - см. рис.

Рис.6. Кривая Минковского с генератором "одиночный импульс". Первые три шага построения с хаусдорфовой размерностью ln4/ln3.

Рис.6. Кривая Минковского с генератором "одиночный знакопеременный импульс" с хаусдорфовой размерностью ln8/ln4 = 1,5. Первые три шага построения.

Свойства.

  • Кривая Минковского нигде не дифференцируема и не спрямляема.
  • Кривая Минковского не имеет самопересечений.
  • Кривая Минковского имеет Хаусдорфову размерность \ln8/\ln4\ = 3/2(поскольку она состоит из восьми равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/4). В частности,

Кривая Минковского имеет нулевую меру Лебега.

1.10Снежинка Коха

Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году, описывается кривой, составленной из трех одинаковых фракталов размерности d = 1,2618.                        

22

Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть K0 — начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины. Назовем полученное множество К0. Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через Кn фигуру, получившуюся после n-го шага.                                

                                      2222                               0018

                                       67676                             4657457

Интуитивно ясно, что последовательность кривых {Кn}n=1 сходится к некоторой предельной кривой К. Предположим, что кривая К существует, и рассмотрим некоторые ее свойства. Если взять копию К, уменьшенную в три раза (г = 1/3), то все множество К можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия выполняется при указанных N и г, а размерность фрактала будет:  d = log(4)/log(3) = 1,2618.

Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха — ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным читателю, привыкшему иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие, они всегда имеют конечную длину. Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерения длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

Доказательство. Достаточно показать, что каждый из трех идентичных фракталов К, полученных итерациями, имеет бесконечную длину. Пусть исходный отрезок Ко имеет единичную длину. Тогда длина кривой К1равна 4/3. Длина кривой К2 равна 42/32. Продолжая таким образом имеем, что кривая Кn после n-го шага имеет длину 4n/3n. Следовательно, длина предельной кривой К равна бесконечности.

(Ричард М, Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.")

 

Ссылка на этот материал: Подмножества-пространства-Rn.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: "семь" умножить на 2 =

---Load files---
Сегодня - 01_10_2020
Время переоткрытия сайта 04 ч 29 м по Гр.
Календарь
на ОКТЯБРЬ месяц 2018 г.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
      1; 2; 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 1
(10 431)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:1 V:1 N:61
Уникальных посетителей за текущие сутки: 1 Просмотров: 1 Этой страницы (всего): 61