-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: September 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: Сравнение-ТП.htm)


1  Сравнение ТП

ТП объединяются классом Top. Существует великое множество различных изоморфных и не изоморфных между собой ТП. Среди множества непрерывных отображений ТП особое место занимают топологические гомеоморфные отображения. Гомеоморфизм является основой для сравнения различных ТП. Два ТП различаются между собой через наличие или отсутствие гомеоморфизма. Гомеоморфизм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно–однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Сравните: Гомоморфизм (от греч. homós — равный, одинаковый и morphe — вид, форма) — морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения. Изоморфизм  — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм.

Например, окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Для определения класса эквивалентности топологий существуют понятия топологического и гомотопического инварианта.

Топологический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомеоморфизме. То есть если два пространства гомеоморфны, то они имеют одну и ту же характеристику. Примерами ее являются мощность ТП, связность, компактность, размерность, однородность, изотропность.

Среди топологических инвариантов отрезка можно также отметить число ее концов. Топологическим инвариантом является число концевых и предельных граничных точек. Не замкнутый отрезок с граничными точками имеет два конца,  замкнутый в кольцо не имеет концов. 

Среди топологических инвариантов поверхности можно отметить число сторон и число краев. Диск имеет 2 стороны, 1 край и род 0. Тор имеет 2 стороны, не имеет краев, а его род равен 1. Введенные выше понятия позволяют уточнить определение топологии: топологией называется раздел математики, изучающий свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах.

Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности ТП. Гомотопия есть непрерывное семейство отображений t, проиндексированное вещественным отрезком |0, 1|.

Два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют ту же характеристику. Любой топологический инвариант сохраняется при гомотопических преобразованиях, и  как следствие, топологический инвариант является еще и гомотопическим.

Например: изотропность, компактность, связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.

Гомологический инвариант -

1.1    По мощности

Может быть конечной, счетной, континуумом и т.д.

1.2    Связность

Связность является одной из топологических свойств ТП. Связность определяет грубо говоря количество не пересекающихся открытых подмножеств ТП.

Связное пространство — ТП, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества. Связность пространства — свойство топологическое, то есть инвариантное относительно гомеоморфизмов.

Пространство X связно тогда и только тогда, когда любую пару его точек можно покрыть связным множеством. Связность непрерывного пространства означает, что любые две ее точки можно соединить непрерывной линией.

В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу. Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны - либо пусты, либо совпадают со всем пространством.

Каждое связное подмножество пространства X содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства X. Каждая компонента пространства X является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства X не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества A пространства X — это максимальные связные подмножества множества A.

Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне не связным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство Q рациональных чисел на числовой прямой. Непрерывное отображение из связного пространства во вполне не связное сводится к отображению в одну точку.

Односвязным пространством называется пространство, в котором любую замкнутую линию непрерывным отображением можно стянуть в точку. Существует гипотеза Пуанкаре. Эта гипотеза в ее нынешней стандартной форме гласит: "Всякое односвязное компактное n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере". Условие "компактности" означает здесь требование, чтобы поверхность была конечной и не имела границ, а условие "односвязности" — что между любыми двумя точками многообразия можно провести непрерывную линию, и все такие линии могут быть преобразованы друг в друга плавным путем. Скажем, в "бублике" это не так. Надо еще иметь в виду, что Пуанкаре сформулировал свои условия (или свою гипотезу) для "сфер" любой размерности. В 2003 г. наш российский математик Григорий Перельман доказал эту гипотезу как для общего случая, так и для размерности 3 и получил всемирное признание.

О связности нашей Вселенной. Мы вполне можем считать, что наше пространство является связным топологическим пространством, хотя бы потому, что любые две ее точки мы можем связать с помощью светового луча. Много говорится о том, что существуют и другие Вселенные, существование которых мы не ощущаем. Существуют ли они? О существовании других Вселенных мы можем узнать, только если они каким–либо образом способны обмениваться информацией с Нашей Вселенной. А это значит, что они будут связны с нашим пространством и, следовательно, являются частью нашей Вселенной.

