-------------------
Вы знаете, как устроен наш мир?

---Load files---
Совет: если изображения отображаются неправильно, попробуйте очистить кеш браузера!
Поиск на странице - нажмите "Ctrl+F", Поиск на сайте - поле ввода "Яндекс-Найти" на "шапке",
Поиск в интернете - 1) выделите текст, 2) нажмите правую клавишу мыши и 3) выберите поисковик.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

------- Тимин В.А. (mail: timinva@yandex.ru) Дата последней загрузки: September 27 2019. -------
Ссылка на этот материал: Топология-определения.htm)


1  Определения

(Глоссарий общей топологии)

Топология (от греч. tоpos — место) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности. Этот феномен проявляется в непрерывных множествах и непрерывных отображениях, а также в понятии предела.

Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Топологии на ряд отделов, отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных. Наряду с алгеброй общая топология составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

Топологию можно подразделить на следующие области:

1) общую топологию, или теоретико-множественную топологию, в которой изучается понятие непрерывности в чистом виде. Традиционный подход к общей топологии — теоретико-множественный. Базовые понятия теории множеств (множество, функция, ординальные и кардинальные числа, аксима выбора, лемма Цорна и т.д.) не являются предметом общей топологии, но активно ею используются.

Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии. В ней изучаются множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость окрестности точки, замыкания множеств (а также внутренности), связность, компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров, отделимость и т.д., без обращения к другим инструментам. Общая топология включает в себя теорию размерности.

Общая топология включает в себя следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображениями, классификация топологических пространств.

В отличие от дифференциальной и алгебраической топологии, общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений (топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами: алгебраическими и т.п.).

2) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу;

3) алгебраическую топологию, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических структур, вроде гомотопических групп и гомологий, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп;

4) дифференциальную топологию, в которой главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия. Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов.

Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; поэтому многие топологи предпочитают выделять в ней и другие разделы.

Множество, на котором задана топологическая структура (непрерывности), называют топологическим пространством. Аксиоматически в топологии непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества.

Топология изучает не только топологические пространства как единое целое, но и собственные подмножества с точки зрения их топологической эквивалентности, а также способы вложения одних ТП в другие и разнообразия их изотопических типов, в т.ч. собственных подмножеств в себя.

1.1    Топологическое пространство

Топологическое пространство T(X) – математическая структура на множестве X, удовлетворяющее трем аксиомам:

1) все множество X и пустое множество Æ принадлежат T(X);

2) объединение любых подмножеств из T принадлежит T;

3) пересечение конечного числа подмножеств из T принадлежит T.

Любое подмножество из T называется открытым подмножеством, а его дополнение – закрытым.

Замечание. Вместо словосочетания "топологическое пространство" будем пользоваться также сокращением "ТП".

Следующим основным топологическим понятием является понятие "окрестность точки". Понятие окрестности – фундаментальное понятие топологии. Каждая точка ТП обладает окрестностью. Окрестность точки – это любое подмножество пространства, содержащая эту точку в качестве внутренней. Точка считается внутренней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, принадлежащей этому подмножеству, или точнее, подмножество A ТП T(X) называется окрестностью точки x0, если оно содержит открытое в T(X) подмножество, содержащее точку x0. Точка считается внешней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, не пересекающейся с этим подмножеством. Окрестность точки x0 с вырезанной точкой x0 называется выколотой окрестностью точки.

Открытое множество является окрестностью каждой своей точки.

Если любая окрестность точки содержит хотя бы одну точку, отличную от нее, то такая точка называется предельной точкой. Совокупность всех предельных точек называется производным подмножеством. Если множество совпадает со своим производным подмножеством, то такое пространство называется совершенным.

Граничная точка подмножества – это точка, любая окрестность которой пересекается как с этим подмножеством, так и с его дополнением. Точка прикосновения подмножества обладает более слабым условием - это точка, любая окрестность которой пересекается с этим подмножеством. Операция объединения подмножества M со всеми своими граничными точками (или точками прикосновения) называется операцией замыкания: M . Получившееся подмножество является замкнутым. Через операцию замыкания множества можно определить топологию пространства, применив теорему Куратовского. Пусть на X задана операция, которую назовем операцией замыкания подмножества f(M). Если она удовлетворяет условиям:

1)      f(M1 È M2) = f(M1) È f(M2) (аддитивность),

2)      M Í f(M),

3)      f(f(M)) Í f(M) (идемпотентность),

4)      f(Æ) = Æ,

то эта операция задает на этом множестве определенную топологию. Эти условия называются аксиомами Куратовского.

Для ТП в самом себе операция замыкания есть снова это же самое множество, и невозможно определить граничные точки. Но возможно определить внешнюю границу, если ее можно вложить в некоторое большее ТП или каким либо способом ее расширить. Например, операцией предельного перехода.

