-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: September 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: Размерность-и-мера.htm)


1.   Размерность и мера

В физике размерность определяется количеством независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта в определенный момент времени – например, координата и скорость. Размерность реального физического пространства определяется количеством координат, необходимых для определения положения точечного объекта. Оно не обязательно равно размерности описания состояния объекта. Скорость при этом окажется зависимой от времени и текущей координаты объекта.

Мера — аддитивная (или счётно-аддитивная) функция подмножеств некоторого пространства X (предметной области). Свойство аддитивности (счётной аддитивности): Мера всякого измеримого множества, разбитого на конечное (или счётное) число непересекающихся измеримых частей, есть сумма мер всех этих частей. По области определения аддитивности меры различаются конечно-аддитивные и счетно-аддитивные меры. Понятие меры является обобщением для абстрактных пространств понятий евклидовой длины, площади и n-мерного объёма.

В теории множеств в качестве размерности или меры выступает понятие мощности множества. Понятие мощности связано с существованием изоморфного отображения между множествами и оно является инвариантом.

В математике имеется много других определений размерности. Одно из определений понятия размерности множества может быть связан со способом создания множества. Например, размерность множества X1×X2 равна двум, по количеству участвующих в прямом произведении множеств. Но подобные определения размерности множества предполагают существование какой-то структуры на множестве и возможность ее разделения по составляющим произведение множествам.

Размерность геометрической фигуры в топологии относится к числу ее основных топологических свойств: ни­какие две фигуры различных размерностей не могут быть топологически эквивалентными. В этом заключается замечательная теорема об «инвариант­ности размерности»: чтобы оценить ее должным образом, стоит напомнить другую теорему, согласно которой множество точек квадрата имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка. Соответ­ствие между точками, установленное при доказательстве этой теоремы, не топологическое, так как требование непрерывности нарушается.

Понятие о «числе измерений», или о «раз­мерности», не представляет особых затруднений, пока речь идет о прос­тых геометрических образах, каковы точки, линии, треугольники или мно­гогранники. Отдельная точка или любое конечное множество точек имеет размерность нуль, отрезок — размерность 1, поверхность треугольника или сферы — размерность 2. Множество всех точек куба имеет размерность 3. Однако при желании обобщить понятие размерности на точечные множества более общих типов возникает необходимость в точном определении. Какую размерность следует, например, приписать множеству R, состоящему из всех точек оси x, у которых координаты x — рациональные числа? Множество ра­циональных точек на оси x везде плотно и потому, казалось бы, ему, как и самому отрезку прямой, надлежало бы приписать размерность 1. С дру­гой стороны, между всякими двумя рациональными точками существуют иррациональные «дыры», как между всякими двумя точками конечного мно­жества, и это говорит в пользу размерности 0.

Еще один пример. Возьмем десятичное представление числа R числовой прямой и это представление разделим на две части: R1 и R2. В представлениях чисел первой части объединим все четные позиции дробного десятичного представления исходного числа, во вторую – все нечетные. При этом мы получим два множества, полностью идентичных исходному множеству. В результате мы имеем отображение множества всех точек прямой (R) на плоскость (R1, R2): r → (r1, r2). Кстати, на десятичном представлении числа, как и на представлениях с другими основаниями, в т.ч. и с переменным основанием, можно получить много множеств с не тривиальными свойствами.

Еще запутаннее обстоит дело с размерностью любопытного множест­ва, впервые рассмотренного Кантором, построенного следующим образом. Из единичного отрезка 0 ≤ x ≤ 1 удалим среднюю треть (интервал), т.е. все точки x, удовлетворяющие неравенству 1/3 ≤ x ≤ 2/3. Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C1 состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и то множество, кото­рое останется, обозначим через C2. Повторим опять эту процедуру, удаляя среднюю треть у всех четырех отрезков; получим C3. Дальше таким же об­разом получим C4, C5, C6, .... Обозначим через C множество точек, которое останется, когда все средние трети будут удалены; т. е. C есть, другими сло­вами, множество точек, принадлежащих одновременно всем множествам C1, C2, C3, .... В первой операции был удален интервал длины 1/3; во второй операции — два интервала,

Рис. 1. Канторово множество

каждый длины 1/9 и т. д.; сумма длин всех удаленных интервалов равна

Бесконечный ряд в больших скобках есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна; итак, сумма длин удаленных промежутков составляет 1. И все-таки далеко не все точки отрезка удалены: множество C не пустое. Например, все точки, являющиеся концами удаленных отрезков

ему принадлежат. Можно легко убедиться, что множество С состоит из всех тех чисел х, разложения которых в бесконечную дробь по основанию 3 могут быть написаны в форме

где всякое an есть 0 или 2, тогда как в аналогичном разложении для всякой удаленной точки среди чисел an хоть раз встретится 1.