Наши Вселенные могут быть и не связными, но могут обладать общей границей, состоящей из общих предельных точек, полученных в результате предельного расширения типа "бесконечно удаленной границы". Топология этой границы может быть опять же произвольной. Тогда связь может осуществляться через эту общую внешнюю границу Вселенных. Информация непосредственно через границу не может перемещаться, в силу ее несвязности, но изменения свойств пространства вблизи границы будут индуцировать изменение свойств пространства с другой стороны границы, что можно интерпретировать как обмен информацией (типа туннельного эффекта в квантовой механике). Включив общую границу в объединенную Вселенную, мы снова получим связную Вселенную, но большую.

О несвязных с нами Вселенных мы ничего не можем узнать.

1.3    Однородность и изотропность

В ТП можно ввести понятие однородности и изотропности.

Однородным топологическим пространством называется пространство, в котором непрерывным отображением любую точку можно отобразить на любую другую точку. Две точки ТП называются однородными точками, если они обладают гомеоморфными окрестностями. Дополнительным условием однородности может быть ее локальная однородность, когда любые две точки однородны. Однородное пространство не может иметь особых точек типа граничного или изолированного, кроме случаев, когда все точки особые или изолированные.

Дискретное ТП однородно, потому что все ее точки одинаковы и любое преобразование уже является непрерывным.

Изотропным топологическим пространством называется пространство, в котором любые две точки непрерывным отображением можно отобразить на любые две другие точки.

Как исключение, дискретное ТП однородно и изотропно, потому что все ее точки одинаковы и любое преобразование уже является непрерывным.

1.4    Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости - это дополнительные ограничения, накладываемые на топологическую структуру и приближающие свойства ТП к привычным свойствам пространства Rn. С помощью этих аксиом определяются свойство отделимости двух точек окрестностями друг от друга. Наиболее часто используются следующие аксиомы.

Аксиома T0 (аксиома Колмогорова). Из каждых двух различных точек топологического пространства по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Аксиома Т1. Для любых двух различных точек p и q существует окрестность точки p, не содержащая точку q. Это означает, что точка есть замкнутое множество; конечные множества замкнуты. Такие ТП называется Колмогоровскими.

Действительно, если выполнена аксиома Т1, то дополнение к точке p равно объединению всех не содержащих p окрестностей всех отличных от p точек q . Объединение любого набора открытых множеств открыто; дополнение к открытому множеству замкнуто. Обратно, если точка - замкнутое множество, то она совпадает со своим замыканием. Это значит, что точка p обладает хотя бы одной окрестностью, не содержащей точку q (иначе бы точка q ¹ p принадлежала замыканию точки p, что противоречило бы замкнутости точки p).

Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Для любых двух различных точек p и q существуют непересекающиеся окрестности, то есть множества Up Î t и Uq Î t, такие, что Up Ç Uq = Æ. Такие ТП называется хаусдорфовым.

Аксиома Т3. Любая точка и любое не содержащее ее замкнутое множество обладают непересекающимися окрестностями. Равносильная формулировка: любая окрестность любой точки содержит замыкание некоторой окрестности этой точки.

Пространство X называют регулярным пространством, если одновременно выполнены аксиомы T1 и T3 .

Аксиома Т4. Любые два непересекающиеся замкнутые множества обладают непересекающимися окрестностями. Равносильная формулировка: каждая окрестность замкнутого множества содержит замыкание некоторой окрестности этого множества.

Пространство X называют нормальным пространством, если одновременно выполнены аксиомы T1 и T4 .

Заметим, что среди аксиом T0 - T2 каждая следующая является более сильным условием на пространство, чем предыдущая. Если выполнена аксиома T1 , то это же верно для аксиом T2 - T4 .

1.5    Отделимость, определяемая границами

Примеры:

1) На бесконечной прямой любая точка разделяет ТП на две несвязные открытые области.