Если отдельная точка множества является открытым подмножеством, то такая точка называется изолированной точкой. Она может быть граничной точкой только самого себя. Совокупность всех изолированных точек называется дискретным подмножеством.

Подмножества А и В метрического пространства Х называются близкими (обозначение AεB ), если для любого ε > 0 существуют точки a Î А и b Î В, расстояние между которыми < ε. По определению, понятие "близость" определяется только для метрических пространств.

ТП частично упорядочены между собой. Это проявляется во включении (или возможности вложения) открытых подмножеств одного пространства в открытые же подмножества другого ТП. Для сравнения не пересекающихся ТП применяются понятия изоморфизма, которое включает в себя топологические и гомотопические свойства пространств. 

1.2    Примеры ТП

1. Для любого множества можно определить две тривиальные топологии:

a) T = {Æ, X} – тривиальная топология, или антидискретная топология слипшихся точек;

b) "A Í X A Î TX дискретная топология. Любая точка этого множества является открытым множеством.

2. Связное двоеточие: X = {a, b}; T = {Æ, a, X}.

3. Топология Зариского: Х – любое бесконечное множество, Т – любое подмножество X, из которого исключены конечные подмножества точек исходного множества. Здесь тоже легко проверить, что это пространство обладает свойствами ТП.

4. Отрезок прямой [0, 1]: открытым множеством в ней является пустой отрезок Æ, весь отрезок [0, 1], любой открытый интервал (a, b), а также любые полуоткрытые сегменты  [0, b) и  (a, 1], где a и b принадлежат этому отрезку.

1.3    Непрерывность

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Непрерывным отображением ТП называется отображение, сохраняющее свойство подмножества быть открытым подмножеством. Таким образом, непрерывность отображения означает отображение, при котором открытое подмножество отображается в открытое же подмножество другого (или этого же) множества.

1.4    База, предбаза

Большое значение в изучении свойств ТП имеют свойства семейств подмножеств и открытых подмножеств. Многие свойства ТП определяются через них. В частности, оказывается, что топологию пространства можно определить не указывая все открытые подмножества, к тому же это и невозможно сделать с нашими ограниченными возможностями записи знаний: достаточно просто указать лишь некоторую совокупность открытых множеств, обладающую определенным свойством и называемую базой этой топологии. Очевидно, одна и та же топология на множестве X может быть задана различными базами. При этом база полностью определяет топологию: открытыми являются в точности те множества, которые представимы в виде объединения подмножеств базы. Особо выделяются пространства, имеющие счетные базы. Конечные базы определяют конечные топологии.

Пусть f: X ® Y — произвольное отображение, множества X в ТП Y. Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на X: за открытые множества в X берутся всевозможные прообразы открытых множеств в Y; то есть U Î X открыто, если существует открытое V Î Y такое что U = f − 1V.

Совокупность b открытых множеств пространства (X, t) называется базой топологии t или пространства X, если всякое непустое открытое множество является объединением некоторой совокупности множеств, принадлежащих b. Эта совокупность обладает свойствами:

1.   Объединение всех множеств из b дает все множество X;

2.   Для любых двух множеств U, V Î b  и для каждой точки x Î U Ç V существует W из b такое, что x Î W Ì U Ç V

Эти два свойства однозначно определяют некоторую топологию на множестве и могут быть применены в качестве аксиом ТП.

Если пространство содержит изолированные точки, то все эти точки должны входить в базу. Для метризованного ТП такой базой является множество открытых шаров, и даже более того – можно ограничиться шарами с радиусом менее некоторого конечного значения. В зависимости от метрической функции понятие "шар" довольно условно и в качестве "шара" могут выступать эквивалентные ему открытый сегмент в одномерном пространстве, квадрат в двумерном, куб в 3-мерном и т.д.

Кроме определения топологии через базу существует еще более экономное определение через предбазу ТП. Система g = {W} открытых подмножеств пространства (X, t) называется предбазой или системой образующих топологии t или пространства X, если система b, состоящая из всевозможных конечных пересечений множеств из g образует базу топологии. Ясно, что каждая база является предбазой, но не наоборот.

1.5    Фундаментальная последовательность

Бесконечная убывающая последовательность окрестностей – это последовательность окрестностей, где каждая следующая окрестность является подмножеством предыдущей. Свойство фундаментальной последовательности – иметь предельную точку:  С этой точки зрения евклидово пространство обладает и не фундаментальными последовательностями. В римановом пространстве постоянной кривизны любая бесконечно убывающая последовательность окрестностей имеет предельную точку. Так что решение этой топологической характеристики нашей Вселенной зависит от ее геометрии. Но любая точка нашей Вселенной имеет фундаментальную последовательность, хотя некоторые ТП ее не имеют.