Какова же размерность множества C? Диагональный процесс, с помо­щью которого была доказана несчетность множества всех действительных чисел, может быть видоизменен таким образом, чтобы тот же результат по­лучился и для множества C. Отсюда было бы естественно заключить, что множеству C надлежит приписать размерность 1. С другой стороны, C не содержит никакого, даже самого малого, промежутка, как и любое конечное множество; это сближает C с множествами размерности 0. Таким же обра­зом, восставив в плоскости x, y из каждой рациональной точки или из каждой точки канторова множества перпендикуляр длины 1 к оси x (направляя его в сторону положительных значений у), мы получим множества, относитель­но которых может возникнуть сомнение — приписать ли ему размерность 2 или 1.

В общей топологии размерность относится к основным и наиболее геометричным топологическим инвариантам, обобщающая элементарно-геометрическое понятие числа измерений ТП. Этот инвариант позволяет топологически охарактеризовать все подмножества всевозможных n-мерных арифметических пространств Rn, n = 1, 2, 3, … Например, прямой и отрезка, плоскости и квадрата, 3-пространства и куба.

1.1. Большая индуктивная размерность

Впервые Пуанкаре (в 1912 г.) обратил внимание на необходимость бо­лее глубокого анализа и более точного определения размерности. В то время не было даже ясности, является ли размерность предметом изучения топологии, хотя уже было ясно, что это не является предметом изучения теории множеств. В 1911 г. Л.Брауэр сформулировал и доказал теорему о негомеморфности евклидовых пространств Rn и Rm при n ¹ m.

Пуанкаре заметил, что прямая или кривая имеет размерность 1, так как любые две точки на ней можно разделить, удаляя одну единственную точку (множес­тво размерности 0); плоскость же имеет размерность 2 по той причине, что для разделения двух точек на плоскости нужно удалить целую замкнутую кривую (множество размерности 1). Это приводит к мысли о том, что поня­тие размерности имеет «индуктивную» природу: некоторому «пространству» следует приписать размерность n, если две точки в нем разделяются при удалении подмножества точек размерности n - 1 (но удаления подмножества меньшей размерности уже не было бы достаточно). В сущности такого рода индуктивное определение неявно содержится уже в евклидовых «Началах», где одномерный образ толкуется как нечто, граница чего состоит из точек; двумерный образ — как нечто, граница чего состоит из линий; наконец, трех­мерный образ — как нечто, граница чего состоит из поверхностей. В 1913 году Л.Брауэр, опираясь на этот подход, сформулировал точное определение, которое для достаточно широкого класса ТП дает их так называемую большую индуктивную размерность IndX. Л.Брауэр показал, что для евклидовых пространств IndRn = n.

За последние годы была развита обширная теория — теория размер­ности. Определение размерности начинается с того, что разъясняется смысл термина «точечное множество размерности 0». Любое конечное точечное мно­жество обладает тем свойством, что каждая его точка может быть заключена в сколь угодно малую область пространства, причем на границе области нет точек множества. Это свойство принимается теперь за определение размер­ности 0. Условимся ради удобства говорить, что пустое множество имеет размерность -1. В таком случае множество S имеет размерность 0, если оно не имеет размерности -1 (т. е. если S содержит хотя бы одну точку) и если каж­дая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекает S по множеству размерности -1 (т. е. совсем не содержит ни одной точки S). Так, например, множество рациональных точек на прямой имеет размерность 0, так как каждая рациональная точка может быть рас­сматриваема как центр произвольно малого промежутка с иррациональными концами. Канторово множество C — также размерности 0, так как, подобно множеству рациональных точек, оно получается посредством удаления везде плотного множества точек прямой.

Итак, мы уже определили понятия «размерность -1» и «размерность 0». Теперь легко понять, что такое «размерность 1»: говорят, что множество S имеет «размерность 1», если оно не есть ни размерности — 1, ни размернос­ти 0 и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекается с S по множеству размерности 0. От­резок прямой обладает этим свойством, так как границей каждого проме­жутка является пара точек, т. е. множество размерности 0 по предыдущему определению. Дальше, продолжая таким же образом, мы можем последова­тельно определить, что такое размерность 2, размерность 3 и т.д., причем каждое следующее определение основывается на предыдущем.