На плоскости и сфере любая замкнутая кривая, разделяет ее на две несвязные области.

2) На торе, листе Мебиуса, бутылке  Клейна и многих других поверхностях существуют замкнутые кривые, не разделяющие ее на несвязные области.

3) На поверхности с дыркой существуют замкнутые кривые, которые нельзя стянуть в точку.

1.6    Аксиомы покрытия ТП

Аксиомы покрытия - это дополнительные ограничения, накладываемые на топологическую структуру и приближающие свойства ТП к привычным свойствам пространства Rn. С помощью этих аксиом определяются возможность покрытия всего ТП открытыми подмножествами.

Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых подмножеств, объединением которого является всё X.

Открытое покрытие {Vb} называют вписанным в покрытие {Va}, если для любого b существует a такое, что Vb Î Va.

1.6.1        Плотное подмножество

Плотное подмножество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, A плотно в X, если всякая окрестность любой точки x из X содержит элемент A. Замыкание плотного подмножества есть все множество. Например, множество рациональных чисел плотно во множестве вещественных чисел.

В противоположность плотным множествам имеется и понятие нигде не плотного множества — множество, замыкание которого не содержит открытых множеств (замыкание имеет пустую внутренность).

Сепарабельное пространство — ТП, в котором имеется счётное всюду плотное множество.

1.6.2        Конечные покрытия.

Если покрытие содержит конечное число элементов (открытых подмножеств), то такое покрытие называется конечным покрытием.

Покрытие {Vb} называют локально конечным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Про такие ТП говорят, что они удовлетворяют условию Бореля-Лебега.

ТП называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие.

Бикомпактным пространством называется пространство, удовлетворяющее условию Бореля-Лебега: всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Например, из любого покрытия отрезка прямой можно выбрать конечное подпокрытие. Теория бикомпактных пространств впервые была построена П.С.Александровым и П.С.Урысоном.

Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество Rn компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса бикомпактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей топологии, имеющих общематематическое значение.

Локально бикомпактное ТП.

Бикомпактификация по П.С.Тихонову. Всякое локально бикомпактное (но не бикомпактное) хаусдорфово ТП можно топологически вложить в некоторый бикомпакт, присоединив к исходному всего одну "бесконечно удаленную" точку.

1.6.3        Счетные покрытия

Если покрытие содержит счетное число элементов (открытых подмножеств), то такое покрытие называется счетным покрытием. Говорят, что топологическое пространство (X, t) удовлетворяет второй аксиоме счётности, если его топология t обладает счётной базой.

Семейство B(x) = {V(x)} окрестностей точки x называется базой системы окрестностей точки x, если в каждой окрестности точки x содержится некоторая окрестность из этого семейства. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётности, если система окрестностей всякой его точки обладает счётной базой, т.е. базой, состоящей не более чем из счётного числа окрестностей.

Покрытие {Vb} называют локально счетным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только со счетным числом элементов этого покрытия.

ТП называется финально-компактным (линделёфовским) пространством, если всякое его открытое покрытие содержит не более чем счетное подпокрытие. Примерами не бикомпактных, но финально компактных пространств являются евклидовы пространства любой размерности и сепарабельные гильбертовы пространства.

Секвенциальная компактность.

1.7    Ретракция. Существование центральной или неподвижной точки. Существование неподвижного подмножества

1.8    Существование замкнутой кривой. Разделение ТП на две несвязные части некоторой границей

1.9    Количество сторон ТП

 

Ссылка на этот материал: Сравнение-ТП.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 45 plus 49 =

---Load files---
Сегодня - 06_07_2020
Время переоткрытия сайта 23 ч 26 м по Гр.
Календарь
на ИЮЛЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 1 2
(7 331)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:12 V:17 N:38
Уникальных посетителей за текущие сутки: 12 Просмотров: 17 Этой страницы (всего): 38