1.6    Топологические типы групп.

Обычно встречающиеся на практике группы являются топологическими группами. Это значит, что для элементов группы определено понятие предельного перехода, причём операция умножения и переход к обратному элементу непрерывны (т. е., если gn g и g'n g' при n ¥, то gng'n gg' и g-1n g-1). С точки зрения топологии выделяются следующие типы групп.

1. Дискретные группы. Это группы с тривиальной топологией: последовательность gn сходится только тогда, когда она стабилизируется, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, равны, gN = gN+1 = … Дискретными являются, например, все конечные группы и кристаллографические группы (группы симметрии кристаллических решёток).

2. Компактные группы. Это группы, в которых из каждой последовательности {gi} можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактные группы имеют "конечный объём". Более точно, инвариантная мера группы конечна в том и только в том случае, если группа компактна (мера на группе называется инвариантной, если меры подмножеств В и gB равны для любого подмножества B Ì G и элемента g Î G). Среди дискретных групп компактными являются только конечные группы. Примеры компактных групп: группы вращений окружности и сферы (и вообще группы движений компактных многообразий), группы унитарных преобразований в конечномерном гильбертовом пространстве U(n) и группы ортогональных преобразований в конечномерном евклидовом пространстве О(n).

3. Локально компактные группы. Это такие группы, в которых каждый элемент обладает компактной окрестностью. Этот класс групп очень широк: он содержит все дискретные и все компактные группы, а также все конечномерные группы Ли (см. ниже). Характеристическим свойством локально компактной групп является наличие инвариантной меры на ней (т.н. меры Хаара). К классу локально компактных относится большая часть групп, используемых в физике.

4. Группы Ли (ГЛ) отличаются тем, что их элементы можно охарактеризовать конечным набором числовых параметров, т. е. на группе можно ввести систему координат (см. ниже).

5. Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких групп характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или некоторого количества функций). В физике используют в основном группы линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, группы диффеоморфизмов гладких многообразий и группы калибровочных преобразований. Теория таких групп разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицательный характер: эти группы не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полной системы унитарных представлений.

1.7    Метрическое пространство

В 1906 году французский математик М.Фреше ввел понятие метрического пространства как множества, между точками которого определена вещественная положительно определенная бинарная функция "расстояние" с определенными свойствами.

Пространство метризовано, если для любых двух ее точек определена функция r(a, b), удовлетворяющая аксиомам метрики (замечание – сильной метрики):

r(a, b) = 0 ↔ a = b (аксиома тождества);

r(a, b) = r(b, a) (аксиома симметрии);

r(a, b) + r(b, c) ³ r(a, c) (аксиома треугольника).

Условие непрерывности отображения определяется условием; близкие точки отображаются в близкие же точки. Из второй аксиомы следует положительная определенность метрики.

Любое метрическое пространство является топологическим пространством с базой открытых шаров. Любое подмножество метрического пространства является метрическим пространством. Причем не всякое, даже конечное, метрическое пространство можно вложить в локально n-мерное метрическое пространство.

Мощность метрического пространства ничем не ограничена.

Метрическое пространство обладает слабой метрикой, если не выполняется аксиома тождества, но:

r(x, x) = 0.

Метрическое пространство обладает псевдометрикой, если не выполняется аксиома тождества и аксиома треугольника, но опять же:

r(x, x) = 0.

Такой метрикой обладает метрика в пространстве Минковского. К тому же это расстояние определено не для всех пар точек.

1.8    Топология пространства Rn

Пространство Rn является топологическим метризованным n-мерным пространством. Топология метризованного пространства может быть определена через ее базу. Наиболее простым и естественным математическим определением базы является определение через центрированные ограниченные окрестности точек пространства qi. Для этого сначала определим  e–окрестности точки qi: точка q'i находится в e–окрестности точки qi, если для любого i Î {0,1,2, … n} выполняется соотношение:

(1)

 
|q'i qi| < e

или

|∆qi| < e

где n – размерность пространства,

i – индекс координаты разметки пространства–времени.

Тогда базой ТП будет совокупность всех e–окрестностей всех точек пространства.

Это определение топологии пространства и e–окрестности точки q, индуцированное определением координат на исходном множестве. Оно означает, что близкие точки обладают близкими координатами. Возможны и другие определения наведенной топологии и e–окрестности точки q, но они не обладают какими–либо преимуществами перед приведенным.