Таким образом, говорят, что множество S имеет размерность n, если оно не имеет меньшей размерности и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекается с S по множеству размерности n - 1. Например, плоскость имеет размерность 2, так как любая точка плоскости может быть заключена в кружок произволь­но малого радиуса, граница которой имеет размерность 1. В обыкновен­ном пространстве никакое множество точек не может иметь размерность, большую чем 3, так как любая точка пространства есть центр произволь­но малой сферы, граница которой имеет размерность 2. Но в современной математике термин «пространство» употребляется в более общем смысле; он обозначает любую систему объектов, для которой введено понятие «рассто­яния» или «окрестности», и такого рода абстрактные «пространства» могут иметь размерность, большую чем 3. Простым примером является декартово n-пространство, «точки» которого суть системы из n действительных чисел, взятых в определенном порядке:

а «расстояние» между Р и Q определяется по формуле

Можно показать, что это пространство имеет размерность n. Простран­ство, которое не имеет размерности n, как бы велико ни было n, называется пространством бесконечной размерности. Известно много примеров таких пространств.

1.2.Теорема о мостовых

В теории размерности устанавливается одно чрезвычайно интересное свойство двумерных, трехмерных и вообще n-мерных фигур. Начнем с дву­мерного случая. Если какая-то простая двумерная фигура подразделена на достаточно маленькие «ячейки» (причем предполагается, что каждая ячей­ка содержит свою границу), то непременно найдутся такие точки, которые принадлежат сразу по меньшей мере трем ячейкам, какова бы ни была фор­ма выбранных ячеек. Вместе с тем существуют такие подразделения фигуры на ячейки, что никакая точка фигуры не принадлежит сразу больше чем трем ячейкам. Так, если рассматриваемая двумерная фигура есть квадрат (рис. 2), то непременно имеются точки вроде той, которая сразу принад­лежит трем ячейкам 1, 2 и 3, но для указанного на рисунке подразделения не существует точки, которая сразу принадлежала бы большему числу яче­ек. Точно так же в трехмерном случае можно доказать, что если некоторая объемная фигура (тело) разбита на достаточно маленькие ячейки, то навер­ное существуют точки, принадлежащие по меньшей мере четырем ячейкам, и вместе с тем можно выбрать такие подразделения, что никакая точка не будет принадлежать сразу больше чем четырем ячейкам.

Рис. 2. Теорема о мостовых, или покрытии пространства.

Это свойство размерности было сформулировано А.Лебегом примерно в 1911 г. и называется "теоремой о мостовых": ес­ли n-мерная фигура подразделена на достаточно ма­ленькие ячейки, то непременно существуют точки этой фигуры, принадлежащие сразу по меньшей ме­ре n + 1 ячейкам; вместе с тем возможно указать и такие подразделения, что ни одна точка фигуры не будет принадлежать сразу более чем n + 1 ячей­кам. Эта теорема характеризует размерность рас­сматриваемой фигуры: все фигуры, для которых те­орема верна, являются n-мерными, все прочие име­ют иную размерность. Теорема была доказана позже Брауэром в 1913 и Лебегом в1921. В дальнейшем "теорема о мостовых" привела к определению основного размерностного инварианта dimX топологического пространства X. Связь этого инварианта с другими следующая. Для любого Rn: Ind Rn = ind Rn = dim Rn = n.  Для метрических пространств есть только равенство Ind X = dim X и может быть  ind X < Ind X. За этими пределами эти размерности не эквивалентны и теория размерности здесь главным образом определяется dim X.

Теория dim-размерности позволила говорить о числе измерений не только геометрических фигур, но и совершенно произвольных подмножеств евклидовых пространств Rn. Эти подмножества могут быть очень сложно устроены. Оказалось, что размерность совершенно произвольных топологических пространств можно охарактеризовать при помощи понятия числа измерений полиэдра и даже n-мерного куба. Впервые это было сделано в 20-х годах советским математиком П.С.Александровым в его теоремах об ε-сдвигах и ε-отображениях и в теореме о существенных отображениях.

Рассмотрим  теорему об ε-сдвигах в случае R3. Подмножество P пространства R3 назовем r-мерным полиэдром, если P есть объединение конечного числа (см. рис. 3): точек – при r = 0, точек и отрезков – при r = 1, точек, отрезков и треугольников – при r = 2, точек, отрезков, треугольников и тетраэдров – при r = 3.

Рис. 3. Примеры полиэдров в R3.

Замкнутое и ограниченное подмножество X евклидова пространства R3 имеет размерность dimX = r, r = 0, 1, 2, 3 тогда и только тогда,

1) когда "сколь угодно малым непрерывным ε-шевелением" множество X можно "превратить" в не более чем r-мерный полиэдр:

"ε>0 $fнепр:X®R3: fнепрX есть не более чем r-мерный полиэдр, и ρ(x, fx)<ε, xÎX,

2) а при "достаточно малых непрерывных ε0-шевелениях" пространство X нельзя "превратить" в менее  чем r-мерный полиэдр:

$ε0>0: fнепр:X®R3 есть ε0-сдвиг и fнепрX есть полиэдр, то число измерений этого полиэдра больше или равно r.