ТП не может иметь собственной границы, но оно может заиметь границу, если ее расширить каким-либо способом, например, вложить в другое пространство или применить какой то другой прием. В частности, в метризованном пространстве могут существовать бесконечно удаленные точки или точки с бесконечными координатами, и их включение во множество точек пространства является одним из этих способов. Но эти бесконечно удаленные точки находятся на границе пространства и не могут быть эквивалентными другим точкам, принадлежащим однородному и изотропному пространству, без придания им этих свойств специальным способом, потому что они находятся на границе и являлись бы предельными точками пространства с особыми свойствами. Наличие бесконечно удаленной границы можно считать топологической особенностью метризованного пространства, но это не имеет типообразующего значения для произвольного ТП, потому что понятие бесконечно удаленной точки не является топологическим: любой открытый сегмент линии топологически эквивалентен бесконечной линии. Бесконечность – понятие метрическое. Но мы можем пользоваться этим понятием для метризованного пространства.

Замечание: Способом создания новых видов ТП размерности N является включение бесконечно удаленных точек базового пространства p = (R1)n: R1={–∞; +∞}. Бесконечно удаленную точку (или точки) можно ввести во множество точек пространства, но для этого надо определить для них окрестности таким образом, что эти точки не будут находиться на границе собственной окрестности.

Кроме включения бесконечно удаленных точек имеются еще три способа получения отличного ТП путем создания новых особенностей:

1)     удалением закрытой окрестности точки;

2)     удалением точки или области пространства размерности меньше чем само пространство;

3)     сшивкой границ двух окрестностей. При сшивке почти всегда имеется возможность прямой и зеркальной сшивки границ. Нельзя сшивать по любым границам с разницей в размерности пространства и границы более одного – 1) на точках границы будет нарушаться однородность пространства; 2) граница, возможно, будет связующей перемычкой меньшей размерности между двумя несвязными областями пространства.

Для одномерного пространства R1 имеется три способа включения бесконечно удаленной точки:

 1) P = S1 = O – получается объединением обеих бесконечно удаленных точек, в результате получим эквивалент окружности;

2) включением одной бесконечно удаленной точки, соответствующей предельной точке одного из направлений движения по лучу, в результате получим эквивалент луча L;

3) включением обеих бесконечно удаленных точек, соответствующих предельным точкам обеих направлений, в результате получим эквивалент отрезка F.

4) *Есть еще одно простое одномерное пространство – проективная окружность P1, который получается отождествлением противоположных точек окружности O. Проективная окружность также эквивалентен классу параллельных прямых евклидовой плоскости. Но на этом заканчиваются его интересные особенности – в конце концов он гомоморфен окружности.

На этом не заканчиваются 1–мерные не эквивалентные между собой ТП. Их очень большое количество. Например, любой граф является одномерным ТП. Но самых простых среди них всего четыре – бесконечная (или открытая) линия R1, окружность S1, луч и отрезок. При этом первые два пространства будут однородными и изотропными. Остальные две – не однородные и не изотропные с особыми граничными точками.

Для двухмерного пространства R2 = RR1 имеется три стандартных способа включения бесконечно удаленной однородной изотропной точки. Всего с учетом ориентации имеется шесть видов простых 2–мерных ТП:

1. P = S2 = S - получается объединением всех бесконечно удаленных точек в одну точку, в результате получим эквивалент сферы.          

2). P = RS1 - это цилиндр C – имеются две границы;

3). P = RS1 - это лист Мебиуса M – имеется одна граница;

4). P = SS1 = T – это тор – не имеет границ;

5). P = SS1 = G – это бутылка Гордона – не имеет границ;

6). P = P2 – проективная сфера, получается отождествлением противоположных точек сферы. Проективная сфера эквивалентна классу параллельных прямых евклидового пространства.

На этом не заканчиваются 2–мерные не гомеоморфные между собой ТП. Есть интересные способы получения новых топологических клонов 2–мерных ТП.

а)  Возьмем две сферы. Вырежем в них круги и сошьем их по этим кругам вместе. В результате мы получим опять же сферу.

б)  Возьмем сферу и плоскость. Вырежем в них круги и сошьем вместе. Мы снова получим плоскость.

в)  Возьмем две плоскости. Вырежем в них круги и сошьем их по этим кругам вместе. В результате мы получим цилиндр. Вторую плоскость даже не обязательно пришивать, потому что вырезка дыры уже эквивалентна сшивке с плоскостью.

В смысле сшивки границ сфера (или круг после вырезки дырки) по отношению к сшиванию с другой поверхностью или границей обладает свойствами "нуля" – тип пространства при этом не меняется. Ниже таблица сшивки простых поверхностей.