Теорема Александрова об ε-сдвигах позволила топологически охарактеризовать такой важный класс пространств, как все подмножества всех евклидовых пространств Rn. Оказалось, что это в точности все конечномерные метризуемые пространства со счетной базой (теорема Небелинга-Понтрягина, 1930-1931 гг.). Теорема о существенных отображениях явилась началом построения Александровым гомологической теории размерности, характеризующей размерность алгебраически.

Для примера возьмем точку. При любом ε-сдвиге,  точка снова превратится в точку же. Следовательно, размерность точки равна 0.

Другой пример – отрезок. Никаким малым (менее длины отрезка) непрерывным ε-шевелением невозможно превратить отрезок в точку. Точно также никаким непрерывным ε0-отображением отрезок нельзя превратить в треугольник. Следовательно, размерность отрезка равна 1.

Третий пример – треугольник. Никаким малым (менее диаметра треугольника) непрерывным ε-шевелением невозможно превратить треугольник в отрезок. Точно также никаким непрерывным ε0-отображением треугольник нельзя превратить в тетраэдр. Следовательно, размерность отрезка равна 1.

Возьмем "отрезок" с плотно удаленными точками. Во первых, любым малым (менее длины отрезка) непрерывным ε-шевелением этот отрезок можно превратить во множество изолированных точек, не нарушая условие непрерывности, взяв в качестве образов этих точек открытые "подотрезки" этого "отрезка" длиной менее ε. Во вторых, никаким шевелением мы не можем отобразить это множество в пустое подмножество. Следовательно, такой отрезок имеет размерность, равную нулю.

1.3.Малая индуктивная размерность

В 1922 г. советский математик П.С.Урысон и австрийский математик К.Менгер, отталкиваясь от индуктивного подхода к определению размерности, независимо от Брауэра и друг от друга определили так называемую малую индуктивную размерность indX топологического пространства X и установили ряд ее фундаментальных свойств.

1.4.Другие определения размерности

Размерность множества. Если множество X можно определить через прямое произведение других множеств Xi, размерность которых принята за единицу, то размерность такого множества равна количеству участвующих в произведении множеств:

X = X1×X2×…×Xi: iÎ{1…n},

Здесь число n называется размерностью множества X. Обычно в этом случае множества Xi совпадают или хотя бы равномощны. Наиболее известное математическое множество такого рода – векторное пространство. Дополнительным требованием ко множествам Xi может быть их упорядоченность, непрерывность или хотя бы гомоморфность.

Из определения пространства как прямого произведения одного и того же множества X1 на себя видно, что результирующее множество X можно получить как произведение  конечного множества N = {e1, e1, … en } на множество X1:

X = {e1, e1, … en } × X1 = {e1× X1, e1× X1, … en× X1}

или даже бесконечного множества множеств. Это выражение говорит о том, что результирующее множество имеет форму "векторного" пространства, координатами которого являются значения из множества X1. При этом множество N называется базой множества X.

Для других множеств, в частности метрических пространств, могут быть приняты и другие определения размерности. Наиболее широко понятие размерности применяется в топологии. Следующие примеры размерностей так или иначе относятся к топологии.

Размерность линейного векторного пространства равна минимальному количеству независимых векторов, с помощью которых можно получить любой другой элемент векторного пространства:

V = V1×V2×…×Vn: iÎ{1…n},

Здесь V1Vi – множество из n независимых элементов векторного пространства. При этом любой элемент векторного пространства раскладывается в сумму

V = a1V1 + a2V2 +…+ anVn: ai Î R.

Эта размерность очень близка к интуитивному понятию размерности физического пространства.

Для других множеств, в частности метрических пространств, могут быть приняты и другие определения размерности.

Размерность Минковского ограниченного множества в метрическом пространстве равна

lim (ln Ne /ln e),

где Nε — минимальное число множеств диаметра ε, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского. Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

2.   Мера множества

3.   Мера Бореля

4.   Мера Хаара

 

5.     Мера Жордана

Размерность или Мера Хаусдорфа естественный способ определить размерность множества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для фрактальных множеств размерность Хаусдорфа может принимать дробные значения.

6.   Размерность (или мера) Лебега

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X размерностью Лебега называется наименьшее целое число n такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства X существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности n + 1. При этом покрытие P называется вписанным в покрытие Q, если каждый элемент покрытия P является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия Q.

 

Ссылка на этот материал: Размерность-и-мера.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 93 minus 21 =

---Load files---
Сегодня - 29_11_2020
Время переоткрытия сайта 13 ч 27 м по Гр.
Календарь
на НОЯБРЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
    1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 1 2 3 4 5 6
(11 030)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:7 V:10 N:41
Уникальных посетителей за текущие сутки: 7 Просмотров: 10 Этой страницы (всего): 41