S

Rn

Tn

Mn

G

Rm

Cn+m

TnRm

RmMn

RmG

Tm

TmRn

Bn+m

TmMn

TmG

Mm

MmRn

MmTn

Mn+m

MmG

G

Rng

TnG

MnG

TG

Из этих операций можно сделать вывод, что сфера в этих операциях выступает как нулевой элемент. Это действительно так, так как сфера с вырезанным кругом эквивалентен кругу, и замена круга на круг на любом 2–мерном ТП ничего не меняет. А пришивка плоскости (с вырезанной дырой) в этих операциях выступает как единичный элемент, и в результате сшивания L плоскостей со сферой по вырезанным в них кругам (или вырезания L дырок) получим "еж" с N цилиндрическими лучами. При сшивании двух таких пространств с L1 и L2 лучами мы получим новое ТП с L1 + L2 лучами. Сама плоскость без дырок эквивалентна ежу с L=1.

Есть еще один способ получения новых 2–мерных пространств. Возьмем любое 2–мерное ТП, вырежем в ней две дырки и сошьем их вместе. Мы получим новый вид топологической особенности пространства – ручку. Причем эта ручка будет ориентированной двумя способами – в соответствии с количеством направлений сшивки. При прямой сшивке получим ручку типа "простой тороид", и это эквивалентно пришиванию тороида. При обратной сшивке мы будем пришивать "тороид Клейна". Количество ручек разной ориентации – это еще два параметра – Т и G – для 2–мерного ТП. При этом необходимо иметь в виду, что из n "тороидов Клейна" n-1 из них можно преобразовать в простой тороид, и параметр G может принимать только 2 значения – 0 и 1, а параметр T соответственно увеличится на n-1. Таким образом, 2–мерное ТП можно описать с помощью четырех целочисленных параметров – (L, M, T, G).         

В качестве плоскости для сшивки можно взять лист Мебиуса, ибо он имеет одну круговую границу. Один лист Мебиуса можно принять за единицу односторонней плоскости. Такое пришивание эквивалентно пришиванию бутылки Клейна. Подобное пришивание плоскости эквивалентно пришиванию сферы.

Есть еще много способов получения 2–мерного ТП методом удаления областей меньшей размерности с произвольной, не обязательно однородной и изотропной, структурой. При этом пространство остается топологически однородным и изотропным, но по этим областям нельзя производить сшивку – на этих объектах будет нарушаться однородность структуры пространства.

Для трехмерного пространства R3 = RRR1 имеется семь стандартных способов включения бесконечно удаленной точки, умноженное на количество способов склейки бесконечно удаленных границ:

1. P = CЗ – получается объединением всех бесконечно удаленных точек – это 3–сфера.

2. P = SЗ – проективная 3–сфера.

3. P = RRO1; $ два способа склейки границ.

4. P = ROO1 = T2; $ четыре способа склейки границ.

5. P = OOO1 = T2; $ восемь способов склейки границ O1.

6. P = RC2;

7. P = OC2; $ два способа склейки границ .

Пространство не может иметь особых точек, все точки равноправны. С точки зрения топологии и непрерывности, если какая–то точка выделенного подпространства имеет определенную топологию дополнительного подпространства, то все другие точки тоже имеют эту же топологию, и любые две точки пространства могут отличаться только конкретными числовыми параметрами, характеризующими топологические и геометрические свойства дополнительного подпространства.

Но в пространстве могут существовать особые граничные области 0. Граничные области (точки, линий, ...) могут появиться как предел бесконечной последовательности убывающих окрестностей, стягивающихся в область (точку, линию, ...) некоторой топологической особенности. Назовем ее границей особенности. Топология этой границы может быть любой, самой причудливой, соответствующей ее размерности. Определение бесконечной последовательности окрестностей следующее:

limn→∞ e(n) = O

"q $n: q Ï e(n)

Для однозначного определения особенности и его топологии необходимо определить пределы бесконечной последовательности точек, имеющих своими пределами точки на особенности O. Определение этой последовательности точек:

limn→∞ q(n) = O

q(n) Î e(n)

Сама топологическая граница не принадлежит пространству. Топологические особенности локализованы в пространстве и обладают свойством устойчивости. Они не уничтожимы: если он существует в некотором слое пространства (см. далее), то он существует и во всех других слоях пространства. Окрестности таких объектов обладают определенными свойствами абсолютности. Это проявляется в том, что эти окрестности невозможно переместить в любую другую область пространства: здесь возможно только дискретное преобразование координат с совмещением координат окрестностей одинаковых особенностей. Для любой другой точки и ее окрестности это не так. Интегралы по полевым параметрам этих объектов по границе окрестности могут иметь конечные значения, которые можно принимать за массу или заряды м.о. Они могут обладать и квантовыми свойствами в силу своей особенности.

1.9    Линия

Что такое линия? Вроде с ответом здесь все ясно. Еще Евклид (III в.д.н.э.) определил линию следующим образом: "линия – этот длина без ширины". И до сих пор мы, определяя линию, представляем ее себе как нечто, похожее на тонкий штрих, нарисованный на бумаге остро отточенным карандашом.  Но это не точное определение. Это указание на то, что считать линией. Точное математическое определение линии не столь просто. Математикам понадобилось 2200 лет, чтобы определиться с этим понятием.

Спустя много лет после Евклида Рене Декарт (1596-1650) сделал попытку уточнения понятия линии. Согласно ему, линия есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y) = 0.  Это, конечно, хорошее определение. Но позже выяснилось, что многие функции имеют довольно сложный вид. Например, уравнение окружности x2 + y2 = r2, вполне описывается этим уравнением. Но уравнение спирали Архимеда таким простым уравнением не опишешь.

Определение Декарта имеет еще один недостаток: если не накладывать никаких ограничений, то любое множество на плоскости является линией. Например, единичный квадрат, заданный уравнением (даже непрерывным!)

|x| + |x – 1| +  |y| + |y – 1| - 2 = 0,

по Декарту является линией.

Следующим шагом, сделанным французским математиком Камилл Жорданом (1838-1922), было определение линии параметрическим способом:

x = f1(t),           y = f2(t),

где f1(t) и f2(t) – функции, непрерывные на отрезке [0, 1]. С его помощью уже можно определить и многозначные линии. Спираль Архимеда задается простым уравнением

x = vtcosωt,     y = vtsinωt.

Вроде бы все, линия определена. Но в 1890 году Джузеппе Пеано (1858-1932) построил пример кривой, обегающей все точки квадрата, и притом удовлетворяющий определению линии, данному Жорданом. Трудно считать линией кривую, заполняющей квадрат. В то же время существуют линии, не подходящие под это определение. Итак, что же такое линия?

В случае плоских линий окончательный ответ был дан Георгом Кантором (1845-1918). В 20-х годах XIX в. Советский математик П.С.Урысон обобщил определение Кантора и дал общее понятие линии. В настоящее время линией считается топологическое подпространство размерности 1. Такое подпространство плоскости не может содержать ни одного круга (не окружности!) в воем составе.

По этому определению, линией является, например, ковер Серпиньского на плоскости, кривая Менгера в пространстве. Но канторово множество не является линией! Также, как и кривая Пеано. Канторово множество имеет размерность 0, кривая Пеано - размерность 2. Даже множество рациональных точек на прямой (и даже иррациональных точек, имеющих мощность континуума) не является линией. А как хотелось бы считать их линией.

Замечание 1. Под понятием "линия" понимается подмножество некоторого топологического множества, обычно евклидова пространства, обладающее неким свойством "отсутствия толщины" и "наличия непрерывности". При этом можно добавить прилагательные "прямая" и кривая" или использовать их непосредственно как существительные. Понятия "прямая" и кривая" сильно сужают понятие линии. Хотелось бы под понятиями "прямая" и кривая" оставить интуитивно понятное понятие, на которой можно определить совершенный порядок или хотя бы направление.

Замечание 2. Имеется не одно определение размерности! Но для евклидовых пространств большинство из них совпадают.

Замечание 3. Есть производные от "линии" понятия: интервал, отрезок, луч, а также конус и сегмент. А также "находиться перед кем то","находиться между кем то","находиться за кем то". Исходным для их определения является понятие упорядоченного множества. А линией в этом случае можно считать совершенно упорядоченное его подмножество, или цепь.

1.10Сетки и многоугольники

Сетки и многоугольники являются очень простыми (на первый взгляд)  объектами. Основными структурными элементами ее являются вершины и ребра, соединяющие вершины между собой. Сетки могут быть линейными, плоскими, и даже объемными и многомерными объектами, во первых, в смысле вложенности в соответствующее пространство, а во вторых, в смысле размерности своих объектов – вершин и ребер.

Многоугольники являются подмножеством класса сеток и их отличие от собственно сеток является наличие в ней еще одного объекта – угла.

Рис. 2. Примеры многоугольников и сетки. a) многоугольник неправильный; b) почти правильный и c) правильный (квадрат) многоугольники; d) сетка общего вида.

1.11Графы

Графы являются такими же простыми (на первый взгляд) объектами, как сетки. Графы также могут быть линейными, плоскими, и даже объемными и многомерными в смысле вложенности в соответствующее пространство. Но это не является определяющим свойством графа.

Графами можно назвать сетки, в которых выделены только вершины и ребра. Структурные элементы больших размерностей, в т.ч. грани, не рассматриваются. Даже объект графа "ребро" не имеет внутренней структуры – это просто связь двух точек. Но ее можно считать все же ребром как структурным названием. С этой точки зрения граф графы являются линейно-точечными топологическим объектами, очень напоминающими многоугольник или обычную сетку. Единственное, что можно  определить на ребре, в отличие от сетки - указать направление. Вариации: на вершинах и ребрах, кроме направления, можно определить функции общего вида.

Замечание: является ли направление топологическим признаком? С одной стороны, направление не входит в аксиоматическое определение ТП. С другой стороны, да, хотя бы потому, что бутылка Клейна отличается от тора именно направлением сшивки границ ручки и направление является неким топологическим свойством. Все это говорит о том, что граф изначально является топологическим объектом.

Рис. 4. Пример графа с одной направленной стрелкой.

Графы могут нести в себе классифицирующий признак ТП. Топологические инварианты пространств могут однозначно отображаться на класс графов: графы могут быть каркасами для многих других ТП.

1.12Узлы, косы и другие замкнутые кривые

Труд­ные математические проблемы топологического характера возникают в связи с изучением узлов. Теория узлов изучает вложения одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу S 3. Узел образуется, когда из отрезка веревки делают петли, затем сквозь них пропускают концы веревки и, наконец, два конца соединяют вместе. Полученная, изготовленная из веревки за­мкнутая кривая представляет собой геометрическую фигуру, сущест­венные свойства которой не изменяются, как бы в дальнейшем не пере­тягивать или не перекручивать веревку. В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вообще вложения многообразий.

Но как возможно было бы дать внутреннюю характеристику, которая позволила бы различить тем или иным способом «заузленные» кривые между собой и отличать их от «незаузленных» вроде круга? Ответ далеко не прост и еще менее прост исчерпывающий математический анализ узлов разных типов. Затруд­нения встречаются даже при самых первых шагах в этом направлении. Взгляните на два узла, напоминающие трилистники, изображенные на рис. 5. Они совершенно симметричны друг другу, являются взаим­но «зеркальными отображениями», они топологически эквивалентны и вместе с тем не конгруэнтны друг другу. Возникает проблема: можно ли деформировать непрерывным движением один узел в другой? Ответ отрицателен.

Для классификации узлов составляют таблицы узлов - перечень диаграмм всех простых узлов, допускающих проекции на плоскость.

Файл:Knot table.svg

a)

b)

Рис. 5. a) – часть таблицы узлов. b) - топологически эквивалентные узлы (трилистник), не переводящиеся друг в друга

Для облегчения поиска и унификации узлы имеют стандартное обозначение: первая цифра указывает число двойных точек, а вторая (расположенная в индексе) — порядковый номер узла. Помимо стандартного обозначения несколько простейших узлов имеют специальные названия. Например:

Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись .

Проблема классификации узлов по системе топологических инвариантов полностью пока не решена. Практически единственным способом доказательства неизоморфности узлов является применение инвариантов: сопоставляемых узлу (или зацеплению) чисел или выражений, не изменяющихся при его изотопии. Достаточным для доказательства неизоморфности тогда является нахождение инварианта, значения которого на данных двух узлах или зацеплениях различны. (Стоит отметить, что совпадение одного или нескольких инвариантов на двух узлах их изоморфности ещё не доказывает.)

Чаще всего, инварианты определяют только для ручных узлов (и зацеплений), строя их по диаграмме узла; проверка инвариантности в этом случае сводится к проверке, что построенный объект сохраняется при всех трёх преобразованиях Рейдемейстера. Некоторые инварианты узлов и зацеплений:

1.13Многогранники

Многогранники и графы являются очень простыми (на первый взгляд)  объектами. Многогранники могут быть линейными, плоскими, и даже объемными и многомерными во первых, в смысле вложенности в соответствующее пространство, а во вторых, в смысле ее собственной размерности.

Под традиционным многогранником подразумевается тело, поверхность кото­рого состоит из конечного числа граней, имеющих форму многоуголь­ников. В этом смысле многогранники являются скорее геометрическими, чем топологическими объектами. Определяющими в них являются "длина" и "угол", т.е. метрические параметры. В случае правильных многогранников все многоугольники кон­груэнтны и все плоские углы при вершинах равны между собой. Много­гранник называется простым, если в нем нет «дыр», так что посредст­вом непрерывной деформации его поверхность может быть переведена в поверхность сферы. Если многогранник имеет "дыры", то он может быть отображен на соответствующую ему поверхность с ручками (например, типа "тор" (гиря с одной ручкой), гиря с двумя (или более) ручками, лист Мебиуса, бутылку Клейна с несколькими ручками и т.д.). Можно определить и неправильные многогранники, которые имеют внешние границы с размерностью меньшей  чем максимальная, определяемая многогранником. На рис. 3 изображен простой многогранник, ко­торый не является правильным; рядом с ним изображен многогранник, который не является простым.

    

Рис. 3. Правильный, простой, непростой и неправильные многогранники. Первый многогранник правильный, потому что все ребра и грани одинаковые. Второй является простым и может быть отображен на сферу. Третий - непростой, может быть отображен на тор. В этом случае многогранник можно назвать простым с дыркой. Четвертый многогранник похож на "ежа". Пятый – на "лепешку", потому что вершина C прикреплена к нижнему основанию многогранника.

Вырезав предварительно одну из граней пустого внутри простого многогранника, можно оставшуюся поверхность деформировать таким образом, что она расстелется по плоскости. Конечно, при этом и гра­ни многогранника и углы между ребрами испытают резкие изменения. Но «сетка», составленная из вершин и ребер на плоскости, будет содер­жать то же число вершин и ребер, что и первоначальный многогранник, тогда как число граней станет на одну меньше, так как одна грань бы­ла вырезана. Кстати, такой многогранник с вырезанной гранью уже является неправильным многогранником, потому что имеет границу.

Являются ли многогранники топологическими объектами? Конечно, являются. Но ее топологическая сложность зависит от ее топологической реализации. Многогранник – это каркас. В частности, многогранники, показанные на рис. 3, являются топологически эквивалентными сфере и тору. Но всю свою топологическую красоту они получают, если в них выделить, вырезать или нарисовать структурные элементы многогранника. При этом они получат дополнительные топологические характеристики, соответствующие многогранникам.

С топологической точки зрения длина, угол и площадь не имеют никакого значения. Эта формула не теряет смысла и значимости также и применитель­но к иным, гораздо более общим случаям. Просто необходимо выделить соответствующие структурные элементы. Со свойствами вершины, ребра и грани. Вместо многогранников эле­ментарной геометрии с плоскими гранями и прямыми ребрами можно взять простые «многогранники», у которых «гранями» будут кривые по­верхности, а «ребрами» — кривые линии, или можно нарисовать «грани» и «ребра» на поверхности, например, шара.

И с этой общей точки зрения, многогранник очень даже "многогранен": в зависимости от точки зрения на нее, в нем в качестве составляющих структурных элементов можно выделить очень много более простых топологических объектов, связанных специальным образом. Например, обычный многогранник с точки зрения графического изображения через свои ребра состоит из объектов трех классов: из точечных объектов – вершин, линейных объектов – ребер и пространственных объектов – граней. Также возможно выделить в ней еще один объект – трехмерную внутренность, граница которой как раз и является многогранником. Но с другой точки зрения простой многогранник есть просто ограниченный границей трехмерный объем, топологически эквивалентный сфере: сама граница может и не входить в ее состав. Но не у всякого многогранника есть внутренность.

Многогранник как топологический объект может быть связным и несвязным (многосвязным).

Многомерные многогранники отличаются от объемных тем, что в качестве образующих ее каркас объектов могут быть не только вершины, ребра и грани, но и поверхности большей размерности. Традиционный многогранник двумерен – по размерности граней.

Многогранники сами по себе могут нести в себе классифицирующий признак ТП. Топологические инварианты пространств могут однозначно отображаться на класс многогранников: многогранники могут быть каркасами для многих других ТП.

1.14Полиэдр

Подмножество P пространства R3 назовем r-мерным полиэдром, если P есть объединение конечного числа (см. рис. 3): точек – при r = 0, точек и отрезков – при r = 1, точек, отрезков и треугольников – при r = 2, точек, отрезков, треугольников и тетраэдров – при r = 3.

Рис. 5. Примеры полиэдров в R3.

 

1.15Клеточный комплекс

 

Ссылка на этот материал: Топология-определения.htm)
Ссылка на другие мои материалы: сайт Vixra.com

- - - ВЫ МОЖЕТЕ ОСТАВИТЬ ПЕРВЫЙ КОММЕНТАРИЙ! - - -


Введите логин*:      Введите эл.адрес:

Введите пароль*:    Ваш телефон:        
* - ввод объязателен, логин и пароль пока не контролируются;

Введите Ваш комментарий:
Формулы:

(возможно использование BB-кодов для оформления комментария и кодов LaTeX для ввода формул)

Решите пример: 68 + 5 =

---Load files---
Сегодня - 02_07_2020
Время переоткрытия сайта 22 ч 22 м по Гр.
Календарь
на ИЮЛЬ месяц 2018 г.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 1 2
(7 331)

---Load files---
---Load files---


© Все права защищены 2017-2019 При использовании материалов сайта ссылка на http://lowsofphisics.ru обязательна.

В НАЧАЛО
КОММЕНТ
В КОНЕЦ
U:10 V:25 N:34
Уникальных посетителей за текущие сутки: 10 Просмотров: 25 Этой страницы (всего): 34